期末复习讲义01 三角7大考点【满分全攻略备考系列】2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册重难点讲义与测试

期末复习讲义01 三角 【考点一】 任意角及其度量 【考点五】 二倍角公式 【考点二】 任意角的正弦、余弦、正切、余切 【考点六】 正弦定理 【考点三】 诱导公式 【考点七】 余弦定理 【考点四】 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 一、任意角及其度量 核心：掌握任意角的定义、象限角判定、弧度制与角度制互化，以及弧长、扇形面积公式，为后续三角函数学习奠定基础。 1. 任意角的定义与分类 定义：角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，旋转方向决定角的正负（逆时针为正，顺时针为负），旋转量决定角的大小。 分类： ① 按旋转方向：正角（逆时针旋转）、负角（顺时针旋转）、零角（未旋转）； ② 按终边位置：象限角（终边在某一象限）、象限界角（终边在坐标轴上，不属于任何象限）。 终边相同的角：与角终边相同的所有角的集合为（弧度制），或（角度制）。 2. 象限角的判定（高频基础） 弧度制下象限角的范围（）： ① 第一象限角：；② 第二象限角：； ③ 第三象限角：； ④ 第四象限角：。 易错点：终边在坐标轴上的角（如等）不属于任何象限，解题时需单独讨论。 3. 弧度制与角度制互化（必考） 核心公式： 弧度，即 弧度， 弧度 。 常用互化：，，，，，，，。 4. 弧长与扇形面积公式（高频选填） 弧长公式：（为圆心角的弧度数，为圆的半径，）。 扇形面积公式：（为圆心角的弧度数，为弧长，为半径）。 易错点：使用公式时，圆心角必须用弧度制，若给出角度制，需先转化为弧度制再计算。 二、任意角的三角函数 核心：掌握任意角三角函数的定义、同角三角函数基本关系、诱导公式，能熟练进行三角函数值的计算与化简。 1. 任意角的三角函数定义（必考） 定义：设是任意角，以的顶点为原点，始边为轴正半轴建立平面直角坐标系，在的终边上任取一点（异于原点），点到原点的距离为，则： （正弦），（余弦），（正切）， （余切），（正割），（余割）。 常用结论：三角函数值仅与角的终边位置有关，与终边上点的选择无关；正切函数的定义域为（终边不能在轴上）。 2. 三角函数值的符号（高频易错） 符号规律（口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”）： ① 第一象限：（全正）； ② 第二象限：（仅正弦正）； ③ 第三象限：（仅正切正）； ④ 第四象限：（仅余弦正）。 易错点：判断符号时，需先确定角所在象限，再结合三角函数的符号规律，避免混淆象限对应的符号。 3. 同角三角函数基本关系（核心必考） 平方关系：（适用于所有）； 商数关系：（）； 倒数关系：（），，。 应用：① 已知一个三角函数值，求其余三角函数值（注意符号判断）；② 化简三角函数式；③ 证明三角恒等式。 4. 诱导公式（高频必考，重点掌握） 核心口诀：“奇变偶不变，符号看象限”（“奇、偶”指的是的倍数的奇偶性；“符号看象限”指的是将看作锐角时，原三角函数在目标象限的符号）。 常用诱导公式（重点记忆）： ① 终边相同的角：，，（）； ② 负角公式：，，； ③ 公式：，，； ，，； ④ 公式：，； 　，。 易错点：使用诱导公式时，忽略“符号看象限”，导致符号错误；对“奇变偶不变”理解偏差，误用函数名（如将错写为）。 5. 已知三角函数值求角（中档考点） 步骤：① 确定角的取值范围；② 求对应的锐角（参考角）；③ 根据三角函数值的符号，确定角所在象限；④ 结合终边相同的角的集合，写出所有满足条件的角。 易错点：忽略角的取值范围，导致漏解或多解；未正确确定参考角，影响角的求解。 三、常用三角公式 核心：熟练掌握两角和与差、二倍角、降幂、半角等公式，能灵活运用公式进行三角函数的化简、求值、证明，是期末解答题的核心考查内容。 1. 两角和与差的三角函数公式（必考） 正弦公式： 余弦公式： 正切公式： 适用条件：（正切函数有意义）。 应用：① 已知两个角的三角函数值，求它们的和、差的三角函数值；② 化简三角函数式；③ 证明三角恒等式。 2. 二倍角公式（重中之重，必考） 核心公式： （三种形式，灵活选用） （适用条件：） 降幂公式（二倍角公式衍生，高频应用）： 用途：将二次三角函数化为一次，简化运算（解答题化简核心技巧） 升幂公式（二倍角公式衍生）： 3. 半角公式（选考，灵活运用） 公式（由二倍角公式推导）： 易错点：半角公式根号前的符号，由所在的象限确定，忘记判断符号会导致结果错误。 4. 三角变换技巧（解题关键） 角的变换：将未知角转化为已知角的和、差、倍、半，如，（期末解答题高频技巧）； 函数名变换：“切割化弦”（将正切、余切、正割、余割转化为正弦、余弦），统一函数名，简化运算； 常数代换：用等特殊值代换常数，便于凑配公式； 和积互化（选考）：结合两角和差公式，将正弦、余弦的和差与乘积相互转化，简化复杂式子（具体公式见附录）。 四、解三角形 核心：掌握正弦定理、余弦定理，能运用定理解决三角形的边长、角度、面积求解，以及三角形形状判断、范围最值等综合问题，是期末解答题的重点考查模块。 1. 正弦定理（高频必考） 定理内容：在中，内角的对边分别为，外接圆半径为，则。 常见变形（边角互化核心）： ① 边化角：，，； ② 角化边：，，； ③ 比例关系：。 适用场景： ① 已知两角及一边，求其余边与角； ② 已知两边及其中一边的对角，求其余边与角（注意多解）； ③ 边角互化，化简或证明恒等式、判断三角形形状。 SSA多解判定（易错难点）：已知，解的个数： ① 为锐角：（无解）；（一解，直角）；（两解）；（一解）； ② 为钝角/直角：（无解）；（一解）。 2. 余弦定理（高频必考） 定理内容：在中，内角的对边分别为，则： 推论（求角核心）： 适用场景： ① 已知三边，求三个角； ② 已知两边及其夹角，求第三边及其他角； ③ 判断三角形形状（通过余弦值符号判断角的类型：为锐角，为直角，为钝角）。 易错点：余弦定理中“”易误写为“”，导致结果错误。 3. 三角形面积公式（高频必考） 核心公式（边角式）：（最常用，结合正弦、余弦定理灵活运用）； 其他公式： ① 外接圆式：（为外接圆半径）； ② 内切圆式：（为内切圆半径，为半周长）； ③ 海伦公式：（已知三边时使用）。 易错点：混淆面积公式中的三角函数，误将写为。 4. 解三角形综合题型（期末压轴） 三角形形状判断：通过边角互化，将边的关系转化为角的关系，或角的关系转化为边的关系，结合三角函数性质判断（如等腰、直角、钝角三角形）； 范围与最值问题：结合正余弦定理、基本不等式、三角函数有界性（，），求边长、周长、面积的最值； 综合求值：结合三角恒等变换公式与正余弦定理，进行“给值求值”“给值求角”，注意角的范围限定。 【考点一】任意角及其度量 1.（25-26高一上·上海·期末）若扇形的半径为2，圆心角为，关于弧长与扇形面积正确的结果为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由扇形的弧长公式与面积公式判断选项即可. 【详解】由题意得，解得，则. 2．（25-26高一上·上海·期末）下列说法正确的是（   ） A．第二象限角都比第一象限角大 B．将表的分针拨快10分钟，分针转过的角为 C．角和角是终边相同的角 D．若是第二象限角，则是第一象限或第三象限的角 【答案】D 【分析】由任意角的周期性的概念结合正负角即可求解. 【详解】对于A，由任意角的概念，第二象限角不一定比第一象限角大， 例如是第二象限角，是第一象限角，但，故A错误； 对于B，数学中规定逆时针为正角， 故表的分针拨快10分钟，分针转过的角为，故B错误； 对于C，角和角相差，不是的整数倍，终边不同，故C错误； 对于D，若是第二象限角，则有，， 则，， 当时，，的终边在第一象限， 当时，，的终边在第三象限， 当时，，即，的终边在第一象限， 当k为偶数时，是第一象限角； 当k为奇数时，是第三象限角， 所以是第一象限或第三象限的角，故D正确. 3．（25-26高一上·上海松江·期末）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”别号．如图是折扇的示意图，其中，，为中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（    ）．    A． B．18000 C．36000 D． 【答案】A 【分析】利用大扇形面积减去小扇形面积去求扇环部分的面积即可. 【详解】    设线段的中点是，由题可知，， 则. 故选：A. 4．（24-25高一上·上海·期末）勒洛三角形是一种定宽曲线，它是德国机械工程专家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形的边长为2，则勒洛三角形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】勒洛三角形的面积为3个圆心角为 60°的扇形面积减去2个正三角形面积，即可得解. 【详解】如图：，以为圆心的扇形面积是， 的面积是，    ∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积， 即． 故选：B. 5.（25-26高一上·上海·期末）已知，则是第________象限角． 【答案】三 【详解】因为，所以与终边相同，是第三象限角. 6．（25-26高一上·上海·期末）与的角终边相同的最小正角为______． 【答案】 【详解】因为与角终边相同的角是， 所以当时，与角终边相同的最小正角是. 7．（25-26高一上·上海·期末）已知扇形的圆心角为，半径为3，则扇形的面积为_________． 【答案】 【分析】根据扇形的面积公式直接求解. 【详解】由题意，得扇形的圆心角为，半径为， 代入公式得扇形的面积. 故答案为：. 8．（25-26高一上·上海·期末）如图，一把折扇完全打开后，扇面的两条弧的弧长分别是和，且，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【详解】设，圆心角为， 则，解得， 故阴影部分的面积为. 9．（25-26高一上·上海·期末）如图，从半径为的圆中剪下圆心角为弧度，半径为的扇形，此扇形的周长为，剩余部分扇形的周长为，若，则_____.    【答案】 【分析】根据题意，利用扇形的弧长公式得到，，列出方程，即可求解. 【详解】由题可得，，， 所以，解得. 故答案为：. 【考点二】任意角的正弦、余弦、正切、余切 10.（25-26高一上·上海·期末）角的终边经过点且，则实数的值为（    ） A．4 B． C． D．3 【答案】B 【详解】由三角函数的定义得， 平方化简得，解得（正根舍去）. 11．（25-26高一上·上海闵行·期末）“”是“”的（   ）条件 A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】根据题意，利用正弦函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由，可得或，所以充分性不成立； 反之，由，可得，所以必要性成立， 所以是的必要不充分条件. 故选：C. 12．（25-26高一上·上海静安·期末）“”是“角为第二象限角”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据三角函数的性质，以及必要不充分条件的概念，判断结果即可. 【详解】当时，或， 则为第二象限角或为第三象限角， 当角为第二象限角时，，则； 所以“”是“角为第二象限角”的必要不充分条件； 故选：B． 13.（25-26高一上·上海·期末）若角的终边经过点，则________． 【答案】 【分析】运用正弦函数的定义进行求解即可. 【详解】因为点到原点的距离为， 所以. 故答案为： 14．（25-26高一上·上海·期末）已知为第四象限角，且，则______． 【答案】/ 【分析】根据角所在象限，结合同角三角函数关系式求解即可. 【详解】因为为第四象限角，所以， 由，所以， 故答案为：. 15．（25-26高一上·上海·期末）已知，则______. 【答案】 【分析】根据齐次式求解即可. 【详解】因为，所以 故答案为： 16．（24-25高一下·上海·期末）若，且，则的值为_________． 【答案】/ 【分析】首先利用平方关系求的值，再利用平方关系求的值. 【详解】，得， 则， 且，则，所以. 故答案为： 17.（25-26高一上·上海·期末）已知角满足． (1)求； (2)若是第四象限角，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将已知等式两边平方，结合同角的正余弦的平方和为1，可求解. （2）结合（1）求得的值，结合是第四象限角，进而可求解. 【详解】（1）由，得， 所以，所以， 所以. （2）因为是第四象限角，所以，所以， 又， 所以. 18．（25-26高一上·上海·期末）（1）若角的终边经过点，求的值； （2）已知，且为第二象限角，分别求和的值． 【答案】（1）；（2），. 【详解】（1）由角的终边经过点，得． 所以． 所以． （2）因为，所以． 又，所以，所以． 由，解得或， 因为是第二象限角，所以，所以， 所以． 【考点三】诱导公式 19.（24-25高一上·上海·期末）对任意实数和正整数，定义集合，集合.当中的元素个数为个时，的值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分析可得集合中的元素为区间上等间隔地取个点，集合中的元素为函数在区间上等间隔地取个点所得的函数值，由中的元素个数为个，即可逐个选项判断即可. 【详解】由题意得，集合中的元素为，，，，，， 即在区间上等间隔地取个点， 集合中的元素为，， 即函数在区间上等间隔地取个点所得的函数值. 因为中的元素个数为个， 即函数在区间上等间隔地取个点所得的函数值有个， 所以，所以的最小值为， 当时，在上等间隔地取个点， 此时中的元素个数为个，故可以为，排除A； 当时，在上等间隔地取个点， 此时中的元素个数为个，故不可能为，故选B； 当时，在上等间隔地取个点， 此时中的元素个数为个，故可以为，排除C； 当时，在上等间隔地取个点， 此时中的元素个数为个，故可以为，排除D. 故选：B 20.（25-26高一上·上海·期末）已知，则______． 【答案】 【详解】. 21．（23-24高一下·上海黄浦·期末）若，则______. 【答案】 【详解】根据诱导公式可知， 且. 22．（25-26高一上·上海宝山·期末）已知，则______. 【答案】 【分析】通过凑角，利用诱导公式和同角三角函数关系式计算即得. 【详解】因，则， 又，则， 故. 故答案为： 23．（25-26高一上·上海·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则____ 【答案】/ 【分析】根据任意角的三角函数的定义求出，再化简可求得结果. 【详解】由题意得， 则. 故答案为：. 24.（25-26高一上·上海·期末）化简：． 【答案】 【分析】运用诱导公式进行求解即可. 【详解】. 25．（25-26高一上·上海·期末）计算： (1)求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式化简即可得解； （2）利用商数关系弦化切，代入即可. 【详解】（1）. （2）因为，所以. 26．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知是第三象限角，且. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平方关系和商数关系计算即可求得结果； （2）利用诱导公式以及齐次式化简求值即可. 【详解】（1）易知，即， 又，可得， 因为是第三象限角，所以， 因此 （2）显然， 代入计算可得， 因此. 27．（24-25高一上·上海奉贤·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，角的始边在正半轴上，角的终边在第二象限，设终边上有一点，且． (1)若点坐标为，求的值； (2)化简并求值． 【答案】(1)2； (2)，. 【分析】（1）利用正弦函数的定义求出. （2）由（1）求出，再利用诱导公式、同角公式化简并求值. 【详解】（1）依题意，，，，所以. （2）由（1）知， 所以. 【考点四】两角和与差的正弦、余弦、正切公式 28.（25-26高一上·上海浦东新·期末）若，则的值是（      ） A． B． C． D．以上均不对 【答案】A 【分析】根据条件，利用正弦的差角公式得，从而得，再分和两种情况，再由诱导公式即可求解. 【详解】因为，则， 当时，， 则 ， 当时，， 则 . 故选：A. 29．（23-24高一下·上海·期末）在中，，则（    ） A． B． C．或 D．以上答案均不正确 【答案】B 【分析】由求解. 【详解】解：因为，所以，则， 又因为，所以或， 若，则，与三角形内角和定理相矛盾， 所以，则， 所以 ， 故选：B 30.（25-26高一上·上海·期末）若，则表达式的最大值为________． 【答案】 【详解】易知，其中, 当时，表达式取得最大值为. 31．（25-26高一上·上海·期末）把化成（其中，）形式时______． 【答案】 【详解】由辅助角公式得，则. 32．（25-26高一上·上海·期末）已知角的终边经过点，，则______. 【答案】 【分析】先利用三角函数定义得到，再利用两角差的正切公式求解即可. 【详解】由角的终边经过点，得到， 所以. 33．（25-26高一上·上海奉贤·期末）如图，，射线上有一个点，连接，过点作射线，在射线上截取，连接，并延长与射线交于点．设，，则______． 【答案】 【分析】求出，再利用可得出关于的表达式. 【详解】因为，，，所以， 所以， 因为，所以为等腰直角三角形，所以， 所以， 因为，所以. 34．（24-25高一下·上海静安·期末）已知，，则___________. 【答案】 【分析】根据两角和与差的正弦函数公式，得到展开式，联立方程组，即可求解. 【详解】由，可得， 又由，可得， 两式相减，可得，所以. 故答案为：. 35.（25-26高一上·上海·期末）若，，且，． (1)求和； (2)求及． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数的平方关系求解； （2）根据两角和的余弦公式进行计算，根据的值和的范围确定的值. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 又，，所以， 所以； （2） ， 又，所以. 36．（24-25高一上·上海·期末）在平面直角坐标系中，角、的终边分别与单位圆交于，两点，，两点的纵坐标分别为，． (1)求的值： (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得两点的横坐标，然后求得. （2）利用诱导公式、两角和的正弦公式求得正确答案. 【详解】（1）依题意，角、的终边分别与单位圆交于，两点， 且，两点的纵坐标分别为，， 所以. 所以. （2）由（1）得， ， . 【考点五】二倍角公式 37.设，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二倍角公示化简，再由确定的范围来确定符号即可. 【详解】因为，， 由，得，所以， 由，得，所以. 故选：B 38.（25-26高一上·上海·期末）若，化简的结果是______. 【答案】 【分析】先利用二倍角公式将转化，再结合的取值范围判断的正负，最后化简根式. 【详解】， 因为，所以， 所以. 故答案为： 39．（25-26高一上·上海·期末）设是关于的方程的解，则___________． 【答案】/ 【分析】根据韦达定理以及求出，即可利用倍角公式求出. 【详解】由题意可知，，解得， 由韦达定理，， 则，解得，符合题意， 则. 故答案为： 40．（24-25高一上·上海·期末）已知，则的值为_____． 【答案】 【分析】由题设求出，再由正弦倍角公式即可计算求解. 【详解】因为，所以， 所以， 所以. 故答案为： 41．（25-26高一上·上海静安·期末）已知角的终边经过点，则_________. 【答案】 【分析】根据三角函数定义，以及诱导公式和二倍角正切公式，直接求出结果即可. 【详解】由任意角的三角函数的定义可知， 所以； 故答案为：. 42．（23-24高一下·四川绵阳·月考）已知，则__________. 【答案】/ 【分析】直接运用二倍角余弦公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 故答案为： 43.（25-26高一上·上海·期末）可知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由正切函数二倍角公式及两角和正切公式即可求解； （2）由正弦函数、余弦函数二倍角公式，及弦化切即可求解. 【详解】（1）， 所以； （2）由正弦、余弦二倍角公式得： ． 由于，则， 所以， 即. 44．（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知， (1)求的值； (2)求的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方关系求出，再由商数关系求解； （2）利用诱导公式化简所求式子，利用商数关系弦化切，结合（1）得解. 【详解】（1）因为， 所以， 故. （2）由（1），， . 45．（24-25高一下·上海黄浦·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得，结合两角和的余弦公式，即可求解； （2）由（1），求得，结合两角和的正弦公式，即可求解. 【详解】（1）解：由，可得， 则. （2）解：由（1）知， 则. 【考点六】正弦定理 46.（24-25高一上·上海宝山·期末）锐角中，角、、的对边分别为、、，满足，若存在最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理及三角恒等变换化简可得，据此再化简所求，利用二次函数的性质得解. 【详解】由，正弦定理得，即， 又，得； 又， 所以； 因为，因此，即，得， 由于为锐角三角形，则， 所以，解得， 又， 因为，所以， 由二次函数性质得，若存在最大值，则，解得. 故选：D 47.（24-25高一下·上海嘉定·期末）在中，已知.且的面积为，则边长_____. 【答案】4 【分析】利用三角形面积公式求解. 【详解】由. 故答案为：4. 48．（24-25高一下·上海·期末）在△中，已知，，当有两解时，的取值范围为____． 【答案】 【分析】根据正弦定理，结合，即可求解. 【详解】由正弦定理可知，，即， 若有两解，则，且，所以， 所以. 故答案为： 49．（24-25高一下·上海·期末）在中，若，则的大小为__________. 【答案】 【分析】由正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理得，即，解得， 又因为，所以，所以. 故答案为：. 50．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知中，，则外接圆半径为____________. 【答案】// 【分析】根据正弦定理，即可求解. 【详解】中，， 根据正弦定理可知，，即，得. 故答案为： 51．如图，在扇形AOB中，，，点C在扇形AOB内部，，，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】根据阴影部分的面积为，利用扇形面积公式、三角形面积公式和正弦定理进行求解. 【详解】设，则，， 由，，得， 在中，由正弦定理得，即， 所以，则，， 所以，，则， ， 所以， 又知扇形AOB的面积为， 故阴影部分的面积为． 故答案为： 【考点七】余弦定理 52.在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题中条件，根据余弦定理，直接计算，即可得出结果. 【详解】因为在中，，，， 所以由余弦定理可得：， 则，解得. 故选：A. 53.在中，角，，所对的边分别为，，，其中，，若满足条件的三角形有且只有两个，则角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：由余弦定理，即有两个不相等的正根，则，即可求出的范围，再求出角的范围. 法二：根据正弦定理得到，即可求出的取值范围，再结合、的关系求出的范围. 【详解】法一：因为，，要使三角形有且只有两个，即会出现两个符合题意的值， 由余弦定理，即， 依题意可得关于的方程有两个不相等的正根， 则，解得， 又，解得， 综上可得. 法二：由正弦定理，所以， 所以，则， 由且，所以， 所以由，解得， 综上可得. 故选：A 54.（25-26高一上·上海浦东新·期末）在2025—2026首届上海高中足球联赛中，上师大附中在全市众多劲旅中奋勇突围，最终取得男子超级组第四名的优异成绩.在一场激烈比赛中，该队的10号球员从点出发，以2.5米/秒的速度做匀速直线运动，到达点时，发现足球在点处正以7.5米/秒的速度向点做匀速直线运动.已知米，米，．若忽略该球员转身所需的时间，则该球员按原来的速度最快截住足球所用的时间为______秒． 【答案】/ 【分析】设在D处截住足球，时间设为秒，则，，在中，利用余弦定理列方程求得或，即可求解. 【详解】如图    设在D处截住足球，时间设为秒，则，，则， 又，， 在中，利用余弦定理可知，， 则， 化简得，解得或， 所以该球员按原来的速度最快截住足球所用的时间为秒. 故答案为：. 55．在中，，则______． 【答案】 【分析】由余弦定理结合配方法就可以求解. 【详解】由余弦定理得：， 又因为， 所以，即， 故答案为：. 56．已知三边上的高分别为、、，且，则此三角形最大角的余弦值为______. 【答案】 【分析】利用三角形面积公式，将高之比转化为对应边长之比，利用余弦定理即可求得. 【详解】因的面积，则，故， 显然角为最大角，不妨设（），则， 由余弦定理，. 故答案为：. 57．已知的三边，，，则角A的大小是 ________． 【答案】 【分析】由余弦定理可得角A余弦，即可得答案. 【详解】因，，，由余弦定理， 则.     ∵，∴． 故答案为：． 58.（25-26高一上·上海杨浦·期末）在中，角A、B、C所对应的边分别是a、b、c，已知，，. (1)求c的值； (2)求与的面积. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）利用余弦定理，建立方程，可得答案. （2）由正弦定理和三角形面积公式直接计算可得. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得，即， 整理可得，分解因式可得，由，解得. （2）在中，由正弦定理可得， 解得，所以. 59．（25-26高一上·上海宝山·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，， (1)，求B. (2)若，，求的面积. (3)，，求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，代入等式结合诱导公式可得，利用二倍角公式求出即可求解； （2）由正弦定理可得，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）因为在中，， 由，可得， 即， 所以，解得：或， 因为，所以，故 所以 （2）因为，由正弦定理可得：， 所以的面积 （3）由，可得， 由余弦定理可得：， 即，解得： 60．（24-25高一下·上海·期末）在中，，. (1)若，求的长； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，再利用余弦定理，即可求得的值； （2）利用同角三角函数关系求出，再应用两角和正弦求出，最后三角形面积公式计算求解. 【详解】（1）由余弦定理得 ， 所以； （2）因为，所以， 因为，所以， 所以， 由正弦定理得，所以， 所以， 所以的面积为 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习讲义01 三角 【考点一】 任意角及其度量 【考点五】 二倍角公式 【考点二】 任意角的正弦、余弦、正切、余切 【考点六】 正弦定理 【考点三】 诱导公式 【考点七】 余弦定理 【考点四】 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 一、任意角及其度量 核心：掌握任意角的定义、象限角判定、弧度制与角度制互化，以及弧长、扇形面积公式，为后续三角函数学习奠定基础。 1. 任意角的定义与分类 定义：角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，旋转方向决定角的正负（逆时针为正，顺时针为负），旋转量决定角的大小。 分类： ① 按旋转方向：正角（逆时针旋转）、负角（顺时针旋转）、零角（未旋转）； ② 按终边位置：象限角（终边在某一象限）、象限界角（终边在坐标轴上，不属于任何象限）。 终边相同的角：与角终边相同的所有角的集合为（弧度制），或（角度制）。 2. 象限角的判定（高频基础） 弧度制下象限角的范围（）： ① 第一象限角：；② 第二象限角：； ③ 第三象限角：； ④ 第四象限角：。 易错点：终边在坐标轴上的角（如等）不属于任何象限，解题时需单独讨论。 3. 弧度制与角度制互化（必考） 核心公式： 弧度，即 弧度， 弧度 。 常用互化：，，，，，，，。 4. 弧长与扇形面积公式（高频选填） 弧长公式：（为圆心角的弧度数，为圆的半径，）。 扇形面积公式：（为圆心角的弧度数，为弧长，为半径）。 易错点：使用公式时，圆心角必须用弧度制，若给出角度制，需先转化为弧度制再计算。 二、任意角的三角函数 核心：掌握任意角三角函数的定义、同角三角函数基本关系、诱导公式，能熟练进行三角函数值的计算与化简。 1. 任意角的三角函数定义（必考） 定义：设是任意角，以的顶点为原点，始边为轴正半轴建立平面直角坐标系，在的终边上任取一点（异于原点），点到原点的距离为，则： （正弦），（余弦），（正切）， （余切），（正割），（余割）。 常用结论：三角函数值仅与角的终边位置有关，与终边上点的选择无关；正切函数的定义域为（终边不能在轴上）。 2. 三角函数值的符号（高频易错） 符号规律（口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”）： ① 第一象限：（全正）； ② 第二象限：（仅正弦正）； ③ 第三象限：（仅正切正）； ④ 第四象限：（仅余弦正）。 易错点：判断符号时，需先确定角所在象限，再结合三角函数的符号规律，避免混淆象限对应的符号。 3. 同角三角函数基本关系（核心必考） 平方关系：（适用于所有）； 商数关系：（）； 倒数关系：（），，。 应用：① 已知一个三角函数值，求其余三角函数值（注意符号判断）；② 化简三角函数式；③ 证明三角恒等式。 4. 诱导公式（高频必考，重点掌握） 核心口诀：“奇变偶不变，符号看象限”（“奇、偶”指的是的倍数的奇偶性；“符号看象限”指的是将看作锐角时，原三角函数在目标象限的符号）。 常用诱导公式（重点记忆）： ① 终边相同的角：，，（）； ② 负角公式：，，； ③ 公式：，，； ，，； ④ 公式：，； 　，。 易错点：使用诱导公式时，忽略“符号看象限”，导致符号错误；对“奇变偶不变”理解偏差，误用函数名（如将错写为）。 5. 已知三角函数值求角（中档考点） 步骤：① 确定角的取值范围；② 求对应的锐角（参考角）；③ 根据三角函数值的符号，确定角所在象限；④ 结合终边相同的角的集合，写出所有满足条件的角。 易错点：忽略角的取值范围，导致漏解或多解；未正确确定参考角，影响角的求解。 三、常用三角公式 核心：熟练掌握两角和与差、二倍角、降幂、半角等公式，能灵活运用公式进行三角函数的化简、求值、证明，是期末解答题的核心考查内容。 1. 两角和与差的三角函数公式（必考） 正弦公式： 余弦公式： 正切公式： 适用条件：（正切函数有意义）。 应用：① 已知两个角的三角函数值，求它们的和、差的三角函数值；② 化简三角函数式；③ 证明三角恒等式。 2. 二倍角公式（重中之重，必考） 核心公式： （三种形式，灵活选用） （适用条件：） 降幂公式（二倍角公式衍生，高频应用）： 用途：将二次三角函数化为一次，简化运算（解答题化简核心技巧） 升幂公式（二倍角公式衍生）： 3. 半角公式（选考，灵活运用） 公式（由二倍角公式推导）： 易错点：半角公式根号前的符号，由所在的象限确定，忘记判断符号会导致结果错误。 4. 三角变换技巧（解题关键） 角的变换：将未知角转化为已知角的和、差、倍、半，如，（期末解答题高频技巧）； 函数名变换：“切割化弦”（将正切、余切、正割、余割转化为正弦、余弦），统一函数名，简化运算； 常数代换：用等特殊值代换常数，便于凑配公式； 和积互化（选考）：结合两角和差公式，将正弦、余弦的和差与乘积相互转化，简化复杂式子（具体公式见附录）。 四、解三角形 核心：掌握正弦定理、余弦定理，能运用定理解决三角形的边长、角度、面积求解，以及三角形形状判断、范围最值等综合问题，是期末解答题的重点考查模块。 1. 正弦定理（高频必考） 定理内容：在中，内角的对边分别为，外接圆半径为，则。 常见变形（边角互化核心）： ① 边化角：，，； ② 角化边：，，； ③ 比例关系：。 适用场景： ① 已知两角及一边，求其余边与角； ② 已知两边及其中一边的对角，求其余边与角（注意多解）； ③ 边角互化，化简或证明恒等式、判断三角形形状。 SSA多解判定（易错难点）：已知，解的个数： ① 为锐角：（无解）；（一解，直角）；（两解）；（一解）； ② 为钝角/直角：（无解）；（一解）。 2. 余弦定理（高频必考） 定理内容：在中，内角的对边分别为，则： 推论（求角核心）： 适用场景： ① 已知三边，求三个角； ② 已知两边及其夹角，求第三边及其他角； ③ 判断三角形形状（通过余弦值符号判断角的类型：为锐角，为直角，为钝角）。 易错点：余弦定理中“”易误写为“”，导致结果错误。 3. 三角形面积公式（高频必考） 核心公式（边角式）：（最常用，结合正弦、余弦定理灵活运用）； 其他公式： ① 外接圆式：（为外接圆半径）； ② 内切圆式：（为内切圆半径，为半周长）； ③ 海伦公式：（已知三边时使用）。 易错点：混淆面积公式中的三角函数，误将写为。 4. 解三角形综合题型（期末压轴） 三角形形状判断：通过边角互化，将边的关系转化为角的关系，或角的关系转化为边的关系，结合三角函数性质判断（如等腰、直角、钝角三角形）； 范围与最值问题：结合正余弦定理、基本不等式、三角函数有界性（，），求边长、周长、面积的最值； 综合求值：结合三角恒等变换公式与正余弦定理，进行“给值求值”“给值求角”，注意角的范围限定。 【考点一】任意角及其度量 1.（25-26高一上·上海·期末）若扇形的半径为2，圆心角为，关于弧长与扇形面积正确的结果为（    ）. A． B． C． D． 2．（25-26高一上·上海·期末）下列说法正确的是（   ） A．第二象限角都比第一象限角大 B．将表的分针拨快10分钟，分针转过的角为 C．角和角是终边相同的角 D．若是第二象限角，则是第一象限或第三象限的角 3．（25-26高一上·上海松江·期末）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”别号．如图是折扇的示意图，其中，，为中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（    ）．    A． B．18000 C．36000 D． 4．（24-25高一上·上海·期末）勒洛三角形是一种定宽曲线，它是德国机械工程专家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形的边长为2，则勒洛三角形的面积为（    ）    A． B． C． D． 5.（25-26高一上·上海·期末）已知，则是第________象限角． 6．（25-26高一上·上海·期末）与的角终边相同的最小正角为______． 7．（25-26高一上·上海·期末）已知扇形的圆心角为，半径为3，则扇形的面积为_________． 8．（25-26高一上·上海·期末）如图，一把折扇完全打开后，扇面的两条弧的弧长分别是和，且，则图中阴影部分的面积是______． 9．（25-26高一上·上海·期末）如图，从半径为的圆中剪下圆心角为弧度，半径为的扇形，此扇形的周长为，剩余部分扇形的周长为，若，则_____.    【考点二】任意角的正弦、余弦、正切、余切 10.（25-26高一上·上海·期末）角的终边经过点且，则实数的值为（    ） A．4 B． C． D．3 11．（25-26高一上·上海闵行·期末）“”是“”的（   ）条件 A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 12．（25-26高一上·上海静安·期末）“”是“角为第二象限角”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13.（25-26高一上·上海·期末）若角的终边经过点，则________． 14．（25-26高一上·上海·期末）已知为第四象限角，且，则______． 15．（25-26高一上·上海·期末）已知，则______. 16．（24-25高一下·上海·期末）若，且，则的值为_________． 17.（25-26高一上·上海·期末）已知角满足． (1)求； (2)若是第四象限角，求． 18．（25-26高一上·上海·期末）（1）若角的终边经过点，求的值； （2）已知，且为第二象限角，分别求和的值． 【考点三】诱导公式 19.（24-25高一上·上海·期末）对任意实数和正整数，定义集合，集合.当中的元素个数为个时，的值不可能是（    ） A． B． C． D． 20.（25-26高一上·上海·期末）已知，则______． 21．（23-24高一下·上海黄浦·期末）若，则______. 22．（25-26高一上·上海宝山·期末）已知，则______. 23．（25-26高一上·上海·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则____ 24.（25-26高一上·上海·期末）化简：． 25．（25-26高一上·上海·期末）计算： (1)求的值． (2)若，求的值． 26．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知是第三象限角，且. (1)求的值； (2)求的值. 27．（24-25高一上·上海奉贤·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，角的始边在正半轴上，角的终边在第二象限，设终边上有一点，且． (1)若点坐标为，求的值； (2)化简并求值． 【考点四】两角和与差的正弦、余弦、正切公式 28.（25-26高一上·上海浦东新·期末）若，则的值是（      ） A． B． C． D．以上均不对 29．（23-24高一下·上海·期末）在中，，则（    ） A． B． C．或 D．以上答案均不正确 30.（25-26高一上·上海·期末）若，则表达式的最大值为________． 31．（25-26高一上·上海·期末）把化成（其中，）形式时______． 32．（25-26高一上·上海·期末）已知角的终边经过点，，则______. 33．（25-26高一上·上海奉贤·期末）如图，，射线上有一个点，连接，过点作射线，在射线上截取，连接，并延长与射线交于点．设，，则______． 34．（24-25高一下·上海静安·期末）已知，，则___________. 35.（25-26高一上·上海·期末）若，，且，． (1)求和； (2)求及． 36．（24-25高一上·上海·期末）在平面直角坐标系中，角、的终边分别与单位圆交于，两点，，两点的纵坐标分别为，． (1)求的值： (2)求的值． 【考点五】二倍角公式 37.设，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 38.（25-26高一上·上海·期末）若，化简的结果是______. 39．（25-26高一上·上海·期末）设是关于的方程的解，则___________． 40．（24-25高一上·上海·期末）已知，则的值为_____． 41．（25-26高一上·上海静安·期末）已知角的终边经过点，则_________. 42．（23-24高一下·四川绵阳·月考）已知，则__________. 43.（25-26高一上·上海·期末）可知． (1)求的值； (2)求的值． 44．（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知， (1)求的值； (2)求的值 45．（24-25高一下·上海黄浦·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【考点六】正弦定理 46.（24-25高一上·上海宝山·期末）锐角中，角、、的对边分别为、、，满足，若存在最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 47.（24-25高一下·上海嘉定·期末）在中，已知.且的面积为，则边长_____. 48．（24-25高一下·上海·期末）在△中，已知，，当有两解时，的取值范围为____． 49．（24-25高一下·上海·期末）在中，若，则的大小为__________. 50．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知中，，则外接圆半径为____________. 51．如图，在扇形AOB中，，，点C在扇形AOB内部，，，则阴影部分的面积为______． 【考点七】余弦定理 52.在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 53.在中，角，，所对的边分别为，，，其中，，若满足条件的三角形有且只有两个，则角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 54.（25-26高一上·上海浦东新·期末）在2025—2026首届上海高中足球联赛中，上师大附中在全市众多劲旅中奋勇突围，最终取得男子超级组第四名的优异成绩.在一场激烈比赛中，该队的10号球员从点出发，以2.5米/秒的速度做匀速直线运动，到达点时，发现足球在点处正以7.5米/秒的速度向点做匀速直线运动.已知米，米，．若忽略该球员转身所需的时间，则该球员按原来的速度最快截住足球所用的时间为______秒． 55．在中，，则______． 56．已知三边上的高分别为、、，且，则此三角形最大角的余弦值为______. 57．已知的三边，，，则角A的大小是 ________． 58.（25-26高一上·上海杨浦·期末）在中，角A、B、C所对应的边分别是a、b、c，已知，，. (1)求c的值； (2)求与的面积. 59．（25-26高一上·上海宝山·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，， (1)，求B. (2)若，，求的面积. (3)，，求. 60．（24-25高一下·上海·期末）在中，，. (1)若，求的长； (2)若，求的面积. 1 学科网（北京）股份有限公司 $