期末复习讲义03 平面向量5大考点【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学（沪教版必修第二册）重难点讲义与测试

期末复习讲义03 平面向量 【考点一】向量的概念和线性运算 【考点四】向量数量积与夹角的坐标表示 【考点二】向量的数量积 【考点五】向量的应用 【考点三】向量基本定理 一、平面向量的基本概念 1. 核心定义（必背） 向量：既有大小又有方向的量（区别于只有大小的标量，如长度、质量），常用、、表示（中A为起点，B为终点）。 向量的模：向量的大小（长度），记为、，是非负实数，满足，当且仅当为零向量时取等号。 零向量：模为0的向量，记为，方向任意；注意，与任意向量平行、垂直。 单位向量：模为1的向量，若，则与同向的单位向量为。 相等向量：模相等且方向相同的向量，记为；向量具有自由性，可自由平移（平移后仍为相等向量）。 相反向量：模相等且方向相反的向量，的相反向量记为，满足，。 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，记为；规定零向量与任意向量平行。 2. 常用结论与易错点 向量不能比较大小（方向无法比较），只能比较模的大小（如）。 易错点1：混淆零向量与数字0，（前者是向量，后者是标量），如，但。 易错点2：误将共线向量等同于在同一直线上的向量，忽略向量的自由性（平移后共线即算共线向量）。 易错点3：单位向量不唯一，一个非零向量有且只有两个单位向量（同向、反向）。 二、平面向量的线性运算 1. 加法运算（几何意义+代数法则） 三角形法则：（首尾相接，起点接终点，和向量起点为第一个向量起点，终点为最后一个向量终点）。 平行四边形法则：若、有公共起点，则以、为邻边的平行四边形对角线即为（和向量起点与两向量公共起点相同）。 运算性质（必记）： 交换律： 结合律： ， 2. 减法运算（几何意义+代数法则） 几何意义：（同起点，减向量终点指向被减向量终点）；。 核心结论：若，，则。 3. 数乘运算（核心，连接几何与代数） 定义：实数与向量的积为向量，记为，其模。 方向规则： 当时，与方向相同； 当时，与方向相反； 当时，，方向任意。 运算性质（必记，为实数）： 4. 共线向量定理（高频考点，解答题常用） 定理：非零向量与共线（）的充要条件是：存在唯一实数，使得。 推论：若，（坐标表示见下文），则（易错点：避免写成）。 应用：证明三点共线 5. 线性运算易错点汇总 三角形法则首尾相接，方向错误会导致和向量、差向量求解错误（如，而非）。 数乘运算中，是向量，不是标量，不能省略向量符号（如）。 共线向量定理中，必须强调，否则不唯一。 向量加法的平行四边形法则，仅适用于两向量有公共起点的情况。 三、平面向量的数量积 1. 数量积的定义（核心） 定义：设、为非零向量，它们的夹角为（），则。 几何意义：等于与在方向上的投影（）的乘积，或与在方向上的投影（）的乘积。 特殊情况： 当时，，，故（充要条件，非零向量）； 当与同向时，，，故； 当与反向时，，，故； ，即（求模的核心公式）。 2. 数量积的运算性质（必记，为向量，为实数） 交换律： 数乘结合律： 分配律： 注意：数量积不满足结合律，即（左边与共线，右边与共线，一般不相等）。 3. 夹角公式（高频解答题） 设非零向量、的夹角为，则，。 步骤：先求，再求、，最后代入公式求，结合范围确定夹角大小。 4. 数量积易错点（重中之重） 易错点1：数量积的结果是标量，不是向量（无方向，仅为实数），如是一个数，不是向量。 易错点2：由不能推出或，还可能是。 易错点3：夹角是两向量“共起点”时的夹角，若两向量起点不同，需先平移至共起点再求夹角。 易错点4：混淆数量积与数乘运算，如（缺少），是向量，是标量。 易错点5：忽略夹角范围，求夹角时需结合的符号判断是锐角、直角还是钝角。 四、平面向量的坐标表示与坐标运算 1. 坐标表示（架起几何与代数的桥梁） 在平面直角坐标系中，设向量的起点在原点，终点坐标为，则，其中为横坐标，为纵坐标。 若向量的起点，终点，则（终点坐标减起点坐标）。 特殊向量坐标：零向量；x轴方向单位向量；y轴方向单位向量，任意向量。 2. 坐标运算（必记，，，为实数） 运算类型 坐标运算公式 加法 减法 数乘 数量积 模长 共线条件 垂直条件 夹角公式 3. 坐标运算易错点 易错点1：求坐标时，误将起点坐标减终点坐标（正确为终点减起点）。 易错点2：数量积坐标运算误写为（正确为）。 易错点3：共线条件与垂直条件混淆（共线是，垂直是）。 易错点4：求模长时忘记开根号（正确为，而非）。 五、平面向量的应用 1. 平面几何中的应用（解答题高频） 证明平行：利用共线向量定理（或坐标共线条件）。 证明垂直：利用数量积为0（）。 求线段长度：利用模长公式（）。 求夹角：利用夹角公式，结合坐标运算求解（如三角形内角、两条线段的夹角）。 证明线段相等：证明两线段对应的向量模相等（）。 2. 实际应用（基础选填） 位移、速度、力的合成与分解：利用向量加法的平行四边形法则、三角形法则，将实际问题转化为向量运算。 核心思路：将实际量（如力、速度）表示为向量，通过向量线性运算或数量积求解实际问题（如合力大小、位移大小）。 3. 综合应用易错点 将实际问题转化为向量时，忽略方向（如力的方向不同，向量表示不同）。 证明几何问题时，未结合向量的几何意义，导致步骤繁琐或逻辑错误。 求解实际问题后，未还原为实际量（如向量模长对应实际长度，需标注单位）。 【考点一】向量的概念和线性运算 1．（24-25高一下·上海浦东新·期末）下列结论中，正确的是（    ） A．零向量只有大小没有方向 B． C．对任一向量，总是成立的 D．与线段的长度不相等 【答案】B 【分析】根据平面向量的概念，逐一判断即可得出答案． 【详解】既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误； 由于与方向相反，长度相等，故B正确； 因为零向量的模为0，故C错误； 与线段的长度相等，故D错误． 故选：B． 2．下列说法正确的是（   ） A．若，则与的长度相等且方向相同或相反； B．若，且与的方向相同，则 C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； D．若，则与方向相同或相反 【答案】B 【分析】对于A，利用向量的模的定义即可判断；对于B，利用向量相等的定义判断即可；对于C，考虑向量的起点位置判断即可；对于D，考虑特殊向量即可判断. 【详解】对于A，由只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系，故A错误； 对于B，因为，且 与同向，由两向量相等的条件，可得 =，故B正确； 对于C，只有平面上所有单位向量的起点移到同一个点时，其终点才会在同一个圆上，故C错误； 对于D，依据规定：与任意向量平行，故当时，与的方向不一定相同或相反，故D错误. 故选：B. 3．（24-25高一下·上海嘉定·期末）以下关于平面向量的说法正确的是（    ） A．若，则 B．若则 C．若是共线的单位向量.则 D．若，则不是共线向量 【答案】A 【分析】对 A，由相等向量的定义判断；对B，举反例时，可判断；对C，由共线向量的定义判断；对D，由相等向量和共线向量的定义判断. 【详解】对于A，若，则，故正确； 对于B，若，则不一定成立，故B错误； 对于C，若是共线的单位向量，则或，故C错误； 对于D，若，则是共线向量，故D错误. 故选：A. 4．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知均为非零向量，且向量在同一起点上．则它们的终点（    ） A．在同一条直线上 B．构成一个三角形 C．有两个向量的终点重合 D．不确定 【答案】A 【分析】，则由共线向量定理可得三点共线即可. 【详解】设的起点为，， 所以， 所以， 所以三点共线， 即向量在同一起点上，则它们的终点在同一条直线上. 故选：A. 5．记边长为1的正六边形的六个顶点分别为、、、、、，是该正六边形中心，设点集，向量集且不重合.则这个集合中元素的个数为（    ） A．18 B．24 C．36 D．42 【答案】A 【分析】根据向量的定义确定，考察向量的方向与长度． 【详解】如图，图形中长度为1的向量一定与，，中的一个相等，再考虑方向相反，这样的向量有6个， 长度为2的向量是与相等或相反的向量，这样的向量有6个， 长度为的向量是相等或相反的向量，这样的向量也有6个．所以共有18个． 故选：A． 6． 的单位向量的坐标为__________． 【答案】 【分析】根据单位向量的求法，即可得答案. 【详解】由题意得：与同方向的单位向量为. 故答案为： 7．（24-25高一下·上海浦东新·期末）在中，______． 【答案】 【分析】根据向量线性运算公式，即可求解. 【详解】. 故答案为： 8．已知点满足，若，，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】由知为、的中点，由中点坐标公式求解. 【详解】解：由可得，所以为、的中点， 又，， 所以点的坐标为. 故答案为：. 9．（23-24高一下·上海·期末）若平面内不共线的四点、、、满足，则______. 【答案】2 【分析】用向量的减法法则将，用，，表示，再将已知条件代入消去得解. 【详解】， 又， . 故答案为：2. 10．（23-24高一下·上海·期末）如图，在四边形ABCD中，G为对角线AC与BD中点连线的中点，为对角线与的交点，用的线性组合表示向量为：______．    【答案】 【分析】根据题意利用中点的性质结合向量的加法运算法则分析求解. 【详解】因为G为的中点，则， 又因为分别为BD，AC的中点，则， 所以. 故答案为：. 11．古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响．图1是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗．在正八边形中，若，则______． 【答案】/ 【分析】根据题意结合向量的线性运算分析运算. 【详解】如图，连接，则， 不妨设，则，即， ∴，则， 故. 故答案为：. 12．作五边形，求作下列各题中的和向量： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用平面向量的加法法则求解即可； （2）利用平面向量的加法法则求解即可． 【详解】（1）； （2）. 【考点二】向量的数量积 13．（24-25高一下·上海宝山·期末）若均是单位向量，且，则（    ） A． B．7 C． D．6 【答案】A 【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算律，准确计算，即可求解. 【详解】由向量均是单位向量，且， 则， 所以. 故选：A. 14．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知均为非零向量，则成立的充要条件是（    ） A． B．同向 C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的数量积运算及充要条件的定义求解即可. 【详解】因为 方向相同， 所以成立的充要条件是：同向. 故选：B. 15．（24-25高一下·上海·期末）设是不小于2的整数.已知是圆上个两两互异的点，则使得 “”是点“等分圆”的充要条件的共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个 【答案】B 【分析】分，，三种情况讨论可判定结论. 【详解】由， 当时，两向量共线反向，平分圆，符合题意， 当，由， 设圆的半径为1，变形可得， 两边平方可得， 所以，解得， 因为，所以， 同理可得，， 所以平分圆， 若时， 当为偶数时，只要分为对，每对共线，可得， 比如过圆心的两条直线与圆相交的四个点，满足，但不平分圆， 所认不一定平分圆，故不符合题意， 当为奇数时，可分三个点，使这三个向量满足， 可得平分圆，另外剩余的一定是偶数点， 由前面知道，这些点可分组，但不一定平分圆， 故可得不一定平分圆， 综上所述，可得只有与符合题意. 故选：B 16．（24-25高一下·上海·期末）如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，是大正方形的一条边，是小正方形的其余的顶点，点是以为直径的半圆弧的中点，则集合中的，元素个数（    ） A．1 B．4 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据题意，结合向量数量积的定义求解即可. 【详解】根据向量积的定义可知， 所以集合中的，元素个数4个. 故选：B. 17．（24-25高一下·上海·期末）已知，，且与的夹角为，则________． 【答案】 【分析】由向量数量积定义计算即可求解. 【详解】因为，，与的夹角为， 所以. 故答案为： 18．（24-25高一下·上海嘉定·期末）设向量满足且，则向量在向量方向上的投影是_____. 【答案】 【分析】利用向量投影的计算公式，即可求解. 【详解】向量、满足，，且， 向量在向量方向上的投影， 故答案为：. 19．（24-25高一下·上海金山·期末）已知向量、满足，且在上的数量投影为1，则___________. 【答案】/ 【分析】根据数量投影的计算公式得到，故，得到答案. 【详解】在上的数量投影为1， 则，即， 故，即， 所以， 又，所以. 故答案为： 20．（24-25高一下·上海·期末）若点满足，则的最小值是_____ 【答案】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律，结合基本不等式求出最小值. 【详解】依题意，，由作图知或， 设，则， 而， ① 当时， ，当且仅当，即时取等号；    ② 当时， ，当且仅当，即时取等号，    又，所以的最小值是. 故答案为： 21.（24-25高一下·上海普陀·期中）已知向量，满足，，． (1)求； (2)设，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用数量积的定义求出，再利用数量积的运算律求解. （2）利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律列式计算. 【详解】（1）由，，，得， 所以. （2）由，得， 则，即，所以. 22．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知，，． (1)求； (2)若，求实数k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出，再根据及数量积的运算律计算可得； （2）依题意可得，根据数量积的运算律计算可得. 【详解】（1）因为，，， 所以， 所以 . （2）因为， 所以，即， 即，解得. 23．（24-25高一下·上海宝山·期末）已知单位向量、满足，． (1)将、的数量积表示为关于的函数； (2)求函数的最大值及取得最大值时与的夹角． 【答案】(1)，． (2)的最大值为，． 【分析】（1）将原等式两边平方即可得到结果. （2）利用基本不等式的性质即可求得. 【详解】（1）平方得． 化简得. 因为. 所以，化简得，解得. 所以，． （2）根据基本不等式的性质，所以． 当且仅当时取到等号，所以的最大值为． 此时，所以. 24．（23-24高一下·上海·期末）已知为等腰直角三角形，且，．点是的内部（包括的三条边）不同的点．记集合，若集合是集合的一个非空子集，向量表示集合中所有元素的和． (1)若点是斜边的等分点，试求（用含的式子表示） (2)证明对于任意的集合，存在的两个非空子集满足以下条件：①，；②且. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）直接使用等分点的向量性质即可； （2）设，然后分和两种情况证明结论. 【详解】（1） 记的中点为，则由已知有. 所以. （2）对，设，则，. 同时，由于，. 故，. 若，取，，则，. 若，不妨设. 由于，， 故我们可以找到正整数，使得，. （换言之，是满足的正整数的最大值） 由于，故. 取，，则 ，且 . 综上，结论成立. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对数量积的运算律的运用. 【考点三】向量基本定理 25.在中，已知为上的一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算及平面向量的基本定理即可求解； 【详解】因为，所以, 所以. 故选：C. 26.若是平面内向量的一组基，则下面的向量中不能作为一组基的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】由平面向量基底概念可得答案. 【详解】对于A， ，能作为基底； 对于B，，不能作为基底； 对于C，，能作为基底； 对于D， ，能作为基底； 故选：B. 27.已知的外心是O，且，，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，可得为中点，再根据可得为正三角形，进而根据投影向量的定义求解在方向上的投影向量即可 【详解】由题意，即，故为中点， 又，的外心是O，故，故为正三角形， 取中点，根据等边三角形性质可得，为在方向上的投影向量， 又，故在方向上的投影向量为. 故选：C 28.（24-25高一下·上海浦东新·期末）在平行四边形中，两条对角线的交点是，设．用的线性组合表示______． 【答案】 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，准确化简运算，即可求解. 【详解】由四边形为平行四边形且，对角线的交点是， 则. 故答案为：.      29.如图，△ABO中，已知，，，，则用向量，表示＝______． 【答案】 【分析】设，结合已知可得，结合共线可得，求解即可. 【详解】设，因为，，， 所以， 又A，P，N三点共线，B，P，M三点共线，所以， 解得，所以. 故答案为：. 30．（24-25高一下·上海宝山·期末）平行四边形中，，是的中点，记，，则_____.（用、表示） 【答案】 【分析】根据给定条件，利用给定的基底，结合向量线性运算求解. 【详解】依题意，，， 所以. 故答案为： 31.（24-25高一下·上海嘉定·期末）在中，，，．点为所在平面上一点，满足（、且）． (1)若，用，表示； (2)若点为的外心，求、的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性表示即可用向量表示出. （2）首先求出，然后用向量将表示出来，然后可得到关于的方程组，解方程即可求出的值. 【详解】（1）因为，所以. 因为. 所以. 所以. 所以. （2）取的中点分别为，连接，则. 又， 同理. ， 所以. 所以. 因为， 所以， 同理. 整理得到，解得. 【考点四】向量数量积与夹角的坐标表示 32.（23-24高一下·上海·期末）已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为与的夹角是锐角，所以且不共线，所以求出且即可得解. 【详解】因为与的夹角是锐角， 所以且， 所以且， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 33．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为，，点C在直线上运动，O为坐标原点，G为△ABC的重心，则、、中正数的个数为n，则n的值的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用重心的坐标公式，找出点，再结合平面向量数量积的坐标运算法则，解不等式，分类讨论即可. 【详解】设，因为G为△ABC的重心，则点， 令，则； 令则； 令，则，不等式恒成立， 所以当或时，；当时，. 综上：n的值的集合为. 故选：A. 34.平面直角坐标系中，假设旦华楼坐标为，笃志楼的坐标为，问思楼的坐标为，喷水池的坐标为，则喷水池是以旦华楼，笃志楼，问思楼构成的三角形的（    ） A．重心 B．外心 C．垂心 D．内心 【答案】C 【分析】利用坐标表示平面向量结合向量数量积的坐标表示求解即可. 【详解】分别设旦华楼、笃志楼、问思楼、喷水池对应坐标点为， 则，，，，，, 所以，，， 故喷水池是以旦华楼，笃志楼，问思楼构成的三角形的垂心， 故选：C 35．（24-25高一下·上海·期末）已知向量，则__________. 【答案】 【分析】由平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 36．（24-25高一下·上海·期末）若，则在方向上的投影是_____ 【答案】2 【分析】由投影公式计算即可. 【详解】由题意可知在方向上的投影为：. 故答案为： 37．（24-25高一下·上海·期末）已知向量，向量，则在上的数量投影为________ 【答案】 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算以及数量投影的概念可求得结果. 【详解】因为向量，向量， 由题意可知，在上的数量投影为. 故答案为：. 38．（24-25高一下·上海杨浦·期末）已知，则_________． 【答案】 【分析】由数量积的坐标形式及两角和的正弦公式即可得出答案 【详解】, 故答案为 : 39.（24-25高一下·上海浦东新·期末）若向量，则在方向上的投影向量的坐标为__________ 【答案】 【分析】根据数量积的定义式，利用投影向量的计算，可得答案. 【详解】由题意可得，， 则在方向上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 40．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知向量、，且，则实数______． 【答案】/0.5 【分析】根据平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】因为，， 所以，， 因为与平行， 所以， 解得. 故答案为：. 41．（24-25高一下·上海闵行·期末）已知向量，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】利用平面向量夹角为锐角，即且不共线，列出不等式求解作答. 【详解】由题，可得且不共线， ，且，即且， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 42．（24-25高一下·上海浦东新·期末）在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是_______. 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量的数量积，求出点，在计算结果即可. 【详解】建立平面直角坐标系如图所示：    由题意可知，，，，，， 设，则，， 由，可得， 所以，又，， 所以. 故答案为：. 43．（23-24高一下·上海松江·期末）已知向量，则向量在方向上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【分析】由公式求出投影的数量，在乘与同方向的单位向量得到投影向量. 【详解】在方向上的投影的数量为， 所以在方向上的投影向量为， 故答案为：. 44．（23-24高一下·上海·期末）如图，正六边形的边长为，半径为1的图的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围为______ 【答案】 【分析】根据题意，以为原点建立平面直角坐标系，设点，则，将表示为关于的表达式，结合正六边形的性质算出的取值范围. 【详解】以为原点，六边形的左、右顶点所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系， 则圆的方程为，当在轴下方，且位于正六边形与轴平行的边上时， 的纵坐标为，可得，其中， 设，则，． 可得，， 所以， 结合，当时，有最小值5， 当时，有最大值7，可知， 根据图形的对称性，可知：当在正六边形其它的边上时，也成立. 综上所述，的取值范围为. 故答案为： 45．（24-25高一下·上海青浦·期末）已知为坐标原点，，，． (1)若、、三点共线，求的值； (2)若与夹角为钝角，求的取值范围． 【答案】(1)0 (2) 【分析】1）根据题意结合运算求解； （2）根据向量夹角与数量积之间的关系运算求解. 【详解】（1）， 三点共线，与共线， 则，解得. （2）由（1）知， 与夹角为钝角，可得，解得， 若与平行，则，解得， 若与不平行，则， 的取值范围是. 46．（24-25高一下·上海嘉定·期末）平面内给定两个向量. (1)求与夹角的余弦值； (2)若和垂直，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量的坐标，利用模长公式以及数量积公式，结合夹角余弦值公式，即可求解； （2）利用向量垂直的坐标公式计算即可求解. 【详解】（1）由向量，则， 又由，所以， 所以与夹角的余弦值为. （2）由题意可得， 因为和垂直，所以, 即，化简得，解得：. 所以若和垂直，的值为. 47．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知向量. (1)若与的夹角为，求实数值； (2)若实数，向量与所成的角是锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据向量的数量积的坐标公式来求解的值； （2）先求出的坐标，再根据向量夹角为锐角时数量积大于0且两向量不共线来确定的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 所以，解得. （2）由条件，且与不平行. 当时，， ，解得，， 若，则，则， 所以的取值范围是. 【考点五】向量的应用 48.（23-24高一下·上海·期末）已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为与的夹角是锐角，所以且不共线，所以求出且即可得解. 【详解】因为与的夹角是锐角， 所以且， 所以且， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 49.在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为，，点C在直线上运动，O为坐标原点，G为△ABC的重心，则、、中正数的个数为n，则n的值的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用重心的坐标公式，找出点，再结合平面向量数量积的坐标运算法则，解不等式，分类讨论即可. 【详解】设，因为G为△ABC的重心，则点， 令，则； 令则； 令，则，不等式恒成立， 所以当或时，；当时，. 综上：n的值的集合为. 故选：A. 50.平面直角坐标系中，假设旦华楼坐标为，笃志楼的坐标为，问思楼的坐标为，喷水池的坐标为，则喷水池是以旦华楼，笃志楼，问思楼构成的三角形的（    ） A．重心 B．外心 C．垂心 D．内心 【答案】C 【分析】利用坐标表示平面向量结合向量数量积的坐标表示求解即可. 【详解】分别设旦华楼、笃志楼、问思楼、喷水池对应坐标点为， 则，，，，，, 所以，，， 故喷水池是以旦华楼，笃志楼，问思楼构成的三角形的垂心， 故选：C 51．（24-25高一下·上海·期末）已知向量，则__________. 【答案】 【分析】由平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 52．（24-25高一下·上海·期末）若，则在方向上的投影是_____ 【答案】2 【分析】由投影公式计算即可. 【详解】由题意可知在方向上的投影为：. 故答案为： 53．（24-25高一下·上海·期末）已知向量，向量，则在上的数量投影为________ 【答案】 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算以及数量投影的概念可求得结果. 【详解】因为向量，向量， 由题意可知，在上的数量投影为. 故答案为：. 54．（24-25高一下·上海杨浦·期末）已知，则_________． 【答案】 【分析】由数量积的坐标形式及两角和的正弦公式即可得出答案 【详解】, 故答案为 : 55．（24-25高一下·上海浦东新·期末）若向量，则在方向上的投影向量的坐标为__________ 【答案】 【分析】根据数量积的定义式，利用投影向量的计算，可得答案. 【详解】由题意可得，， 则在方向上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 56．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知向量、，且，则实数______． 【答案】/0.5 【分析】根据平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】因为，， 所以，， 因为与平行， 所以， 解得. 故答案为：. 57．（24-25高一下·上海闵行·期末）已知向量，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】利用平面向量夹角为锐角，即且不共线，列出不等式求解作答. 【详解】由题，可得且不共线， ，且，即且， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 58．（24-25高一下·上海浦东新·期末）在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是_______. 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量的数量积，求出点，在计算结果即可. 【详解】建立平面直角坐标系如图所示：    由题意可知，，，，，， 设，则，， 由，可得， 所以，又，， 所以. 故答案为：. 59．（23-24高一下·上海松江·期末）已知向量，则向量在方向上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【分析】由公式求出投影的数量，在乘与同方向的单位向量得到投影向量. 【详解】在方向上的投影的数量为， 所以在方向上的投影向量为， 故答案为：. 60．（24-25高一下·上海青浦·期末）已知为坐标原点，，，． (1)若、、三点共线，求的值； (2)若与夹角为钝角，求的取值范围． 【答案】(1)0 (2) 【分析】1）根据题意结合运算求解； （2）根据向量夹角与数量积之间的关系运算求解. 【详解】（1）， 三点共线，与共线， 则，解得. （2）由（1）知， 与夹角为钝角，可得，解得， 若与平行，则，解得， 若与不平行，则， 的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习讲义03 平面向量 【考点一】向量的概念和线性运算 【考点四】向量数量积与夹角的坐标表示 【考点二】向量的数量积 【考点五】向量的应用 【考点三】向量基本定理 一、平面向量的基本概念 1. 核心定义（必背） 向量：既有大小又有方向的量（区别于只有大小的标量，如长度、质量），常用、、表示（中A为起点，B为终点）。 向量的模：向量的大小（长度），记为、，是非负实数，满足，当且仅当为零向量时取等号。 零向量：模为0的向量，记为，方向任意；注意，与任意向量平行、垂直。 单位向量：模为1的向量，若，则与同向的单位向量为。 相等向量：模相等且方向相同的向量，记为；向量具有自由性，可自由平移（平移后仍为相等向量）。 相反向量：模相等且方向相反的向量，的相反向量记为，满足，。 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，记为；规定零向量与任意向量平行。 2. 常用结论与易错点 向量不能比较大小（方向无法比较），只能比较模的大小（如）。 易错点1：混淆零向量与数字0，（前者是向量，后者是标量），如，但。 易错点2：误将共线向量等同于在同一直线上的向量，忽略向量的自由性（平移后共线即算共线向量）。 易错点3：单位向量不唯一，一个非零向量有且只有两个单位向量（同向、反向）。 二、平面向量的线性运算 1. 加法运算（几何意义+代数法则） 三角形法则：（首尾相接，起点接终点，和向量起点为第一个向量起点，终点为最后一个向量终点）。 平行四边形法则：若、有公共起点，则以、为邻边的平行四边形对角线即为（和向量起点与两向量公共起点相同）。 运算性质（必记）： 交换律： 结合律： ， 2. 减法运算（几何意义+代数法则） 几何意义：（同起点，减向量终点指向被减向量终点）；。 核心结论：若，，则。 3. 数乘运算（核心，连接几何与代数） 定义：实数与向量的积为向量，记为，其模。 方向规则： 当时，与方向相同； 当时，与方向相反； 当时，，方向任意。 运算性质（必记，为实数）： 4. 共线向量定理（高频考点，解答题常用） 定理：非零向量与共线（）的充要条件是：存在唯一实数，使得。 推论：若，（坐标表示见下文），则（易错点：避免写成）。 应用：证明三点共线 5. 线性运算易错点汇总 三角形法则首尾相接，方向错误会导致和向量、差向量求解错误（如，而非）。 数乘运算中，是向量，不是标量，不能省略向量符号（如）。 共线向量定理中，必须强调，否则不唯一。 向量加法的平行四边形法则，仅适用于两向量有公共起点的情况。 三、平面向量的数量积 1. 数量积的定义（核心） 定义：设、为非零向量，它们的夹角为（），则。 几何意义：等于与在方向上的投影（）的乘积，或与在方向上的投影（）的乘积。 特殊情况： 当时，，，故（充要条件，非零向量）； 当与同向时，，，故； 当与反向时，，，故； ，即（求模的核心公式）。 2. 数量积的运算性质（必记，为向量，为实数） 交换律： 数乘结合律： 分配律： 注意：数量积不满足结合律，即（左边与共线，右边与共线，一般不相等）。 3. 夹角公式（高频解答题） 设非零向量、的夹角为，则，。 步骤：先求，再求、，最后代入公式求，结合范围确定夹角大小。 4. 数量积易错点（重中之重） 易错点1：数量积的结果是标量，不是向量（无方向，仅为实数），如是一个数，不是向量。 易错点2：由不能推出或，还可能是。 易错点3：夹角是两向量“共起点”时的夹角，若两向量起点不同，需先平移至共起点再求夹角。 易错点4：混淆数量积与数乘运算，如（缺少），是向量，是标量。 易错点5：忽略夹角范围，求夹角时需结合的符号判断是锐角、直角还是钝角。 四、平面向量的坐标表示与坐标运算 1. 坐标表示（架起几何与代数的桥梁） 在平面直角坐标系中，设向量的起点在原点，终点坐标为，则，其中为横坐标，为纵坐标。 若向量的起点，终点，则（终点坐标减起点坐标）。 特殊向量坐标：零向量；x轴方向单位向量；y轴方向单位向量，任意向量。 2. 坐标运算（必记，，，为实数） 运算类型 坐标运算公式 加法 减法 数乘 数量积 模长 共线条件 垂直条件 夹角公式 3. 坐标运算易错点 易错点1：求坐标时，误将起点坐标减终点坐标（正确为终点减起点）。 易错点2：数量积坐标运算误写为（正确为）。 易错点3：共线条件与垂直条件混淆（共线是，垂直是）。 易错点4：求模长时忘记开根号（正确为，而非）。 五、平面向量的应用 1. 平面几何中的应用（解答题高频） 证明平行：利用共线向量定理（或坐标共线条件）。 证明垂直：利用数量积为0（）。 求线段长度：利用模长公式（）。 求夹角：利用夹角公式，结合坐标运算求解（如三角形内角、两条线段的夹角）。 证明线段相等：证明两线段对应的向量模相等（）。 2. 实际应用（基础选填） 位移、速度、力的合成与分解：利用向量加法的平行四边形法则、三角形法则，将实际问题转化为向量运算。 核心思路：将实际量（如力、速度）表示为向量，通过向量线性运算或数量积求解实际问题（如合力大小、位移大小）。 3. 综合应用易错点 将实际问题转化为向量时，忽略方向（如力的方向不同，向量表示不同）。 证明几何问题时，未结合向量的几何意义，导致步骤繁琐或逻辑错误。 求解实际问题后，未还原为实际量（如向量模长对应实际长度，需标注单位）。 【考点一】向量的概念和线性运算 1．（24-25高一下·上海浦东新·期末）下列结论中，正确的是（    ） A．零向量只有大小没有方向 B． C．对任一向量，总是成立的 D．与线段的长度不相等 2．下列说法正确的是（   ） A．若，则与的长度相等且方向相同或相反； B．若，且与的方向相同，则 C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； D．若，则与方向相同或相反 3．（24-25高一下·上海嘉定·期末）以下关于平面向量的说法正确的是（    ） A．若，则 B．若则 C．若是共线的单位向量.则 D．若，则不是共线向量 4．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知均为非零向量，且向量在同一起点上．则它们的终点（    ） A．在同一条直线上 B．构成一个三角形 C．有两个向量的终点重合 D．不确定 5．记边长为1的正六边形的六个顶点分别为、、、、、，是该正六边形中心，设点集，向量集且不重合.则这个集合中元素的个数为（    ） A．18 B．24 C．36 D．42 6． 的单位向量的坐标为__________． 7．（24-25高一下·上海浦东新·期末）在中，______． 8．已知点满足，若，，则点的坐标为______． 9．（23-24高一下·上海·期末）若平面内不共线的四点、、、满足，则______. 10．（23-24高一下·上海·期末）如图，在四边形ABCD中，G为对角线AC与BD中点连线的中点，为对角线与的交点，用的线性组合表示向量为：______．    11．古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响．图1是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗．在正八边形中，若，则______． 12．作五边形，求作下列各题中的和向量： （1）； （2）. 【考点二】向量的数量积 13．（24-25高一下·上海宝山·期末）若均是单位向量，且，则（    ） A． B．7 C． D．6 14．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知均为非零向量，则成立的充要条件是（    ） A． B．同向 C． D． 15．（24-25高一下·上海·期末）设是不小于2的整数.已知是圆上个两两互异的点，则使得 “”是点“等分圆”的充要条件的共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个 16．（24-25高一下·上海·期末）如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，是大正方形的一条边，是小正方形的其余的顶点，点是以为直径的半圆弧的中点，则集合中的，元素个数（    ） A．1 B．4 C．6 D．7 17．（24-25高一下·上海·期末）已知，，且与的夹角为，则________． 18．（24-25高一下·上海嘉定·期末）设向量满足且，则向量在向量方向上的投影是_____. 19．（24-25高一下·上海金山·期末）已知向量、满足，且在上的数量投影为1，则___________. 20．（24-25高一下·上海·期末）若点满足，则的最小值是_____ 21.（24-25高一下·上海普陀·期中）已知向量，满足，，． (1)求； (2)设，若，求的值． 22．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知，，． (1)求； (2)若，求实数k的值． 23．（24-25高一下·上海宝山·期末）已知单位向量、满足，． (1)将、的数量积表示为关于的函数； (2)求函数的最大值及取得最大值时与的夹角． 24．（23-24高一下·上海·期末）已知为等腰直角三角形，且，．点是的内部（包括的三条边）不同的点．记集合，若集合是集合的一个非空子集，向量表示集合中所有元素的和． (1)若点是斜边的等分点，试求（用含的式子表示） (2)证明对于任意的集合，存在的两个非空子集满足以下条件：①，；②且. 【考点三】向量基本定理 25.在中，已知为上的一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 26.若是平面内向量的一组基，则下面的向量中不能作为一组基的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 27.已知的外心是O，且，，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 28.（24-25高一下·上海浦东新·期末）在平行四边形中，两条对角线的交点是，设．用的线性组合表示______． 29.如图，△ABO中，已知，，，，则用向量，表示＝______． 30．（24-25高一下·上海宝山·期末）平行四边形中，，是的中点，记，，则_____.（用、表示） 31.（24-25高一下·上海嘉定·期末）在中，，，．点为所在平面上一点，满足（、且）． (1)若，用，表示； (2)若点为的外心，求、的值. 【考点四】向量数量积与夹角的坐标表示 32.（23-24高一下·上海·期末）已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为，，点C在直线上运动，O为坐标原点，G为△ABC的重心，则、、中正数的个数为n，则n的值的集合为（    ） A． B． C． D． 34.平面直角坐标系中，假设旦华楼坐标为，笃志楼的坐标为，问思楼的坐标为，喷水池的坐标为，则喷水池是以旦华楼，笃志楼，问思楼构成的三角形的（    ） A．重心 B．外心 C．垂心 D．内心 35．（24-25高一下·上海·期末）已知向量，则__________. 36．（24-25高一下·上海·期末）若，则在方向上的投影是_____ 37．（24-25高一下·上海·期末）已知向量，向量，则在上的数量投影为________ 38．（24-25高一下·上海杨浦·期末）已知，则_________． 39.（24-25高一下·上海浦东新·期末）若向量，则在方向上的投影向量的坐标为__________ 40．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知向量、，且，则实数______． 41．（24-25高一下·上海闵行·期末）已知向量，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是_____． 42．（24-25高一下·上海浦东新·期末）在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是_______. 43．（23-24高一下·上海松江·期末）已知向量，则向量在方向上的投影向量的坐标为______． 44．（23-24高一下·上海·期末）如图，正六边形的边长为，半径为1的图的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围为______ 45．（24-25高一下·上海青浦·期末）已知为坐标原点，，，． (1)若、、三点共线，求的值； (2)若与夹角为钝角，求的取值范围． 46．（24-25高一下·上海嘉定·期末）平面内给定两个向量. (1)求与夹角的余弦值； (2)若和垂直，求的值. 47．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知向量. (1)若与的夹角为，求实数值； (2)若实数，向量与所成的角是锐角，求实数的取值范围. 【考点五】向量的应用 48.（23-24高一下·上海·期末）已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 49.在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为，，点C在直线上运动，O为坐标原点，G为△ABC的重心，则、、中正数的个数为n，则n的值的集合为（    ） A． B． C． D． 50.平面直角坐标系中，假设旦华楼坐标为，笃志楼的坐标为，问思楼的坐标为，喷水池的坐标为，则喷水池是以旦华楼，笃志楼，问思楼构成的三角形的（    ） A．重心 B．外心 C．垂心 D．内心 51．（24-25高一下·上海·期末）已知向量，则__________. 52．（24-25高一下·上海·期末）若，则在方向上的投影是_____ 53．（24-25高一下·上海·期末）已知向量，向量，则在上的数量投影为________ 54．（24-25高一下·上海杨浦·期末）已知，则_________． 55．（24-25高一下·上海浦东新·期末）若向量，则在方向上的投影向量的坐标为__________ 56．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知向量、，且，则实数______． 57．（24-25高一下·上海闵行·期末）已知向量，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是_____． 58．（24-25高一下·上海浦东新·期末）在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是_______. 59．（23-24高一下·上海松江·期末）已知向量，则向量在方向上的投影向量的坐标为______． 60．（24-25高一下·上海青浦·期末）已知为坐标原点，，，． (1)若、、三点共线，求的值； (2)若与夹角为钝角，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $