四川遂宁市卓同教育集团2025-2026学年高三下学期强化训练（七）数学试题

**基本信息** 高2023级数学周测试卷，以铁球熔化铸正四棱台（空间观念）、AI围棋对抗赛（运算与推理）为情境，融合集合、函数、概率等知识，梯度覆盖基础巩固与创新应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、函数、排列组合|基础概念辨析，如真子集个数、充要条件判断| |多选题|3/18|统计、双曲线、立体几何|多维度能力考查，如方差计算、渐近线方程| |填空题|3/15|等比数列、导数切线、最值|抽象思维应用，如过点切线条数的参数范围| |解答题|5/77|立体几何证明与距离、抛物线、函数单调性、解三角形、概率分布|分层设计，如立体几何基础证明与概率创新探究，体现推理能力与应用意识|

高2023级强化训练（七） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D C A C A C B ABC AD ABD 12． 13． 14． 1．B 【详解】因为，所以的真子集个数为. 2．D 【详解】. 3．C 【详解】因为从天中选天，共有种．而周一和周二同时被选的选法，共有种． 因此，满足条件的方案为种． 4．A 【详解】验证充分性： 因，， 由得，因为，则，故，充分性成立； 验证必要性： 若，则，当且不为0时，，而， 则不成立，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 5．C 【详解】球的体积为，设铁锭的高为， 则正四棱台的体积为， 由，可得，解得. 6．A 【详解】， 则、 . 7．C 【详解】因，则， 则，于是， ，和的面积分别为1，，， ，，， ， 当且仅当时，即，等号成立， 的最小值是. 8．B 【详解】因为是定义在上的奇函数，， 由，用代替可得， 因为是奇函数，，则， 用代替可得， 所以， 函数满足，则， ，令得，所以. 9．ABC 【详解】原数据方差，设， 则，故A正确； ， 故 B 正确； 模型 取对数得 ， 令 ，则回归方程为 ， 已知 ，故 ，，即 ，，故C正确； 所有样本点都在直线 上，说明完全线性相关，相关系数绝对值为 ， 直线斜率为负，故相关系数为 ，故D错误. 10．AD 【详解】对于A，双曲线，则， 不妨设点在第一象限，由双曲线定义可知， 因为，所以，，故A正确； 对于B，因为，， 所以， 故，所以，故B错误； 对于C，由B可知，， 因为，所以，所以，即， 所以，即， 所以的渐近线方程为，故C错误； 对于D，由余弦定理可得， ， 所以，故D正确. 11．ABD 【详解】如下图所示，建立空间直角坐标系，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，为正方体中一点，连接，点分别为在平面中的投影，连接，点分别为在平面中的投影，连接， 因为正方体棱长为，， 所以，，，，，，，，， 选项A：存在，使得平面平面， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 因为，， ，， 所以，即， 令，解得，即， ，即，令，解得，即， 若平面平面，则， 即，解得； 选项B：是平面的充要条件， 当时，， ，即， 所以平面， 若平面，则， 即，解得； 选项C：的三个端点在平面上的投影坐标分别为，，， 则， 的三个端点在平面上的投影坐标分别为，，， 则， 令，即，解得，此时； 选项D：设和的夹角为， ，， ， ， ， 令，即，化简可得， 判别式为， 所以方程无实数解，即对任意，. 12． 【详解】令此等比数列为，设其公比为， 依题意，，则，解得， 所以这个数列的公比为. 13． 【详解】由，设切点为，则切线斜率为， 所以，过的切线方程为， 综上，，即， 所以有三个不同值使方程成立， 即与有三个不同交点，而， 故、上，递减，上，递增； 所以极小值为，极大值为，故时两函数有三个交点， 综上，的取值范围是. 故答案为： 14． 【详解】设中点为 ，则 ，所以 . 得的轨迹是和两条平行线所夹的区域，点到该区域的最小距离为点到直线的距离，因为点 在圆 上，圆心 ，半径 ， 设点 到直线 的距离为 ， 则：， 所以 . 又因为 ，所以 . 综上， 的最小值为 . 15．【详解】（1）如图1，连接， 由正三棱柱的结构特征可知， 在正三棱柱中是正三角形，侧面均为矩形，平面. 因为D是棱的中点，所以， 因为平面，所以平面平面. 又平面平面，所以平面 .……………………………3分 又平面，所以. 因为，所以矩形为正方形，所以， 又，所以， ……………………………5分 因为平面，，所以直线平面 .……………………………6分 （2）方法一：设点A到平面的距离为h， 因为平面，所以到平面的距离相等，都为. 由（1）知，侧面均为正方形，所以，， 又，所以为等腰三角形，所以. ……………………………10分 又，即， 所以，解得，即点A到平面的距离为.……………………13分 方法二：取的中点，连接，由（1）可知两两互相垂直， 所以以D为原点，建立如图2所示的空间直角坐标系， 则， ……………………………7分 所以， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，即…………10分 所以点A到平面的距离为. ……………………………13分 16．【详解】（1）当时，联立，得．……………………………2分 因为与有且仅有一个交点，所以，解得．……………………………4分 所以的方程为． ……………………………6分 （2） 联立，得． 因为与交于不同的两点，所以，即． 设，， ……………………………9分 ……………………………11分 因为，所以． ， ……………………………13分 所以． ……………………………15分 17．【详解】（1）由题意得的定义域为， 由，可得， ……………………………2分 若，则在上恒成立， 则的单调递增区间为，无单调递减区间. ……………………………4分 若，则当时，，当时，， 则的单调递增区间为，单调递减区间为. ……………………………7分 （2）由（1）可知，若存在最小值，则， 且的最小值为，则 ……………………………9分 可得，即. 令，则. 因为恒成立， 所以恒成立，则在上单调递增. ……………………………12分 又，令，解得，即， 故的取值范围为. ……………………………15分 18．【详解】（1）在中，因为，所以，代入得到，由正弦定理得， 由余弦定理得，化简得， 又，， 所以 ……………………………5分 （2）（i）因为，所以，所以……………………………6分 如图，建立平面直角坐标系 此时，，设， 因为，所以 设， 代入得， ……………………………8分 整理得，解得 ……………………………9分 ……………………………10分 ，当且仅当取得等号 ……………………………11分 又因为，当且仅当取得等号， 所以的最小值为 ……………………………12分 （ii）此时，所以直线， ，所以直线， 联立，解得， ……………………………15分 所以 ……………………………17分 19．【详解】（1）（1）两款机器人共进行5局比赛，两款机器人所赢局数之差的绝对值可能的取值有， 则， ， ， ……………………………3分 的分布列为 1 3 5 数学期望. ……………………………5分 （2）在前局比赛中Alpha星赢的局数时，第局全胜，最终也无法获胜，所以； ……………………………6分 当时，仅当第局全胜，最终才能赢得比赛，即；……………………7分 当时，第局至少胜一场，就能最终赢得比赛，即； ……………………………8分 当时，无论第局什么结果，都能最终赢得比赛，即； …………9分 综上所述，. （3）由全概率公式可知 ……………………………11分 所以， ……………………………13分 当时，， 又因为 ， 因为，所以，即 ……………………………17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 卓同教育集团高2023级强化训练（七) 数学试题·答题卡 姓名： 考生条形码粘贴处 班级： 准考证号： 一、单选题 (共40分) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[AJ[B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[AJ[B][C][D] 二、多选题（共18分） O9[A][B][c][D] 10A][B][C] [D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 13. 14. 四、解答题（共77分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤) 此区域禁止答题 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(本小题满分13分) C B B A E 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16. (本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）卓同教育集团高2023级强化训练（七) 数学试题 命题：符刚 审题：吴振 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.若A={-1,0,1},则A的真子集个数为() A.8 B.7 C.6 D.3 2.已知tan8=,则cos6+sin0-() cosθ-sin0 A.-2 B.1 C. D.2 2 3.某学校从周一至周五5天中选择2天开展社会实践活动，周一和周二不能同时被选中，则不同的选择方 案有() A.7种 B.8种 C.9种 D.10种 4.设a,b∈R,则“l0g232a=l0g29”是“a=b4的(). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别 为1和2，则它的高为() A. B.16元 C.32z 7 D.4 6.已知数列a},4-1a+a1n+i+n,则数列a}的前9项和为(） A.3 B.6 C.2 D.4 7.已知M是△ABC内的一点，且AB.AC=4√3，∠BAC=30°.若△MBC,△MCA和△MAB的面积分别 为1，x,少，则上8+5的最小值是() x yy A.4W3+2 B.9 C.15 D.20 8.若定义在R上的奇函数f(x)满足f(1+x)=∫(1-x)+x,则f(2026)=() A.1012 B.1013 C.1014 D.1015 第1页/共4页 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列命题正确的是() A.若样本数据x1,x2,…,x的方差为2，则数据2x-1,2x2-1,,2x。-1的方差为8 B.若P(A=0.6,P(BA)=0.5,P(BA)=0.2,则P(B)=0.38 C.以模型y=ce“去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z=hy,求得经验回归方程为 z=4x+0.3,则c,k的值分别是e3和4 D.在一组样本数据(5，)，(x2,y2),…,（x,yn),(n≥2，x,x2,,x不全相等)的散点图中，若所 有样木点低，).(12，川都在直线V=+1上，则这组养木数据的线性相关系数为} 10.已知.5分别为双曲线C:可片-1b0的左、右焦点，过耳的直线交c的右支于4B两 点，若A=2AF,∠AFE=∠BE,则() A.AF=8 B.AB=8 C.C的渐近线方程为y=±x D.△AFF,的面积为415 11.在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，AP=(AB+AD+AA),2∈(0,1).则下列正确的是() A.存在∈(O,1),使得平面ADP/平面B,CD, B.-是4C上平面4DP的充要条件 C.S,S,分别是△ADP在平面AB,CD,平面BB,CC上的投影图形的面积，对任意1∈(O,1),都有 S≠S2 D.任意AE(Q,D,△4DP的面积不等于 6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知一个等比数列的前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比为 13.已知函数f(x)=x-ax+1,过点P(2,0)存在3条直线与曲线y=f(x)相切，则实数a的取值范围是 第2页/共4页 14.己知点A,B分别是直线3x+4y+5=0和圆x2+y2=1上的动点，P(2,2),则PA+PB的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.如图，在正三棱柱ABC-AB,C中，D、E分别是棱AB,、AA的中点，且AA=AB,=2, B E (I)求证：直线AB⊥平面CDE: (2)求点A到平面ACB的距离. 16.已知地物线C:y2=2px(p>0),直线：y=x+1.当t=时，1与C有且仅有一个交点. (1)求C的方程： (2)若1与C交于两个不同的点A,B,设AB的中点为M,过点M平行于x轴的直线与C交于点N,求 4BI MN 17.己知函数f(x)=x-anx+a2. (1)讨论f(x)的单调性： (2)若f(x)存在最小值，且最小值小于2，求a的取值范围 第3页/共4页 ,sin(A+C）a2+c2+ac 18.已知△ABC的内角，B,C所对的边分别为a,b,c,且smA-Ca2-e (1)求B: (2)若c=1,点D在直线AC上，直线BD上一点P满足CB.CP=CD.CP,在点C和点D的变化过程中， (i)求PA+PC2的最小值： (i)当PA+PC2最小时，求BA.BD的值. 19.某科研团队研发的两款AI围棋机器人（Alpha星，Beta翼)进行对抗赛，比赛规则为：共进行奇数局 比赛，全部完成后，获胜局数多的机器人胜出.假设每局比赛中，Alpha星获胜的概率都是p(O<p<1), 各局比赛的结果相互独立，且无平局. ①)当P=2时，两款机器人共进行5局比赛，设两款机器人所赢局数之差的绝对值为X,求X的分布列和 3 数学期望； (2)若两款机器人共进行2n+1(n∈N且n≥2)局比赛，记事件A表示“在前2n-1局比赛中Alpha星赢了 k(k=0,1,2,,2n-1)局”.事件B表示Alpha星最终获胜”。求 (3)若两款机器人共进行了2n-1(n∈N)局比赛，Alpha星获胜的概率记为P,；若两款机器人共进行了 2n+1局比赛，Alpha星获胜的概率记为P+1:若两款机器人共进行了2n+3局比赛，Apha星获胜的概率记 为证明：当p<1时，R+:<22 第4页/共4页 卓同教育集团高2023级强化训练（七） 数学试题 命题：符刚 审题：吴振 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若，则的真子集个数为（   ） A．8 B．7 C．6 D．3 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 3．某学校从周一至周五5天中选择天开展社会实践活动，周一和周二不能同时被选中，则不同的选择方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 4．设，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为（    ） A． B． C． D． 6．已知数列，则数列的前9项和为（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 7．已知是内的一点，且，.若，和的面积分别为1，，，则的最小值是（   ） A． B．9 C．15 D．20 8．若定义在上的奇函数满足，则（   ） A．1012 B．1013 C．1014 D．1015 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列命题正确的是（   ） A．若样本数据，，的方差为2，则数据 的方差为8 B．若，，，则 C．以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得经验回归方程为，则的值分别是和4 D．在一组样本数据，，，，(，不全相等)的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为 10．已知 分别为双曲线的左、右焦点，过 的直线交 的右支于 两点，若，，则（   ） A． B． C．的渐近线方程为 D．的面积为 11．在棱长为1的正方体中，．则下列正确的是（   ） A．存在，使得平面平面 B．是平面的充要条件 C．分别是在平面，平面上的投影图形的面积，对任意，都有 D．任意，的面积不等于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知一个等比数列的前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比为______． 13．已知函数，过点存在3条直线与曲线相切，则实数的取值范围是___________. 14．已知点，分别是直线和圆上的动点，，则的最小值为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．如图，在正三棱柱中，D、E分别是棱、的中点，且. (1)求证：直线平面； (2)求点A到平面的距离. 16．已知地物线，直线．当时，与有且仅有一个交点． (1)求的方程； (2)若与交于两个不同的点，设的中点为，过点平行于轴的直线与交于点，求． 17．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若存在最小值，且最小值小于2，求的取值范围. 18．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求B； (2)若，点D在直线AC上，直线BD上一点P满足，在点C和点D的变化过程中， （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）当最小时，求的值． 19．某科研团队研发的两款AI围棋机器人（Alpha星，Beta翼）进行对抗赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部完成后，获胜局数多的机器人胜出．假设每局比赛中，Alpha星获胜的概率都是，各局比赛的结果相互独立，且无平局． (1)当时，两款机器人共进行5局比赛，设两款机器人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望； (2)若两款机器人共进行且局比赛，记事件表示“在前局比赛中Alpha星赢了局”．事件表示“Alpha星最终获胜”。求的值； (3)若两款机器人共进行了局比赛，Alpha星获胜的概率记为；若两款机器人共进行了局比赛，Alpha星获胜的概率记为；若两款机器人共进行了局比赛，Alpha星获胜的概率记为．证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( ) 卓同教育集团高2023级强化训练（ 七 ） ( 15．（本小题满分13分） )数学试题·答题卡 ( 考生条形码粘贴处 )姓名：____________________ 班级：____________________ 准考证号：____________________ ( 一、 单选 题 （共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、多选题（共18分） 0 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三 、填空题（每小题5分，共 15 分） 13 ． 14 ． 四 、解答题（共7 7 分，解答写出文字说明 、 证明过程或演算步骤） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 16．（本小题满分15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（本小题满分17分） ) ( （本小题满分15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（本小题满分17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $高2023级强化训练（七） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A B ABC AD ABD (19 14. 28 12.±2 13. 2’2 5 1.B 【详解】因为A={-1,0,1},所以A的真子集个数为23-1=7 2.D 1 【详解】=cos6+sin日 =1+tan61+ 32 cos0-sing 1-tan0 1- 1 3.C 【详解】因为从5天中选2天，共有C=10种.而周一和周二同时被选的选法，共有1种. 因此，满足条件的方案为10-1=9种. 4.A 【详解】验证充分性： log,324 2alog,3,l0g,9=l0g2 325=2b 10g,3, 由log232=l0g29得2alog23=2blog23,因为log23≠0，则a=b,故a=b4,充分性成立； 验证必要性： 若a=b4,则a=+b,当a=-b且不为0时，log232a=-2b1log23,而log29=2blog23, 则1og232a=log29不成立，故必要性不成立， 所以“l0g232a=l0g29”是“a4=b4的充分不必要条件 5.C 【详解】球的体积为乃=4心=32 ,设铁锭的高为h, 3 则正四核台的体积为-：+2+x④到A-欢。 自=巧，可将咨”欢解得 6.A 2 2Wn+1-vn-1) 【详解】a+aun+1+n-i(n+1+n-)(+1-1-1可】 +上-1， 则q+a2+4+a4+4+…+a+4,=4+(a2+a)+(a4+a)++(a+a,)、 =1+5-+5-5+…+5-万=3. 7.C 【详解】因∠BAC=30°，则ABAC=4B.Ccos30°=45， 则国ac管8于是国风aac-8m2 2 :△MBC,△MCA和△MAB的面积分别为1，x,y, .x+y+1=2,x+y=1(x>0,y>0),.x=1-y, 1+8+1+8y18119-1 19 x V 眼别功当登贤915 x y h y 当且仅当'=x 时，即y=3x=3,等号成立， x v 4 :1+8+的最小值是15. x 8.B 【详解】因为f(x)是定义在R上的奇函数，f(O)=0, 由f(1+x)=f(1-x)+x,用x+1代替x可得f(x+2)=f(1-(c+1)+x+1=f(-)+x+1, 因为f(x)是奇函数，f(-x)=-f(x),则f(x+2)=-f(x)+x+1, 用x+2代替x可得f(x+4)=-f(x+2)+x+2+1, 所以f(x+4)=f(x)-x-1+x+2+1=f(x)+2, 函数f(x)满足f(x+4)-f(x)=2,则f(2026)=f(4×506+2)=f(2)+2×506, f(1+x)=f(1-x)+x,令x=1得f(2)=f(0)+1=1,所以f(2026)=f(2)+2×506=1+1012=1013 2 9.ABC 【详解】原数据方差D(x)=2,设y=2x-1, 则D(y)=22D(x)=2×2=8,故A正确： P(B)=P(A)P(BA)+P(A)P(BA=0.6×0.5+0.4×0.2=0.3+0.08=0.38, 故B正确； 模型y=cea取对数得lny=lnc+c, 令z=ly,则回归方程为乏=kx+lnc, 己知三=4x+0.3,故k=4,lnc=0.3,即k=4,c=e3,故C正确； 所有样本点都在直线y=+1上，说明完全线性相关，相关系数绝对值为1， 直线斜率为负，故相关系数为-1，故D错误. 10.AD 【详解1对于双前线C写若-16>0，则a=2, 不妨设A点在第一象限，由双曲线定义可知A-AF=2a=4, 因为A=2AF,所以AF=4,A=8,故A正确： 对于B,因为∠ARE=∠IBF,∠FAF,=∠BAF, 所以△AFE~△ABF, 爵台国=16，核 AB 对于C,由B可知，B=AB-A=12, 因为BF-BE=2M=4,所以B=16,所以FF=8,即c=4, 所以b2=c2-a2=12,即b=2√3， .b 所以C的渐近线方程为y=±Px=±√3x,故C错误： 对于D,由余弦定理可得cos∠RAB=A+A-64+16-641 2AA引 2×4x84 sin F4R--cos dn,-15 4 所以54网m∠国4P48压故D正晚 4 y 11.ABD 【详解】如下图所示，建立空间直角坐标系，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA 所在直线为z轴，P为正方体中一点，连接AP,AD,AP,DP,点A,D,P'分别为A,D,P在平面AB,CD中 的投影，连接AP,AD,DP,点B,C,P”分别为A,D,P在平面BB,CC中的投影，连接B,C,B,P",CP", D1 X 因为正方体棱长为1，AP=(AB+AD+A), 所以A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A(0,0,1),B(1,0,1),C(1,1,1),D(0,1,1),P(2,2,), 选项A:存在1E(0,1),使得平面ADP∥平面B,CD, 设平面ADP的法向量为=(a,b,c),平面B,CD,的法向量为2，=(d,e,f), 因为AD=AD-A4=(0,1,-1),AP=AP-AA=(2,,1-1), BC=AC-AB=(0,1-1),CD=AD-AC=(-1,0,1), 所以 hAD=0m「b-c=0 24-0即1a2+b2+(2-)-0 4 a=2-1 令c=-1,解得 b=-2,即h=(2元-1，-元，-2)， c=-2 2,·B,C=0 e-f=0 -d+f=0令d=1,解得d=e==1,即%=(1,1，l, 即 2,CD=0 若平面ADP/平面BCD,则nIn,, 可24-子-子，解符1-0： 1 选项B:A=专是4C1平面ADP的充要条件。 当2=时，月 AC=（1,1,1)=-3m，即AC/m, 所以AC⊥平面ADP, AC·AD=0 若AC⊥平面ADP,则 AC·AP=0 [0×1+1×1+1×(-1)=0 x+1x+1x(2-)=0解得2= 即 选项C:△ADP的三个端点在平面AB,CD(s=1)上的投影坐标分别为A(0,0,1),D(0,1,1),P'(元，元，1)， 则8合-台 △ADP的三个端点在平面BB,CC(x=1)上的投影坐标分别为B(1,0,1),C(1,1,0),P"(1,,), 则81p1-2-, 2 令88，即后-B,解符-写0，此时8=8言 2 2 选项D:设AD和AP的夹角为O, AD=(0,1,-1),AP=(2,元，元-1)， AD.AP 0×+1×1+(-1)×(2-1) 1 c0S8= 4D40+1+(←1V++(a-1)26-4+2' 12 sin=v1-cos20= 1 622-42+1 、V62-41+2 =62-42+2 S4-号4A86@, 2 ,化简可得62-42+ =0, 6 2 6 9 判别式为(-4)-4678 9- <0, 3 所以方程无实数解，即对任意EQ),S4 6 12.±2 【详解】令此等比数列为{a}，设其公比为9， 依题意， 4+a2+43+a4=4 +a++a,=68_1,则q=56中+s=16,解得q=±2 41+4,+43+4 所以这个数列的公比为±2， 19 13. 2'2 【详解】由f'(x)=3x2-a,设切点为(，)，则切线斜率为f'(m=3-a, 所以，过P(2,0)的切线方程为y=(32-a(x-2), 综上， n=(3md-al-2）,即(3m2-o0m-2)=m-am1， n=m-am+1 所以2a=-2m+62+1有三个不同m值使方程成立， 即y=2a与g(m=-2m3+62+1有三个不同交点，而g'(m)=-612+121, 故(-o,0)、(2,+∞)上8'(m<0,g(m递减，(0,2)上8'()>0，g(m)递增； 所以g(m)极小值为8(0)=1，极大值为g(2)=9,故1<2a<9时两函数有三个交点， 综上，a的取值范围是 19 22 故答案为： 19 (22 14.28 【详解】设AB中点为M,则PA+PB=2PM,所以PA+PB=21PM1· 得M的轨迹是3x+4y+5=0和3x+4y=0两条平行线所夹的区域，点P(2,2)到该区域的最小距离为点 P(2,2)到直线3x+4y=0的距离，因为点B在圆x2+y2=1上，圆心O(0,0),半径r=1, 设点P到直线3x+4y+5=0的距离为d, 6 则：d=3x2+4x2+56+8+519 V32+4 V9+1651 所以吸d-r-号1-4 又因为PA+P2列PM1,所以1PA+P=2x4-28 5-5 综上，团西的最小值为器 B B 15.【详解】(1)如图1，连接AB, E 由正三棱柱的结构特征可知， 图1 在正三棱柱ABC-AB,C1中△AB,C,是正三角形，侧面均为矩形，BB⊥平面AB,C1. 因为D是棱AB的中点，所以CD⊥AB, 因为BBC平面ABB,A,所以平面AB,C⊥平面ABB,A. 又平面AB,C,∩平面ABB,A=AB,所以CD1平面ABBA .3分 又ABC平面ABB,A,所以CD⊥A,B. 因为AA=AB=2,所以矩形ABB,A为正方形，所以AB⊥AB, 又DE//AB,所以DE⊥AB, 5分 因为CD,DEC平面CDE，,CD∩DE=D,所以直线AB⊥平面CDE6分 (2)方法一：设点A到平面ACB的距离为h, 因为CC,I1平面ABBA,所以C,C1到平面ABBA的距离相等，都为CD=√5， 由1)知，侧面均为正方形，所以S4e=×2x2=2,4C=AB=2万. 又0-2，所以a4C为等银形所以8earp智-背公行 2 .10分 又B=y-A8,即SAex5=SA, 3 所以x2×5=×h,解得h=21,即，点A到平面4CB的距离为2 3 7 13分 > 方法二：取AB的中点F,连接DF,由(1)可知DA,DF,DC两两互相垂直， 所以以D为原点，建立如图2所示的空间直角坐标系， ZA 图2 则4(1,0,0)，A(12,0bB(-1,2,0)C0,2,6) …7分 所以4A=(0,2,0),4B=（←2,2,0)b4C=（1,2,5), 设平面ACB的法向量为i=(x,y,=), 元.4B=0「-2x+2y=0 则 3 nAC=0' =x+2v+32=0?令x=1,则y=1,2=-3,即万-1,1- 即 10分 3 i.442221 所以点A到平面ACB的距离为网厂 7 .13分 V3 v2=2px 16.【详解】(1)当t=)时，联立 1,得y2-2p四+卫=0.2分 x=y- 2 因为1与C有且仅有一个交点，所以△=4p2-4p=0,解得p=1.…4分 所以C的方程为y2=2x. 6分 yA N (2) M 联立护=2x x=y1得-2y+2r=0. 1 因为1与C交于不同的两点，所以△=4-8t>0,即t< 2 8 设A(G,y),B(x,y), y+2=2 y2=2t 9分 1AB=(N1+F,-y)=(54-=84-2) 11分 因为M产，所以0-.N 2 sN=1-1-2-20. 2 13分 4BI 所以MN 81-2）=-16 -刘 15分 17.【详解】(1)由题意得f(x)的定义域为(0，+o), 由f()=x-alnr+a2,可得f'(x)=l-a-x-a .2分 若a≤0，则f(x)>0在(0，+∞)上恒成立， 则f(x)的单调递增区间为(0，+o),无单调递减区间. 4分 若a>0,则当xe(0,a)时，f'(x)<0,当x∈(a,+o)时，f'(x)>0, 则f(x)的单调递增区间为(a,+o),单调递减区间为(0，d) 7分 (2)由(1)可知，若f(x)存在最小值，则a>0, 且f(x)的最小值为f(a)=a-ana+a2,则a-adna+d<2 9分 可得1-lna+a<2,即a-ha-2+1<0. a a 令gx)=K-nx-2+1(x>0),则gy=11+2=-+2 1 x x2 127 因为x2-x+2=x-2)+4 >0恒成立， 所以g'(x)>0恒成立，则g(x)在(0，+o)上单调递增. 12分 又g(1)=0,令g(x)<0,解得x∈(0,1)，即a∈(0,1)， 故a的取值范围为(0,1)。 .15分 18.【详解】(1)在△ABC中，因为A+B+C=π，所以si(A+C)=sinB,代入得到 sinB -心+c+心，由正弦定理得b a2+c2+ac sin Acos C-cos AsinC a2-c2 acosC-ccosA a2-c2 b d+c+ac 由余弦定理得a2+b2-c2b2+c2-2a2-c2，化简得b2=a2+c2+ac, a C- 2ab 2bc 义cosB=+c2-b2=-c=-1，B∈(O,π)， 2ac 所以B= 7 5分 (2)(i)因为CB.CP=CD.CP,所以DB.CP=0,所以DB⊥CP6分 如图，建立平面直角坐标系 D 此时4(-1.0).B=牙，设c(uv5m,m0 因为DB⊥CP,所以PB.PC=0 设P(x,y),代入得x2-x+y2-√3w=0, 8分 9分 PA+PC2=(x+12+y2+(x-m)2+(y5m =2x+4m2+1+2x2-x+y2-√3my)=2x+42+1 .10分 ≥-m+4m+1,当且仅当x=-取得等号 2 11分 又因为-m+4m2+1≥4m- ,/1215≥15，当且仅当m=8 1 取得等号， 81616 8 所以P4:+PC的最小值为6 15 12分 10 13 (ii)此时C 88 所以直线4C:y=5 (+1), 1V3 1616 P 所以直线BP:y=-√3x, y=-/3x 联立 解得D1) 10'10 15分 J= 9(+1) 所以BA.BD=1 17分 19.【详解】(1)(1)两款机器人共进行5局比赛，两款机器人所赢局数之差的绝对值X可能的取值有1,3,5， 则Px-)=c)周+c周 P(X=3)=( 周+c器”号 32+1= 24324381 3分 X的分布列为 X 1 5 40 10 11 81 6 数学期望E(x)=1x40 +3× 1 95留 8181 5分 (2)在前2n-1局比赛中Alpha星赢的局数k≤n-2时，第2n,2n+1局全胜，最终也无法获胜，所以 6分 当k=n-1时，仅当第2,21+1局全胜，最终才能赢得比赛，即P(BA)=p2；7分 当k=n时，第2n,21+1局至少胜一场，就能最终赢得比赛，即P(BA)=1-(1-p)2=-p2+2p: 8分 11 当k=n+1时，无论第2n,21+1局什么结果，都能最终赢得比赛， 4小19分 社-2 综上所述， P oP4)r.PA)g-2aP©2A)1 (3)由全概率公式可知卫=Cp1-p八p2+Cnp1-p)[1-(1-p)]+[P-Cn-p(1-p) 11分 =P+Cp-1(1-p)p2-C:n-p(1-p)1-p2 =卫+C2-p(1-p）”-Cgnp”(1-p） =P+C2m-1p(1-p)(2p-1) 所以Pn1-P=Cm-1p(1-p)(2p-1), 13分 当分1时，2-R>0 (2n+1)4 又因为P:P-Cp1-p"(2p-)C1- 2_(n+)nP1-p) P-BC8-p(1-p°(2p-) C2 (2-1)1 (n-1)！nl =p水-pP1. 2 因为Pn1-B>0,所以P+2-n1<Pn+1-P,即B+P+2<2P1 .17分 12