精品解析：福建龙岩市第一中学锦山学校2025-2026学年第二学期九年级数学第一次质量检测

2025-2026学年第二学期九年级数学第一次质量检测 （命题人：黄茹佳 审核人：李春红） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 的相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】的相反数是 2. 如图是一个由大小相同的5个小正方体搭成的几何体，则该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：从正面看，该几何体共有3列. 左边一列有1个小正方形，中间一列有2个小正方形，右边一列有1个小正方形， ∴该几何体的主视图是底层3个正方形，第二层中间1个正方形． 3. 国家知识产权局数据显示：截至2025年，我国国内有效发明专利达件，并连续多年位居全球第一．将数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示形式为，要求满足，为整数，解题关键是正确确定和的值. 【详解】解：， 故选：C. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂除法，二次根式的性质，实数的计算法则和二次根式的加法计算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了同底数幂除法，化简二次根式，二次根式的加法，实数的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 5. 制作弯管时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．图中弯管（不计厚度）有一段圆弧，点是这段圆弧所在圆的圆心，半径，圆心角，则这段弯管中的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵半径 ，圆心角 ， ∴这段弯管中的长为． 6. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱.问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：设人数为，根据题意得， ． 7. 某校规定学生体育学期成绩由三部分组成：课堂表现占，学科素养占，运动技能占．小明以上三项成绩分别为：80分，90分，94分，则小明的体育学期成绩为（ ） A. 88分 B. 89分 C. 90分 D. 91分 【答案】C 【解析】 【详解】解：（分）. 8. 如图，中，E为延长线上一点，连接交边于F点，交对角线于G点，若，则长为（ ） A. 1.5 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作，进而得到，证明，得到，设，，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 作交于点，则， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 设，，则， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴或（舍去）； 故． 9. 以下是小明同学数学笔记的一部分，请仔细阅读并完成相应任务． 戈特弗里德·威廉·莱布尼茨是德国伟大的哲学家、数学家，是历史上少见的通才，被誉为十七世纪的亚里士多德．莱布尼茨在数学史和哲学史上都占有重要地位，二进制数的发现与完善是他在数学史上的伟大学术成就之一，现代的计算机和依赖计算机的设备里都在使用二进制． 我们在数学学习中所用的数都是十进制数，一共有十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，其进位规则是“逢十进一”，比如数字．而二进制数是用0和1两个数码来表示的数，它的进位原则是“逢二进一”，二进制数可以转化为十进制数，转化如下：比如：． 任务：已知，是两个不相等的十进制三位数，且，若三位二进制数的三个数位均为，将其转化为十进制数为（ ） A. 1 B. 7 C. 13 D. 111 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二进制数转十进制数. 直接根据二进制数只有0，1两个数码，数位为即，求出三位二进制数为111，再根据转化方法计算即可. 【详解】∵三位二进制数的三个数位均为， ∴， ∵二进制数只有0，1两个数码， ∴， ∴ 即三位二进制数为111， ∴ 故选B. 10. 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，S△ABC＝4cm2．正方形CDEF的顶点D，F分别在AC，BC边上，设CD＝CF＝x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意求得AC＝BC＝2，然后分0＜x≤和＜x≤2两种情况解答即可． 【详解】解：在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，S△ABC＝4cm2 ∴AC×BC＝4， ∴AC＝BC＝2， 当0＜x≤时，y＝x2； 当＜x≤2时，设ED交AB于M，EF交AB于N，如图： ∵CD＝x， ∴AD＝2﹣x， 在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠A＝45°， ∵四边形CDEF是正方形， ∴∠MDA＝∠MDC＝90°， ∴△AMD为等腰直角三角形， ∴DM＝2﹣x， ∴EM＝x﹣（2﹣x）＝2x﹣2， ∴S△EMN＝ ＝2， ∴ ＝﹣x2+4x﹣4， ∴当＜x≤2时，y为开口向下的抛物线， 观察各选项，只有A符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，掌握数形结合思想和分类讨论思想是解答本题的关键． 二.填空题（每小题4分，共24分） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解，熟练掌握是解题的关键． 根据提公因式法分解因式，根据题意直接提取公因式即可求解． 【详解】解：， 故答案为． 12. 现有六张分别标有数字1，3，4，5，7，8的卡片，其中标有数字1，4，7的卡片在甲手中，标有数字3，5，8的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，则甲出的卡片数字比乙大的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的求法，掌握概率的求法是解题的关键． 通过列举所有可能的结果，找出甲出的卡片数字大于乙出的卡片数字的情况数，再计算概率． 【详解】解：甲可能出的数字为：1，4，7；乙可能出的数字为：3，5，8； 所有等可能的结果共有：种，其中甲出的数字大于乙出的数字的结果有：甲4乙3，甲7乙3，甲7乙5，共3种； 因此概率为：． 故答案为：． 13. 正五边形的内角和为___________度． 【答案】540 【解析】 【分析】本题主要考察了多边形内角和定理，根据多边形内角和公式计算即可得出答案． 【详解】解：， 即正五边形的内角和为540度， 故答案为：540 14. 若，是一元二次方程的两个实数根，则______． 【答案】2026 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据，直接计算两根之和即可． 【详解】解：中，，，， ． 故答案为：2026． 15. 如图，Rt△AOB的边OA在x轴上，反比例函数y＝（k＞0）的图象过斜边OB的中点C，延长BO与该反比例函数图象的另一交点为D，连结AD．若△ABD的面积为18，则k的值为____． 【答案】6 【解析】 【分析】连接AC，过C作，由反比例函数图象性质可得：，结合题意可得，那么，根据是直角三角形，C为OB的中点，那么斜边上的中线等于斜边的一半，可得：，因此，根据反比例函数k的几何意义，k是面积的2倍，即可得到k的值． 【详解】解：连接AC，过C作， 由反比例函数图象的对称性可得：， ∵C为OB的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，反比例函数的对称性，直角三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识，掌握反比例函数的性质以及灵活运用几何图形的性质是解题关键． 16. 已知抛物线（，是常数且，）经过点，点，在抛物线上，且，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题意，求得该函数的对称轴，进而根据二次函数性质，离对称轴距离越近其值越大，建立不等式，求解即可； 【详解】解：由题可知，抛物线（，是常数且，）经过点， 则对称轴为， 则， 则， ， ， 该抛物线开口向下， 根据二次函数性质可知，离对称轴距离越近其值越大， 则， 即， 两边平方可得：， 解得：； 故答案为： 三.解答题 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简，进而计算得出答案． 此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的除法运算，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时， 原式． 19. 如图，在中，点、是对角线上的两点，且，连接、，求证：. 【答案】见解析 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，，得出，根据证明即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， 在与中， ， ∴， ∴． 20. 为提升学生逻辑思维和信息素养，感受科技与数学融合魅力，学校组织八、九年级开展“赋能数学，创意点亮智慧”微视频制作竞赛.老师从八、九两个年级中各抽取20名学生的竞赛成绩进行整理，成绩分为A、B、C、D四个等级，其中90分及以上为优秀，并获评“智慧少年”. 【信息整理】信息1： 等级 A B C D 成绩 信息2：八年级B、C两组同学的成绩分别为：85，88，89，89，92，92，93，94，94； 九年级C组同学的成绩分别为：89，89，88，88，88，88，87，86. 信息3： 八年级抽取学生竞赛成绩的条形统计图 九年级抽取学生竞赛成绩的扇形统计图 【数据分析】八、九年级抽取学生的竞赛成绩统计表如表： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 88 95 九年级 88 88 （1）完成填空：__________，__________，并补全条形统计图； （2）根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校八年级学生有580人，九年级学生有525人，请估计该校八、九年级成绩为A等级的学生共有多少人？ 【答案】（1）88.5；88；补全图形见解析 （2）八年级的学生对当前信息技术的了解情况更好，理由见解析 （3）192人 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的计算方法求解即可，根据频数之和求出A等级的人数，补全条形图即可； （2）利用中位数和众数分析即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：八年级A等级的人数为， 八年级数据中从小到大排列后第10个和第11个数据分别为：88，89， ∴中位数， 九年级中A、B、C、D等级的人数为，，，， 所以数据中出现次数最多的是88， ∴众数； 补全条形统计图如图： 【小问2详解】 解：八年级的学生对当前信息技术的了解情况更好， 理由如下：两个年级的学生成绩的平均数相同，但八年级的中位数和众数都比九年级的高，故八年级的学生对当前信息技术的了解情况更好； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校八、九年级成绩为A等级的学生共有192人． 21. 某青少年活动中心计划开辟一块劳动实践基地，利用一面墙用篱笆围成矩形菜地，如图所示，墙最大可利用长度为米，菜地中间用篱笆隔开，在边上设计了两个宽度为米的小门，方便同学们出入，边和两扇小门不用篱笆，一共用了米长的篱笆. （1）若设菜地的宽为米，则__________米（用含的代数式表示）；且的取值范围是__________； （2）若围成的菜地面积为平方米，求此时的宽. （3）求这块菜地的最大面积？ 【答案】（1）， （2）米 （3）平方米 【解析】 【分析】（1），可得米，结合，可求得的取值范围； （2）根据题意可得方程，解方程即可求得答案； （3）设菜地的面积为平方米，可得，根据二次函数的图象和性质，即可求得答案； 【小问1详解】 解：根据题意可知． 根据题意可知米． 根据题意可知，即 解得． 【小问2详解】 解：根据题意，得． 解方程，得，（舍去）． 所以米． 【小问3详解】 解：设菜地的面积为平方米． 根据题意，得． 因为是的二次函数，该函数图象开口向下，对称轴为，当时，随的增大而减小，且， 所以当时，可以取得最大值，最大值为平方米． 22. 2026闽超来了.图1是某同学为足球比赛设计的奖杯，图2是从奖杯中抽象出的几何模型，，是的切线，，为切点. （1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心；（保留作图痕迹，不写作法） （2）延长交射线于点，若，，求的半径长. 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，作的垂直平分线，在圆上取一点D，连接，作的垂直平分线，则与的交点即为圆心O； （2）先证，推出，再求线段，的长度，设半径为r，在中，由勾股定理建立关于r的方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：点O如图所示； 【小问2详解】 解：连接，，如图， ∵，是的切线，，为切点， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 设半径为r，则， 在中，由勾股定理得出，即， 解得， ∴的半径长为． 23. 阅读下列材料，回答问题. 爱动脑的小明在学习不等式知识时，查阅资料了解到：当给出不等式时，我们可以将表示为（其中为增量），从而将用代换进一步变形不等式.结合“作差法比较大小”，小明创新出一种证明不等式的方法-增量代换作差法证明不等式. 例如：已知，，求证： 证明：令，，其中， 作差得 ，，，， ， 所以 根据上述材料，解决下列问题： （1）已知，，求证：； （2）已知，试比较代数式与的大小. 【答案】（1）见详解； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据材料设，，其中，，作差代入并整理结论即可得证； （2）令，其中，，作差法比较大小即可； 【小问1详解】 证明：令，，其中，， 作差得：， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：令，其中，， ∴，， ∴ ∴． 【点睛】本题是阅读材料问题，学习了一种新的证明不等式的方法：增量代换作差法证明不等式，运用了整式的乘除法计算、因式分解及不等式的性质． 24. 给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量，这两个函数对应的函数值记为，，恒有点和点关于点成中心对称（此三个点可以重合），则称这两个函数互为“聚焦函数”．例如：和互为“聚焦函数”． （1）判断：①和；②和；③和，其中互为“聚焦函数”的是_________填序号） （2）若函数的“聚焦函数”与反比例函数的图象在第四象限内有两个交点和．若的面积为，求的值； （3）若二次函数（，，为整数）的“聚焦函数”的图象满足：①与轴交于点；②当时有最小值；③与直线在之间有两个不同的交点．求，，的值． 【答案】（1）①③ （2）； （3），， 【解析】 【分析】（1）根据“聚焦函数”的定义逐个判断即可； （2）求出函数的“聚焦函数”解析式为，联立得，设C，D的坐标分别为，，利用三角形面积公式列式计算即可求解； （3）求得原函数的“聚焦函数”为，根据题意求得，，再根据题意列出不等式组，求解即可． 【小问1详解】 解：根据定义：点和点关于点成中心对称，则有，即， ①和，，满足条件； ②和，，不满足条件； ③和，，满足条件， 互为“聚焦函数”的是①③； 【小问2详解】 解：设的“聚焦函数”为， 则， 联立得， 整理得， 设C，D的坐标分别为，， ∴，，， 如图，作轴，轴，垂足分别为，， ∵， ∴ ， ∵的面积为， ∴， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：原函数的“聚焦函数”为， ①与轴交于点，则； ②当时有最小值，故对称轴为直线， ∴； ∴， ③与直线在之间有两个不同的交点， 联立得， 整理得， ∴， 解得， ∵为整数， ∴． 25. 如图1，在中，，，点为边上一点，且，经过，，三点的圆交边于点，连接，交于点，连接. （1）当时，求证：是等腰直角三角形； （2）如图2，当时，求的值； （3）如图3，当时，求的长. 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）主要利用圆内接四边形的性质证明； （2）过点作于点，过点作于点，过点作于点，连接，利用垂径定理以及等腰直角三角形的性质确定圆的圆心，然后求出相关线段的长度，利用锐角三角函数求解； （3）过点作于点，过点作交于点，根据等腰直角三角形的性质，圆周角的性质求出相关角的度数，得出相等的线段，最后列出方程求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于点，过点作于点，过点作于点，连接， ∵， ∴垂直平分线段， ∴圆的圆心在直线上， ∵， ∴和为等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴圆的圆心在线段的垂直平分线上， 即点为圆的圆心， ∵，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，过点作于点，过点作交于点， 设， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴和是等腰直角三角形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期九年级数学第一次质量检测 （命题人：黄茹佳 审核人：李春红） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 的相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 如图是一个由大小相同的5个小正方体搭成的几何体，则该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 国家知识产权局数据显示：截至2025年，我国国内有效发明专利达件，并连续多年位居全球第一．将数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 制作弯管时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．图中弯管（不计厚度）有一段圆弧，点是这段圆弧所在圆的圆心，半径，圆心角，则这段弯管中的长为（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱.问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 某校规定学生体育学期成绩由三部分组成：课堂表现占，学科素养占，运动技能占．小明以上三项成绩分别为：80分，90分，94分，则小明的体育学期成绩为（ ） A. 88分 B. 89分 C. 90分 D. 91分 8. 如图，中，E为延长线上一点，连接交边于F点，交对角线于G点，若，则长为（ ） A. 1.5 B. 2 C. D. 9. 以下是小明同学数学笔记的一部分，请仔细阅读并完成相应任务． 戈特弗里德·威廉·莱布尼茨是德国伟大的哲学家、数学家，是历史上少见的通才，被誉为十七世纪的亚里士多德．莱布尼茨在数学史和哲学史上都占有重要地位，二进制数的发现与完善是他在数学史上的伟大学术成就之一，现代的计算机和依赖计算机的设备里都在使用二进制． 我们在数学学习中所用的数都是十进制数，一共有十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，其进位规则是“逢十进一”，比如数字．而二进制数是用0和1两个数码来表示的数，它的进位原则是“逢二进一”，二进制数可以转化为十进制数，转化如下：比如：． 任务：已知，是两个不相等的十进制三位数，且，若三位二进制数的三个数位均为，将其转化为十进制数为（ ） A. 1 B. 7 C. 13 D. 111 10. 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，S△ABC＝4cm2．正方形CDEF的顶点D，F分别在AC，BC边上，设CD＝CF＝x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二.填空题（每小题4分，共24分） 11. 分解因式：______． 12. 现有六张分别标有数字1，3，4，5，7，8的卡片，其中标有数字1，4，7的卡片在甲手中，标有数字3，5，8的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，则甲出的卡片数字比乙大的概率为__________． 13. 正五边形的内角和为___________度． 14. 若，是一元二次方程的两个实数根，则______． 15. 如图，Rt△AOB的边OA在x轴上，反比例函数y＝（k＞0）的图象过斜边OB的中点C，延长BO与该反比例函数图象的另一交点为D，连结AD．若△ABD的面积为18，则k的值为____． 16. 已知抛物线（，是常数且，）经过点，点，在抛物线上，且，则的取值范围为__________． 三.解答题 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，点、是对角线上的两点，且，连接、，求证：. 20. 为提升学生逻辑思维和信息素养，感受科技与数学融合魅力，学校组织八、九年级开展“赋能数学，创意点亮智慧”微视频制作竞赛.老师从八、九两个年级中各抽取20名学生的竞赛成绩进行整理，成绩分为A、B、C、D四个等级，其中90分及以上为优秀，并获评“智慧少年”. 【信息整理】信息1： 等级 A B C D 成绩 信息2：八年级B、C两组同学的成绩分别为：85，88，89，89，92，92，93，94，94； 九年级C组同学的成绩分别为：89，89，88，88，88，88，87，86. 信息3： 八年级抽取学生竞赛成绩的条形统计图 九年级抽取学生竞赛成绩的扇形统计图 【数据分析】八、九年级抽取学生的竞赛成绩统计表如表： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 88 95 九年级 88 88 （1）完成填空：__________，__________，并补全条形统计图； （2）根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校八年级学生有580人，九年级学生有525人，请估计该校八、九年级成绩为A等级的学生共有多少人？ 21. 某青少年活动中心计划开辟一块劳动实践基地，利用一面墙用篱笆围成矩形菜地，如图所示，墙最大可利用长度为米，菜地中间用篱笆隔开，在边上设计了两个宽度为米的小门，方便同学们出入，边和两扇小门不用篱笆，一共用了米长的篱笆. （1）若设菜地的宽为米，则__________米（用含的代数式表示）；且的取值范围是__________； （2）若围成的菜地面积为平方米，求此时的宽. （3）求这块菜地的最大面积？ 22. 2026闽超来了.图1是某同学为足球比赛设计的奖杯，图2是从奖杯中抽象出的几何模型，，是的切线，，为切点. （1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心；（保留作图痕迹，不写作法） （2）延长交射线于点，若，，求的半径长. 23. 阅读下列材料，回答问题. 爱动脑的小明在学习不等式知识时，查阅资料了解到：当给出不等式时，我们可以将表示为（其中为增量），从而将用代换进一步变形不等式.结合“作差法比较大小”，小明创新出一种证明不等式的方法-增量代换作差法证明不等式. 例如：已知，，求证： 证明：令，，其中， 作差得 ，，，， ， 所以 根据上述材料，解决下列问题： （1）已知，，求证：； （2）已知，试比较代数式与的大小. 24. 给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量，这两个函数对应的函数值记为，，恒有点和点关于点成中心对称（此三个点可以重合），则称这两个函数互为“聚焦函数”．例如：和互为“聚焦函数”． （1）判断：①和；②和；③和，其中互为“聚焦函数”的是_________填序号） （2）若函数的“聚焦函数”与反比例函数的图象在第四象限内有两个交点和．若的面积为，求的值； （3）若二次函数（，，为整数）的“聚焦函数”的图象满足：①与轴交于点；②当时有最小值；③与直线在之间有两个不同的交点．求，，的值． 25. 如图1，在中，，，点为边上一点，且，经过，，三点的圆交边于点，连接，交于点，连接. （1）当时，求证：是等腰直角三角形； （2）如图2，当时，求的值； （3）如图3，当时，求的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $