专题05分式易错必刷题型专练(32大题型共计96题)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦分式核心易错点，以32类题型构建从概念理解到方程应用的递进训练体系，强化运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|6题型|分式判断、有意义/无意义/值为0条件等|从定义出发，建立分式与整式的区别认知| |性质应用|3题型|变形正误判断、值变化分析等|通过变式训练深化分式基本性质理解| |运算技巧|15题型|约分通分、加减乘除混合运算等|遵循“概念-性质-运算”逻辑链，层层递进| |方程应用|8题型|解分式方程、行程/工程/经济问题等|体现模型意识，实现从运算到实际应用的迁移|

专题05分式易错必刷题型专练 题型01.分式的判断 题型02.分式有意义的条件 题型03.分式无意义的条件 题型04.分式值为0的条件 题型05.分式正负性的取值范围 题型06.分式值为整数的整数解 题型07.分式变形正误判断 题型08.分式变形成立的条件 题型09.分式值的变化判断 题型10.约分 题型11.最简分式 题型12.最简公分母 题型13.通分 题型14.分式系数化为整数 题型15.最高次项系数化为正数 题型16.同分母分式加减 题型17.异分母分式加减 题型18.整式与分式加减 题型19.分式恒等式求参数 题型20.分式加减混合运算 题型21.分式乘除混合运算 题型22.含乘方的分式混合运算 题型23.分式加减乘除混合运算 题型24.分式化简求值 题型25.分式方程定义 题型26.解分式方程 题型27.分式方程解的情况求值 题型28.分式方程无解问题 题型29.列分式方程 题型30.分式方程行程问题 题型31.分式方程工程问题 题型32.分式方程经济问题 【易错必刷题型一.分式的判断】 1．下列各式中，不属于分式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列代数式是分式的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各式：，，，，其中是分式的是（   ） A． B． C． D． 【易错必刷题型二.分式有意义的条件】 4．对函数，其自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．使代数式有意义的值是（    ） A．且 B．且 C．且且 D．且且 【易错必刷题型三.分式无意义的条件】 7．当时，下列分式无意义的是（） A． B． C． D． 8．要使分式无意义，则的取值应满足________． 9．已知分式满足下列表格中的信息，则分式有可能是（    ） 的值 的值 无意义 A． B． C． D． 【易错必刷题型四.分式值为0的条件】 10．下列分式的值可以为0的是（   ） A． B． C． D． 11．若分式的值为0，则实数x的值为______． 12．若分式的值为，则等于（   ） A．3 B． C． D． 【易错必刷题型五.分式正负性的取值范围.】 13．若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A．x为任意数 B． C． D． 14．若分式的值为正，则的取值范围是_____． 15．若分式的值是负数，则的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．且 【易错必刷题型六.分式值为整数的整数解】 16．请写出一个满足条件的m值，使得分式的值为整数：____． 17．已知：，，设时，若是正整数，求的正整数值为（   ） A．12或14 B．15或13 C．12或15 D．12或13 18．分式的值为正整数，则正整数x的值为______． 【易错必刷题型七.分式变形正误判断】 19．若，下列等式变形错误的是（   ） A． B． C． D． 20．下列等式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 21．若，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【易错必刷题型八.分式变形成立的条件】 22．若等式成立，则x应满足的条件是（   ） A． B． C． D．或 23．已知为大于的实数，要使等式成立，则内应填入(   ) A． B． C． D． 24．无论取何值，分式的值始终保持不变，则的值为（    ） A． B． C． D． 【易错必刷题型九.分式值的变化判断】 25．把分式中的、都扩大到原来的9倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的9倍 B．缩小9倍 C．是原来的 D．不变 26．将分式中的和都扩大10倍，那么分式的值变为原来的___________． 27．如果分式中的的值同时扩大到原来的3倍，那么分式的值（    ） A．保持不变 B．扩大到原来的9倍 C．扩大到原来的3倍 D．缩小到原来的 【易错必刷题型十.约分】 28．将分式约分，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 29．若，则的值为__________． 30．已知等式成立，则括号中可以填写的整式为（   ） A． B． C． D． 【易错必刷题型十一.最简分式】 31．下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 32．在分式、、中，最简分式有______个． 33．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【易错必刷题型十二.最简公分母】 34．分式和的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 35．分式，，的最简公分母是____________． 36．把分式，和通分，下列结论错误的是（   ） A．最简公分母是 B． C． D． 【易错必刷题型十三.通分】 37．分式与通分后的结果是_____． 38．分式的分母经过通分后变为，那么分子应变为（   ） A． B． C． D． 39．若分式的分母经通分后变为，则分子应变为_______． 【易错必刷题型十四.分式系数化为整数】 40．不改变分式的值，把的分子、分母中含x项的系数化为整数为（   ） A． B． C． D． 41．不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1）________； （2）________． 42．下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【易错必刷题型十五.最高次项系数化为正数】 43．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 44．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1）______； （2）______； （3）______． 45．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数为正数． (1)； (2)． 【易错必刷题型十六.同分母分式加减】 46．计算的结果是______． 47．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 48．计算： (1)； (2)． 【易错必刷题型十七.异分母分式加减】 49．计算：__________． 50．化简 的结果是（    ） A．1 B． C． D． 51．已知，求，的值． 【易错必刷题型十八.整式与分式加减】 52．计算的结果是 ____________________． 53．由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 54．【方法策略】对于分式，求它的最大值． 解：原式． ， 的最小值是2． 的最大值是2． 的最大值是4． 即分式的最大值是4． 【问题解决】根据上述方法，求分式的最大值． 【易错必刷题型十九.分式恒等式求参数】 55．若，求的值为________． 56．如果，，那么，的值为（    ） A．36 B．16 C．14 D．3 57．已知，求整数，的值． 【易错必刷题型二十.分式加减混合运算】 58．已知 ，则的值为__________ ． 59．为整数，符合条件的整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 60．求证：． 【易错必刷题型二十一.分式乘除混合运算】 61．计算______． 62．化简后的结果为，则“△”所表示的代数式是（   ） A．1 B． C． D． 63．计算： (1)； (2)． 【易错必刷题型二十二.含乘方的分式混合运算】 64．计算：_________． 65．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 66．化简： (1) (2) 【易错必刷题型二十三.分式加减乘除混合运算】 67．计算：______． 68．计算：（   ） A． B． C． D． 69．计算： (1) (2) 【易错必刷题型二十四.分式化简求值】 70．若，则=__________． 71．已知分式，则的值为（   ） A． B． C． D． 72．先化简，再求值：，其中． 【易错必刷题型二十五.分式方程定义】 73．下列方程中不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 74．关于的方程的解是负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．，且 D．，且 75．对于两个不相等的非零实数m、n，分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)方程有两个解，分别为 ， ； (2)关于x的方程的两个解分别为，，若与互为倒数，则 ， ； (3)关于x的方程的两个解分别为，，求的值． 【易错必刷题型二十六.解分式方程】 76．对于非零实数a、b，规定，若，则x的值为______________． 77．解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 78．解下列分式方程： (1) (2) 【易错必刷题型二十七.分式方程解的情况求值】 79．若关于的分式方程有增根，则________． 80．若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 81．已知关于的方程的解是正数，求的取值范围． 【易错必刷题型二十八.分式方程无解问题】 82．关于x的分式方程有增根，则m的值为___． 83．设，为实数，定义一种新运算：，若关于的方程无解，则的可能值为（    ）． A． B． C． D． 84．已知关于的分式方程 (1)已知，求方程的解； (2)若该分式方程无解，试求的值． 【易错必刷题型二十九.列分式方程】 85．《姑苏繁华图》是清代苏州籍宫廷画家徐扬的作品，反映的是当时苏州“商贾辐辏，百货骈阗”的市井风情．如图，已知局部临摹画面装裱前是一个长为2.6m，宽为0.6m的长方形，装裱后的长与宽的比是11：3，且四周边衬的宽度相等．设边衬的宽度为，根据题意可列方程_____． 86．深圳作为“无人机之都”，率先构建低空经济全产业链生态．某外卖订单按照传统方式配送，其行程为，若采用无人机配送，其行程只需，且配送时间比传统方式快．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的1.5倍，设传统方式配送速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 87．A市与甲、乙两地的距离分别为400千米和350千米，从A市开往甲地列车的速度比从A市开往乙地列车的速度快15千米/时，结果从A市到甲、乙两地所需时间相同．求从A市开往甲、乙两地列车的速度． (1)请找出列方程所需的等量关系； (2)若设A市开往甲地列车的速度为x千米/时，请将等量关系中涉及的量用含的代数式表示，并将它们填写在图形或表格中，以此来表达你对问题的分析过程； (3)根据等量关系列出方程． 【易错必刷题型三十分式方程行程问题.】 88．阅读，正如一束阳光，孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界，某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动，甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，若设乙同学的速度是x米／分，则可列出正确的方程为______． 89．在古代驿站送信问题中，一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．根据题意，小刚和小强分别列出了尚不完整的方程如图所示．下列说法不正确的是（    ） 小刚： 小强： A．x表示规定时间 B．y表示慢马的速度 C．*表示 D．△表示 90．南靖土楼作为世界文化遗产，承载着客家人的智慧和乡愁．福州市某旅行社组织游客从福州市到南靖土楼旅游． 信息一：福州市到南靖土楼的路程约为300千米； 信息二：乘坐A型车比乘坐B型车少用0.75小时； 信息三：A型车的平均速度是B型车平均速度的1.25倍． 问题解决：求B型车的平均速度． 【易错必刷题型三十一.分式方程工程问题】 91．以非遗为钥，启乡村共富之门．某村将非遗“绛州鼓乐”纹样印在纯手工制作的背包上进行网上销售，现有甲、乙两个工作组来制作这样的背包．甲工作组每天比乙工作组多做个、甲工作组做个所用的时间与乙工作组做个所用的时间相等．若设甲工作组每天做个，则根据题意，可列方程为______． 92．某工程队修一条公路，原计划每天修米，实际每天比原计划多修米，原计划修完公路所需时间是实际的倍，所列方程正确的是 （    ） A． B． C． D． 93．列方程或不等式解决实际问题： 2026年农历马年春节期间，西安文旅市场全线升温，热度拉满，共接待游客1380万人次.春节某天，甲、乙分别在钟楼和大唐芙蓉园销售一批小马灯笼．已知乙每小时售出的数量是甲每小时售出数量的倍；若两人都卖出360个灯笼，乙比甲少用4个小时． (1)求甲、乙两人每小时分别售出多少个灯笼？ (2)若甲售出一个灯笼可获得利润10元，乙售出一个灯笼可获得利润8元，甲、乙一共售出450个灯笼，要使甲、乙的总利润不低于4020元，那么甲至少要销售多少个小时？ 【易错必刷题型三十二.分式方程经济问题】 94．“万家乐”超市近日用800元购进了一批新品种苹果，由于销售良好，又用900元二次购进了该品种苹果，但第二次进货价比第一次的进货价低，且进货量比第一次多40千克，求第一次购进苹果的单价．设第一次购进苹果的单价为x元/千克，则可列方程为：________． 95．某学校计划给每个班都安装节能灯，现分三个批次购买同一种节能灯，由于购买地点不同，三次购买的单价也不一样．第一次花费380元，第二次花费元，第三次花费元，第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元．若第二次和第三次购买的数量相同，现列出方程，则下列说法不正确的是（   ） A．方程中的x表示的是第一次购买节能灯的单价 B．第一次购买节能灯的单价是元 C．第二次购买节能灯的数量比第一次多了个 D．如果设第二次购买的数量为y个，可列方程为 96．米脂小米历史悠久，品质优良，有防止消化不良等功效．某粮油超市计划购进A，B两种包装的米脂小米进行销售，已知每袋A种包装的米脂小米进价比每袋B种包装的米脂小米进价多10元，用150元购进A种包装的米脂小米袋数与用100元购进B种包装的米脂小米袋数相同． (1)求A，B两种包装的米脂小米每袋进价分别是多少元？ (2)若该粮油超市计划购进A，B两种包装的米脂小米共20袋，且总花费不超过500元，请你计算该粮油超市最多能购进A种包装的米脂小米多少袋？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05分式易错必刷题型专练 题型01.分式的判断 题型02.分式有意义的条件 题型03.分式无意义的条件 题型04.分式值为0的条件 题型05.分式正负性的取值范围 题型06.分式值为整数的整数解 题型07.分式变形正误判断 题型08.分式变形成立的条件 题型09.分式值的变化判断 题型10.约分 题型11.最简分式 题型12.最简公分母 题型13.通分 题型14.分式系数化为整数 题型15.最高次项系数化为正数 题型16.同分母分式加减 题型17.异分母分式加减 题型18.整式与分式加减 题型19.分式恒等式求参数 题型20.分式加减混合运算 题型21.分式乘除混合运算 题型22.含乘方的分式混合运算 题型23.分式加减乘除混合运算 题型24.分式化简求值 题型25.分式方程定义 题型26.解分式方程 题型27.分式方程解的情况求值 题型28.分式方程无解问题 题型29.列分式方程 题型30.分式方程行程问题 题型31.分式方程工程问题 题型32.分式方程经济问题 【易错必刷题型一.分式的判断】 1．下列各式中，不属于分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若，是整式，且中含有字母，则式子叫做分式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．由分母含有字母，即选项A是分式，不符合题意； B．分母含有字母，即选项B是分式，不符合题意； C．分母是，是常数，不含字母，即选项C不是分式，符合题意； D．分母含有字母，即选项D是分式，不符合题意． 2．下列代数式是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据分式的定义，分子、分母都为整式，且分母中含有字母的式子是分式．逐一检查即可． 【详解】解： A、分母为2，分母中不含字母，故是整式； B、分母为，π为常数，分母中不含字母，故是整式； C、分母为，分母中含字母x和y，故是分式； D、分母为4，分母中不含字母，故是整式． 故选： C． 3．下列各式：，，，，其中是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】A、，分母为，含有字母，符合分式定义，是分式； B、，分母为常数，不含字母，属于整式中的系数形式，不是分式； C、，分母为常数（圆周率），不含字母，不是分式； D、，分母为常数，不含字母，不是分式． 故选：A． 【易错必刷题型二.分式有意义的条件】 4．对函数，其自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分式分母不为0，列出不等式求解即可． 【详解】解：函数中，可得，解得． 5．若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义时分母不为0，列不等式求解即可得到x的取值范围． 【详解】∵分式有意义的条件是分母不等于0，分式有意义， ∴， 解得， 故选：B． 6．使代数式有意义的值是（    ） A．且 B．且 C．且且 D．且且 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键． 直接利用分式有意义的条件得出答案． 【详解】解： ∵ 代数式有意义， ∴ ，， ∴ 且 且， 故选：D． 【易错必刷题型三.分式无意义的条件】 7．当时，下列分式无意义的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式无意义的条件，即分母的值为，将代入各选项的分母计算，找到分母为的选项即可． 【详解】解：∵分式无意义的条件是分母等于， 将代入各选项的分母计算： 对于A：分母，该分式无意义，符合题意； 对于B：分母，该分式有意义，不符合题意； 对于C：分母，该分式有意义，不符合题意； 对于D：分母，该分式有意义，不符合题意， 故选：A． 8．要使分式无意义，则的取值应满足________． 【答案】 【分析】根据分式无意义的条件∶分母等于0，列一元一次方程求解即可． 【详解】解∶∵分式无意义，则分母等于0， ∴移项得 系数化为1得． 9．已知分式满足下列表格中的信息，则分式有可能是（    ） 的值 的值 无意义 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，根据当时分式无意义，可知当时，分母为． 【详解】解：A选项：分式的分母为，当时，分式有意义，故A选项不符合题意； B选项：分式的分母为，当时，分式无意义， 当时，， 当时，， 当时，， 故B选项符合题意； C选项：分式的分母为，当时，分式有意义，故C选项不符合题意； D选项：分式的分母为，当时，分式有意义，故D选项不符合题意． 故选：B． 【易错必刷题型四.分式值为0的条件】 10．下列分式的值可以为0的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式值为0的条件，根据分式值为0需满足分子为0且分母不为0，逐项分析各选项即可． 【详解】解：分式值为0的条件为：分子等于0，且分母不等于0， 选项，，的分子分别为，，，均恒不为， 这三个选项的分式的值不可能为， 对选项：令分子，解得， 当时，分母， 当时，该分式的值为，满足条件， 故选：． 11．若分式的值为0，则实数x的值为______． 【答案】 【分析】根据分式值为的条件，即分子等于，分母不为，计算即可． 【详解】解：由题意得 且 ， 由 解得 ， 由 ，因式分解得， 解得 或 ，不符合分母不为的条件，舍去， 所以实数的值为． 12．若分式的值为，则等于（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的值为零的条件，分子为零，分母不为零，进行求解即可． 【详解】解：， 且， 解得． 【易错必刷题型五.分式正负性的取值范围.】 13．若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A．x为任意数 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的值，熟练掌握分式值的计算方法进行求解是解决本题的关键． 根据题意可得，要使分式的值为负数，即，解不等式即可得出． 【详解】解：的值为负数， ，． 故答案为：B 14．若分式的值为正，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为正数或负数时字母的取值范围，解不等式；由题意得，解不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为正，且， ∴， ∴． 故答案为 ． 15．若分式的值是负数，则的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的值及一元一次不等式组的解法，熟练掌握分式的值及一元一次不等式组的解法是解题的关键；由题意易得或，然后进行求解即可． 【详解】解：由分式的值是负数，可分： 当时，解得：； 当时，解得：； 综上所述，满足条件x的取值范围为：或 故选C． 【易错必刷题型六.分式值为整数的整数解】 16．请写出一个满足条件的m值，使得分式的值为整数：____． 【答案】1（不唯一） 【分析】本题主要考查了求分式的值， 将的值代入分式，求出结果为整数即可． 【详解】解：当时，，其值为整数， 所以． 故答案为：1（答案不唯一）． 17．已知：，，设时，若是正整数，求的正整数值为（   ） A．12或14 B．15或13 C．12或15 D．12或13 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的化简求值， 先将代入y，再整理，然后根据题意讨论得出答案. 【详解】解：∵， ∴. ∵x和y都是正整数， ∴是正整数， 即是4或8. 当时，； 当时，. 所以y的正整数值是12或15. 故选：C. 18．分式的值为正整数，则正整数x的值为______． 【答案】1或2/2或1 【分析】先把分式进行因式分解，然后约分，再根据分式的值为正整数，得出的取值，从而得出x的值． 【详解】解：， 要使的值为正整数，则分母是2的约数，即的值可以为1，，2，， 当时，，此时，不是正整数； 当，，此时，是正整数； 当，，此时，不是正整数； 当，，此时，是正整数， ∵x为正整数， ∴或1． 【易错必刷题型七.分式变形正误判断】 19．若，下列等式变形错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的基本性质．根据等式的基本性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、的两边同时加2，得成立，故本选项正确，不符合题意； B、由变形为，需要在的条件下才能成立，题中未说明m的取值，故该变形错误，符合题意； C、的两边乘m，得，成立，故本选项正确，不符合题意； D、的两边减b，得，成立，故本选项正确，不符合题意； 故选：B． 20．下列等式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的性质和因式分解逐一判断各选项变形是否正确即可． 【详解】解：分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变， 对各选项逐一判断： A选项，变形为不符合分式基本性质，例如时，左边为，右边为，左右不相等，A错误. B选项，原式有意义则，且， ，B错误， C选项，原式有意义则， ，变形正确，C正确， D选项，当时，，此时右侧分母为，无意义，变形未保证所乘整式不为，不符合分式基本性质，D错误． 21．若，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用设比例系数法，结合比例性质逐一验证，即可得出． 【详解】解：设， ∴，， 对选项A： ∵，， ∴，A成立； 对选项B： ∵，， ∴，B成立； 对选项C： ∵，， ∴，， ∴，C成立； 对选项D： 举反例，令，，，，，满足， 此时左边，右边，， ∴D不一定成立． 【易错必刷题型八.分式变形成立的条件】 22．若等式成立，则x应满足的条件是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质， 根据分式的基本性质：分子和分母都乘以一个不等于0的数或整式，分式的性质不变，解答即可. 【详解】解：分式的分子和分母都乘以x（），得， 所以x应满足的条件是. 故选：C. 23．已知为大于的实数，要使等式成立，则内应填入(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，根据题意两边同乘，得，即可求解． 【详解】解：∵，且保证， ∴两边同乘，得， ∴. 故选：C． 24．无论取何值，分式的值始终保持不变，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的值，由于分式值恒不变，可设其值为常数，进而根据多项式恒等条件列出方程求解． 【详解】解：∵分式值恒不变， ∴设（为常数）， 则， 整理得， ∵该等式对任意恒成立， ∴系数对应相等：，， 由得， 代入得， ∴ 故选：C． 【易错必刷题型九.分式值的变化判断】 25．把分式中的、都扩大到原来的9倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的9倍 B．缩小9倍 C．是原来的 D．不变 【答案】A 【详解】解：把原分式中的、都扩大到原来的9倍后的分式为， ∴现在的分式与原分式相比扩大到原来分式的9倍． 26．将分式中的和都扩大10倍，那么分式的值变为原来的___________． 【答案】10倍 【分析】本题考查判断分式的值的变化情况，根据分式的基本性质，求出变化后的分式的值，进行判断即可． 【详解】解：将x和y都扩大10倍后，新分式为， 故新分式的值是原分式的10倍． 故答案为：10倍． 27．如果分式中的的值同时扩大到原来的3倍，那么分式的值（    ） A．保持不变 B．扩大到原来的9倍 C．扩大到原来的3倍 D．缩小到原来的 【答案】C 【分析】将x，y同时扩大3倍后代入原分式化简，再和原分式比较即可得到结果． 【详解】解：将和分别替换原分式中的和， ∵ ∴新分式的值是原分式的倍，即分式的值扩大到原来的倍． 【易错必刷题型十.约分】 28．将分式约分，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分式的基本性质，找出分子分母的公因式，约去公因式即可得到结果． 【详解】解：． 29．若，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据已知比例关系得到与的关系式，代入所求分式化简求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 30．已知等式成立，则括号中可以填写的整式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用平方差公式和完全平方公式对分子分母因式分解，再通过约分得到结果． 【详解】解：∵， ∴括号中应填． 【易错必刷题型十一.最简分式】 31．下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简分式，掌握最简分式是指分子和分母没有公因式的分式是解题关键．逐项检查每个选项是否可约分，即可得到答案． 【详解】解：A、，不是最简分式，选项错误； B、，不是最简分式，选项错误； C、，不是最简分式，选项错误； D、，是最简分式，选项正确； 故选：D． 32．在分式、、中，最简分式有______个． 【答案】1 【分析】本题考查了最简分式的定义．根据最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式为最简分式，逐一判断各分式即可． 【详解】解：对于分式，分子和分母有公因式2，可约分为，故不是最简分式； 对于分式，分子和分母无公因式，故是最简分式； 对于分式，分子可因式分解为，分母可因式分解为， 故，故不是最简分式． 因此最简分式有1个． 故答案为1． 33．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简分式的定义，即分子与分母没有公因式的分式，对每个选项进行分析，判断是否存在公因式即可得到答案． 【详解】解：A、对于，∵分子分母有公因式，约分后得，∴不是最简分式； B、对于，∵分子分母有公因式，约分后得，∴不是最简分式； C、对于，∵分母不能分解因式，分子与分母没有公因式，∴是最简分式； D、对于，∵，分子分母有公因式，约分后得，∴不是最简分式． 综上，答案选C． 【易错必刷题型十二.最简公分母】 34．分式和的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出系数的最小公倍数与各字母的最高次幂，再将二者相乘得到最简公分母． 【详解】解：两个分式分母的系数分别为和，和的最小公倍数是， 最简公分母的系数取； 对于字母部分，的最高次幂是，的最高次幂是，第二个分式含有单独字母，需要将纳入公分母， 将系数与各字母最高次幂相乘，可得最简公分母为． 35．分式，，的最简公分母是____________． 【答案】 【分析】 取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此求解即可． 【详解】解：各分式的分母分别为，，，则最简公分母为． 36．把分式，和通分，下列结论错误的是（   ） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的通分，掌握确定最简公分母的方法，通分时分子分母需同乘相应因式，确保变形恒等是解题的关键． 先确定三个分式的最简公分母，再逐一验证每个选项的通分是否正确． 【详解】解：A、最简公分母为， 正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，正确，不符合题意； D、正确通分应为，但选项D中分子为，错误，符合题意； 故选：D． 【易错必刷题型十三.通分】 37．分式与通分后的结果是_____． 【答案】， 【分析】根据分式通分的方法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴分式， 分式． 故答案为，． 【点睛】此题考查了分式的通分，解题的关键是熟练掌握分式通分的方法． 38．分式的分母经过通分后变为，那么分子应变为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，分式的通分，掌握以上知识点是解题的关键． 根据分式的基本性质，分母通分后乘以了，因此分子也需乘以相同的量以保持分式值不变. 【详解】∵ 原分式为 ，通分后分母变为 ， ∵， ∴分母乘以了， 根据分式的基本性质，分子也需乘以， ∴新分子为， 故选： C． 39．若分式的分母经通分后变为，则分子应变为_______． 【答案】 【分析】本题考查分式的通分，分母变为，乘了，根据分式的基本性质，分子也应乘以． 【详解】解：， 因此分子应变为：， 故答案为：． 【易错必刷题型十四.分式系数化为整数】 40．不改变分式的值，把的分子、分母中含x项的系数化为整数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式的基本性质的应用，把分子分母扩大100倍即可. 【详解】解：． 故选：C 41．不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1）________； （2）________． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质的应用．根据分式的基本性质，给分子与分母同乘一个合适的非零整数，将分子、分母中各项系数化为整数，第一问选择乘10，第二问选择乘100后再约分即可． 【详解】解：（1）； （2）． 42．下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐一排除即可，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、，原选项正确，不符合题意； 、，原选项错误，符合题意； 、，原选项正确，不符合题意； 、，原选项正确，不符合题意． 故选：． 【易错必刷题型十五.最高次项系数化为正数】 43．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号． 44．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1）______； （2）______； （3）______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）将分母中的负号提到分式前面即可； （2）分子和分母都乘以即可； （3）分子和分母都乘以即可． 【详解】（1） 故答案为： （2） 故答案为： （3） 故答案为： 45．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数为正数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的性质，是解题的关键： （1）分子，分母同时乘以，即可； （2）分子，分母同时乘以，即可； 【详解】（1）解：； （2）． 【易错必刷题型十六.同分母分式加减】 46．计算的结果是______． 【答案】 【分析】先将原式化为同分母分式，再根据分式加减法法则计算，约分得到结果． 【详解】解： ． 47．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同分母分式的减法计算即可． 本题考查了同分母分式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 48．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【易错必刷题型十七.异分母分式加减】 49．计算：__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算．先把加号后面的代数式看成整体，再通分，然后按照同分母分式加减法的法则进行计算即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 50．化简 的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】先统一分母，再合并分子后约分得到结果． 【详解】解：原式 ． 51．已知，求，的值． 【答案】． 【分析】先计算，然后由，从而可得，再解方程组即可． 【详解】解：， ， ∵，即， ∴， 解得． 【易错必刷题型十八.整式与分式加减】 52．计算的结果是 ____________________． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的运算，通分是解答的关键．首先通分，然后进行分式的减法运算即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 53．由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】先计算的值，再根c的正负判断的正负，再判断与的大小即可． 【详解】解：， 当时，，无意义，故A选项错误，不符合题意； 当时，，，故B选项错误，不符合题意； 当时，，，故C选项正确，符合题意； 当时，，；当时，，，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的运算和比较大小，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，根据结果进行准确判断． 54．【方法策略】对于分式，求它的最大值． 解：原式． ， 的最小值是2． 的最大值是2． 的最大值是4． 即分式的最大值是4． 【问题解决】根据上述方法，求分式的最大值． 【答案】5 【分析】本题考查了分式的加减法，理解【方法策略】的解题思路是解题的关键． 按照【方法策略】的解题思路，进行计算即可解答． 【详解】解：． ， 的最小值是1． 的最大值是3． 的最大值是5． 分式的最大值是5． 【易错必刷题型十九.分式恒等式求参数】 55．若，求的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的减法、二元一次方程组，熟练掌握分式的减法法则是解题关键．先计算等式右边的减法，再与等式的左边进行比较可得一个关于的二元一次方程组，解方程组即可得． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 由得：， 解得：， 将代入①得：， ∴， 所以． 故答案为：． 56．如果，，那么，的值为（    ） A．36 B．16 C．14 D．3 【答案】A 【分析】利用完全平方公式，得，利用这个公式变形即可得出答案． 【详解】解：由，去分母，得 ， 则 ∵， ∴原式． 故选：A． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式是解题的关键． 57．已知，求整数，的值． 【答案】 【分析】先对等式左边进行通分，与等式右边的分子比较系数，得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解： ． ， ， ，解得． 【易错必刷题型二十.分式加减混合运算】 58．已知 ，则的值为__________ ． 【答案】8 【分析】等式两边同时乘以(a-4)(b-4)，去分母整理即可求解． 【详解】解：等式两边同时乘以(a-4)(b-4)，得 ， 即， 即， 即， 即， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 59．为整数，符合条件的整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】当时，去掉绝对值后利用分离常数法得到，再根据题意可得为整数，由此可得或；同理当时，可得为整数，求出（舍去）；由此即可得到答案． 【详解】解：当时， ， ∵为整数， ∴为整数， ∴或， ∴或； 当时， ， ∵为整数， ∴为整数， ∴， ∴（舍去）； 综上所述，或； 故选B． 【点睛】本题主要考查了根据分式值的情况求未知数，熟知分离常数法和分式的运算法则是解题的关键． 60．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握运算法则和将等式左边每个分式拆项是解题关键； 首先将左式向右式变形，根据等式右边的特点，将等式左边每个分式拆成两个分式的和或差形式，可得可得可得；然后将拆项后的左边各式相加，证得结论即可． 【详解】证明：∵， 同理， ， 原式左边 右边． 故原等式成立． 【易错必刷题型二十一.分式乘除混合运算】 61．计算______． 【答案】− 【分析】先根据分式除法法则将除法运算转化为乘法运算，再通过约分得到计算结果． 【详解】解： ． 62．化简后的结果为，则“△”所表示的代数式是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】先对原式括号内的部分通分合并，再将除法转化为乘法，然后把每个选项代入“”的位置，化简后检验结果是否为． 【详解】解：∵ 原式 = = 又 ∵ ∴ 原式 = = = ． 又 ∵ 化简结果为 ． ∴ ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式的通分、约分及乘除运算法则，通过化简原式建立关于“”的等式来求解． 63．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除运算，解题思路为将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约去公因式，即可计算得到结果，用到分式乘除运算法则和因式分解的知识． 【详解】（1） 解： ． （2）解： ． 【易错必刷题型二十二.含乘方的分式混合运算】 64．计算：_________． 【答案】 【分析】在计算过程中需要注意的是运算顺序．分式的乘除运算实际就是分式的约分． 分式的运算首先要分清运算顺序，在这个题目中，首先进行乘方运算，然后统一成乘法运算，最后进行约分运算． 【详解】解：， 故答案为：． 65．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的混合运算．先运算乘方，然后把除法转化为乘法，再约分即可解题． 【详解】解：， 故选：C． 66．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘方，再计算乘除法即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【易错必刷题型二十三.分式加减乘除混合运算】 67．计算：______． 【答案】 1 【分析】此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 先对括号内的分式通分相加，化简后再与后面的分式相乘，通过约分得到结果． 【详解】解：原式． 故答案为：1． 68．计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的混合运算，正确计算是解题的关键． 先化简括号内的表达式，将其通分为一个分式，然后利用除以分数等于乘以倒数的性质，最后约分得到结果． 【详解】解：∵ 原式 = 故选： A． 69．计算： (1) (2) 【答案】(1)5 (2) 【详解】（1）解： （2）解： 【易错必刷题型二十四.分式化简求值】 70．若，则=__________． 【答案】7 【分析】利用完全平方公式将已知条件平方，通过展开并化简求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴． 71．已知分式，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的化简是解题的关键． 将转化为，通过提取公因式法化简所求分式即可． 【详解】解： ． 72．先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】先算括号内的分式减法，再算分式除法，然后约分化成最简，最后把代入即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 【易错必刷题型二十五.分式方程定义】 73．下列方程中不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据“分母中含有未知数的方程叫做分式方程”逐一判断选项． 【详解】解：A选项：分母含未知数t，是分式方程； B选项：分母含未知数x，是分式方程； C选项：分母含未知数x，是分式方程； D选项：所有分母中均不含未知数，不是分式方程； 74．关于的方程的解是负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是负数”建立不等式求a的取值范围即可． 【详解】解：去分母，得， 解得， ∵方程的解是负数， ∴，且， ∴，且． 故选：D． 【点睛】本题考查分式方程的解，解题关键是要掌握分式方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解． 75．对于两个不相等的非零实数m、n，分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)方程有两个解，分别为 ， ； (2)关于x的方程的两个解分别为，，若与互为倒数，则 ， ； (3)关于x的方程的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】此题考查了分式方程的解，掌握分式的性质，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）方程变形后，利用题中的结论确定出方程的解即可； （2）方程变形后，根据利用题中的结论，以及与互为倒数，确定出与的值即可； （3）方程变形后，根据利用题中的结论表示出为、，代入原式计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴方程有两个解，分别为， 故答案为：1，6； （2）解：， 方程变形得：， 由题中的结论得：有两个解，分别为，2， ∵与互为倒数， ∴， 故答案为：，2； （3）解：， 方程整理得， 得或，且， 可得，． ∴． 【易错必刷题型二十六.解分式方程】 76．对于非零实数a、b，规定，若，则x的值为______________． 【答案】 【分析】根据新定义列出分式方程，按照分式方程的解法求解并检验即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， 去分母，得 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是原分式方程的解， ∴． 77．解分式方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方程左右两边乘以去分母得到结果，即可作出判断． 【详解】解：， 方程两边乘以去分母得：． 78．解下列分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ∴x ∴ 解得： 经检验，是原方程的解； （2）解： ∴ ∴ ∴ 解得： 经检验，是原方程的解． 【易错必刷题型二十七.分式方程解的情况求值】 79．若关于的分式方程有增根，则________． 【答案】 【分析】先根据增根的定义确定增根的可能取值，再将分式方程化为整式方程，将增根代入整式方程求解，排除不成立的结果即可得到的值． 【详解】解：分式方程的最简公分母为， 分式方程有增根， ， 解得或， ， 方程两边同乘最简公分母，得， 将代入上式，得， 整理得，解得； 将代入上式，得， 整理得，等式不成立，故无解； 综上所述，． 80．若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】先将分式方程化为整式方程，用含的式子表示方程的解，再根据方程的解为正数且分式方程分母不为0，求出的取值范围． 【详解】方程两边同时乘以，得， 整理得，解得， ∵方程的解为正数， ∴，解得， 又∵分式方程分母不为0，即， ∴，解得， ∴的取值范围是且． 81．已知关于的方程的解是正数，求的取值范围． 【答案】且 【分析】根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解，根据解为正数，可得不等式，根据解不等式，可得答案． 【详解】解： 方程两边乘，得：， 解得． ∵原分式方程的解是正数， ∴， ∴， 又， ∴， 解得． ∴且． 【易错必刷题型二十八.分式方程无解问题】 82．关于x的分式方程有增根，则m的值为___． 【答案】 【分析】先将给定分式方程化为整式方程，再根据分式方程有增根得到使最简公分母为的的值，代入整式方程即可求出的值． 【详解】解： ， ∵分式方程有增根， ∴ 解得， 把代入得， 解得． 83．设，为实数，定义一种新运算：，若关于的方程无解，则的可能值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据新运算的规定，转化为方程，再根据分式方程、一次方程无解的情况得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ∵无解， ∴或， 当，， 当，即，将代入，解得：， ∴当无解，则的值为或． ∴根据选项，故选：A． 84．已知关于的分式方程 (1)已知，求方程的解； (2)若该分式方程无解，试求的值． 【答案】(1) (2)或6或1 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． （1）先把代入分式方程，再方程两边都乘，得出，求出方程的解，再进行检验即可； （2）方程两边都乘，得出①，整理后得出②，再分别把，，代入①求出m，由②得出当时，方程无解，最后代入答案即可． 【详解】（1）解：把代入方程得， 方程两边都乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以是分式方程的解， 即当时，方程的解是； （2）解：， 方程两边都乘，得①， 整理得②， 有三种情况： 第一种情况：当，即时，分式方程无解， 把代入①，得， 解得； 第二种情况：当，即时，分式方程无解， 把代入①，得， 解得； 第三种情况：②， 当，即时，方程无解； 所以该分式方程无解时，m的值是或6或1． 【易错必刷题型二十九.列分式方程】 85．《姑苏繁华图》是清代苏州籍宫廷画家徐扬的作品，反映的是当时苏州“商贾辐辏，百货骈阗”的市井风情．如图，已知局部临摹画面装裱前是一个长为2.6m，宽为0.6m的长方形，装裱后的长与宽的比是11：3，且四周边衬的宽度相等．设边衬的宽度为，根据题意可列方程_____． 【答案】 【分析】本题主要考查分式方程的应用，题目中存在的等量关系为：，据此列分式方程即可． 【详解】根据题意，可得 故答案为： 86．深圳作为“无人机之都”，率先构建低空经济全产业链生态．某外卖订单按照传统方式配送，其行程为，若采用无人机配送，其行程只需，且配送时间比传统方式快．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的1.5倍，设传统方式配送速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据传统配送时间比无人机配送时间多，列方程即可． 【详解】解：∵设传统方式配送速度为，无人机配送速度是传统方式配送速度的倍 ∴无人机配送速度为， ∴传统配送时间为，无人机配送时间为， ∵无人机配送时间比传统方式快，即传统配送时间比无人机配送时间多， ∴列方程得 ． 87．A市与甲、乙两地的距离分别为400千米和350千米，从A市开往甲地列车的速度比从A市开往乙地列车的速度快15千米/时，结果从A市到甲、乙两地所需时间相同．求从A市开往甲、乙两地列车的速度． (1)请找出列方程所需的等量关系； (2)若设A市开往甲地列车的速度为x千米/时，请将等量关系中涉及的量用含的代数式表示，并将它们填写在图形或表格中，以此来表达你对问题的分析过程； (3)根据等量关系列出方程． 【答案】(1)从A市到甲地的时间等于从A市到乙地的时间 (2)开往乙地列车的速度为千米/时，从A市到甲地的时间为小时，到乙地的时间为小时；表格见解析 (3) 【分析】本题考查了分式方程的应用，能够读懂题意找到等量关系是解题关键； （1）根据题意“从A市到甲、乙两地所需时间相同”，可得到等量关系； （2）列出代数式填表即可； （3）根据等量关系列出方程即可． 【详解】（1）解：∵从A市到甲、乙两地所需时间相同． ∴等量关系为：从A市到甲地的时间等于从A市到乙地的时间； （2）解：设A市开往甲地列车的速度为x千米/时，则开往乙地列车的速度为千米/时； 则从A市到甲地的时间为小时，到乙地的时间为小时； 列表格如下： 目的地 距离（千米） 速度（千米/时） 时间（小时） 甲地 400 x 乙地 350 （3）解：根据等量关系可列方程：． 【易错必刷题型三十分式方程行程问题.】 88．阅读，正如一束阳光，孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界，某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动，甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，若设乙同学的速度是x米／分，则可列出正确的方程为______． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，列出方程即可． 【详解】解：设乙同学的速度是米/分，则：甲同学的速度为米/分，由题意，得： 故答案为：． 89．在古代驿站送信问题中，一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．根据题意，小刚和小强分别列出了尚不完整的方程如图所示．下列说法不正确的是（    ） 小刚： 小强： A．x表示规定时间 B．y表示慢马的速度 C．*表示 D．△表示 【答案】D 【分析】根据路程、速度、时间的关系，结合题意判断各选项中未知数和空缺部分的正误即可． 【详解】解：设规定时间为，则快马时间为，快马速度为， 慢马时间为，慢马速度为， 又∵快马速度是慢马的2倍，可得，因此表示规定时间，A正确； △应为，故D错误； 设慢马速度为，则快马速度为，慢马时间为，规定时间， 快马时间为，规定时间，因此方程为，可得表示慢马速度，B正确； *表示，C正确． 综上，不正确的是D． 90．南靖土楼作为世界文化遗产，承载着客家人的智慧和乡愁．福州市某旅行社组织游客从福州市到南靖土楼旅游． 信息一：福州市到南靖土楼的路程约为300千米； 信息二：乘坐A型车比乘坐B型车少用0.75小时； 信息三：A型车的平均速度是B型车平均速度的1.25倍． 问题解决：求B型车的平均速度． 【答案】80千米/时 【分析】根据路程=速度×时间的关系，结合A型车比B型车少用0.75小时的等量关系，设未知数列分式方程求解即可． 【详解】解：设B型车的平均速度为千米/时，则A型车的平均速度为千米/时． 根据题意列方程得 解得 检验：当时，， 因此是原方程的解，且符合题意． 答：B型车的平均速度为千米/时． 【易错必刷题型三十一.分式方程工程问题】 91．以非遗为钥，启乡村共富之门．某村将非遗“绛州鼓乐”纹样印在纯手工制作的背包上进行网上销售，现有甲、乙两个工作组来制作这样的背包．甲工作组每天比乙工作组多做个、甲工作组做个所用的时间与乙工作组做个所用的时间相等．若设甲工作组每天做个，则根据题意，可列方程为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，设甲工作组每天做个，则乙工作组每天做个，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设甲工作组每天做个，则乙工作组每天做个， 根据题意得，， 故答案为：． 92．某工程队修一条公路，原计划每天修米，实际每天比原计划多修米，原计划修完公路所需时间是实际的倍，所列方程正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，假设总工程量为单位“1”，根据题意列出方程即可得出结果． 【详解】解：假设总工程量为单位“1”， 原计划需要时间为， 实际需要时间为， 故可得方程． 93．列方程或不等式解决实际问题： 2026年农历马年春节期间，西安文旅市场全线升温，热度拉满，共接待游客1380万人次.春节某天，甲、乙分别在钟楼和大唐芙蓉园销售一批小马灯笼．已知乙每小时售出的数量是甲每小时售出数量的倍；若两人都卖出360个灯笼，乙比甲少用4个小时． (1)求甲、乙两人每小时分别售出多少个灯笼？ (2)若甲售出一个灯笼可获得利润10元，乙售出一个灯笼可获得利润8元，甲、乙一共售出450个灯笼，要使甲、乙的总利润不低于4020元，那么甲至少要销售多少个小时？ 【答案】(1)甲每小时售出30个灯笼，乙每小时售出45个灯笼 (2)甲至少要销售7小时 【分析】（1）设甲每小时售出灯笼的数量，根据倍数关系表示出乙的销售速度，再利用时间差的等量关系列分式方程，求解检验后得到结果． （2）设甲的销售时间，根据第一问的结果表示出甲乙的销售数量和总利润，再根据总利润的要求列一元一次不等式，求解得到最小值． 【详解】（1）解：设甲每小时售出个灯笼，则乙每小时售出个灯笼． 根据题意，得． 方程两边同乘，得． 解得． 检验：当时，， ∴是原方程的解． 则． 答：甲每小时售出30个灯笼，乙每小时售出45个灯笼． （2）解：设甲销售小时，则甲售出个灯笼，乙售出个灯笼． 根据题意，得． 化简得． 解得． 答：甲至少要销售7小时． 【易错必刷题型三十二.分式方程经济问题】 94．“万家乐”超市近日用800元购进了一批新品种苹果，由于销售良好，又用900元二次购进了该品种苹果，但第二次进货价比第一次的进货价低，且进货量比第一次多40千克，求第一次购进苹果的单价．设第一次购进苹果的单价为x元/千克，则可列方程为：________． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设第一次购进苹果的单价为元/千克，则第二次进货价为元/千克，根据第二次进货量比第一次多40千克，列出方程即可． 【详解】解：设第一次购进苹果的单价为元/千克，则第二次进货价为元/千克， 由题意，得． 故答案为：． 95．某学校计划给每个班都安装节能灯，现分三个批次购买同一种节能灯，由于购买地点不同，三次购买的单价也不一样．第一次花费380元，第二次花费元，第三次花费元，第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元．若第二次和第三次购买的数量相同，现列出方程，则下列说法不正确的是（   ） A．方程中的x表示的是第一次购买节能灯的单价 B．第一次购买节能灯的单价是元 C．第二次购买节能灯的数量比第一次多了个 D．如果设第二次购买的数量为y个，可列方程为 【答案】D 【分析】根据总价，单价，数量的关系，逐一验证各选项即可得出结果． 【详解】解：∵方程中，是第二次购买的总价，是第三次购买的总价，且第二次和第三次购买的数量相同， 故第二次购买的单价为，第三次购买的单价为， ∵第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元， ∴表示第一次购买节能灯单价，故A选项说法正确，不符合题意； ， ， ， ， 解得， ∴ 第一次购买节能灯的单价是元，故B选项说法正确，不符合题意； 故第二次购买单价为元， ∴第一次购买数量为个，第二次购买数量为个，个， ∴ 第二次购买数量比第一次多个，故C选项说法正确，不符合题意； 若设第二次购买数量为个， ∵ 第二次和第三次购买数量相同， ∴ 第三次购买数量也为个， 故第二次单价为，第一次单价为，第三次单价为， ∵第三次单价比第一次单价多元， 故， 整理得，与选项D给出的方程不符，故D选项说法错误，符合题意． 96．米脂小米历史悠久，品质优良，有防止消化不良等功效．某粮油超市计划购进A，B两种包装的米脂小米进行销售，已知每袋A种包装的米脂小米进价比每袋B种包装的米脂小米进价多10元，用150元购进A种包装的米脂小米袋数与用100元购进B种包装的米脂小米袋数相同． (1)求A，B两种包装的米脂小米每袋进价分别是多少元？ (2)若该粮油超市计划购进A，B两种包装的米脂小米共20袋，且总花费不超过500元，请你计算该粮油超市最多能购进A种包装的米脂小米多少袋？ 【答案】(1)A种包装的米脂小米进价是30元/袋，B种包装的米脂小米进价是20元/袋 (2)10袋 【分析】（1）设A种包装的米脂小米进价是x元/袋，根据“用150元购进A种包装的米脂小米袋数与用100元购进B种包装的米脂小米袋数相同”列分式方程求解即可； （2）设该粮油超市购进A种包装的米脂小米m袋，根据“购进A，B两种包装的米脂小米共20袋，且总花费不超过500元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设A种包装的米脂小米进价是x元/袋， 根据题意可得， 解得， 经检验：时，，故是原方程的解． ∴， 答：A种包装的米脂小米进价是30元/袋，B种包装的米脂小米进价是20元/袋； （2）解：设该粮油超市购进A种包装的米脂小米m袋， 根据题意可得， 解得， 答：该粮油超市最多能购进A种包装的米脂小米10袋． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $