精品解析：山东宁市梁山2025—2026学年度第二学期期中教学质量教研 八年级数学试题

2025—2026学年度第二学期期中教学质量教研 八年级数学试题 本试卷共8页，满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 中，，，，则的长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 如图，在中，点，在边上，平分，平分．若，，则长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 6. 在的网格里，各组线段长度表示的数能够合并的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 7. 禁令标志是交通标志中的一种，是对车辆加以禁止或限制的标志，如禁止通行、禁止停车、禁止左转弯、禁止鸣喇叭、限制速度、限制重量等．如图，该禁令标志外围多边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 8. 将两个边长为a的小正方形放置在边长为b的大正方形内，三个正方形均重叠部分的面积记为，无重叠部分的面积记为，如图所示，若a和b分别是一等腰直角三角形的一条直角边和斜边的长，则与的大小关系是（ ） A. ＝ B. ＜ C. ＞ D. 无法确定 9. 如图，两个完全一样的含有的三角板按照图示摆好，，点B和重合在一起，和在同一条直线上，连接．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 在综合与实践课上，美丽老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展教学活动．如图，矩形中，，，点E、F分别是边、上的点，连接、，分别将和沿、翻折，点B、D的对应点分别为点G、H，若，且C、H、G三点共线，则的长度是（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若式子有意义，则的取值范围是_____． 12. 某工程队负责挖掘一处通山隧道，为了保证山脚A，B两处出口能够直通，工程队在工程图上留下了一些测量数据（此为山体俯视图，图中测量线拐点处均为直角，数据单位：米）．据此可以求得该隧道预计全长______米． 13. 对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为________． 14. 如图，在中，，，，分别是边，，的中点，连接，为上一点，且，连接．若，，则的长为_____． 15. 如图，菱形的面积为24，点E是的中点，点F是上的动点．若的面积为4，则图中阴影部分的面积为______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1） ； （2）（）（3）． 17. 如图，在中，求作菱形，且点E在线段上，点F在线段上．作法如下： ①分别以点A，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P； ②连接； ③以点为圆心，长为半径画弧交BC于点E； ④连接并延长交于点F． （1）已知以上作法步骤是排乱的，则正确的排序是__________； （2）利用（1）中作图所确定的条件证明四边形为菱形； 18. 如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度；当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离，求钟摆的长度． 19. 如图，正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32． （1）求正方形ABCD和正方形ECFG的边长； （2）求阴影部分的面积． 20. 我国南宋时期数学家秦九韶提出“利用三角形的三边可以求这个三角形的面积”．他的方法大致如下：如图，，作于，此时为，的公共边，则运用勾股定理，先求，再求，从而求出的面积．若，，，请根据以上信息，求的面积． 21. 如图，在中，，，点，在对角线上．点，分别从点，出发，都以每秒的速度向各自终点，运动，且同时出发，同时停止．设它们的运动时间为秒． （1）当时，求证四边形是平行四边形； （2）当运动时间为多少时，四边形为矩形？ 22. 阅读下面材料，完成相应的任务． 四边形的中位线 我们学习过三角形的中位线，类似的，把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线． 如图1，在四边形中，点M，N分别是，的中点，则就是四边形的中位线．求四边形的中位线的长度，可以通过找中点，将其转化为三角形的中位线解决． 例：如图2，在四边形中，点E，F分别是，的中点．若，，，，求的长． 解：如图2，取的中点P，连接，． 点E、F分别是，的中点， ，，，．（依据） …… 任务： （1）上述材料中的依据是指：_______． （2）将材料中的解题过程补充完整． （3）如图3，在四边形中，点E，F分别是，的中点，，，，延长，交于点M，延长交于点N．求证：． 23. 四边形分别是边的中垂线，连接，延长交于点H，延长交于点G，若． （1）判断四边形的形状，并加以证明； （2）求的度数； （3）若，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期中教学质量教研 八年级数学试题 本试卷共8页，满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的条件：①被开方数不含有开得尽方的因数或因式；②被开方数不含有分母；由此问题可求解． 【详解】解：A、，不符合最简二次根式，故不符合题意； B、，不符合最简二次根式，故不符合题意； C、符合最简二次根式，故符合题意； D、，不符合最简二次根式，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的条件是解题的关键． 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平方根的含义可判断A，根据二次根式的除法运算可判断B，根据二次根式的乘法运算可判断C，根据二次根式的减法运算可判断D，从而可得答案． 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C符合题意； ，故D不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，二次根式的加减乘除运算，熟记运算法则是解本题的关键． 3. 如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，解答即可． 【详解】解：是公路的中点， ， ， ， ，两点间的距离为． 故选：B． 4. 中，，，，则的长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求解即可． 【详解】中，，，， ， 故选：A． 5. 如图，在中，点，在边上，平分，平分．若，，则长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】设，结合平行四边形的性质和角平分线的定义得出和，结合，，列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴． 6. 在的网格里，各组线段长度表示的数能够合并的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了网格与勾股定理，同类二次根式的定义．根据勾股定理计算得到各线段的长度，再根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：由题意得，，，， 与是同类二次根式，可以合并， 故选：C． 7. 禁令标志是交通标志中的一种，是对车辆加以禁止或限制的标志，如禁止通行、禁止停车、禁止左转弯、禁止鸣喇叭、限制速度、限制重量等．如图，该禁令标志外围多边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由图可得，该标志为正八边形， 即． 8. 将两个边长为a的小正方形放置在边长为b的大正方形内，三个正方形均重叠部分的面积记为，无重叠部分的面积记为，如图所示，若a和b分别是一等腰直角三角形的一条直角边和斜边的长，则与的大小关系是（ ） A. ＝ B. ＜ C. ＞ D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】求出，，而，故，，即得．本题考查正方形的性质，解题的关键是用含的代数式表示，． 【详解】解：由图可知，，， 和分别是一等腰直角三角形的一条直角边和斜边的长， ， ，， ； 故选：A． 9. 如图，两个完全一样的含有的三角板按照图示摆好，，点B和重合在一起，和在同一条直线上，连接．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，结合勾股定理解答即可． 本题考查了直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 10. 在综合与实践课上，美丽老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展教学活动．如图，矩形中，，，点E、F分别是边、上的点，连接、，分别将和沿、翻折，点B、D的对应点分别为点G、H，若，且C、H、G三点共线，则的长度是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长交于点M，连接，设，，利用矩形的性质，折叠的性质以及等面积法（）可求，在中，利用勾股定理可求，分别在和中，利用勾股定理，可得出，然后代入数值解方程即可． 【详解】解：延长交于点M，连接， ， ∵矩形中，，， ∴，，， ∵翻折， ∴，，，，，， 设，， ∵， ∴， 即， 解得， 在中，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去） ∴，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得， 即． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用等面积法求出是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若式子有意义，则的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数非负、分式分母不为0，列不等式组求解即可． 【详解】解：根据题意得 解不等式，得 解不等式，得 因此的取值范围是且． 12. 某工程队负责挖掘一处通山隧道，为了保证山脚A，B两处出口能够直通，工程队在工程图上留下了一些测量数据（此为山体俯视图，图中测量线拐点处均为直角，数据单位：米）．据此可以求得该隧道预计全长______米． 【答案】1000 【解析】 【分析】延长700米和400米的两边，交于点C，分析得出，再分别求出和，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，延长700米和400米的两边，交于点C， 由题意可得：， 由图中数据可得：， ， ∴米， 故答案为：1000． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是构造直角三角形． 13. 对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据定义新运算可得：，然后利用二次根式的乘法法则，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，，分别是边，，的中点，连接，为上一点，且，连接．若，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用多个中点，找出中位线，利用中位线的性质与勾股定理求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，，分别是边，，的中点，, ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 15. 如图，菱形的面积为24，点E是的中点，点F是上的动点．若的面积为4，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中线的性质，利用菱形的性质、三角形中线的性质求出，，根据和菱形的面积求出，，则可求出的面积，然后利用求解即可． 【详解】解：连接， ∵菱形的面积为24，点E是的中点，的面积为4， ∴，， 设菱形中边上的高为h， 则，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1） ； （2）（）（3）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可解答； （2）先算括号内除法，根据平方差公式求解即可． 【小问1详解】 解： = = ． 【小问2详解】 解：（）（3） = = = ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是二次根式的化简和灵活运用运算法则． 17. 如图，在中，求作菱形，且点E在线段上，点F在线段上．作法如下： ①分别以点A，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P； ②连接； ③以点为圆心，长为半径画弧交BC于点E； ④连接并延长交于点F． （1）已知以上作法步骤是排乱的，则正确的排序是__________； （2）利用（1）中作图所确定的条件证明四边形为菱形； 【答案】（1）③①④② （2） 证明：依题意得：，， ∵，，， ∴， ∴， 又∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 【解析】 【分析】（1）根据画角平分线的步骤即可得解； （2）依照画图可知：，，再证明，推出，由，推出，得到，，故而由此即可证明． 【小问1详解】 解：依题意可知，本题作图是先作的角平分线，再连接， ∴正确的排序是：③①④②， 故答案为：③①④②； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的性质、作图-基本作图等知识，解题的关键是全等三角形的证明，利用勾股定理解直角三角形． 18. 如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度；当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离，求钟摆的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设，得到 ， ，运用勾股定理得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：设， 根据题意可知，，， ， ． 在中，， ， 解得： 钟摆的长度是． 19. 如图，正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32． （1）求正方形ABCD和正方形ECFG的边长； （2）求阴影部分的面积． 【答案】（1）正方形ABCD的边长为2，正方形ECFG的边长为4 （2）阴影部分的面积为12 【解析】 【分析】（1）根据正方形的面积公式直接开平方得出正方形的边长即可； （2）用两个正方形的面积之和减去直角三角形ABD和直角三角形BGF的面积，即可得出阴影部分的面积． 【小问1详解】 解：∵正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32， ∴正方形ABCD的边长为，正方形ECFG的边长为． 【小问2详解】 阴影部分的面积为： 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积减去两个三角形的面积，是解题的关键． 20. 我国南宋时期数学家秦九韶提出“利用三角形的三边可以求这个三角形的面积”．他的方法大致如下：如图，，作于，此时为，的公共边，则运用勾股定理，先求，再求，从而求出的面积．若，，，请根据以上信息，求的面积． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意和题目中的数据，利用勾股定理可以列出相应的方程，然后求出的长，再求出的长，即可计算出的面积． 【详解】解：如图，作于， ∴， 设的长为x，则的长为， ∴，， ∴， ∵， ， ∴， 解得， ∴，， ∴， 解得， ∴； 即的面积是84． 21. 如图，在中，，，点，在对角线上．点，分别从点，出发，都以每秒的速度向各自终点，运动，且同时出发，同时停止．设它们的运动时间为秒． （1）当时，求证四边形是平行四边形； （2）当运动时间为多少时，四边形为矩形？ 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形． 理由：∵四边形是平行四边形， ，． ， ． 又， 四边形是平行四边形． （2）当或时，四边形为矩形 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质推出，根据，两点的速度都是每秒得到即可证得结论； （2）由矩形的性质知 、，要使，分当在上时，当在上时，即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：若四边形是矩形，则． 当在上时，，解得； 当在上时，，解得． 当或时，四边形为矩形． 22. 阅读下面材料，完成相应的任务． 四边形的中位线 我们学习过三角形的中位线，类似的，把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线． 如图1，在四边形中，点M，N分别是，的中点，则就是四边形的中位线．求四边形的中位线的长度，可以通过找中点，将其转化为三角形的中位线解决． 例：如图2，在四边形中，点E，F分别是，的中点．若，，，，求的长． 解：如图2，取的中点P，连接，． 点E、F分别是，的中点， ，，，．（依据） …… 任务： （1）上述材料中的依据是指：_______． （2）将材料中的解题过程补充完整． （3）如图3，在四边形中，点E，F分别是，的中点，，，，延长，交于点M，延长交于点N．求证：． 【答案】（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半（或三角形的中位线定理） （2） 解：如图2，取的中点P，连接，． 点E、F分别是，的中点， ，，，．（三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半） ，． ． ． 在中，由勾股定理，得． （3） 证明：如图，连接，取的中点H，连接，． 点E，F分别是，的中点， ，，，． ，． ，，， 是直角三角形，且． ． ． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理及逆定理等知识；熟练运用相关性质定理是正确解答此题的关键． （1）根据三角形的中位线定理即可解答； （2）由三角形中位线定理得，，，，根据平行线的性质可得出，进而可得．再由勾股定理即可得． （3）连接，取的中点H，连接，．根据三角形中位线定理得，，，．进而可得，．用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且．即可得结论． 【小问1详解】 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半（或三角形的中位线定理） 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 四边形分别是边的中垂线，连接，延长交于点H，延长交于点G，若． （1）判断四边形的形状，并加以证明； （2）求的度数； （3）若，求的长度． 【答案】（1） 四边形是菱形，理由如下： ∵分别是边的中垂线， ∴， ∴， 在与中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴， ∴四边形是菱形； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）四边形ABPD中，由已知条件知道线段；利用垂直平分线的性质知道；这样四边形中有两组邻边相等，又，因此可猜想该四边形可能为菱形； （2）本小题要找角，考虑到所在三角形已经是直角三角形，但另一个内角也难以找出，因此可考虑运用外角协助找到； （3）由可以得到，利用中点E可以推知，结合上题中找到的角，知，在直角中由勾股定理求得，则菱形的边． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∴． ∵PE垂直平分BC， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴． ∵PE垂直平分BC， ∴． ∴． 在直角△PEH中， ∵， ∴． 在直角△PEB中， ∵， ∴． ∴，即的长度为． ． 【点睛】本题考查了四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，涉及考点较多，有一定的难度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $