期末真题专项训练03 解三角形10大考点【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

期末真题专项训练03 解三角形 【考点一】余弦定理解三角形 【考点六】求三角形中的边长或周长的最值或范围 【考点二】正弦定理解三角形 【考点七】正、余弦定理判定三角形形状 【考点三】正弦定理判定三角形解的个数 【考点八】几何图形中的计算 【考点四】正弦定理边角互化的应用 【考点九】距离测量问题 【考点五】三角形面积公式及其应用 【考点十】高度测量问题 【考点一】余弦定理解三角形 1.（24-25高一下·河南郑州·期末）在 中，，，，则为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】根据余弦定理可得，即为钝角，进而即可得到答案． 【详解】由余弦定理得， 又在 中，，则为钝角， 所以为钝角三角形． 故选：C． 2．（24-25高一下·贵州黔东南·期末）已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，，，则（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 【答案】B 【分析】由余弦定理直接计算求解即可. 【详解】由题可得， 因为，所以. 故选：B 3.（24-25高一下·广东汕尾·期末）已知平行四边形，对角线，，，则边__________. 【答案】2 【分析】利用余弦定理解三角形可得的长度. 【详解】如图： 取与的交点为，则为平行四边形的对角线与的中点. 在中，由. 所以. 在中，， 所以. 故答案为：2 4．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知的内角的对边分别为，且，，则___________. 【答案】/ 【分析】根据余弦定理求解. 【详解】因为， 所以. 因为，所以， 所以，即. 故答案为：. 5.（24-25高一下·贵州安顺·期末）中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，满足． (1)求角A的大小； (2)若，求的周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用共线向量的坐标性质化简得，再结合角A的范围即可求得结果； （2）利用余弦定理建立关系，再利用基本不等式求出最大值. 【详解】（1），，． ， ， ， （2）由（1）得， 由余弦定理得， 所以， 当且仅当时取等号，解得， 所以 所以的周长的最大值为. 6．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）如图，在平面四边形中，，，，． (1)求的长度； (2)若与交于点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在直角三角形中利用勾股定理求得、、，确定的正弦、余弦值，再结合两角和的余弦公式以及余弦定理即可求解. （2）解法一：构建平面直角坐标系，利用垂直关系，确定点坐标，利用平面向量的方法求解.解法二：在利用余弦定理确定，利用同角关系确定，再利用两角和的余弦公式即可求解. 【详解】（1），， ，，，， 在中，，， ， 在中，， ． （2）解法一：如图，以点为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系， 则，，， ，，过点作于点， ，即， 整理得， ，，，， ，，， ∴， 为与的夹角，，， ∴． 解法二：，在中，，，， 则， ， 则 ． 【考点二】正弦定理解三角形 7.（24-25高一下·甘肃白银·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二倍角公式和诱导公式得到，解得，由同角三角函数关系得到，由正弦定理得到方程，求出答案. 【详解】因为，所以. 因为，所以，可得，解得. 因为，，所以. 由正弦定理得，故，解得. 故选：C 8．（24-25高一下·黑龙江·期末）某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的边长为21的等边三角形，已知，则（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出，再利用正弦定理求解，最后利用余弦定理求解即可. 【详解】因为用3个全等的小三角形拼成如图所示的边长为21的等边三角形， 所以，，，且设， 因为，所以由同角三角函数的基本关系得， 因为，所以是等边三角形，故， 可得， 由正弦定理得，解得， 设，由余弦定理得，解得（负根舍去），故A正确. 故选：A 9.（24-25高一下·福建福州·期末）在中，角，，的对边分别是，，，已知，，，则______. 【答案】2 【分析】由正弦定理计算可得结果. 【详解】由正弦定理得：，则. 故答案为：2. 10．（24-25高一下·安徽芜湖·期末）长度分别为4和的线段、交于点，并且满足，，记，则__________. 【答案】/ 【分析】设，在、中分别利用正弦定理得出的关系式，再消去得出，结合即可求出的三角函数值，即可求出，. 【详解】设， 则在、中分别利用正弦定理得， ，， 则，，，， 因，则， ， 两式相除得，， 化简得， 因，则，则， 则， 即，得或（舍）， 则，， 代入中有， 得， 故. 故答案为： 11.（24-25高一下·安徽滁州·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，求，，. 【答案】答案见解析 【分析】由正弦定理得或，然后分别利用正弦定理求出边a，利用内角和为求出角A，即可得解. 【详解】由正弦定理，得， 因为，，所以，于是或. 当时，， 此时 ； 当时，， 此时 . 12．（24-25高一下·湖北襄阳·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，． (1)求的值； (2)为边上一点，满足且， （i）求证：； （ii）若，，设，求的值． 【答案】(1)3或． (2)． 【分析】（1）利用正弦定理与余弦定理即可得到结果. （2）（i）利用正弦定理以及互补角的余弦值互为相反列出等式，即可证明结论. （ii）利用第（i）的结论以及两角差的正弦公式即可求得结果. 【详解】（1）因为，结合正弦定理和余弦定理可得 ，    ，或． 所以或． （2）（i）因为，所以． 又，，，． 又，则， ，     ， ， ， ，    又，，， 又，, 所以     （ii），，， ，，解得， ∴，∴， ∴， ， ∴，， 【考点三】正弦定理判定三角形解的个数 13.（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出三角形有两解的充要条件，进而求出的范围. 【详解】 如图：三角形中，，， 则有两解的充要条件为：， 即. 故选：D. 14．（24-25高一下·安徽合肥·期末）在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据各选项的条件，结合正弦定理解三角形，判断解的个数，即可得答案. 【详解】对于A，，则，只有一解，A不符合题意； 对于B，，满足，只有一解，B不符合题意； 对于C，，则， 故，结合， 故B有两解，分别在以及之间，C符合题意； 对于D，，则， 故，此时无解，D不符合题意， 故选：C 15.（多选）（24-25高一下·安徽合肥·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且该三角形有两解，则b的值可以为（   ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】CD 【分析】根据三角形解的个数知，当时，该三角形有两解，可得到的取值范围，即可求解． 【详解】解：当时，即时，即时，该三角形有两解． 故选：CD． 16．（多选）（24-25高一下·甘肃白银·期末）在中，，．若有两个解，则的取值可能为（   ） A．9 B．8 C．10 D．11 【答案】ACD 【分析】根据有两个解，可得，解不等式即可得解. 【详解】在中，，， 因为有两个解，所以， 即，故，结合选项可知ACD符合题意． 故选：ACD 17.（24-25高一下·广东梅州·期末）在中，、、分别三个内角、、的对边，，，若该三角形有两个解，则边的长的取值范围为_____. 【答案】 【分析】作出示意图，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为在中，，，且该三角形有两个解，如下图所示： 则，即，即， 因此，边的长的取值范围为. 故答案为：. 18．（24-25高一下·四川绵阳·期末）已知，，分别是的三个内角，，所对的边.若，，写出一个值，使满足条件的有2个，则取值范围是__________. 【答案】 【分析】由即可求解. 【详解】当即时满足条件的有2个， 所以取值范围是. 故答案为：. 【考点四】正弦定理边角互化的应用 19.（24-25高一下·广东汕头·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的基本关系，正弦定理及两角和的正弦公式化简得到，从而得到，再根据正切的二倍角公式即可求出． 【详解】由，则， 则， 又在中，， 则，且， 所以， 即，得， 所以，， 所以． 故选：B． 20．（24-25高一下·山东威海·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角C=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，利用正弦定理得，根据两角和的正弦公式得，又即可求，进而得. 【详解】由有，由正弦定理有， 又， 所以，又为的内角，所以，即， 又由，所以， 又，所以，所以. 故选：C. 21.（24-25高一下·四川成都·期末）中，角，，所对的边分别为，，，，，，则角的对边____________. 【答案】 【分析】由正弦定理得到，再结合余弦定理即可求解. 【详解】在中，因为，所以根据正弦定理有， 又，则，， 由， 得. 故答案为： 22．（24-25高一下·河北石家庄·期末）在中，，则中最大角的余弦值为________． 【答案】/ 【分析】由正弦定理，可得原式等价于，设，，，解方程可分别求得三边，再根据三角形边角关系，可得角为最大角，再结合余弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理，得，所以，，， 代入，化简得， 设，，，三式相加得，即， 所以， ， ， 所以， 根据三角形的边角关系，可知角为最大角， 根据余弦定理，可得. 故答案为：. 23.（24-25高一下·四川泸州·期末）在△ ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，，求边AC上的高． 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 先应用正弦定理边角转化再结合两角和的正弦化简，最后应用角的范围求解； （2）应用正弦定理结合两角和的正弦化简，最后应用正弦定义计算求解； 【详解】（1）因为， 由正弦定理，可得：， 又因为在中，， 所以， 化简，得：， 因为，所以， 所以，， 即． （2）因为，所以， 由正弦定理，可得， 由（1）可知：，所以，， 即， 又因为在中，， 所以． 24．（24-25高一下·内蒙古·期末）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2)15 【分析】（1）由条件根据余弦定理求，再结合的范围求结论； （2）由条件，结合正弦定理可求，由关系求，由此可得结论. 【详解】（1）因为， 所以由余弦定理得． 因为，所以． （2）因为，， 由正弦定理可得． 由（1）可知， 所以，解得， 所以的周长为． 【考点五】三角形面积公式及其应用 25.（24-25高一下·山东青岛·期末）已知的面积为，，，则（    ）． A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由余弦定理和三角形面积公式即可求得结果. 【详解】设中角所对的边分别为， 因为的面积为，，所以， 又，所以，结合上式得：， 由余弦定理得：，故. 故选：A 26．（24-25高一下·陕西商洛·期末）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，．则的面积为（    ）． A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理可求解，即可由面积公式求解. 【详解】由余弦定理可得， 即，即，解得或（舍去）， ∵，∴， 所以， 故选:D． 27.（24-25高一下·福建福州·期末）在中，是边上一点，且，，则__________；若，则的面积的最大值为__________． 【答案】 / 【分析】设，则，画出图形，运用余弦定理得到，进而得到，再用余弦定理得到，借助基本不等式计算即可． 【详解】设，则．    在中，由余弦定理得： ， ， 在中，， 满足， 为直角三角形，且， 在中，由余弦定理，   ， ，当且仅当时取等号， ， ， ， 即面积的最大值为． 故答案为：；． 28．（24-25高一下·河南许昌·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记的面积为S，若，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】通过对已知条件化简得出角的关系，再结合锐角三角形的角的范围以及正弦定理求解比值的范围. 【详解】已知，则. 因为（是三角形内角， ），等式两边约去得 . 由余弦定理得， ， 两边除以得，即 . 由正弦定理得 . 因为，所以， . 则，展开， 即 ，即 . 因为是锐角三角形，所以（会导致，舍去 ）， 则 . 又因为是锐角三角形，所以 ， 解得 . 由正弦定理得 . 因为，所以，则， ， 即的取值范围是 . 故答案为： 29.（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）在中，角的对边分别为，已知. (1)求的值； (2)若的面积为，求边上的高. 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）利用正弦定理可得结果； （2）利用面积公式可得，然后使用余弦定理可知，最后使用面积公式可求边上的高. 【详解】（1）由题可知：，则， 且， 又，所以. （2）作边上的高，如图： ，由（1）可知，所以， 则， 30．（24-25高一下·四川眉山·期末）已知分别为三个内角的对边，且． (1)求； (2)若是边的中点，，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理或余弦定理进行边角互化即可得出结果； （2）用向量法利用中线定理，结合基本不等式即可得解． 【详解】（1）方法1：由正弦定理可化为 ， ∴，∴． ∵，∴， ∵，∴． 方法2：∵，由余弦定理得 ， 化简可得，∴， ∵，∴． （2）∵为边中点，∴， ∴， ∵，∴， ∵（当且仅当时等号成立）， ∵， ∴，∴面积的最大值为． 【考点六】求三角形中的边长或周长的最值或范围 31.（24-25高一下·河北承德·期末）在中，已知，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【分析】由正弦定理化角为边，再结合余弦定理变形可得. 【详解】因为，所以由正弦定理得， 又， 所以，，即， 所以一定是等腰三角形， 故选：B. 32．（24-25高一下·黑龙江黑河·期末）若，则为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】结合角的范围，利用正弦函数的性质可判断三角形的形状. 【详解】因为，，所以或者. 即或者（）. 所以该三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：C 33．（24-25高一下·河南商丘·期末）记的内角、、的对边分别为、、，且，则是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式、诱导公式可求出的值，结合角的取值范围可得出角的值，由此可得出结论. 【详解】因为，所以， 由正弦定理得， 整理得， 因为，所以，故，故，所以为直角三角形． 故选：A． 34．（24-25高一下·四川成都·期末）设的面积为，角、、所对的边分别为、、，且，若，则此三角形的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】由余弦定理可得出的值，由平面向量数量积的定义以及三角形的面积公式化简得出的值，结合三角形内角的取值范围得出、的值，进而可得出角的值，即可得出结论. 【详解】因为，所以， 因为，故， 因为，即， 即，化简得， 因为，故，可得，则，故， 因此，为直角三角形， 故选：B. 35.（多选）（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（    ） A．若为锐角三角形，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则 D．若，则符合条件的有两个 【答案】CD 【分析】利用正弦定理可以判断AC；对B可知或，判断即可；对D，通过比较可知，判断即可. 【详解】对A，若，则，为锐角三角形，不能明确边长之间关系，错误； 对B，，则或，又，可知，所以为等腰三角形或者直角三角形，错误； 对C，在中，若，则，所以，正确； 对D，由，则，，所以有两个，正确. 故选：CD 36．（多选）（24-25高一下·陕西西安·期末）下列命题中，正确的是（   ） A．在中，若，则是等腰直角三角形 B．在中，若，则 C．在锐角三角形中，不等式恒成立 D．在中，若，，则必是等边三角形 【答案】BCD 【分析】由正弦定理边化角关系，利用二倍角的正弦，结合正弦函数性质判断A；由正弦定理及三角形边角关系判断B；由，则，结合正弦函数性质C；利用余弦定理及已知确定△的形状判断D. 【详解】对于A，由及正弦定理，得，即， 又，则或，则为等腰或直角三角形，A错误； 对于B，由正弦定理得，B正确； 对于C，锐角中，，则，，C正确； 对于D，由已知及余弦定理，得，则，即， 又，因此必是等边三角形，D正确. 故选：BCD 【考点七】正、余弦定理判定三角形形状 37.（24-25高一下·湖北襄阳·期末）如图，的内角，，的对边分别为，，，直线与的边，分别相交于点，，其中为锐角三角形，，设，满足．则的周长的取值范围为_____． 【答案】 【分析】先由和差角的正余弦公式结合正弦定理求出，再由时，的周长有最小值，当时，的周长有最大值. 【详解】因为， 可得， 可得， 所以，可得， 又因为，可得，所以， 因为，所以． 画图可知，当时，的周长有最小值， 当时，的周长有最大值， 由为锐角三角形，所以周长的取值范围是. 故答案为： 38．（24-25高一下·浙江宁波·期末）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据余弦定理和三角形面积公式将等式化简可求出角的值，然后确定的范围，最后根据正弦定理即可求出的范围. 【详解】因为，则， 整理可得，且，可知， 由为锐角三角形可得：，所以 所以. 故答案为：. 39.（24-25高一下·江西宜春·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，．则内切圆半径r的取值范围为__________． 【答案】 【分析】由正弦定理有，，根据余弦定理有，结合及，应用三角恒等变换有，由三角形内角性质、正弦函数性质求范围即可. 【详解】因为，由正弦边角关系得，即， 由余弦定理，得，又，所以， 由正弦定理得，所以，， 由余弦定理，得，所以， 利用等面积法可得， 则 ， ∵，∴，故，则， 所以，故 故答案为： 40．（24-25高一下·河南驻马店·期末）中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】利用正弦定理进行边角转化，可得，再利用消元思想可消去，从而可得，然后再利用余弦定理求得， 从而利用单调性可得取值范围.. 【详解】由正弦定理可得：， ， 即，由内角和定理可得： ，再由正弦定理角化边得：， 所以 ， 再由余弦定理得：，当且仅当时等号成立， 所以，由可得：， ， 故答案为：. 41.（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知在中，内角，，的对边分别为，，，的外接圆的直径为，为锐角，. (1)求的面积的最大值； (2)若点为的内切圆的圆心，求的周长的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理可得，再由余弦定理得，结合基本不等式可得，结合即可求解； （2）根据题意可得，设，，在中，利用余弦定理得，结合基本不等式得到即可求解． 【详解】（1）解：在中，由正弦定理得：，， 所以，又，所以， 由余弦定理得：，即， 又，所以，. 所以，当且仅当时，等号成立， 故的面积的最大值； （2）因为点为的三个内角的角平分线的交点， 所以. 设，， 在中，由余弦定理得：， 即，所以， 又，所以， 所以，所以， 所以的周长的最大值为，当且仅当时，等号成立， 故周长的最大值为． 42．（24-25高一下·广西柳州·期末）在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且. (1)求角A的大小； (2)若，，求a； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合正弦定理和诱导公式，化简求值即可； （2）通过三角形的面积公式求出边长，再利用余弦定理求解即可； （3）通过正弦定理，将边用角表示，然后结合三角形中角的关系，将问题表示为单一变量角的函数，再结合锐角三角形，确定角的取值范围，再利用正弦函数求取值范围即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，即， 因为在中，，所以， 又，所以. （2）因为，，，所以，解得. 由余弦定理得. （3）因为，， 结合正弦定理，得，所以，. 在中，, 所以. 因为为锐角三角形，所以，所以， 则，所以， 所以. 【考点八】几何图形中的计算 43．某工业园区有A、B、C共3个厂区，其中，，，现计划在工业园区外选择P处建一仓库，若，则CP的最大值为（    ）    A．6km B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据锐角三角函数可得，再在中利用余弦定理得到，再由三角恒等变换公式及三角函数的性质求出，即可得解． 【详解】设，， 则， 在中，， 在中， 所以当时，，， 所以最大值为． 故选：C． 44.在中，若对任意恒成立，则为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．形状不确定 【答案】B 【分析】化简，带入不等式两边同时平方进行化简，最后用余弦定理化简，得出答案. 【详解】,两边平方得到：， 因为若对任意恒成立，所以， 即 化简不等式得： ， 由余弦定理得：，化简得：， 所以，为直角三角形. 故选：B 45. 中，的角平分线交AC于D点，若且，则的最小值为________． 【答案】 【分析】利用三角形面积公式得到，由基本不等式求出，从而得到面积的最小值. 【详解】由三角形面积公式可知， ， 故， 又， 所以，即， 由基本不等式得，即， 解得，当且仅当时，等号成立， 所以. 故答案为： 46．某手机社交软件可以实时显示两人之间的直线距离.已知甲在某处静止不动，乙在点A时，显示与甲之间的距离为400米，之后乙沿直线从点A点走到点B，当乙在点B时，显示与甲之间的距离为600米，若A，B两点间的距离为500米，则乙从点A走到点B的过程中，甲、乙两人之间距离的最小值为_____________米. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出，进而求出作答. 【详解】令甲的位置为点，如图，在中，，    由余弦定理得，， 过作于，所以所求距离的最小值为（米）. 故答案为： 47.在中，内角，，所对的边分别为，，，的外接圆半径为，. (1)求； (2)已知，是边的中点，且，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换整理可得，所以； （2）根据（1）中结论以及等面积法可得，再由余弦定理列方程计算求出各边长，利用勾股定理可得. 【详解】（1）由正弦定理可得， 所以由可得， 又因为，所以， 因此可得，即， 又，所以， 因此，又, 可得； （2）如下图所示： 由（1）中以及，可得， 因为是边的中点，所以， 即，可得， 由余弦定理可得 又已知，所以， 所以， 可得 即的长为. 48．（24-25高一下·甘肃甘南·期末）（1）如图，已知圆内接四边形ABCD的边长分别为，求四边形ABCD的面积； （2）如图，已知圆内接四边形ABCD的边长分别为a，b，c，d，试证明其面积为. （3）已知凸四边形的边长分别为，求四边形ABCD内切圆半径r的取值范围. 【答案】（1）（2）证明见解析（3） 【分析】（1）连接BD，分别在和 中，利用余弦定理，结合 ，得到，然后由求解； （2）连接AC，分别在和中，利用余弦定理结合，求得，再由，结合，得到，由证明. （3）结合（2），利用内切圆的定义得到答案. 【详解】（1）如图所示： 连接BD，在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得:, 因为，则， 两式相减得， 又， 所以， 所以. （2）如图所示： 连接AC，在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得: , 因为，则， 两式相减得：， 所以， 而， 因为， 所以， 所以， 所以， 则， ， 即. （3）知凸四边形的边长分别为，求四边形ABCD内切圆半径r的取值范围 在和中分别应用余弦定理，有 , 则,又, 两式平方相加,整理得 , 注意到 ， 故， ， 当，即A、B、C、D四点共圆时取等号. 另一方面，由知，最小时，最小，此时最大. 又因为,所以只需令最大即可. 设由三角不等式有. 易知随增加而增加, 随增加而增加, 所以只需比较和的情况即可. 此时四边形ABCD分别趋向于退化成边长为3、3、4和 4、4、2的三角形, 经比较可得面积较小者为. 故, 综上，的取值范围是. 【考点九】距离测量问题 49.（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知点在点的正西方向，为了测量两点之间的距离，在观测点处测得在的北偏西方向，在的北偏东方向，且两点之间的距离为20米，则两点之间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】根据题意作图，利用正弦定理求得，根据两角和的正弦公式计算得，代入计算即可得解. 【详解】根据题意作图， 则，,， 在中，根据正弦定理，， 即，则， 因为， 所以，. 即两点之间的距离为米. 故选：A. 50．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得在A的南偏东的方向上，在A的南偏东的方向上，在点测得在的南偏西的方向上，在的南偏东的方向上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据图形求得角度，然后利用正弦定理得到，最后使用余弦定理计算即可. 【详解】由题可知：， 所以， 所以在中，, 在中， 在中，. 故选：C 51．（24-25高一下·广东惠州·期末）位于灯塔处正西方相距海里的处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔处北偏东方向有一与灯塔相距海里的处有一艘乙船，则乙船前往支援处甲船需要航行的最短距离是 （    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】B 【分析】根据题设画出示意图，利用余弦定理可得. 【详解】根据题意，画出示意图如下，由题意得，， 由余弦定理得 . 所以，则乙船航行的距离为海里. 故选：B. 52．（24-25高一下·河南南阳·期末）如图，某观察站B在城A的南偏西的方向，由城A出发的一条公路走向是南偏东，在B处测得公路上距B处的C处有一人正沿公路向A城走去，走了之后到达D处，此时B，D间的距离为．要达到A城，这个人还要走（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中，利用余弦定理得，进而得，即可得，利用两角和的正弦公式得，最后由正弦定理即可求解. 【详解】由题意有：，在中，由余弦定理有：， 又，所以， 所以， 所以， 又， 在中，由正弦定理有：，所以. 故选：A. 53.（24-25高一下·四川成都·期末）如图，某学习小组为了测量湖中两小岛间的距离，在岸边选取了相距的两点，满足在同一平面内，测得，则________． 【答案】 【分析】在三角形ABD中，利用正弦定理求得线段BD的长，再在三角形BCD中利用余弦定理即可求得结果. 【详解】在三角形ABD中，因为所以, 所以， ， 利用正弦定理，解得， 在三角形BCA中，，得到, 所以三角形ABC为以为直角的等腰直角三角形，; 在三角形BDC中，利用余弦定理， 故, 故答案为： 54．（24-25高一下·甘肃兰州·月考）如图，两座山峰的高度，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（在同一水平面上）测得M点的仰角为点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离为________m． 【答案】 【分析】在、中利用锐角三角函数求出、，再在中利用余弦定理计算可得. 【详解】在中， 在中， 在中 ． 故答案为： 【考点十】高度测量问题 55.（24-25高一下·山东青岛·期末）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一道题目是测海岛的高.如图，点E，H，G在水平线AC上，ED和GF是两个垂直于水平面且等高的测量标杆.若，，，，则海岛的高AB为（   ） A．16 B．24 C．32 D．40 【答案】A 【分析】假设，在中，得到；在中，得到，联立计算即可. 【详解】设， 在中，①； 在中，②； 由①②可得：. 故选：A 56．（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）如图，南北分界线是蚌埠的标志性建筑，小明为了测量其高度，在地面上选择一个观测点，在处测得处的无人机和该建筑的最高点的仰角分别为，无人机距地面的高度为20米，且在处无人机测得点的仰角为，点B，C，N在同一条直线上，则该建筑的高度（单位：米）为（   ） A． B． C． D．40 【答案】D 【分析】在中，求出，中，由正弦定理求出，中，求出. 【详解】在中，，则， 由图，可知，， 则， 在中，由正弦定理，得， 在中，. 故选：D. 57．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理求出,再根据正切函数定义求解. 【详解】在中，，，，则夹， 由正弦定理可得： 故选：B. 58.（24-25高一下·广西钦州·期末）如图，在测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，；，且在点测得塔顶A的仰角为，则______． 【答案】 【分析】由题及正弦定理可得，然后由在点测得塔顶A的仰角为可得AB. 【详解】在中，由正弦定理，， 则，又因在点测得塔顶A的仰角为， 则. 故答案为： 59．（24-25高一下·湖北黄石·期末）如图，河流的一侧是以O为圆心的扇形区域OCD，河的另一侧有一建筑物AB垂直于水平面，假设扇形OCD与B处于同一水平面上，记OB交于E.若在C，O，E处看A的仰角分别为，和，则的余弦值为______. 【答案】 【分析】根据题意，设扇形所在圆的半径为，可得，求得，且，在中，利用余弦定理，即可求解. 【详解】由题意，可得，和，所以， 设扇形所在圆的半径为，可得，且垂直于水平面， 在直角中，可得， 所以，且， 在中，可得. 故答案为：. 60.（24-25高一下·江苏镇江·期末）我们把在某一点观察物体最高点和最低点所形成仰角的差值称之为“仰角差”．某博物馆截面如图所示，墙壁上有一幅壁画，最高点为，最低点为，观察点所在的水平线与壁画的竖直线交点为，在点处观察点，仰角为，然后面对壁画前进处的点观察点，其仰角的正切值为7． (1)求壁画最高点与点的距离； (2)若在，两点观察壁画的最高点和最低点的仰角差相等． ①求壁画最低点与点的距离； ②在观察水平线上，应处在距离点多远处观察壁画，才能使得仰角差最大？ 【答案】(1)7 (2)①1；② 【分析】（1）根据三角函数的定义，列出方程即可求解； （2）设，，由正弦定理列出方程即可求解；设距点距离为时，仰角差最大，此时位于点，设，由两角差的正切公式及基本不等式即可求解． 【详解】（1）在中，，所以， 在中，， 因为， 所以， 所以壁画最高点与点的距离为7． （2）①设，， 在中，，则， 在中，， 在中，由正弦定理得，， 在中，， 在中，由正弦定理得，， 解得，即． ②设距点距离为时，仰角差最大，此时位于点，设， 在中，，在中，， 则 ，当且仅当，即时等号成立， 所以当距离点处观察壁画，才能使得仰角差最大． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末真题专项训练03 解三角形 【考点一】余弦定理解三角形 【考点六】求三角形中的边长或周长的最值或范围 【考点二】正弦定理解三角形 【考点七】正、余弦定理判定三角形形状 【考点三】正弦定理判定三角形解的个数 【考点八】几何图形中的计算 【考点四】正弦定理边角互化的应用 【考点九】距离测量问题 【考点五】三角形面积公式及其应用 【考点十】高度测量问题 【考点一】余弦定理解三角形 1.（24-25高一下·河南郑州·期末）在 中，，，，则为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2．（24-25高一下·贵州黔东南·期末）已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，，，则（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 3.（24-25高一下·广东汕尾·期末）已知平行四边形，对角线，，，则边__________. 4．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知的内角的对边分别为，且，，则___________. 5.（24-25高一下·贵州安顺·期末）中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，满足． (1)求角A的大小； (2)若，求的周长的最大值． 6．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）如图，在平面四边形中，，，，． (1)求的长度； (2)若与交于点，求． 【考点二】正弦定理解三角形 7.（24-25高一下·甘肃白银·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·黑龙江·期末）某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的边长为21的等边三角形，已知，则（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 9.（24-25高一下·福建福州·期末）在中，角，，的对边分别是，，，已知，，，则______. 10．（24-25高一下·安徽芜湖·期末）长度分别为4和的线段、交于点，并且满足，，记，则__________. 11.（24-25高一下·安徽滁州·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，求，，. 12．（24-25高一下·湖北襄阳·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，． (1)求的值； (2)为边上一点，满足且， （i）求证：； （ii）若，，设，求的值． 【考点三】正弦定理判定三角形解的个数 13.（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·安徽合肥·期末）在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 15.（多选）（24-25高一下·安徽合肥·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且该三角形有两解，则b的值可以为（   ） A．3 B．5 C．6 D．7 16．（多选）（24-25高一下·甘肃白银·期末）在中，，．若有两个解，则的取值可能为（   ） A．9 B．8 C．10 D．11 17.（24-25高一下·广东梅州·期末）在中，、、分别三个内角、、的对边，，，若该三角形有两个解，则边的长的取值范围为_____. 18．（24-25高一下·四川绵阳·期末）已知，，分别是的三个内角，，所对的边.若，，写出一个值，使满足条件的有2个，则取值范围是__________. 【考点四】正弦定理边角互化的应用 19.（24-25高一下·广东汕头·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高一下·山东威海·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角C=（    ） A． B． C． D． 21.（24-25高一下·四川成都·期末）中，角，，所对的边分别为，，，，，，则角的对边____________. 22．（24-25高一下·河北石家庄·期末）在中，，则中最大角的余弦值为________． 23.（24-25高一下·四川泸州·期末）在△ ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，，求边AC上的高． 24．（24-25高一下·内蒙古·期末）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长． 【考点五】三角形面积公式及其应用 25.（24-25高一下·山东青岛·期末）已知的面积为，，，则（    ）． A． B． C． D．1 26．（24-25高一下·陕西商洛·期末）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，．则的面积为（    ）． A．2 B． C． D． 27.（24-25高一下·福建福州·期末）在中，是边上一点，且，，则__________；若，则的面积的最大值为__________． 28．（24-25高一下·河南许昌·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记的面积为S，若，则的取值范围为______． 29.（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）在中，角的对边分别为，已知. (1)求的值； (2)若的面积为，求边上的高. 30．（24-25高一下·四川眉山·期末）已知分别为三个内角的对边，且． (1)求； (2)若是边的中点，，求面积的最大值． 【考点六】求三角形中的边长或周长的最值或范围 31.（24-25高一下·河北承德·期末）在中，已知，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 32．（24-25高一下·黑龙江黑河·期末）若，则为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形 33．（24-25高一下·河南商丘·期末）记的内角、、的对边分别为、、，且，则是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 34．（24-25高一下·四川成都·期末）设的面积为，角、、所对的边分别为、、，且，若，则此三角形的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 35.（多选）（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（    ） A．若为锐角三角形，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则 D．若，则符合条件的有两个 36．（多选）（24-25高一下·陕西西安·期末）下列命题中，正确的是（   ） A．在中，若，则是等腰直角三角形 B．在中，若，则 C．在锐角三角形中，不等式恒成立 D．在中，若，，则必是等边三角形 【考点七】正、余弦定理判定三角形形状 37.（24-25高一下·湖北襄阳·期末）如图，的内角，，的对边分别为，，，直线与的边，分别相交于点，，其中为锐角三角形，，设，满足．则的周长的取值范围为_____． 38．（24-25高一下·浙江宁波·期末）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且，则的取值范围是______. 39.（24-25高一下·江西宜春·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，．则内切圆半径r的取值范围为__________． 40．（24-25高一下·河南驻马店·期末）中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围为__________. 41.（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知在中，内角，，的对边分别为，，，的外接圆的直径为，为锐角，. (1)求的面积的最大值； (2)若点为的内切圆的圆心，求的周长的最大值. 42．（24-25高一下·广西柳州·期末）在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且. (1)求角A的大小； (2)若，，求a； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【考点八】几何图形中的计算 43．某工业园区有A、B、C共3个厂区，其中，，，现计划在工业园区外选择P处建一仓库，若，则CP的最大值为（    ）    A．6km B． C． D． 44.在中，若对任意恒成立，则为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．形状不确定 45. 中，的角平分线交AC于D点，若且，则的最小值为________． 46．某手机社交软件可以实时显示两人之间的直线距离.已知甲在某处静止不动，乙在点A时，显示与甲之间的距离为400米，之后乙沿直线从点A点走到点B，当乙在点B时，显示与甲之间的距离为600米，若A，B两点间的距离为500米，则乙从点A走到点B的过程中，甲、乙两人之间距离的最小值为_____________米. 47.在中，内角，，所对的边分别为，，，的外接圆半径为，. (1)求； (2)已知，是边的中点，且，求的长. 48．（24-25高一下·甘肃甘南·期末）（1）如图，已知圆内接四边形ABCD的边长分别为，求四边形ABCD的面积； （2）如图，已知圆内接四边形ABCD的边长分别为a，b，c，d，试证明其面积为. （3）已知凸四边形的边长分别为，求四边形ABCD内切圆半径r的取值范围. 【考点九】距离测量问题 49.（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知点在点的正西方向，为了测量两点之间的距离，在观测点处测得在的北偏西方向，在的北偏东方向，且两点之间的距离为20米，则两点之间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 50．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得在A的南偏东的方向上，在A的南偏东的方向上，在点测得在的南偏西的方向上，在的南偏东的方向上，且，则（   ） A． B． C． D． 51．（24-25高一下·广东惠州·期末）位于灯塔处正西方相距海里的处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔处北偏东方向有一与灯塔相距海里的处有一艘乙船，则乙船前往支援处甲船需要航行的最短距离是 （    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 52．（24-25高一下·河南南阳·期末）如图，某观察站B在城A的南偏西的方向，由城A出发的一条公路走向是南偏东，在B处测得公路上距B处的C处有一人正沿公路向A城走去，走了之后到达D处，此时B，D间的距离为．要达到A城，这个人还要走（   ） A． B． C． D． 53.（24-25高一下·四川成都·期末）如图，某学习小组为了测量湖中两小岛间的距离，在岸边选取了相距的两点，满足在同一平面内，测得，则________． 54．（24-25高一下·甘肃兰州·月考）如图，两座山峰的高度，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（在同一水平面上）测得M点的仰角为点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离为________m． 【考点十】高度测量问题 55.（24-25高一下·山东青岛·期末）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一道题目是测海岛的高.如图，点E，H，G在水平线AC上，ED和GF是两个垂直于水平面且等高的测量标杆.若，，，，则海岛的高AB为（   ） A．16 B．24 C．32 D．40 56．（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）如图，南北分界线是蚌埠的标志性建筑，小明为了测量其高度，在地面上选择一个观测点，在处测得处的无人机和该建筑的最高点的仰角分别为，无人机距地面的高度为20米，且在处无人机测得点的仰角为，点B，C，N在同一条直线上，则该建筑的高度（单位：米）为（   ） A． B． C． D．40 57．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为（    ）． A． B． C． D． 58.（24-25高一下·广西钦州·期末）如图，在测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，；，且在点测得塔顶A的仰角为，则______． 59．（24-25高一下·湖北黄石·期末）如图，河流的一侧是以O为圆心的扇形区域OCD，河的另一侧有一建筑物AB垂直于水平面，假设扇形OCD与B处于同一水平面上，记OB交于E.若在C，O，E处看A的仰角分别为，和，则的余弦值为______. 60.（24-25高一下·江苏镇江·期末）我们把在某一点观察物体最高点和最低点所形成仰角的差值称之为“仰角差”．某博物馆截面如图所示，墙壁上有一幅壁画，最高点为，最低点为，观察点所在的水平线与壁画的竖直线交点为，在点处观察点，仰角为，然后面对壁画前进处的点观察点，其仰角的正切值为7． (1)求壁画最高点与点的距离； (2)若在，两点观察壁画的最高点和最低点的仰角差相等． ①求壁画最低点与点的距离； ②在观察水平线上，应处在距离点多远处观察壁画，才能使得仰角差最大？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $