期末复习讲义02 三角函数4大考点【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学（沪教版必修第二册）重难点讲义与测试

期末复习讲义02 三角函数 【考点一】正弦函数的图像与性质 【考点三】函数y= Asin(ωx＋φ)的图象 【考点二】余弦函数的图像与性质 【考点四】正切函数的图像与性质 一、正弦、余弦函数的图像与性质 1. 基本图像（五点法作图，高频） ， 五点：、、、、 ， 五点：、、、、 五点法步骤：列表→描点→光滑连线；关键点为零点、最值点。 2. 核心性质（对比表，必背） 性质 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数， 偶函数， 单调递增区间 单调递减区间 对称轴 对称中心 最值 （） （） （） （） 3. 常用结论与易错点 周期性判断：若，则为周期；最小正周期（、）。 奇偶性判断：先看定义域是否关于原点对称，再验证与关系。 易错：单调区间不能并集写；对称轴/对称中心易漏；最值条件易写错。 二、函数的图像与性质 1. 参数意义（必考） ：振幅，伸长，缩短；值域。 ：角频率，决定周期（常考）；越大周期越短。 ：初相，时相位；为相位。 2. 图像变换（两大路径，高频易错） 由变换到（）： 路径一（先平移后伸缩，易错）：（左右）（横缩）（纵伸）。 路径二（先伸缩后平移，推荐）：（横缩）（左右）。 易错：平移单位是（非）；变换只对本身操作，不扩括号。 3. 性质（） 定义域：；值域：；周期：。 单调区间：令，解（增）；（减），再回代。 对称轴：。 对称中心：，点。 4. 解析式求法（高频解答） 定：由最值，。 定：由周期，。 定：代入五点法关键点（优先零点/最值点），结合范围求解。 三、正切函数的图像与性质 1. 基本性质 定义域：（渐近线）。 值域：；周期：（最小正周期）。 奇偶性：奇函数，；对称中心。 单调区间： 上单调递增（无递减区间）。 2. （）性质 周期：；定义域：。 单调区间：令，解，回代得增区间。 四、三角恒等变换在图像性质中的应用（综合高频） 1. 辅助角公式（必考化简） ，其中；象限与一致。 常用：；。 用途：化为，求值域、单调、周期、最值。 2. 二倍角+降幂（化简核心） ；；。 用途：二次→一次，便于求周期、单调、最值；期末解答题第一问高频。 【考点一】正弦函数的图像与性质 1.函数与交点的个数是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．（24-25高一下·上海静安·期末）已知函数，且，则（    ） A．11 B．14 C．17 D．20 3．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知函数，的最小正周期为，函数，的最小正周期为．考虑如下两个命题： 命题甲：若且函数，的最小正周期为，则； 命题乙：若且函数，的最小正周期为，则． 下列说法中正确的是（   ） A．甲和乙均为真命题 B．甲和乙均为假命题 C．甲为真命题，乙为假命题 D．甲为假命题，乙为真命题 4．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知函数是定义域为的奇函数，3是它的一个周期．若，则函数在区间上零点个数的最小值为（   ）． A．5 B．6 C．7 D．9 5.方程的解集为________. 6.已知函数在有且仅有5个零点，则实数的取值范围是___________． 7．函数在区间内不存在零点，则正实数的取值范围是________． 8.已知函数的定义域为，且当时，，其中取一切正整数.函数的图像与直线恰有24个交点，则实数的取值范围是____________. 9．（24-25高一下·上海浦东新·期末）设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，求实数m的取值范围为__________． 10．（24-25高一下·上海静安·期末）已知函数，则下列四个结论正确的是___________（填写所有正确结论的序号） ① 是的一个周期； ② 的图像关于对称； ③ 在闭区间上恰有3个零点； ④ 若（其中常数）在上是严格增函数，则的最大值为. 11．（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知，，且函数在区间上是单调函数，则的值为________. 12．（24-25高一上·上海·期末）若关于的方程在上有解，则实数的取值范围为__________． 13．当今各网络销售平台通常会提供上门回收旧家具服务.平台工作人员小牛正在回收某客户淘汰的旧家具，为了省力，小牛选择将旧家具水平推运（旧家具背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于旧家具背面）.已知旧家具的形状为长方体.小牛在推运过程中遇到一处直角过道，如图所示，过道宽为1.8米.记旧家具在地面的投影为矩形，其中宽度米.请帮助小牛得出结论：按此种方式推运的旧家具，可以通过该直角过道的最大高度为_________米（结果精确到0.1米）. 14.已知方程. (1)为何值时,方程在区间内有两个相异的解,; (2)当方程在区间内有两个相异的解,时,求的值. 15．研究正弦函数的性质 （1）写出其单调增区间的表达式 （2）利用五点法，画出的大致图像 （3）用反证法证明的最小正周期是 16．（24-25高一下·上海宝山·期末）已知向量，，且函数. (1)若，，求的值； (2)求函数在上的严格增区间. 17．（24-25高一上·上海·期末）在中，已知， (1)若，求该三角形的外接圆半径； (2)当时，求该三角形面积的最大值. 【考点二】余弦函数的图像与性质 18.（24-25高一上·上海奉贤·期末）如果，那么下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 19．下列四个函数中，以为最小正周期的奇函数是（    ） A． B． C． D． 20．已知常数，如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 21．设函数，若，，在上为严格减函数，那么的不同取值的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 22.（25-26高一上·上海·期末）“”是“”的______条件． 23．（24-25高一下·上海普陀·期末）函数，的值域为______． 24．函数的最小正周期为_________． 25．（25-26高一上·上海·期末）已知，且满足等式，则的最小值为______． 26．（24-25高一下·上海·期末）已知常数，函数为偶函数，则______. 27．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是______． 28．（24-25高一下·上海嘉定·期末）函数在内恰有两个对称中心，，则_____. 29．（24-25高一下·上海·期末）对任意闭区间，用表示函数在上的最小值．若正数满足，则正数的取值集合为________． 30.已知函数． (1)求的最小正周期，对称中心； (2)求的单调区间，最值以及取得最值时的值． 【考点三】函数y= Asin(ωx＋φ)的图象 31.（24-25高一下·上海·期末）把函数的图象向右平移个单位得到曲线，再把曲线上的所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到曲线，则曲线相应的函数解析式可以是（   ）. A． B． C． D． 32．下列函数中，与函数的图象形状相同的是（    ） A．； B．； C．； D．. 33．（24-25高一下·上海嘉定·期末）在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的解析式可以为 C．函数在上的值域为 D．若把图象上所有的点向右平移个单位，则所得函数是 34．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知函数（），有下列结论：①若，则在上单调递增；②若，则正整数ω的最小值为2；③若，函数的图像向右平移个单位长度得到的图像.则为奇函数；④若在上有且仅有个零点，则.其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 35.函数的初始相位是______． 36．将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，所得图像的解析式为______． 37.将的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位之后，可得的图像，则_________． 38．（24-25高一下·上海青浦·期中）将函数的图象向左平移个单位.得到偶函数的图象.则的最小值是__________. 39.已知函数，的部分图象如图所示，则________． 40.设，，将函数的图象左移个单位得到的图像，若对任意，都有，则___________. 41．（24-25高一下·上海·期末）设函数在上恰有两个零点，则__________. 42．（24-25高一下·上海·期末）著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如. 的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基音，其余的为泛音.研究表明，所有泛音的频率都是基音频率的整数倍，称为基音的谐波.若对应于的泛音是对应于的基音的一个谐波，则正整数n的所有可能取值之和为_________ 43.（24-25高一下·上海浦东新·期末）函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式，并求出的单调减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围． 44．（24-25高一下·上海·期中）坐落于奉贤渔人码头的摩天轮，堪称上海独一无二的海滨摩天轮.在晴朗的傍晚时分，踏上这场别具一格的海边摩天轮之旅，你将有机会与落日余晖、轻柔晚风、辽阔大海以及璀璨星空进行一场浪漫的邂逅.若已知摩天轮最高点距离地面高度为50米，转盘直径为40米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动（单位：分钟）后距离地面的高度为（单位：米），转一周大约需要15分钟. (1)已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客在距离地面至少40米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 【考点四】正切函数的图像与性质 45.（25-26高一上·上海·期末）设函数，若是同一象限的角，且不存在，使得，则所在的象限为第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 46．（25-26高一上·上海·期末）“”是“（）”成立的（  ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 47．下列函数中，以为最小正周期且在上是严格减函数的是（    ） A． B． C． D． 48.（25-26高一上·上海·期末）若，，则______． 49．（25-26高一上·上海·期末）满足的锐角组成的集合是______. 50．（25-26高一上·上海·期末）若，，则角的取值集合为______． 51．（24-25高一下·上海浦东新·期末）函数的单调区间为_________． 52．（24-25高一下·上海·期末）已知函数，若，则________． 53．（24-25高一下·上海宝山·期末）在区间上，函数与图象的公共点个数为_______． 54．已知函数的最小正周期为，则方程在上的解集为____________. 55．数，的部分图像如下图，则__________.    56.如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O按逆时针方向旋转至在旋转的过程中，记为x，OP所经过的正方形ABCD内部的区域（阴影部分）的面积为对于函数给出以下4个结论： ；函数在为减函数； ；的图象关于直线对称． 其中正确结论的序号为____________. 57.已知函数的图像的一部分如图所示.求函数的解析式.      58．已知函数． (1)求f（x）的定义域； (2)化简并求f（x）最小正周期； (3)讨论f（x）在区间上的单调性． 59．已知. （1）求的最小正周期； （2）若是奇函数，则应满足什么条件？并求出满足的值. 60．已知函数，其中. (1)若，求函数的最小正周期以及函数图象的对称中心； (2)若在闭区间上是严格增函数，求正实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习讲义02 三角函数 【考点一】正弦函数的图像与性质 【考点三】函数y= Asin(ωx＋φ)的图象 【考点二】余弦函数的图像与性质 【考点四】正切函数的图像与性质 一、正弦、余弦函数的图像与性质 1. 基本图像（五点法作图，高频） ， 五点：、、、、 ， 五点：、、、、 五点法步骤：列表→描点→光滑连线；关键点为零点、最值点。 2. 核心性质（对比表，必背） 性质 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数， 偶函数， 单调递增区间 单调递减区间 对称轴 对称中心 最值 （） （） （） （） 3. 常用结论与易错点 周期性判断：若，则为周期；最小正周期（、）。 奇偶性判断：先看定义域是否关于原点对称，再验证与关系。 易错：单调区间不能并集写；对称轴/对称中心易漏；最值条件易写错。 二、函数的图像与性质 1. 参数意义（必考） ：振幅，伸长，缩短；值域。 ：角频率，决定周期（常考）；越大周期越短。 ：初相，时相位；为相位。 2. 图像变换（两大路径，高频易错） 由变换到（）： 路径一（先平移后伸缩，易错）：（左右）（横缩）（纵伸）。 路径二（先伸缩后平移，推荐）：（横缩）（左右）。 易错：平移单位是（非）；变换只对本身操作，不扩括号。 3. 性质（） 定义域：；值域：；周期：。 单调区间：令，解（增）；（减），再回代。 对称轴：。 对称中心：，点。 4. 解析式求法（高频解答） 定：由最值，。 定：由周期，。 定：代入五点法关键点（优先零点/最值点），结合范围求解。 三、正切函数的图像与性质 1. 基本性质 定义域：（渐近线）。 值域：；周期：（最小正周期）。 奇偶性：奇函数，；对称中心。 单调区间： 上单调递增（无递减区间）。 2. （）性质 周期：；定义域：。 单调区间：令，解，回代得增区间。 四、三角恒等变换在图像性质中的应用（综合高频） 1. 辅助角公式（必考化简） ，其中；象限与一致。 常用：；。 用途：化为，求值域、单调、周期、最值。 2. 二倍角+降幂（化简核心） ；；。 用途：二次→一次，便于求周期、单调、最值；期末解答题第一问高频。 【考点一】正弦函数的图像与性质 1.函数与交点的个数是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】分别作出和图象，由数形结合可得结果. 【详解】用图形计算器分别作出和在上的图象，由图可知两函数图象有10个交点. 故选：B. 2．（24-25高一下·上海静安·期末）已知函数，且，则（    ） A．11 B．14 C．17 D．20 【答案】B 【分析】根据可求的值. 【详解】因为，故， 而，故， 故选：B. 3．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知函数，的最小正周期为，函数，的最小正周期为．考虑如下两个命题： 命题甲：若且函数，的最小正周期为，则； 命题乙：若且函数，的最小正周期为，则． 下列说法中正确的是（   ） A．甲和乙均为真命题 B．甲和乙均为假命题 C．甲为真命题，乙为假命题 D．甲为假命题，乙为真命题 【答案】B 【分析】利用三角函数的周期性，举例说明判断两个命题即可. 【详解】命题甲：取函数，，满足， 函数，，命题甲是假命题； 命题乙：取函数，，满足， 函数，，命题乙是假命题， 所以甲和乙均为假命题. 故选：B 4．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知函数是定义域为的奇函数，3是它的一个周期．若，则函数在区间上零点个数的最小值为（   ）． A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】利用奇函数和周期函数的性质求出函数在区间上的部分零点，即可判断. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，3是它的一个周期．若， 所以,,,,,, 所以函数在区间上至少有7个零点. 故选：C 5.方程的解集为________. 【答案】 【分析】根据题意得到，然后结合正弦函数相关知识解方程即可. 【详解】因为，所以， 若，则或， 所以或，即方程的解集为. 故答案为： 6.已知函数在有且仅有5个零点，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】由 的范围, 可得 的范围, 由题意可得 的范围, 进而求出 的范围. 【详解】因为 , 所以 , 要使函数有 5 个零点, 则 , 解得 的范围为 . 故答案为: . 7．函数在区间内不存在零点，则正实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】由题意利用正弦函数的零点，可得，或，，由此求得正实数的取值范围． 【详解】解：函数在区间内不存在零点且，所以，即，所以， 因为，所以， 或，解得或， 因为，所以或， 故正实数的取值范围为， 故答案为：． 8.已知函数的定义域为，且当时，，其中取一切正整数.函数的图像与直线恰有24个交点，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【分析】依题意可得函数的图像与直线只在前几段有交点，分别分析函数与在前几段的交点个数，找到临近点，分析临界值时的交点情况，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为函数在各段中的最大值逐渐减小，要使函数的图像与直线恰有个交点， 则函数的图像与直线只在前几段有交点， 依题意当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 若，则当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 此时函数的图像与直线的图象仅有个交点，不符合题意， 所以， 当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 此时函数的图像与直线的图象恰有个交点， 若时，则当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 不满足函数的图像与直线的图象恰有个交点， 所以， 综上可得，即实数的取值范围是. 故答案为： 9．（24-25高一下·上海浦东新·期末）设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，求实数m的取值范围为__________． 【答案】 【分析】先得到，且，根据题意得到，求出答案. 【详解】时，则，故， 时，， 对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得， 故，解得. 故答案为： 10．（24-25高一下·上海静安·期末）已知函数，则下列四个结论正确的是___________（填写所有正确结论的序号） ① 是的一个周期； ② 的图像关于对称； ③ 在闭区间上恰有3个零点； ④ 若（其中常数）在上是严格增函数，则的最大值为. 【答案】②④ 【分析】根据三角函数对称性，周期性得性质，和函数零点的定义，以及单调区间，分别判断各命题的正误. 【详解】已知，则， 所以①错误， ，所以②正确， 当时，， 当时，， 所以，在上有无数个零点，所以③错误， 当时，，若，则，在上不严格递增，不符合题意， 于是，，，因此，即，所以的最大值为，则④正确. 故答案为：②④. 11．（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知，，且函数在区间上是单调函数，则的值为________. 【答案】 【分析】首先根据两角和的正弦公式化简，依题意可得为的一个对称中心，即可求出的取值集合，再根据单调性求出的范围，即可得到的值，再一一检验即可. 【详解】因为， 由可得关于成中心对称，即为的一个对称中心， 又，所以，即，； 又函数在区间上是单调函数， 所以，解得， 所以或或， 当时，由，所以， 因为在上不单调，所以在上不单调，故舍去； 当时，由，所以， 因为在上单调递减，所以在上单调递减，符合题意； 当时，由，所以， 因为在上不单调，所以在上不单调，故舍去； 综上可得. 故答案为： 12．（24-25高一上·上海·期末）若关于的方程在上有解，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】分和两种情况讨论，时显然不成立，时，，根据可求得的取值范围. 【详解】当时，显然不成立. 当时，，又，所以， 当时，无解；当时，解得； 所以. 故答案为： 13．当今各网络销售平台通常会提供上门回收旧家具服务.平台工作人员小牛正在回收某客户淘汰的旧家具，为了省力，小牛选择将旧家具水平推运（旧家具背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于旧家具背面）.已知旧家具的形状为长方体.小牛在推运过程中遇到一处直角过道，如图所示，过道宽为1.8米.记旧家具在地面的投影为矩形，其中宽度米.请帮助小牛得出结论：按此种方式推运的旧家具，可以通过该直角过道的最大高度为_________米（结果精确到0.1米）. 【答案】 【分析】延长与直角过道的边相交于、，由表示出，设进行换元，利用单调性即可求解. 【详解】依题意设，，延长与直角过道的边相交于、，则， 所以，，， 又， 则，． 设， 因为，所以，所以， 则 ， 再令，， 则， 因为在上单调递增，且， 又在上单调递减， 所以在上单调递减， 故当，即，时，取得最小值， 由实际意义需向下取，此情况下能顺利通过过道的家具的高度的最大值为米． 故答案为： 14.已知方程. (1)为何值时,方程在区间内有两个相异的解,; (2)当方程在区间内有两个相异的解,时,求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）令根据函数图象判断的范围； （2）将,代入方程，利用和差化积及,，即可得到的值. 【详解】（1）令， 作出在上的函数图像如图所示： 由图像可知当即时， 有两个相异的解. （2）由（1）知和方程在区间内有两个相异的解,， ，即， 即，且， ， ， 且， ， . 【点睛】本题主要考查的是正弦函数的图像和性质，以及辅助角公式的应用，以及和差化积公式的应用，考查学生的分析能力和计算能力，是中档题. 15．研究正弦函数的性质 （1）写出其单调增区间的表达式 （2）利用五点法，画出的大致图像 （3）用反证法证明的最小正周期是 【答案】（1）（2）见解析（3）见解析 【分析】（1）利用正弦函数的图象和性质即可得解； （2）利用五点法作函数的图象即可； （3）先证明，再假设存在，使得，令，可得，令，可得，得到矛盾，即可得证. 【详解】（1）单调递增区间为， 所以单调递增区间的表达式为 （2）列表： x -π 0 π f(x) 0 -1 0 1 0 描点，连线，可得函数图象如下： （3）证明：， 假设存在，使得，即， 令，则，即； 再令，可得，得到矛盾， 综上可知的最小正周期是. 【点睛】本题主要考查了正弦函数的单调性，五点法作函数的图象，考查了反证法的应用，属于中档题. 16．（24-25高一下·上海宝山·期末）已知向量，，且函数. (1)若，，求的值； (2)求函数在上的严格增区间. 【答案】(1)或 (2)严格增区间为和 【分析】（1）首先化简函数的表达式，然后将函数值代入，根据的范围求出的值. （2）根据正弦函数的单调递增区间以及的范围直接求解即可. 【详解】（1）因为， 所以. 令，则，所以或. 解得或. 因为，所以或. （2）因为， 所以当时，函数严格递增. 解得. 因为，所以令时，；令时，. 所以函数在上的严格增区间为和. 17．（24-25高一上·上海·期末）在中，已知， (1)若，求该三角形的外接圆半径； (2)当时，求该三角形面积的最大值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据二倍角公式及辅助角公式对式子进行化简可解得角，再利用正弦定理即可求解的外接圆半径； （2）由结合正弦定理及三角形内角和定理，可得和，代入三角形面积公式，根据二倍角公式、辅助角公式及正弦函数的性质即可求解三角形面积的取值范围. 【详解】（1），， 即，. ，，或，解得或. 或2，该三角形的外接圆半径或1. （2），，，. ， ，， . ，，， 即该三角形面积的最大值为. 【考点二】余弦函数的图像与性质 18.（24-25高一上·上海奉贤·期末）如果，那么下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】ABC选项，可举出反例；D选项，根据指数函数单调性比较出大小. 【详解】ABC选项，不妨设，此时，，，ABC错误； D选项，，故在R上单调递增， 因为，所以，D正确. 故选：D 19．下列四个函数中，以为最小正周期的奇函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角函数的奇偶性、周期性即可逐一判断各个选项. 【详解】对于A，是以为最小正周期的奇函数，故A不符合题意； 对于B，是以为最小正周期的偶函数，故B不符合题意； 对于C，若，则，为偶函数，故C不符合题意； 对于D，若，显然其定义域为全体实数，且，所以是奇函数，且它的最小正周期为，故D符合题意. 故选：D. 20．已知常数，如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦函数的性质求出的取值，即可判断. 【详解】因为函数的图像关于点中心对称， 所以，，所以，， 所以当时，当时，时， 所以的最小值为. 故选：C 21．设函数，若，，在上为严格减函数，那么的不同取值的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】利用余弦函数性质，由已知条件得出最小正周期的范围，从而得的范围，再由函数值为0得出的关系式，从而得出，，取出可能的，确定出值，即可得结论． 【详解】且在上为严格减函数，则， 又，，因此，， 又，所以，即， 由，则且，， ，， 因此，， 若，则，取，满足题意， 若，则，取，满足题意， 的值有2个． 故选：D． 22.（25-26高一上·上海·期末）“”是“”的______条件． 【答案】必要不充分 【分析】判断“”能否推出“”，以及“”能否推出“”. 【详解】若，根据余弦函数的性质，得， 所以“”推不出“”； 若，则一定成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 23．（24-25高一下·上海普陀·期末）函数，的值域为______． 【答案】 【分析】先计算出时的范围，即可得该函数值域. 【详解】当时，，则. 故答案为：. 24．函数的最小正周期为_________． 【答案】 【分析】根据诱导公式和余弦函数的周期公式即可得到答案. 【详解】，则其最小正周期为. 故答案为：. 25．（25-26高一上·上海·期末）已知，且满足等式，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】分别求两侧函数的值域后可得的值，故可求的最小值. 【详解】因为，故，而， 且，故且， 故且，故， 故，故， 故的最小值为， 故答案为：. 26．（24-25高一下·上海·期末）已知常数，函数为偶函数，则______. 【答案】 【分析】利用偶函数的定义，结合和差角的余弦公式及二倍角的余弦公式求解即得. 【详解】函数的定义域为R，由函数为偶函数， 得，恒成立， 整理得，而不恒为0，则， 所以. 故答案为： 27．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】观察在上的图象，从而得到的取值范围. 【详解】观察在上的图象， 当时，或， 当时，， 所以的最小值为：， 的最大值为：， 所以的取值范围为. 故答案为： 28．（24-25高一下·上海嘉定·期末）函数在内恰有两个对称中心，，则_____. 【答案】2或 【分析】根据题意，令，分和讨论，求得的范围，利用余弦函数的对称中心列出不等式求解即可. 【详解】令， 若，由，则， 因为函数在内恰有两个对称中心， 所以， 又， 所以， 所以. 若，则， 由函数在内恰有两个对称中心， 所以，又， . 综上，或. 故答案为：或. 29．（24-25高一下·上海·期末）对任意闭区间，用表示函数在上的最小值．若正数满足，则正数的取值集合为________． 【答案】 【分析】根据给定条件，按取值情况分段讨论，并结合二倍角公式及余弦函数性质求解. 【详解】当时，为在上的减函数，则， 由，得，即，解得或，不合题意； 当时，，，由，则，则； 当时，，，不合题意； 当时，，，则； 当时，的区间长度不小于，，则， 所以正数的取值范围为． 故答案为： 30.已知函数． (1)求的最小正周期，对称中心； (2)求的单调区间，最值以及取得最值时的值． 【答案】(1)，； (2)答案见解析 【分析】（1）利用二倍角公式以及两角和的余弦公式化简可得，利用余弦函数的周期公式以及对称性即可求解； （2）利用余弦函数的性质即可求解． 【详解】（1）因为， 所以的最小正周期， 令，解得， 所以的对称中心为； （2）令，解得， 令，解得， 所以的严格增区间为，严格减区间， 当，即时，取得最大值， 当，即时，取得最小值， 【考点三】函数y= Asin(ωx＋φ)的图象 31.（24-25高一下·上海·期末）把函数的图象向右平移个单位得到曲线，再把曲线上的所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到曲线，则曲线相应的函数解析式可以是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的函数，利用三角函数图象变换求出解析式. 【详解】依题意，曲线，曲线. 故选：D 32．下列函数中，与函数的图象形状相同的是（    ） A．； B．； C．； D．. 【答案】D 【分析】利用三角函数图象形状相同的性质即可得解. 【详解】与函数的图象形状相同，则振幅和周期相同即可， 即； 对于A，中，振幅不相同，故A错误； 对于B，中，振幅不相同，故B错误； 对于C，中，周期不相同，故C错误； 对于D，中，相同，则图象相同，故D正确. 故选：D. 33．（24-25高一下·上海嘉定·期末）在物理学中简谐运动可以用函数来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于点成中心对称 B．函数的解析式可以为 C．函数在上的值域为 D．若把图象上所有的点向右平移个单位，则所得函数是 【答案】B 【分析】对B，利用图象求出函数的解析式判断；对A，代入验证判断；对C，利用 可得，即可求得的值域判断；对D，利用图象的变换即可判断. 【详解】对于B，由函数图象的最高点的纵坐标可得，且，可得，可得， 又，即，可得， 所以，故B正确； 对于A，因为，，所以不是函数的对称中心，故A错误； 对于 C，因为，所以，所以，即，故C错误； 对于D，把图象上所有点向右平移个单位，则所得函数，故D错误. 故选：B. 34．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知函数（），有下列结论：①若，则在上单调递增；②若，则正整数ω的最小值为2；③若，函数的图像向右平移个单位长度得到的图像.则为奇函数；④若在上有且仅有个零点，则.其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】①计算的范围，即可判断；②根据函数的对称轴，即可判断；③根据三角函数平移规律，即可判断；④计算的范围，结合正弦函数的零点，即可求解． 【详解】①当时，，因为，则， 此时不是单调递增函数，故①不正确； ②若，则函数关于对称， 则，得，且， 则正整数的最小值为1，故②不正确； ③若，的图象向右平移个单位长度后，得到， 所以是奇函数，故③正确； ④时，， 在上有且仅有个零点，则，得，故④不正确． 综上，正确的是③，个数为1个. 故选：A. 35.函数的初始相位是______． 【答案】 【分析】由初始相位的定义可得结论. 【详解】因为， 所以函数的初始相位是， 故答案为：. 36．将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，所得图像的解析式为______． 【答案】 【分析】横坐标缩短到原来的，将变为即可. 【详解】将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，所得图像的解析式为. 故答案为：. 37.将的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位之后，可得的图像，则_________． 【答案】0 【分析】由“左加右减，上加下减”得到的解析式，从而代入求值即可. 【详解】向下平移1个单位，得到，再向右平移个单位，得到， 故. 故答案为：0 38．（24-25高一下·上海青浦·期中）将函数的图象向左平移个单位.得到偶函数的图象.则的最小值是__________. 【答案】. 【分析】求出平移后的函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性可得出关于的等式，即可解得的最小正值. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度， 得到函数的图象，且该函数为偶函数， 则，解得， 因为，则当时，取最小值. 故答案为：. 39.已知函数，的部分图象如图所示，则________． 【答案】 【分析】根据图象得到函数周期，进而得到的值，再结合特殊点函数值求得答案. 【详解】由题意得，函数周期为，所以， 所以，由， 得，即， 又因为，所以，所以. 故答案为： 40.设，，将函数的图象左移个单位得到的图像，若对任意，都有，则___________. 【答案】 【分析】根据图象平移可得，然后根据偶函数的特征，即可求解. 【详解】函数的图象左移个单位得到的，对任意，都有，可知为偶函数，故，所以,由于，所以 故答案为： 41．（24-25高一下·上海·期末）设函数在上恰有两个零点，则__________. 【答案】或 【分析】先将函数化简成，将函数有两个零点问题转化成函数与图象在上恰有两个交点问题，然后数形结合根据函数的图象性质即可得解. 【详解】由题得， 因为函数在上恰有两个零点， 所以方程在上恰有两个根， 所以函数与图象在上恰有两个交点， 令， 即函数的对称轴方程为， 所以在上有两条对称轴为和，如图， 所以由函数的图象性质可知或. 故答案为：或. 【点睛】思路点睛：研究三角函数问题，通常需要利用三角恒等变换公式化成一角一函数，故解决本题先利用辅助角公式将函数化简成，再将题中所给条件函数有两个零点问题转化成函数与图象在上恰有两个交点问题，然后作出有关函数图象，数形结合根据函数的图象性质即可得解. 42．（24-25高一下·上海·期末）著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如. 的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基音，其余的为泛音.研究表明，所有泛音的频率都是基音频率的整数倍，称为基音的谐波.若对应于的泛音是对应于的基音的一个谐波，则正整数n的所有可能取值之和为_________ 【答案】8 【分析】根据所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，得到方程，整理得到所以，，又，故，经检验后得到或6，所有可能取值之和为8. 【详解】因为所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍， 所以，，， 所以，，， 两式相加得，， 所以，其中，故， 两式相减得， 当时，，此时，不合要求， 当时，，解得，满足要求， 当时，，此时，不合要求， 当时，，此时，不合要求， 当时，，解得，满足要求， 当时，，此时，不合要求， 综上，或6，所有可能取值之和为8. 故答案为：8 43.（24-25高一下·上海浦东新·期末）函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式，并求出的单调减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由函数的图象，根据三角函数的性质，即可求得函数的解析式，结合三角函数的性质，即可求得函数的单调递减区间； （2）根据三角函数的图象变换，求得，根据题意，转化为和的图象在上有公共点，由，求得函数的值域为，进而求得的范围. 【详解】（1）解：由函数的图象，可得，且函数的周期为， 所以，即， 又由，即， 根据五点对应法，可得，即， 因为，所以，所以， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. （2）解：将函数的图象向右平移个单位， 得到函数， 关于的方程在上有解，即在上有解， 即函数和的图象在上有公共点， 因为，可得， 当时，可得；当时，即时，可得， 所以函数的值域为，所以，解得， 所以实数的取值范围 44．（24-25高一下·上海·期中）坐落于奉贤渔人码头的摩天轮，堪称上海独一无二的海滨摩天轮.在晴朗的傍晚时分，踏上这场别具一格的海边摩天轮之旅，你将有机会与落日余晖、轻柔晚风、辽阔大海以及璀璨星空进行一场浪漫的邂逅.若已知摩天轮最高点距离地面高度为50米，转盘直径为40米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动（单位：分钟）后距离地面的高度为（单位：米），转一周大约需要15分钟. (1)已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客在距离地面至少40米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出，根据转一周的时间计算出，再结合初始位置计算出，由此可求； （2）化简，根据求解出的范围，由此可知结果； 【详解】（1）由题意可知：摩天轮最高点距离地面，最低点距离地面， 所以，所以， 又因为转一周大约需要，所以， 所以， 又因为， 所以且，所以， 所以； （2）因为， 令，则， 又因为，则，所以， 所以，且， 故摩天轮在运行一周的过程中，游客能有最佳视觉效果. 【考点四】正切函数的图像与性质 45.（25-26高一上·上海·期末）设函数，若是同一象限的角，且不存在，使得，则所在的象限为第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【分析】化简得，再分类讨论的正负性即可. 【详解】 ， 因为是同一象限的角，且不存在，使得， 所以在该象限内使得，同号或， 因为，故只需考虑位于中的象限角， 解得； 得； 若，则，， 故当时，；当时，， 故A不正确； 当时，，， 当时，；当时，， 故B不正确； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 故C不正确； 当时，，，此时，故D正确. 故选：D 46．（25-26高一上·上海·期末）“”是“（）”成立的（  ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】判断和（）之间的逻辑关系，即得答案. 【详解】当时，有， 当时，， 故是（）的必要非充分条件. 故选：B. 47．下列函数中，以为最小正周期且在上是严格减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐个分析各个函数的周期和单调性即可 【详解】对于A，的最小正周期为，而不在函数的定义域内，所以A错误， 对于B，的最小正周期为，当时，是严格减函数，所以B正确， 对于C，的最小正周期为，而此函数在上是增函数，所以C错误， 对于D，的最小正周期为，所以D错误， 故选：B 48.（25-26高一上·上海·期末）若，，则______． 【答案】 【分析】由三角函数同角关系结合即可求解. 【详解】因为，所以， 则. 49．（25-26高一上·上海·期末）满足的锐角组成的集合是______. 【答案】 【详解】因为，所以， 得， 因为为锐角，所以，， 故锐角组成的集合是 50．（25-26高一上·上海·期末）若，，则角的取值集合为______． 【答案】 【分析】先作出正切函数在给定区间上的图象，判断图象与直线的交点个数，利用周期性即可求得方程的解. 【详解】如图作出函数在上的图象，可见该函数与直线在此区间上有2个交点， 一个在上，一个在上，根据正切函数的周期性，可知方程的两个解分别为. 故角的取值集合为 故答案为：.    51．（24-25高一下·上海浦东新·期末）函数的单调区间为_________． 【答案】 【分析】利用求解即可. 【详解】由，解得， 所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间. 故答案为：. 52．（24-25高一下·上海·期末）已知函数，若，则________． 【答案】 【分析】利用正弦函数，正切函数的周期性与奇偶性计算即可求值. 【详解】因为，且，所以， 所以，所以， 所以 . 故答案为：. 53．（24-25高一下·上海宝山·期末）在区间上，函数与图象的公共点个数为_______． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出方程在的根即可. 【详解】依题意，，即，解得或， 而，因此， 所以函数与图象的公共点个数为3. 故答案为：3. 54．已知函数的最小正周期为，则方程在上的解集为____________. 【答案】 【分析】由题意得，求出的值后，得题述方程等价于，从而或，由此解三角函数方程即可得解. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，解得， 从而方程即，即，所以或， 而在上的解集为，在上的解集为， 从而方程在上的解集为. 故答案为： . 55．数，的部分图像如下图，则__________.    【答案】/ 【分析】由图象求得函数的解析式，然后计算函数值． 【详解】由题意的最小正周期是，所以， ，而，所以， ，，所以， ． 故答案为：． 56.如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O按逆时针方向旋转至在旋转的过程中，记为x，OP所经过的正方形ABCD内部的区域（阴影部分）的面积为对于函数给出以下4个结论： ；函数在为减函数； ；的图象关于直线对称． 其中正确结论的序号为____________. 【答案】①③ 【分析】由题意，分段整理函数的解析式，根据正切函数的性质，逐项计算并检验，可得答案. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 对于①，显然，则，故①正确； 对于②，由，函数为增函数， 当时，，则函数在该范围上单调递增， 当时，，则函数在该范围上单调递增， 并且， 综上可得：函数在上单调递增，故②错误； 对于③，当时，则，可得， 同理可得当取其他值时，等式都成立，故③正确； 对于④，由，则函数的图象关于成中心对称. 故答案为：①③. 57.已知函数的图像的一部分如图所示.求函数的解析式.      【答案】 【分析】由图象得到，，从而求出，代入特殊点坐标，求出，得到函数解析式. 【详解】由图象可知，最小正周期设为，则，故， 即，解得， 故， 将代入解析式得，， 解得，， 因为，所以， 故 58．已知函数． (1)求f（x）的定义域； (2)化简并求f（x）最小正周期； (3)讨论f（x）在区间上的单调性． 【答案】(1) (2) (3)函数的减区间为，增区间为 【分析】（1）根据正切函数的性质，即可求出函数的定义域； （2）化简函数，根据正弦函数的性质，即可求出函数的周期； （3）根据正弦函数单调性，求出函数的单调区间，再根据，即可求出函数在区间上的单调性． 【详解】（1）解：∵， ∴，即函数的定义域为， （2）解： ，所以函数的周期； （3）解：由，，得， 即函数的增区间为， 当时，增区间为， ∵，∴此时； 由，得， 即函数的减区间为， 当时，减区间为， ∵， ∴此时， 综上，在区间上函数的减区间为，增区间为． 59．已知. （1）求的最小正周期； （2）若是奇函数，则应满足什么条件？并求出满足的值. 【答案】（1）；（2），. 【分析】（1）根据正切型函数的周期公式，即可得答案. （2）由题意得，根据其为奇函数，可得，即可求得的表达式，根据的范围，即可得答案. 【详解】（1）因为函数， 所以函数的最小正周期为； （2） 若是奇函数，则， 解得， 令，解得，且， 所以，0，1，2. 故. 【点睛】易错点为：为奇函数，不是，而是，也为奇函数. 60．已知函数，其中. (1)若，求函数的最小正周期以及函数图象的对称中心； (2)若在闭区间上是严格增函数，求正实数的取值范围. 【答案】(1),,Z; (2) 【分析】（1）利用正切函数的周期性和对称性求解； （2）利用正切函数的单调性求出的范围. 【详解】（1）∵，∴函数的最小正周期为, 令,Z,解得，Z, ∴函数图象的对称中心为,Z. （2）∵在闭区间上是严格增函数， ∴， ∴，且ω为正实数，解得 1 学科网（北京）股份有限公司 $