第12讲 菱形（知识详解+10典例分析+习题巩固）2025-2026学年（浙教版）八年级数学下册同步讲义与测试

第12讲 菱形（知识详解+10典例分析+习题巩固） 【知识点01】菱形的定义及性质 1.菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。 2.菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，它除具有一般平行四边形的性质外，还具有一些特殊的性质，总结如下表： 性质 符号语言 图示 边 定理1：菱形的四条边相等。 因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是菱形，所以𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐴𝐷。  对角线 定理2：菱形的对角线互相垂直。 因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是菱形,所以𝐵𝐷⊥𝐴𝐶 。 对称性 轴对称图形 至少有两条对称轴：两条对角线所在的直线。 直线𝐴𝐶，𝐵𝐷 是菱形𝐴𝐵𝐶𝐷 的两条对称轴。 3.菱形的面积 公式由来 文字语言 数学语言 图示 菱形的面积公式 菱形是平行四边形。 菱形的面积=底× 高。 菱形的面积公式 菱形的对角线互相垂直。 菱形的面积= 两条对角线长的乘积的一半。 拓展： 对角线互相垂直的任意四边形的面积都等于两条对角线长的乘积的一半，如图，在四边形中， ，可得 。#1.3.1.1 【知识点02】菱形的判定 判定方法 符号语言 图示 边 定义法 一组邻边相等的平行四边形是菱形。 在▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，因为𝐴𝐵=𝐵𝐶 ，所以▱𝐴𝐵𝐶𝐷 是菱形。 定理1 四边相等的四边形是菱形。 在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 中，因为𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐴𝐷 ，所以四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是菱形。 对角线 定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 在▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，因为𝐴𝐶⊥𝐵𝐷 ，所以▱𝐴𝐵𝐶𝐷 是菱形。 【题型一】利用菱形的性质求角度 例1．（24-25八年级下·浙江温州·期末）如图，在菱形中，与交于点，点在上，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 例2．（23-24八年级下·浙江温州·月考）如图，在菱形中，，连接，则______度． 变式1．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，则的度数为（    ） A．26° B．52° C．128° D．154° 变式2．（22-23八年级下·浙江绍兴·期中）如图，在菱形中，，是对角线，的交点，点在的延长线上，且．则______度．    变式3．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，是菱形的对角线，的平分线交边于点E． (1)若，求的度数； (2)仅用一把无刻度的直尺，在边上找点F，使．（保留必要作图痕迹，不需说明理由） 【题型二】利用菱形的性质求线段长 例3．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知菱形的面积为8，它的一条对角线长为，则菱形的边长为（    ） A．2 B． C． D．4 例4．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形顶点称为格点，例如线段的端点在格点上，已知每个小正方形边长均为1，请完成下列各小题． (1)在图①中，求的长； (2)在图①中，作菱形，其中点，为格点（只需作出一种情况）； (3)在图②中，作一个面积为3的菱形，其中点，为格点（只需作出一种情况） 变式1．（24-25八年级下·浙江温州·期末）如图，在菱形中，交于点．若，则的长为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 变式2．（23-24八年级下·浙江·期中）如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在线段上，连接，若，，则线段的长为____． 变式3．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图1，已知菱形，点E是对角线上任意一点（不与端点B、D重合），连结，，，． (1)求证：． (2)若，则的值． (3)如图2，延长交于点F，若是等腰三角形，求的长． 【题型三】利用菱形的性质求面积 例5．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在菱形中，对角线、交于点O，过点A作于点E，连接．若，，则菱形的面积为（     ） A．30 B．40 C．50 D．60 例6．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在菱形中，点，分别在，上，，连接，，．若菱形面积为，，四边形的面积是面积的3.5倍，则线段的长为 _________________ ． 变式1．（2024八年级下·浙江·专题练习）某校举行风筝节活动，小明做了一个菱形风筝，他用两个木条沿着菱形的对角线做支架．经测量，，则这个风筝的面积是（    ）    A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，四边形是菱形，，求： (1)的度数． (2)若，求线段和的长． 【题型四】利用菱形的性质证明 例7．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）矩形具有而菱形不具有的性质是（   ） A．对边平行且相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 例8．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）杭州纸伞馆有制作精美的纸伞，如图，四条长度相等的伞骨围成菱形，伞骨连接点A固定在伞柄顶端，伞圈C能沿着伞柄滑动．小聪通过测量发现：当伞完全张开时，伞柄的中点O到伞骨连接点B，D的距离都等于的一半，若夹角，则的度数是______． 例9．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，已知四边形是菱形，，以点A为圆心，为半径画弧线，分别交，于点F，E，连接，，，． (1)求度数； (2)求证：． 变式1．（2024八年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，，，分别是边，上的点，将沿线段翻折，使点落在边上，记为点．若四边形是菱形，则下列说法正确的是（     ）    A．是的中位线 B．是边上的中线 C．是边上的高 D．是的角平分线 变式2．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，菱形中，，，向内构造菱形版“赵爽弦图”，得到了两对全等三角形，四边形是矩形，，则矩形的面积为 ____________________．      变式3．（22-23八年级下·浙江金华·期末）如图，在4×4的方格纸中，线段的两个端点都在小方格的格点上，分别按下列要求画格点四边形． (1)在图1中画一个以为边的平行四边形． (2)在图2中画一个以为对角线的菱形． 【题型五】证明四边形是菱形 例10．（22-23八年级下·浙江衢州·期末）如图，在中，．利用尺规作图作菱形．第1步：作的中垂线l交于点O．完成下述第2步作法后，不一定能作出菱形的是（    ）    A．以D为圆心，的长度为半径画圆弧，交直线l于点C（A，C不重合），连接， B．在直线l上截取（A，C不重合），连接， C．以B为圆心，的长度为半径画圆弧，交直线l于点C（在点O的右侧），连接， D．过点D作的平行线，交直线l于点C，连接， 例11．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，的四个顶点均在格点上． (1)请用无刻度的直尺画出的中点（保留作图痕迹）． (2)作菱形，其中点，为格点（只需作出一种情况）． 变式1．如图，在中，，，是____________．其判定依据是_________________． 变式2．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，菱形的对角线和交于点，点在线段上（不与点，点重合），点在线段上，且，连接，，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，当时，判断的形状，说明理由． 变式3．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，在的方格纸中，线段的两个端点都在小方格的格点上，分别按下列要求画格点四边形（只能用无刻度的直尺）．    (1)在图1中利用网格画一个以为对角线的菱形． (2)在图2中利用网格画的中点O． 【题型六】添一个条件使四边形是菱形 例12．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O．下列条件不能判定平行四边形为菱形的是（    ） A． B． C．平分 D． 例13．如图，的对角线与交于点，要使得为菱形，可添加的一个条件是_____．（写一个即可） 变式1．如图，要使平行四边形变为菱形，需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 变式2．（23-24八年级下·浙江·期中）直角梯形中，，，，，点E是一腰的中点，的延长线与的延长线相交于点F． （1）求证：； （2）连接、，当______时，四边形是菱形？请说明理由． 【题型七】根据菱形的性质与判定求角度 例14．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）如图，E，F分别是的边，上的点，连结，，是点B关于的对称点，是点D关于的对称点，已知，都在对角线上，且．记的度数是，的度数是，则与满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则______°． 变式2．（2023八年级下·浙江宁波·期中）如图，在4×6的方格纸中，A，B，C三点都在格点上，连接AB，按要求画一个以A，B，C为其中三个顶点的格点四边形．（格点四边形要求四个顶点都在格点上） （1）在图甲中画出一个以AB为边，对角线垂直且相等的四边形． （2）在图乙中画出一个以AB为对角线，有一组邻边垂直且相等的四边形． 【题型八】根据菱形的性质与判定求线段长 例15．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，菱形中，，过对角线BD上一点P，作，，交各边于点M，N，F，Q．的四个顶点分别在菱形的四条边上，且经过点P，若要求的面积，只需知道线段（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 例16．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，，的平分线，分别与直线交于点，． (1)若，，则________； (2)若， ①当点与点重合时，求的长； ②当点与点重合时，求的长； (3)若点，，，相邻两点间的距离相等，求的值． 变式1．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，在其中一张纸条转动的过程中，下列结论一定成立的是（　　） A． B．四边形面积不变 C． D．四边形周长不变 变式2．（24-25八年级下·浙江·月考）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形．若测得，之间的距离为之间的距离为，则线段的长为___________． 变式3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在中，对角线与相交于点O，其中，，过点A作于点E． (1)若，求边的长． (2)在第（1）小题的条件下，点F为线段上的动点，连结，，当的面积为时，求线段的长． (3)设，当x，y值变化时，代数式的值是否发生变化？请说明理由． 【题型九】根据菱形的性质与判定求面积 例17．如图．在的两边上分别截取，使；分别以点A、B为圆心．长为半径作弧，两弧交于点C；连接．若，四边形的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 例18．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，点是对角线的中点，点 是边上的点，连接并延长交于点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若 ，，求四边形的周长． 变式1．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图有一张长为12，宽为8的长方形（矩形）纸片，先将其上下对折，再左右对折，最后沿着虚线剪下一个直角三角形①，若该直角三角形①的直角边长为整数，将①展开可得一个四边形，则下列哪个选项不能作为该四边形的面积（　　） A．18 B．24 C．28 D．30 变式2．（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图，，分别以A，B为圆心，5cm长为半径画弧，两弧相交于M，N两点．连接，则四边形的面积为________． 变式3．如图，AM∥BN，C是BN上一点，AB＝BC，BD平分∠ABN，分别交AC、AM于点O、D，DE⊥BD，交BN于点E． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若DE＝AB＝2，求四边形ABCD的面积． 【题型十】中点四边形 例19．（2024八年级下·浙江·期末）已知任意四边形的四条边中点组成的图形是平行四边形，当这个平行四边形成为矩形时，原四边形的对角线（    ） A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相平分且相等 变式1．如图，已知矩形各边中点为E，F，G，H，若，，则四边形的面积为___________． 变式2．（23-24八年级下·浙江·期中）在四边形中，的中点分别为P、Q、M、M； （1）如图1，试判断四边形怎样的四边形，并证明你的结论； （2）若在上取一点E，连结，，恰好和都是等边三角形（如图2）： ①判断此时四边形的形状，并证明你的结论； ②当，，求此时四边形的周长（结果保留根号）． 一、单选题 1．菱形中，对角线长度分别为6和8，则菱形的面积是（　　） A．24 B．12 C．36 D．10 2．在平行四边形中，AC，BD交于点O，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形ABCD是菱形 D．四边形ABCD是矩形 3．下列命题正确的是（　　） A．平行四边形的对角线互相垂直平分 B．矩形的对角线互相垂直平分 C．菱形的对角线互相平分且相等 D．平行四边形是中心对称图形 4．如图，是菱形的对角线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，四边形 是菱形， 于点 ．若 ，，则 的长度为（   ） A． B． C． D． 6．下列四个条件中，能使如图所示的是菱形的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，将菱形绕点顺时针旋转得到菱形，按此方式绕点连续旋转2026次得到菱形．已知菱形的边长为1，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．如图，菱形的对角线、相交于点O，E是的中点，连接，若菱形的周长为48，则的长是（   ）． A．4.8 B．6 C．8 D．12 9．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点，，点C在x轴正半轴上，则点D坐标为（   ） A． B． C． D． 10．如图，菱形的对角线相交于点，，，点为边上一点，且不与点、重合.过作于，于，连，则的最小值等于（    ）.    A．3.6 B．4.8 C．5 D．6 二、填空题 11．菱形的两条对角线的长分别为4和8，则菱形的边长为__________． 12．如图，菱形的对角线和相交于点O，E是中点，，则长为___________． 13．菱形的面积是24，一条对角线的长为8，则菱形的另一条对角线的长为________． 14．如图，四边形是边长为3的菱形，对角线，点E，F，G，H分别为边中点，顺次连接E，F，G，H．则四边形的面积为__________． 15．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，在重叠部分构成的四边形中，若，则点A到的距离为________． 16．如图，在平行四边形ABCD中，以点B为圆心，以适当长为半径圆弧，分别与，交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点C，作射线，与边交于点H，最后以点B为圆心，长为半径面弧，交边BC于点M．若，，则点A，M之间的距离为______． 三、解答题 17．如图，四边形为菱形，E为对角线上的一个点，连接并延长交的延长线于点F，连接．求证：． 18．如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变的长来调节的长．已知，的初始长为，如果要使的长达到，那么的长需要缩短多少． 19．如图，在的正方形网格中，每一个小正方形的边长均为1，请按下列要求作格点图形． （1）在图1中，以为边画一个面积为12的平行四边形． （2）在图2中，以为边画一个面积最小的菱形． 20．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，分别过点C、D作、，CE、DE交于点E． （1）求证：四边形OCED是萎形． （2）将矩形ABCD改为菱形ABCD，连接BE，其余条件不变．若，，求BE的长． 21．2014年“壮族三月三”被列入国家级非物质文化遗产名录并成为广西法定公众假日，2025年是广西将“壮族三月三”作为法定假日的第12年，在南宁民歌湖举办主题活动，人们身着绚丽的壮锦服饰载歌载舞．其中壮锦披肩十分夺目，上面由一个个彩色丝线绣成的菱形图案组成．小邕的壮锦披肩，图案为菱形．如图，若菱形中已知两条对角线相交于点，其中，菱形的周长为． (1)求对角线的长； (2)小邕制作菱形需要多少平方厘米的布料（裁剪缝边除外）． 22．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线．    (1)求两点的坐标． (2)把矩形沿直线对折使点落在点处，与相交于点，求直线的函数解析式． (3)若点在直线上，平面内是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 菱形（知识详解+10典例分析+习题巩固） 【知识点01】菱形的定义及性质 1.菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。 2.菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，它除具有一般平行四边形的性质外，还具有一些特殊的性质，总结如下表： 性质 符号语言 图示 边 定理1：菱形的四条边相等。 因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是菱形，所以𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐴𝐷。  对角线 定理2：菱形的对角线互相垂直。 因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是菱形,所以𝐵𝐷⊥𝐴𝐶 。 对称性 轴对称图形 至少有两条对称轴：两条对角线所在的直线。 直线𝐴𝐶，𝐵𝐷 是菱形𝐴𝐵𝐶𝐷 的两条对称轴。 3.菱形的面积 公式由来 文字语言 数学语言 图示 菱形的面积公式 菱形是平行四边形。 菱形的面积=底× 高。 菱形的面积公式 菱形的对角线互相垂直。 菱形的面积= 两条对角线长的乘积的一半。 拓展： 对角线互相垂直的任意四边形的面积都等于两条对角线长的乘积的一半，如图，在四边形中， ，可得 。#1.3.1.1 【知识点02】菱形的判定 判定方法 符号语言 图示 边 定义法 一组邻边相等的平行四边形是菱形。 在▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，因为𝐴𝐵=𝐵𝐶 ，所以▱𝐴𝐵𝐶𝐷 是菱形。 定理1 四边相等的四边形是菱形。 在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 中，因为𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐴𝐷 ，所以四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是菱形。 对角线 定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 在▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，因为𝐴𝐶⊥𝐵𝐷 ，所以▱𝐴𝐵𝐶𝐷 是菱形。 【题型一】利用菱形的性质求角度 例1．（24-25八年级下·浙江温州·期末）如图，在菱形中，与交于点，点在上，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等边对等角、利用菱形的性质求角度 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．由可知，设，则，根据菱形的性质可得，即，求出x的值，进一步即可求出答案． 【详解】解：， ， 设，则， 四边形是菱形， ，， 即， ， 解得， 即，， ， 故选：D． 例2．（23-24八年级下·浙江温州·月考）如图，在菱形中，，连接，则______度． 【答案】 【知识点】等边对等角、利用菱形的性质求角度 【分析】此题考查了菱形的性质、等边对等角，解题的关键是熟练掌握菱形的四条边都相等，对角相等． 【详解】解：∵是菱形， ∴， ∴， 故答案为：． 变式1．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，则的度数为（    ） A．26° B．52° C．128° D．154° 【答案】C 【知识点】利用菱形的性质求角度 【分析】本题考查了菱形的性质，菱形中对角线的平分的性质是解决本题的关键 ． 由菱形的性质可知，菱形的对角线互相平分每组对角，即可求的度数，再由菱形中即可求解 ． 【详解】解：在菱形中，因为， 所以， 即， 又因为在菱形中，， 所以， 可得， 所以的度数为 ． 故选：C ． 变式2．（22-23八年级下·浙江绍兴·期中）如图，在菱形中，，是对角线，的交点，点在的延长线上，且．则______度．    【答案】52 【知识点】等边对等角、利用菱形的性质求角度 【分析】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质等知识点．根据菱形的性质易得，是的角平分线，且，所以由等腰三角形的判定与性质和三角形外角性质求解即可． 【详解】解：四边形是菱形，是对角线，的交点， ，，是的角平分线． ． 又， ． ． 又， ， ． ． 故答案是：． 变式3．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，是菱形的对角线，的平分线交边于点E． (1)若，求的度数； (2)仅用一把无刻度的直尺，在边上找点F，使．（保留必要作图痕迹，不需说明理由） 【答案】(1)； (2)见解析 【知识点】角平分线的有关计算、利用菱形的性质求角度 【分析】本题考查作图-复杂作图，菱形的性质，角平分线的定义，重心的概念，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）利用角平分线的定义，菱形的性质求出可得结论； （2）连接交于点J，连接，延长交于点F，点F即为所求． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴； （2）解：作图如下： ∴点F就是所求作的点． 【题型二】利用菱形的性质求线段长 例3．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知菱形的面积为8，它的一条对角线长为，则菱形的边长为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，根据菱形面积公式求出另一条对角线的长度，再利用勾股定理计算边长． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵是菱形， ∴，， ∴． 故选：C． 例4．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形顶点称为格点，例如线段的端点在格点上，已知每个小正方形边长均为1，请完成下列各小题． (1)在图①中，求的长； (2)在图①中，作菱形，其中点，为格点（只需作出一种情况）； (3)在图②中，作一个面积为3的菱形，其中点，为格点（只需作出一种情况） 【答案】(1)； (2)见解析 (3)见解析 【知识点】利用菱形的性质求线段长、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查作图应用与设计作图，勾股定理，菱形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）利用勾股定理求解； （2）根据菱形的判定作出图形； （3）作一个对角线分别为，的菱形即可． 【详解】（1）解：； （2）解：如图①中，菱形即为所求； （3）解：如图②中，菱形即为所求． 变式1．（24-25八年级下·浙江温州·期末）如图，在菱形中，交于点．若，则的长为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理． 由菱形的性质得到，，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵在菱形中，交于点， ∴，， ∴， 故选：A． 变式2．（23-24八年级下·浙江·期中）如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在线段上，连接，若，，则线段的长为____． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质，解答本题的关键要熟练掌握菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 本题设，则，根据菱形的性质得，，，然后利用勾股定理计算，再计算的长． 【详解】解：设，则， ， 四边形为菱形， ，，， ， ， 解得， 即，， 在中，， 在中，， 故答案为：． 变式3．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图1，已知菱形，点E是对角线上任意一点（不与端点B、D重合），连结，，，． (1)求证：． (2)若，则的值． (3)如图2，延长交于点F，若是等腰三角形，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)或． 【知识点】利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一中线段垂直平分线性质证明即可； （2）首先证明， 设，，利用勾股定求出，再根据菱形的对角线，根据面积公式即可解答； （3） 分三种情况讨论：，，，即可解答． 【详解】（1）连结交于点， 四边形是菱形， ，， 为等腰三角形， ； （2）连结交于点，由（1）得， ， ， ， ， 过点E作的垂线交于点G， 设，， ，， 在中， ， 解得：， 四边形是菱形，，， ，， （3）① 在菱形， ， ， ， ， 连结交于点， 在中， 过点B作的垂线交于点H， ，， ② 在菱形， ， ， 过点E作的垂线交于点，过点E作的垂线交于点G，E，H，三点共线 由（2）所得， ， 延长过点A作的垂线交于点I，则四边形是矩形， 在中，， ， ， ， ， ， 设 ③，不成立（舍去） 综上所述或 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确寻找全等三角形和学会分类讨论思想是解题的关键． 【题型三】利用菱形的性质求面积 例5．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在菱形中，对角线、交于点O，过点A作于点E，连接．若，，则菱形的面积为（     ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】A 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边的中线，关键是由直角三角形斜边中线的性质推出，掌握菱形的面积公式． 由菱形的性质推出，由直角三角形斜边中线的性质推出，于是得到菱形ABCD的面积． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， 菱形的面积， 故选：A． 例6．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在菱形中，点，分别在，上，，连接，，．若菱形面积为，，四边形的面积是面积的3.5倍，则线段的长为 _________________ ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求面积 【分析】过点作于点，于点，过点作，交延长线于点，连接，根据菱形性质求出，根据和等底等高得，进而得，再根据面积公式得，由此得，，在中，由勾股定理求出得，然后在中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：过点作于点，于点，过点作，交的延长线于点，连接，如图所示： 四边形是菱形，， ，， 菱形面积为， ， ， ， 同理：， ， 和等底等高， ， 四边形的面积是面积的3.5倍， ， ， ， ， ， ， ， ，，， 根据平行线间的距离处处相等得：， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，三角形的面积，理解菱形的性质，三角形的面积公式，勾股定理是解决问题的关键． 变式1．（2024八年级下·浙江·专题练习）某校举行风筝节活动，小明做了一个菱形风筝，他用两个木条沿着菱形的对角线做支架．经测量，，则这个风筝的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查菱形的性质，解题的关键是掌握：菱形的面积公式是两条对角线的长度乘积的一半．据此列式解答即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴菱形的面积为：． 故选：B． 变式2．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，四边形是菱形，，求： (1)的度数． (2)若，求线段和的长． 【答案】(1) (2)， 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求角度、利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据四边形是菱形，得，，则，即可作答． （2）先根据四边形是菱形，得，，，运用勾股定理算出，然后根据菱形面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴ ∴， ∴； ∵， ∴菱形的面积， ∵，且， ∴菱形的面积， ∴， ∴． 【题型四】利用菱形的性质证明 例7．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）矩形具有而菱形不具有的性质是（   ） A．对边平行且相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 【答案】D 【知识点】矩形性质理解、利用菱形的性质证明 【分析】本题主要考查矩形和菱形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据矩形和菱形性质定理进行判断即可． 【详解】解：A．对边平行且相等，矩形和菱形均具有，故不符合题意； B．对角线互相平分，矩形和菱形均具有，故不符合题意； C．对角线互相垂直，矩形不具有，菱形具有，故不符合题意； D．对角线相等，矩形具有而菱形不具有，故符合题意． 故选：D． 例8．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）杭州纸伞馆有制作精美的纸伞，如图，四条长度相等的伞骨围成菱形，伞骨连接点A固定在伞柄顶端，伞圈C能沿着伞柄滑动．小聪通过测量发现：当伞完全张开时，伞柄的中点O到伞骨连接点B，D的距离都等于的一半，若夹角，则的度数是______． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质证明、等边对等角 【分析】本题考查菱形的性质、等腰三角形的性质，根据菱形的性质可得，，求得，，求得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 例9．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，已知四边形是菱形，，以点A为圆心，为半径画弧线，分别交，于点F，E，连接，，，． (1)求度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，关键是由菱形的性质推出，由等腰三角形的性质求出和的度数． （1）由菱形的性质推出，由等腰三角形的性质推出，由三角形内角和定理求出，同理：，由平行线的性质求出，即可得到的度数； （2）由等腰三角形的性质得到，由菱形的性质推出，由三角形的外角性质得到，因此，推出． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ， 由题意得到， 同理：， ∵， ， ， ． （2）证明：∵， ， ∵四边形是菱形， ， ， ， ， ． 变式1．（2024八年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，，，分别是边，上的点，将沿线段翻折，使点落在边上，记为点．若四边形是菱形，则下列说法正确的是（     ）    A．是的中位线 B．是边上的中线 C．是边上的高 D．是的角平分线 【答案】D 【知识点】利用菱形的性质证明 【分析】根据菱形的性质进行判断即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴菱形的对角线平分一组对角， ∴是的角平分线，故正确； 而、不正确；不一定是的中位线，也不正确， 故选：． 【点睛】此题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质及其应用． 变式2．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，菱形中，，，向内构造菱形版“赵爽弦图”，得到了两对全等三角形，四边形是矩形，，则矩形的面积为 ____________________．      【答案】 【知识点】利用菱形的性质证明、用勾股定理解三角形 【分析】过点作于，过点作于，连接，由，可得，，根据菱形的性质和矩形的性质可得，，则，，，可得出≌，≌，分别求出菱形，，的面积，即可得矩形的面积． 【详解】解：过点作于，过点作于，连接，   四边形是矩形， ， ， ，， 四边形是菱形，， ，，， ，， ，，， ，，， 在和中， ， ≌， 同理：≌， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定定理以及菱形的性质是解答本题的关键． 变式3．（22-23八年级下·浙江金华·期末）如图，在4×4的方格纸中，线段的两个端点都在小方格的格点上，分别按下列要求画格点四边形． (1)在图1中画一个以为边的平行四边形． (2)在图2中画一个以为对角线的菱形． 【答案】(1)图形见解析 (2)图形见解析 【知识点】利用菱形的性质证明、平行四边形性质的其他应用 【分析】（1）根据平行四边形的性质直接作图即可； （2）根据菱形的性质直接作图即可． 【详解】（1）如图1，四边形是以为边的平行四边形，（答案不唯一） （2）如图2，四边形是以为对角线的菱形，（答案不唯一） ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形和菱形的作法及性质，熟练掌握平行四边形及菱形的性质是解题的关键． 【题型五】证明四边形是菱形 例10．（22-23八年级下·浙江衢州·期末）如图，在中，．利用尺规作图作菱形．第1步：作的中垂线l交于点O．完成下述第2步作法后，不一定能作出菱形的是（    ）    A．以D为圆心，的长度为半径画圆弧，交直线l于点C（A，C不重合），连接， B．在直线l上截取（A，C不重合），连接， C．以B为圆心，的长度为半径画圆弧，交直线l于点C（在点O的右侧），连接， D．过点D作的平行线，交直线l于点C，连接， 【答案】C 【知识点】证明四边形是菱形、作垂线(尺规作图) 【分析】根据各选项作图方法，得出相应的等量线段或平行的位置关系，通过全等三角形、中垂线性质求证线段相等，判定四边形是否为菱形． 【详解】解： ∵，的中垂线l交于点O， ∴点A在直线l上. 即垂直平分． A． 以D为圆心，的长度为半径画圆弧，交直线l于点C（A，C不重合），连接， ，如图， ∴． ∵， ∴， 即与互相垂直平分，故四边形是菱形．    故本选项不合题意； B．在直线l上截取（A，C不重合），连接， ，如图， 由作法知，与互相垂直平分，故四边形是菱形．    故本选项不合题意； C． 以B为圆心，的长度为半径画圆弧，交直线l于点C（在点O的右侧），连接， ，如图， ∴，无法得证四边形是菱形．    故本选项符合题意； D．过点D作的平行线，交直线l于点C，连接， ，如图， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵垂直平分， ∴， 又， ∴ ∴四边形是菱形．    故本选项不合题意． 故选：C 【点睛】本题考查尺规作图，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 例11．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，的四个顶点均在格点上． (1)请用无刻度的直尺画出的中点（保留作图痕迹）． (2)作菱形，其中点，为格点（只需作出一种情况）． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析（答案不唯一） 【知识点】矩形性质理解、证明四边形是菱形 【分析】本题考查矩形性质，菱形的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据矩形的性质，画出的中点即可； （2）根据对角线互相垂直平分的四边形为菱形，画出点，即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）如图，菱形即为所求； 或 或 变式1．如图，在中，，，是____________．其判定依据是_________________． 【答案】 菱形 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 【知识点】证明四边形是菱形 【分析】此题重点考查等腰三角形的判定、菱形的判定等知识，正确理解和应用菱形的定义是解题的关键． 由，得，即可根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”证明是菱形，于是得到问题的答案． 【详解】解：， ， 是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 故答案为：菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 变式2．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，菱形的对角线和交于点，点在线段上（不与点，点重合），点在线段上，且，连接，，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，当时，判断的形状，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 【知识点】证明四边形是菱形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了菱形的性质和判定，平行四边形的判定，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识点，能熟记菱形的性质和判定是解此题的关键． （1）根据菱形的性质得出，，，求出，再根据菱形的判定得出即可； （2）根据菱形的性质求出，，求出和，根据勾股定理求出，，求出，再根据勾股定理的逆定理求出答案即可． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ，，， ，， ， 即， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：是直角三角形， 理由是：，，，， ，， ， ，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 即是直角三角形． 变式3．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，在的方格纸中，线段的两个端点都在小方格的格点上，分别按下列要求画格点四边形（只能用无刻度的直尺）．    (1)在图1中利用网格画一个以为对角线的菱形． (2)在图2中利用网格画的中点O． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】证明四边形是菱形、利用矩形的性质证明、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，菱形的作法，勾股定理，以及矩形的性质，熟练掌握菱形的判定方法和矩形的性质是解题的关键． （1）取格点D，C，连接即可； （2）取格点，连接交于点O即可 【详解】（1）如图，菱形即为所求，    （2）如图，点O即为所求，    【题型六】添一个条件使四边形是菱形 例12．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O．下列条件不能判定平行四边形为菱形的是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题主要考查菱形的判定，掌握菱形的判定定理是解题的关键．根据菱形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形为菱形，故A不符合题意； B、∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形为菱形，故B不符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形，故C不符合题意； D、∵四边形是平行四边形，， 故不能判定平行四边形为菱形，故D符合题意； 故选：D． 例13．如图，的对角线与交于点，要使得为菱形，可添加的一个条件是_____．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的判定方法，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形解答即可． 【详解】解：添加条件，那么为菱形．理由： ∵四边形是平行四边形，， ∴根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知为菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 变式1．如图，要使平行四边形变为菱形，需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】根据菱形的判定方法解答即可． 【详解】解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形， 那么可添加的条件是：． 故选：A． 【点睛】本题考查菱形的判定，有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 变式2．（23-24八年级下·浙江·期中）直角梯形中，，，，，点E是一腰的中点，的延长线与的延长线相交于点F． （1）求证：； （2）连接、，当______时，四边形是菱形？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）2，理由见解析 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据推出即可； （2）根据平行四边形的判定得出平行四边形，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：（1）证明：， ， 又，， ， ． （2）当时，四边形是菱形， 理由如下：由（1）知：，， 四边形是平行四边形， ，， 当时，， 是菱形． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查对直角梯形的性质，平行线的性质，勾股定理，菱形的判定，平行四边形的判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键． 【题型七】根据菱形的性质与判定求角度 例14．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）如图，E，F分别是的边，上的点，连结，，是点B关于的对称点，是点D关于的对称点，已知，都在对角线上，且．记的度数是，的度数是，则与满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平行四边形的性质求解、根据菱形的性质与判定求角度 【分析】连接、，由垂直平分，垂直平分，得，，则，，由平行四边形的性质得，，则，所以，则，而，可证明四边形是菱形，则，所以，则，由，且，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， ∵是点B关于的对称点，是点D关于的对称点， 垂直平分，垂直平分， ，， ∵，都在对角线上， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ，且，， ， 故选：D． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、轴对称的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 变式1．如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则______°． 【答案】25 【知识点】根据菱形的性质与判定求角度 【分析】根据作图，得到，得到菱形，根据菱形的性质解得即可． 本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据作图，得到， 故四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：25． 变式2．（2023八年级下·浙江宁波·期中）如图，在4×6的方格纸中，A，B，C三点都在格点上，连接AB，按要求画一个以A，B，C为其中三个顶点的格点四边形．（格点四边形要求四个顶点都在格点上） （1）在图甲中画出一个以AB为边，对角线垂直且相等的四边形． （2）在图乙中画出一个以AB为对角线，有一组邻边垂直且相等的四边形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、根据菱形的性质与判定求角度 【分析】（1）把BC逆时针旋转90°得到BE，由勾股定理得出AE=BE，作出菱形AEBD即可得到满足条件的四边形ABDC； （2）把BC逆时针旋转90°得到BD，由勾股定理得出AD=BD，即可得到满足条件的四边形ADBC． 【详解】解：（1）如图甲所示： 把BC逆时针旋转90°得到BE， 由勾股定理得AE=BE=， 以AE、BE为边作菱形AEBD， ∴BE∥AD， ∵BE⊥BC ∴AD⊥BC ∴四边形ABDC即为所求作； （2）如图乙所示： 把BC逆时针旋转90°得到BD， 由勾股定理得AD=BD=， ∴四边形ADBC即为所求作． 【点睛】本题考查了作图、勾股定理，菱形的判定和性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． 【题型八】根据菱形的性质与判定求线段长 例15．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，菱形中，，过对角线BD上一点P，作，，交各边于点M，N，F，Q．的四个顶点分别在菱形的四条边上，且经过点P，若要求的面积，只需知道线段（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】B 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了菱形的判定及性质，等积变换等；连接、，由平行四边形的性质得，由菱形的判定方法得四边形是菱形，菱形的性质及三角形的面积得，，即可求解；掌握相关的判定方法及性质，能根据题意连接辅助线构建两个等积三角形是解题的关键. 【详解】解：如图，连接、， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ，， ， ， ，， 四边形是平行四边形，，， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， 故选：B. 例16．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，，的平分线，分别与直线交于点，． (1)若，，则________； (2)若， ①当点与点重合时，求的长； ②当点与点重合时，求的长； (3)若点，，，相邻两点间的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2)①；② (3)或或2 【知识点】利用平行四边形的性质求解、根据菱形的性质与判定求线段长、根据等角对等边证明边相等 【分析】（1）利用平行四边形的性质和角平分线的定义先分别求出，，根据即可求解； （2）①同（1）得出，，根据即可求解； ②证明出四边形的邻边相等，即可进一步推得四边都相等，即得答案； （3）先分情况讨论，再根据每种情况，利用，，以及点，，，相邻两点间的距离相等建立相等关系求解即可． 【详解】（1）解：平分， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， 同理可得， ； （2）解：①如图1， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 同理可得， 点E与点F重合， ， ②如图2，当点E与点C重合时，， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是菱形； ∴ （3）解：情况1，如图3， 当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，可得， ， ， ， ， ； 情况2，如图4， 当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，可得， 即， ， ， ， ， ； 情况3，如图5， 当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，可得， ， ， ， ， ； 综上所述，的值为或或2． 综上可知，的值为：或或2． 变式1．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，在其中一张纸条转动的过程中，下列结论一定成立的是（　　） A． B．四边形面积不变 C． D．四边形周长不变 【答案】A 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】两张等宽的纸条的宽为h，根据题意可得，从而得到四边形是平行四边形，再由，可得，进而得到四边形是菱形，即可． 【详解】解∶ 设两张等宽的纸条的宽为h， ∵纸条的对边平行， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，故A选项正确，符合题意，C选项错误，不符合题意； ∵在旋转的过程中，在变化， ∴四边形面积和周长也在变化，故B、D选项错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，面积法等知识，学握菱形的性质是解题的关键． 变式2．（24-25八年级下·浙江·月考）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形．若测得，之间的距离为之间的距离为，则线段的长为___________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了菱形的判定和性质、勾股定理，正确得出四边形是菱形是解题的关键； 根据题意可得四边形是菱形，再根据菱形的性质和勾股定理即可求解. 【详解】解：由题意可得， ∴四边形是平行四边形， 又∵两张纸条是等宽的， ∴边上的高h相等， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， 连接，设交点为O， 则，， ∴cm； 故答案为：cm. 变式3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在中，对角线与相交于点O，其中，，过点A作于点E． (1)若，求边的长． (2)在第（1）小题的条件下，点F为线段上的动点，连结，，当的面积为时，求线段的长． (3)设，当x，y值变化时，代数式的值是否发生变化？请说明理由． 【答案】(1)2 (2)或 (3)不变，2 【知识点】用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】（1）根据菱形的判定定理得到为菱形，根据菱形的性质得到，再根据勾股定理求的长； （2）由（1）得 ，，推出 是等边三角形，求得，根据三角形的面积得到边上的高为1，分两种情况讨论：①当点F在左侧，此时点F与点B重合时满足条件，即；②当点F在右侧，如图，过点C作的平行线，交于点，点为满足要求的点，求得，即，设，则，根据勾股定理即可得到结论； （3）如图，过点D作延长线的垂线，垂足为点H，在中，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，， ∴为菱形， ∴， ∴在中，； （2）解：在菱形中，由（1）得，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴边上的高为1， 分以下两种情况： ①当点F在左侧，此时点F与点B重合时满足条件，即， ②当点F在右侧，如图1，过点C作的平行线，交于点，点为满足要求的点， ∴， ∴， 设，则， 在中有， ∴， 解得：， 综上所述，或； （3）解：不变，理由如下： 如图：过点D作延长线的垂线，垂足为点H， 在中，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 由，得， ∴即． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了菱形的性质，勾股定理，全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确地添加辅助线是解题的关键． 【题型九】根据菱形的性质与判定求面积 例17．如图．在的两边上分别截取，使；分别以点A、B为圆心．长为半径作弧，两弧交于点C；连接．若，四边形的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据菱形的性质与判定求面积 【分析】根据作图过程可得 ，从而判定四边形 为菱形，利用菱形面积等于对角线乘积的一半即可求解． 【详解】解：由作图可知，，． ， ． 四边形是菱形． 菱形的面积为，， ，即， 解得． 例18．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，点是对角线的中点，点 是边上的点，连接并延长交于点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若 ，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、证明四边形是菱形 【分析】（）由矩形性质可得，则，然后证明，则，故有四边形是平行四边形，又点 是对角线 的中点，则垂直平分，所以，从而可证明四边形 是菱形； （）设，则，，由勾股定理得，即有，然后解出即可． 【详解】（1）证明：∵是中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵点是对角线的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：设，则，， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴四边形的周长为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，菱形的判定与性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 变式1．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图有一张长为12，宽为8的长方形（矩形）纸片，先将其上下对折，再左右对折，最后沿着虚线剪下一个直角三角形①，若该直角三角形①的直角边长为整数，将①展开可得一个四边形，则下列哪个选项不能作为该四边形的面积（　　） A．18 B．24 C．28 D．30 【答案】C 【知识点】根据菱形的性质与判定求面积、矩形性质理解 【分析】根据菱形的性质可得其面积为mn（m、n为对角线的长度且为整数），然后逐项验证即可． 【详解】解：由题意，展开得到的四边形是菱形． ∵18＝×6×6不符合题意，24＝×6×8不符合题意，30＝×10×6不符合题意，28＝×7×8＝×14×4（符合题意）． 故选C． 【点睛】本题主要考查了剪纸问题、矩形的性质、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握菱形的面积计算公式． 变式2．（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图，，分别以A，B为圆心，5cm长为半径画弧，两弧相交于M，N两点．连接，则四边形的面积为________． 【答案】 【知识点】根据菱形的性质与判定求面积、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，由题意可证明四边形是菱形，则，，由勾股定理可得，据此根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】解：由作图方法可知， ∴四边形是菱形， 如图所示，连接交于O，则，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式3．如图，AM∥BN，C是BN上一点，AB＝BC，BD平分∠ABN，分别交AC、AM于点O、D，DE⊥BD，交BN于点E． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若DE＝AB＝2，求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）见解析；（2） 【知识点】根据菱形的性质与判定求面积 【分析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，再由AB＝BC，即可得出结论； （2）由菱形的性质得出AC⊥BD，证明四边形ACED是平行四边形，得出AC＝DE＝2，AD＝EC，由勾股定理求出BO，得出BD的长，由菱形面积公式即可得出答案． 【详解】解：（1）证明：∵AM∥BN ∴∠ADB＝∠DBN ∵BD平分∠ABN ∴∠ABD＝∠DBN ∴∠ABD＝∠ADB，则AB＝AD ∵AB＝BC ∴AD＝BC ∵AD＝BC且AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形 又∵AB＝AD ∴四边形ABCD是菱形 （2）解：由（1）得四边形ABCD是菱形． ∴AC⊥BD，OB＝OD． 又∵DE⊥BD， ∴AC∥DE． 又∵AM∥BN， ∴四边形ACED平行四边形． ∴AC＝DE＝2． ∴AO＝1． 在Rt△AOB中，由勾股定理得：， ∴BD＝2BO＝． ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 【题型十】中点四边形 例19．（2024八年级下·浙江·期末）已知任意四边形的四条边中点组成的图形是平行四边形，当这个平行四边形成为矩形时，原四边形的对角线（    ） A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相平分且相等 【答案】C 【知识点】中点四边形 【分析】画出图形，结合矩形的判定和性质判断即可． 【详解】解：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点， ∴EH∥BD，FG∥BD， ∴EH∥FG， 同理：GH∥EF， ∴四边形EFGH是平行四边形． ∴当AC⊥BD时，四边形MONH是矩形， ∴∠EHG=90°， ∴四边形EFGH是矩形， 故选C． 【点睛】此题考查了中点四边形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 变式1．如图，已知矩形各边中点为E，F，G，H，若，，则四边形的面积为___________． 【答案】30 【知识点】中点四边形 【分析】本题考查的是中点四边形，熟知矩形的对边相等且各角都是直角是解答此题的关键． 连接，根据矩形的性质及中点的定义得出 的长度及互相垂直的关系，利用对角线互相垂直的四边形面积公式进行计算. 【详解】解：连接 ∵ 四边形为矩形， ∴， ∵分别为边的中点 ∴   ∴ 故答案为：30. 变式2．（23-24八年级下·浙江·期中）在四边形中，的中点分别为P、Q、M、M； （1）如图1，试判断四边形怎样的四边形，并证明你的结论； （2）若在上取一点E，连结，，恰好和都是等边三角形（如图2）： ①判断此时四边形的形状，并证明你的结论； ②当，，求此时四边形的周长（结果保留根号）． 【答案】（1）平行四边形，理由见解析；（2）①菱形，证明见解析；② 【知识点】中点四边形 【分析】（1）连接、．利用三角形中位线定理判定四边形的对边平行且相等，易证该四边形是平行四边形； （2）①设的边长是，的边长是，由于，，可得平行四边形的对角线相等，从而得出平行四边形是菱形； ②如图2，过点作于，则通过解三角形求得，由勾股定理得到．由①知四边形是菱形，可计算得周长是． 【详解】解：（1）如图1，连接、． 为的中位线， 且， 同理且． 且， 四边形为平行四边形； （2）①四边形是菱形， 如图2，连接AC，BD， ∵△ADE和△BCE都是等边三角形， ∴AE=DE，CE=BE，∠AED=∠BEC=60°， ∴∠AEC=∠DEB， ∴△AEC≌△DEB， ∴AC=BD， ∵点M，N是AD，CD的中点， ∴MN是△ADC的中位线， ∴MN=AC， 同理：PN=BD， ∴MN=PN， 由（1）知，四边形PQMN是平行四边形， ∴平行四边形PQMN是菱形； ②过点作于，则， 又， ， 由①知四边形是菱形，可计算得周长是． 【点睛】本题考查了中点四边形以及菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，解题时，利用了三角形中位线的性质定理． 一、单选题 1．菱形中，对角线长度分别为6和8，则菱形的面积是（　　） A．24 B．12 C．36 D．10 【答案】A 【分析】根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵菱形的对角线的长分别为6和8， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查菱形的面积，掌握菱形的面积等于两对角线乘积的一半是解题的关键． 2．在平行四边形中，AC，BD交于点O，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形ABCD是菱形 D．四边形ABCD是矩形 【答案】D 【分析】由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，再证∠DBC＝∠OCB，得OB＝OC，然后得AC＝BD，即可得出结论． 【详解】解：如图所示，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵∠BOC＋2∠DBC＝180°， ∵∠DBC＋∠BOC＋∠OCB＝180°， 即∠DBC＋∠BOC＋∠OCB＝180°， ∴∠DBC＝∠OCB， ∴OB＝OC， ∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质以及等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证出AC＝BD是解题的关键． 3．下列命题正确的是（　　） A．平行四边形的对角线互相垂直平分 B．矩形的对角线互相垂直平分 C．菱形的对角线互相平分且相等 D．平行四边形是中心对称图形 【答案】D 【分析】利用平行四边形、矩形及菱形的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分但不一定垂直，故原命题错误，不符合题意； B、矩形的对角线平分且相等但不一定垂直，故原命题错误，不符合题意； C、菱形的对角线互相垂直且平分但不一定相等，故原命题错误，不符合题意； D、平行四边形是中心对称图形，正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形及菱形的性质，难度不大． 4．如图，是菱形的对角线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据菱形的性质得出，进而求出，再根据即可得出答案． 【详解】四边形是菱形， ，， ， 为等边三角形，即， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查菱形的性质、等腰三角形的性质及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质的内容并能灵活运用． 5．如图，四边形 是菱形， 于点 ．若 ，，则 的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用菱形的面积等于对角线乘积的一半，也等于边长乘以高解题． 【详解】∵四边形为菱形， ∴，设与交于点O， ， 则， ， ， 即． 故选C． 【点睛】本题考查菱形的性质，利用面积法求边上的高是解题的关键． 6．下列四个条件中，能使如图所示的是菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 根据一组邻边相等的平行四边形是菱形判断即可． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴当时，是菱形． 故选：B． 7．如图，在平面直角坐标系中，将菱形绕点顺时针旋转得到菱形，按此方式绕点连续旋转2026次得到菱形．已知菱形的边长为1，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，交于点，根据菱形的边长为1，，证明是等边三角形，得出，求出，得出，连接，根据旋转可得，得出旋转周期为8，每旋转8次，图形回到原位，旋转2026次的位置与旋转2次的位置相同，即可求解． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵菱形的边长为1，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接， 根据旋转可得， ∵， ∴旋转周期为8，每旋转8次，图形回到原位， ∵， ∴旋转2026次的位置与旋转2次的位置相同， 旋转2次共顺时针转了， 原沿y轴正方向，顺时针转后，位于x轴上， 因此． 8．如图，菱形的对角线、相交于点O，E是的中点，连接，若菱形的周长为48，则的长是（   ）． A．4.8 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】此题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上中线的性质．根据菱形的性质得到，是直角三角形，由E是的中点得到． 【详解】解：∵菱形的对角线、相交于点O，菱形的周长为48， ∴，垂足为点O， ∴是直角三角形， ∵E是的中点， ∴， 故选：B 9．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点，，点C在x轴正半轴上，则点D坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质，熟练掌握以上知识点是关键．根据菱形性质可得，继而得到，根据平移特征可得点D坐标． 【详解】解：如图，作轴，垂足为E， ∵点， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 10．如图，菱形的对角线相交于点，，，点为边上一点，且不与点、重合.过作于，于，连，则的最小值等于（    ）.    A．3.6 B．4.8 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由菱形的性质可得，，，由勾股定理可求的长，可证四边形是矩形，可得，时，有最小值，由面积法可求解． 【详解】解：连接，   四边形是菱形，，， ，，， ， ，，， 四边形是矩形， ， 当时，有最小值， 此时， ， 的最小值为4.8， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的性质是本题的关键． 二、填空题 11．菱形的两条对角线的长分别为4和8，则菱形的边长为__________． 【答案】 【分析】菱形的对角线垂直且互相平分，四条边长相等，两条对角线的一半和菱形的边构成直角三角形，从而可求出菱形的边长． 【详解】解：∵菱形两条对角线的长分别为4和8， ∴菱形两条对角线的一半长分别为2和4， ∴菱形的边长为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，熟悉菱形的对角线垂直且互相平分，四个边长相等是解题的关键． 12．如图，菱形的对角线和相交于点O，E是中点，，则长为___________． 【答案】4 【分析】根据四边形是菱形可知， ，由直角三角形斜边上的中线的性质得出，又由，即可求出． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴是直角三角形， 又∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查菱形和直角三角形的性质，熟练应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 13．菱形的面积是24，一条对角线的长为8，则菱形的另一条对角线的长为________． 【答案】6 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半进行计算即可求得. 【详解】设另一条对角线的长为，则有 ， 解得：， 故答案为：. 【点睛】本题考查了菱形的面积，熟知菱形的面积等于菱形对角线乘积的一半是解题的关键. 14．如图，四边形是边长为3的菱形，对角线，点E，F，G，H分别为边中点，顺次连接E，F，G，H．则四边形的面积为__________． 【答案】 【分析】利用菱形性质以及勾股定理得到，即，结合，推出，再根据中点四边形的知识证明四边形为矩形，根据矩形面积公式即可求解． 【详解】解：设菱形的对角线的交点为O， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵点E，F，G，H分别为边中点， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，中点四边形的知识，完全平方公式的变形，证明四边形为矩形是解题的关键． 15．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，在重叠部分构成的四边形中，若，则点A到的距离为________． 【答案】 【分析】本题考查菱形的判定和性质，作，设交于点，证明四边形为菱形，利用菱形的性质和勾股定理求出的长，等积法求出的长即可，解题的关键是证明四边形为菱形． 【详解】解：作，设交于点， 由题意，得：，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即：点A到的距离为； 故答案为：． 16．如图，在平行四边形ABCD中，以点B为圆心，以适当长为半径圆弧，分别与，交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点C，作射线，与边交于点H，最后以点B为圆心，长为半径面弧，交边BC于点M．若，，则点A，M之间的距离为______． 【答案】 【分析】本题考查了作图基本作图，菱形的判定与性质，勾股定理，证明四边形是菱形是解题的关键．连接、，设交于点，根据题意证明四边形是菱形，从而得出的长，再根据勾股定理即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、，设交于点， 由题意可知，是的角平分线， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 以为圆心，长为半径画弧，交于边于点， ， ， 又∵， 四边形是平行四边形， 又∵， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 17．如图，四边形为菱形，E为对角线上的一个点，连接并延长交的延长线于点F，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定与性质是解题的关键．证明出，得到，再结合平行得到即可求证． 【详解】证明：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴． 在和中，， ∴ ∴， ∴． 18．如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变的长来调节的长．已知，的初始长为，如果要使的长达到，那么的长需要缩短多少． 【答案】的长需要缩短 【分析】此题主要考查了菱形的性质，勾股定理，设与交于点O，于交于点，由菱形的性质得，，，在中由勾股定理可求出，则得出，在中由勾股定理可求出，则求出，然后再求出结果即可． 【详解】解：设与交于点O，于交于点，如下图所示：    依题意得：四边形，四边形均为菱形，且，， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ， ， 即的长需要缩短． 19．如图，在的正方形网格中，每一个小正方形的边长均为1，请按下列要求作格点图形． （1）在图1中，以为边画一个面积为12的平行四边形． （2）在图2中，以为边画一个面积最小的菱形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质画图即可； （2）根据菱形的性质画图即可． 【详解】解：（1）如图1，平行四边形ABCD即为所求， S四边形ABCD． （2）如图2，菱形ABCD即为所求． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，菱形的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 20．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，分别过点C、D作、，CE、DE交于点E． （1）求证：四边形OCED是萎形． （2）将矩形ABCD改为菱形ABCD，连接BE，其余条件不变．若，，求BE的长． 【答案】（1）见解析；（2）13 【分析】（1）先证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形性质证明OC=OD，即可证得结论； （2）根据菱形的性质证得,，进而证得四边形OCED是矩形，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形OCED是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AO=OC，BO=OD，AC=BD， ∴OC=OD， ∴四边形OCED是菱形； （2）解：由（1）知四边形OCED为平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴，OA=OC， ∴， ∴四边形OCED为矩形，又，∴AC=10， ∴，， 由勾股定理可得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 21．2014年“壮族三月三”被列入国家级非物质文化遗产名录并成为广西法定公众假日，2025年是广西将“壮族三月三”作为法定假日的第12年，在南宁民歌湖举办主题活动，人们身着绚丽的壮锦服饰载歌载舞．其中壮锦披肩十分夺目，上面由一个个彩色丝线绣成的菱形图案组成．小邕的壮锦披肩，图案为菱形．如图，若菱形中已知两条对角线相交于点，其中，菱形的周长为． (1)求对角线的长； (2)小邕制作菱形需要多少平方厘米的布料（裁剪缝边除外）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查菱形性质，等边三角形判定及性质等． （1）由菱形性质可得，后利用可知为等边三角形，继而得到本题答案； （2）根据题意可得，，继而利用菱形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵菱形，菱形的周长为， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴菱形面积为：， 答：制作菱形需要平方厘米的布料． 22．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线．    (1)求两点的坐标． (2)把矩形沿直线对折使点落在点处，与相交于点，求直线的函数解析式． (3)若点在直线上，平面内是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)直线的解析式为 (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）利用含角的直角三角形的性质即可求解及； （2）根据折叠，可知直线是的垂直平分线，利用待定系数法，垂直平分线的性质即可求解； （3）分类讨论，①如图所示，为边；②如图所示，以为边，为对角线；③如图所示，以为边，为对角线；图形结合，由此即可求解． 【详解】（1）解：矩形的对角线， ∴，， ∴在中，，， ∴，． （2）解：根据折叠的性质得，如图所示，    ∴，设，则， 在中，，即，解得，， ∴， 同理得，，， 设所在直线的解析式为， ∴，解得，， ∴所在直线的解析式为． （3）解：①如图所示，为边，    ∵是的中点， ∴， ∵直线的解析式为，存在菱形， ∴， ∴直线的解析式为，设， ∴，解得，， ∴或； ②如图所示，以为边，为对角线，    ∵是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴与重合，即，设， ∵与互相平分， ∴，， ∴， ∴； ③如图所示，以为边，为对角线，    ∵直线的解析式为， ∴直线与轴的交点为， ∵， ∴， 存在菱形， ∴， ∴是直线与轴的交点， ∴； 综上所示，存在以为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查一次函数与几何图形的变换的综合，掌握待定系数法求解析式，几何图形的特点，勾股定理，垂直平分线的性质，中点坐标等知识是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $