第02讲 二次根式的运算（知识详解+12典例分析+习题巩固）2025-2026学年浙教版八年级数学下册同步讲义与测试

第02讲 二次根式的运算（知识详解+12典例分析+习题巩固） 【知识点01】二次根式的乘除运算 1.二次根式的乘法法则： 符号语言 （𝑎≥0,𝑏≥0  ）。此法则成立的前提条件 文字语言 两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根。 拓展 (1)二次根式的乘法法则可推广到多个二次根式相乘的情况，如(𝑎≥0,𝑏≥0,𝑐≥0)  。 (2)乘法交换律、结合律、乘法公式在二次根式的乘法中仍然适用。类比单项式乘以单项式，可得(𝑏≥0,𝑑≥0) 。 2.二次根式的除法法则： 符号语言 （𝑎≥0,𝑏>0）。注意此处 的取值范围与乘法法则中 的取值范围不同 文字语言 两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根。 拓展 二次根式的除法法则可推广到多个二次根式相除的情况， 如(𝑎≥0,𝑏>0,𝑐>0) 。 【知识点02】二次根式的加减运算 1.可以合并的二次根式：将二次根式化成最简二次根式，若被开方数相同，则这样的二次根式可以合并。如和，化成最简二次根式是，所以和可以合并。也叫同类二次根式 2.同类二次根式的合并方法： 只把系数相加减，根指数和被开方数不变。如。根号外面的因数或因式 注意：当二次根式的系数是假分数时，不要写成带分数。 3.二次根式的加减运算： 二次根式加减运算的实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中含有相同被开方数的二次根式的项进行合并。（在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用） 4.二次根式加减运算的步骤： 步骤 示例： （1）化：将每个二次根式都化成最简二次根式。 = （2）找：找出被开方数相同的二次根式。 = （3）合：类似于合并同类项，将被开方数相同的二次根式合并。 =（2-3）。 【知识点03】二次根式的四则混合运算 1.二次根式的混合运算顺序：与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的。 2.二次根式的混合运算依据：实数的运算律、整式的乘法公式和运算法则在二次根式的运算中仍然适用。 3.二次根式混合运算的结果：二次根式混合运算的结果要写成最简形式。 4.二次根式混合运算的几种常见类型及计算方法 （1） ; （2） ; （3） ; （4） ; （5） 。#5.5 【知识点04】二次根式的应用 1.二次根式的应用常表现在两个方面：一是用二次根式或含二次根式的代数式表示未知量；二是通过二次根式的四则混合运算求出未知量，并化简。 2.坡比：如图,坡面的铅垂高度 和水平距离的比叫作坡面的坡比,记作,即 （坡比通常写成 的形式）。 【题型一】二次根式的乘法 例1．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）（   ） A．2 B．4 C． D．1 【答案】A 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算．解题的关键是掌握二次根式的乘法法则：（），并正确应用该法则进行计算．根据二次根式乘法法则计算即可． 【详解】解：根据二次根式乘法法则， 可得． 故选：A． 例2．（2023·浙江衢州·中考真题）计算： ． 【答案】2 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题主要考查了二次根式的乘方．根据二次根式的乘方计算，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：2 变式1．（24-25八年级下·浙江·月考）下列二次根式中，与的乘积为有理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法．分别将各选项与相乘，进而化简求出答案． 【详解】解：A、，是有理数，故此选项正确； B、，是无理数，故此选项错误； C、，是无理数，故此选项错误； D、，是无理数，故次选项错误； 故选：A． 变式2．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，化简二次根式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据二次根式乘法计算法则求解即可； （2）计算二次根式乘法和化简二次根式即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 【题型二】二次根式的除法 例3．（22-23八年级下·浙江杭州·期末）方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的除法 【分析】根据一元一次方程的解法、二次根式的除法即可得． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法、二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题关键． 例4．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）长方形的面积为S，长和宽分别为a和b，已知，，则 ． 【答案】/ 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题主考查了二次根式的除法，解题的关键是掌握二次根式除法计算方法； 根据长方形面积公式可得到该长方形面积，利用二次根式除法计算方法进行计算即可， 【详解】解：， 故答案为：． 变式1．计算： ． 【答案】 【知识点】二次根式的除法 【分析】根据二次根式除法法则计算即可． 【详解】解：=3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了二次根式的除法，掌握二次根式的除法运算法则是解答本题的关键． 变式2．计算： （1）；     （2）；     （3）；     （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【知识点】二次根式的除法 【分析】根据二次根式的除法法则，（a≥0，b＞0）可得答案． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的除法法则是解决本题的关键． 【题型三】分母有理化 例5．化简结果正确的是（    ） A． B． C． D．7 【答案】B 【知识点】分母有理化 【分析】分子分母同时乘以，即可求解． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】本题考查了分母有理化，正确的计算是解题的关键． 例6．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）化简 ． 【答案】 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查了分母有理化，分子分母同时乘以，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 变式1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）定义：不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，；，，，若且，则 【答案】或 【知识点】分母有理化 【分析】本题主要考查分母有理化与实数有关的新定义问题，需要注意分类讨论思想的运用．先根据分母有理化法则进行化简，再根据定义即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 当时，， ， ， ， 当时，， ， ， 综上，的值为或． 故答案为：或． 变式2．阅读下而问题： ； ； ．试求： (1)的值； (2)的值； (3)（为正整数）的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分母有理化 【分析】（1）分子分母同时乘以，即可求解； （2）分子分母同时乘以，即可求解 （3）分子分母同时乘以，即可求解 【详解】（1） （2） （3） 【点睛】本题考查了分母有理化，熟练掌握分母有理化，平方差公式是解题的关键． 变式3．我们将，称为一对“对偶式”． 因为．所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉．例如：．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题． (1)分母有理化的值为______； (2)计算：． 【答案】(1) (2)1 【知识点】分母有理化 【分析】（1）根据阅读材料的方法，分母有理化即可得答案； （2）将每个加数分母有理化，再相加即可． 【详解】（1）解： =2-， 故答案为：2-； （2）解： =1． 【点睛】本题考查分母有理化，解题的关键是读懂阅读材料，应用“对偶式”进行分母有理化． 【题型四】二次根式的乘除混合运算 例7．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． 例8．（24-25八年级下·浙江·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】化为最简二次根式、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的乘除混合运算； （1）按照从左至右的顺序进行计算即可； （2）先化简二次根式，再合并即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： . 变式1．计算： ． 【答案】1 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的乘除法混合运算，按照乘除法混合运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：1． 变式2．（23-24八年级下·浙江金华·期中）计算题： (1)； (2) 【答案】(1)5 (2) 【知识点】实数的混合运算、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查了实数的运算及二次根式的运算，正确利用算术平方根的意义及二次根式的乘除法运算法则运算是解题的关键． （1）利用算术平方根的意义化简运算即可； （2）利用二次根式的乘除运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式， ； （2）原式 ． 【题型五】复合二次根式的化简 例9．（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 变式1．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）化简的结果为 ． 【答案】5 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用完全平方公式是解题关键． 直接利用完全平方公式将根号内部分变形开平方得出答案． 【详解】解： 故答案为：5． 变式2．先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如： ． 解决问题： (1)在横线和括号内上填上适当的数： ； (2)根据上述思路，试将予以化简． 【答案】(1)；；； (2) 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题主要考查了复合二次根式化简： （1）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可； （2）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：；；；； （2）解： ． 【题型六】同类二次根式 例10．（24-25八年级下·浙江金华·月考）与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 把所给的二次根式化简后比较被开方数即可解答． 【详解】解：，，，， ∴与是同类二次根式的是， 故选：D． 例11．若最简二次根式与能合并成一项，则a＝ ． 【答案】－1 【知识点】同类二次根式 【分析】根据二次根式能合并，可得同类二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：， 由最简二次根式与能合并成一项，得 a+3＝2． 解得a＝-1． 故答案是：-1． 【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 变式1．下列各式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同类二次根式 【分析】根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、不能与合并，本选项不符合题意； B、能与合并，本选项符合题意； C、不能与合并，本选项不符合题意； D、不能与合并，本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 变式2．若最简二次根式与可以合并，则x的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】同类二次根式、二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同．若最简二次根式可以合并可知被开方数相同，由此可得x. 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴， 故选：D． 变式3．阅读下面的解题过程： 已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值． 解：因为与能合并， 所以为正整数）． 所以， 所以． 又为正整数，所以为偶数， 所以为奇数． 所以当时，； 当时，； 当时，． 所以满足条件的的值可以为3、31、87．（也可取为其他正奇数，得出不同的答案） 请根据上面的信息，回答问题： 已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值． 【答案】1，21，61（答案不唯一） 【知识点】同类二次根式 【分析】根据同类二次根式的定义，与能合并，所以它们是同类二次根式，然后模仿例题的过程解答即可． 【详解】解：与能合并， 为正整数）， ， ， 又为正整数， 为偶数， 为奇数， 当时，； 当时，； 当时，． 所以满足条件的的值可以为1、21、61．（也可取为其他正奇数，得出不同的答案）． 【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 【题型七】二次根式的加减运算 例12．（22-23八年级下·浙江温州·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的加减，先根据二次根式的性质进行化简，再计算二次根式的加法即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 变式1．（23-24八年级下·浙江温州·期中）计算的结果为 ． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式加法，熟练掌握二次根式加法法则是解题的关键． 先化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·浙江台州·期中）计算： 【答案】 【详解】解： ； 【题型八】二次根式的混合运算 例13．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）把四张形状、大小完全相同的宽为1cm的小长方形卡片不重叠地放在一个底面长为，宽为4cm的长方形盒子底部（如图），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图中两块阴影部分的周长之和为（    ） A． B．16cm C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的计算， 先分别求出两个阴影部分的周长，再求和即可. 【详解】解：由题知，小长方形的长为 因为左下方阴影长方形的宽为：， 所以左下方阴影长方形的周长为： 因为右上方阴影长方形的长为2cm，宽为：， 所以右上方阴影长方形的周长为：， 所以图中两块阴影部分的周长之和为： 故选：B. 例14．计算 (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)13 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地把每一个二次根式化成最简二次根式是解题的关键． （1）先算括号里二次根式的减法，再算括号外二次根式的除法，即可解答； （2）先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式1．（23-24八年级下·浙江嘉兴·月考）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的加减乘除运算进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项正确，符合题意；     C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 变式2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）定义：对于一组关于x的多项式，，，，当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差为常数p时（不含字母x），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，常数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．若多项式，，，是一组黄金多项式，黄金因子为2，则n的值为 ． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，新定义运算的含义，分三种情况：①；②；③，再进一步计算并检验即可. 【详解】解：若多项式，，，（是有理数）是一组黄金多项式，有三种情况， ① ． ∵这是一组黄金多项式， ∴， ∴． 此时：舍去， ② ． ∵这是一组黄金多项式， ∴， ∴． 此时，符合题意； ③ ． ∵这是一组黄金多项式， ∴， ∴． 此时； 综上所述，的值为． 故答案为： 变式3．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据二次根式的除法以及二次根式的性质进行计算即可求解； （2）根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型九】已知字母的值，化简求值 例15．（23-24八年级下·浙江金华·月考）若，则代数式的值是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】D 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解题关键．将代数式化为完全平方式，再代入计算即可． 【详解】解：， ， 故选：D． 例16．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．根据二次根式的定义对式子进行化简，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：， ， 当时， 原式， ， 变式1．已知，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】把代入计算解题即可． 【详解】解： ， 故选D． 【点睛】本题考查已知未知数的值，求代数式的值，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 变式2．（22-23八年级下·浙江杭州·月考）当，时， ． 【答案】5 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】先将转化为，再代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ； 故答案为： 【点睛】本题考查二次根式的化简求值．解题的关键是掌握二次根式的运算法则，正确的计算． 变式3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的就应用了黄金分割数．设，，请解决下面的问题． (1)分别求出，的值． (2)分别求出，的值． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】异分母分式加减法、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查的是黄金分割数的含义，二次根式的混合运算，分式的加法运算； （1）直接代入，进行计算即可； （2）由，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ． （2）解：∵，， ∴． ． 【题型十】已知条件式，化简求值 例17．（22-23八年级下·浙江·单元测试）已知，，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、分式化简求值、已知条件式，化简求值 【分析】利用已知，代入求值即可． 【详解】解：， 当，时， ，， 原式． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式化简求值，二次根式的加减． 变式1．（2023八年级下·浙江杭州·期中）已知，那么的值等于 【答案】 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式；将两边同时平方，可求的值，将式子化为即可求解；掌握的典型解法是解题的关键． 【详解】解：由得 ， 整理得：， ． 故答案为：． 变式2．已知，求的值． 【答案】 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的运算法则化简得到，再把，整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴a、b同号，且a、b均为正数数， ∴ ． 【题型十一】比较二次根式的大小 例18．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较二次根式的大小、分母有理化 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，分母有理化， 先分别表示出，再比较分母即可. 【详解】解：，，， ， ， 即. 故选：D. 变式1．比较大小： （填“”、“”或“”） 【答案】 【知识点】实数的大小比较、比较二次根式的大小 【分析】先求出两个数的差，然后根据求出的差的正负，即可求解． 【详解】解：∵， 又∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，利用作差法解答是解本题的关键． 变式2．（22-23八年级下·浙江杭州·期末）请比较和的大小． 【答案】 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】先将两数通分，然后将分子中根号外的数字平方后移到根号内，通过比较被开方数的大小得出结论． 【详解】解：， ， 又， ． 【点睛】本题主要考查了实数大小的比较，二次根式的性质．将两个无理数适当变形后，通过比较被开方数的大小进行解答是解题的关键． 【题型十二】二次根式的应用 例19．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，长方形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为3和12，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查二次根式混合运算的实际应用，根据二次根式的性质求出正方形的边长即可求解，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由题意得，大正方形的边长， 小正方形的边长， ∴阴影部分的面积， 故选：C． 例20．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1秒时，宇宙飞船内时间只经过秒（千米/秒，是宇宙飞船的速度）．假定宇宙飞船的速度是千米/秒时，当地面经过5分钟时，宇宙飞船内经过多少时间？ 【答案】当地面经过5分钟时，宇宙飞船内经过时间 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意列出关系式是关键． 【详解】解：依题意，当地面时间经过5分钟即300秒时 飞船内经过的时间为秒 答：当地面经过5分钟时，宇宙飞船内经过时间． 变式1．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，将面积分别为2和16的两个小正方形放入面积为25的大正方形中，两个小正方形的重叠部分（阴影部分）的面积为 ． 【答案】/ 【知识点】算术平方根的实际应用、二次根式的应用 【分析】本题考查的是求算术平方根、二次根式计算的应用，先求出三个正方形的边长，再根据图形求出阴影部分的长和宽，即可求出面积． 【详解】解：将面积分别为2和16的两个小正方形放入面积为25的大正方形中， ∴三个正方形的边长分别为，，， 阴影部分长为，宽为， 阴影部分面积为， 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，一个长方形被分割成四部分．其中图形①、②、③都是正方形，且正方形①、③的面积分别为24和求图中阴影部分的面积． 【答案】 【知识点】二次根式的应用、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的应用，结合正方形的性质得正方形①的边长为，正方形③的边长为，故正方形②的边长为，根据阴影部分的面积等于它的长乘宽进行列式代入数值计算，即可作答． 【详解】解：正方形①、③的面积分别为24和3， 正方形①的边长为，正方形③的边长为， 正方形②的边长为， 阴影部分的面积为： 一、单选题 1．已知，，则的值为（    ） A．4 B．12 C．10 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式的运用，根据已知求出，再根据完全平方公式将式子化为，求出结果即可． 【详解】解：，， ， ∴， 故选：B． 2．若是最简二次根式，且与可以进行加减合并，则的值为（    ） A．1 B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 根据同类二次根式的定义列式整理即可求解． 【详解】解：∵是最简二次根式，且与可以进行加减合并， ∴， 解得：． 故选：A ． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的混合计算法则进行求解即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的性质，加减法以及乘法法则分别判断即可． 【详解】解：A、，故正确，符合题意； B、，故错误，不合题意； C、，故错误，不合题意； D、不能合并，故错误，不合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键． 5．若，则（    ） A． B．a、b互为倒数 C． D．a、b互为相反数 【答案】A 【分析】先把a分母有理化，然后与b比较即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查了分母有理化，解题的关键在于能够熟练掌握分母有理化的方法． 6．若a＝2+，b＝2-，则ab＝（    ）． A．1 B．2 C． D．2 【答案】A 【分析】根据平方差公式、二次根式乘法性质计算，即可得出答案． 【详解】∵a＝2+，b＝2-， ∴ab＝ ＝4-3 ＝1 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法、平方差公式的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式、二次根式乘法的性质，从而完成求解． 7．一个三角形的三边长分别是，，，则此三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次根式的加法运算，牢记法则是解题关键，先化简再进行加法计算即可． 【详解】解：三角形的周长为， 故选：A． 8．估计的值在（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的乘法，先根据二次根式的乘法得出，估算出的大小即可得解． 【详解】解：， ∵， ∴，即， ∴，即的值在6和7之间， 故选：C． 9．计算：（   ） A． B． C．2026 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式与幂的运算，解题关键是通过拆分指数，结合平方差公式简化高次幂的计算． 利用同底数幂的运算法则，将指数拆分后结合平方差公式简化计算． 【详解】解：原式 ． 故选：A． 10．下列结论中正确的个数是（      ） ①；     ②是最简二次根式；     ③和不是同类二次根式； ④的有理化因式是；     ⑤不等式的解集是； ⑥将保留两个有效数字，可表示为． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】根据二次根式的性质，判断①，最简二次根式的定义，判断②，同类二次根式的定义，判断③，分母有理化，判断④，解不等式，分母有理化判断⑤，求一个数的近似数，判断⑥． 【详解】解：；故①错误； 是最简二次根式，故②正确； ，，故和不是同类二次根式，故③正确； 的有理化因式是；故④错误； 不等式的解集是；故⑤错误； 将保留两个有效数字，可表示为；故⑥错误； 故选A． 【点睛】本题考查二次根式的性质，最简二次根式，同类二次根式，分母有理化，解不等式，求一个数的近似数等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 二、填空题 11．若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则x的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查合并同类二次根式，根据两个最简二次根式可以合并，得到两个最简二次根式是同类二次根式，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：与是同类二次根式， ∴， 解得：； 故答案为：1． 12．计算： ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先计算二次根式乘除法，再计算加法即可． 【详解】解： ， 故答案为：6． 13．已知，，则的值是 ． 【答案】 【分析】先对a、b分母有理化，然后将因式分解，最后将a、b的值代入计算即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分母有理化以及因式分解的应用，正确的对a、b因式分解是解答本题的关键． 14．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，化简求值，求出和的值，因式分解后，整体代入法进行求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴； 故答案为：． 15．比较大小： （填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题考查了比较二次根式的大小． 先比较两个负数的绝对值，绝对值较小的负数更大．通过平方运算比较绝对值的大小． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∴， 故答案为>． 16．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、积的乘方与幂的乘方运算法则是解题的关键． 先将化为，然后根据积的乘方与幂的乘方运算法则，结合平方差公式，进行计算即可解答． 【详解】原式 = = = = = = ． 故答案为：． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键是准确熟练地进行计算． （1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； （2）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．若最简二次根式与最简二次根式可以合并，求的值． 【答案】4 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．由题意得，最简二次根式和是同类二次根式，可得，即可求出的值． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 的值为4． 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用二次根式的性质及化简，二次根式的乘法及除法，最后算加减法； （2）利用平方差根式求解，平方根、完全平方公式求解，再算加减法． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是二次根式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型． 20．如图，架在消防车上的云梯长为，，云梯底部离地面的距离为．你能求出云梯的顶端离地面的距离吗？（精确到）． 【答案】 【分析】设，且，根据，有，根据勾股定理可得，则问题随之得解． 【详解】设，且， ∵， ∴， 根据题意可知是直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴解得：， ∴， 根据题意可知， ∴， 答：云梯的顶端离地面的距离为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，题中涉及二次根式的运算，掌握勾股定理是解答本题的关键． 21．如图1是一张等腰直角三角形彩色纸，．将斜边上的高线四等分，然后裁出三张宽度相等的长方形纸条． (1)分别求出三张长方形纸条的长度． (2)若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），如图2，正方形美术作品的面积为多少平方厘米？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用勾股定理可得，则中线，根据将斜边上的高线四等分，可得，∴，，，根据题意的裁剪方式可知：，再证明，，是等腰直角三角形，根据平分，可得、、分别是、，的斜边中线．即问题随之得解； （2）先求出平均每张边框长方形纸条的长度为：，长方形纸条的宽不变，仍然为，则内部正方形美术作品的边长，则幅正方形美术作品的面积可求． 【详解】（1）如图， 在中，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵，∴，平分， ∴中线， 将斜边上的高线四等分， ∴， ∴，，， 根据题意的裁剪方式可知：， ∴， ∴是等腰直角三角形， 同理可证明：，是等腰直角三角形， ∵平分， ∴、、分别是、，的斜边中线． ∴，，． 答：三张长方形纸条的长度分别为，，． （2）三张长方形纸条连接在一起的总长度为， 则平均每张边框长方形纸条的长度为：， 长方形纸条的宽不变，仍然为， 则内部正方形美术作品的边长， 正方形美术作品的面积． 答：这幅正方形美术作品的面积为． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，直角三角形中斜边中线等于斜边的一半，勾股定理以及二次根式的运算等知识．仔细观察图形，寻找隐含条件是解答本题的关键． 22．阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当，时，有，所以，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为_______；当时，的最大值为________； (2)当时，求代数式的最小值，并求出此时的值． 【答案】(1)2； (2)当时，代数式的最小值为11，此时的值为4 【分析】本题考查了完全平方公式、二次根式的乘法、利用平方根解方程，灵活运用完全平方公式和二次根式的运算是解题关键． （1）当时，则，由此即可得；当时，，由此即可得； （2）先将代数式变形为，再根据可得（当且仅当时取等号），由此即可得． 【详解】（1）解：当时，则， ∵， ∴， ∴（当且仅当时取等号）， ∴当时，的最小值为2． 当时，则， ∵， ∴（当且仅当时取等号）， ∴， ∴当时，的最大值为． 故答案为：2；． （2）解：， 当时，则， ∵， ∴（当且仅当时取等号）， ∴（当且仅当时取等号）， ∴（当且仅当时取等号）， 由得：，解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是方程的解， 所以当时，代数式的最小值为11，此时的值为4． 23．阅读下面的材料：，即，∴的整数部分为2．小数部分为．规定实数m的整数部分记为，小数部分记为．如：，． 解答以下问题： (1)______，______； (2)求的值． 【答案】(1)3； (2)1 【分析】（1）先判断，的整数部分，从而可得答案； （2）先判断，的整数部分，再计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； （2）∵，∴， ∴， ∴， ∴，， ∴原式． 【点睛】本题考查的是无理数的整数部分与小数部分的判断，二次根式的加减运算，掌握判断无理数的整数部分与小数部分的方法是解本题的关键． 24．先阅读材料，然后回答问题． （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________； （2）化简； （3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：． 【答案】（1）④，；（2）；（3） 【分析】（1）第④步出现了错误，； （2）类比例题，将9分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可； （3）类比例题，将8分别拆为两个二次根式的平方的和，再用完全平方公式变形，计算求值即可． 【详解】解：（1）第④步出现了错误，正确解答如下： ； （2） ； （3） ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简和完全平方公式的运用，能够将数据拆为正确的完全平方公式是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 二次根式的运算（知识详解+12典例分析+习题巩固） 【知识点01】二次根式的乘除运算 1.二次根式的乘法法则： 符号语言 （𝑎≥0,𝑏≥0  ）。此法则成立的前提条件 文字语言 两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根。 拓展 (1)二次根式的乘法法则可推广到多个二次根式相乘的情况，如(𝑎≥0,𝑏≥0,𝑐≥0)  。 (2)乘法交换律、结合律、乘法公式在二次根式的乘法中仍然适用。类比单项式乘以单项式，可得(𝑏≥0,𝑑≥0) 。 2.二次根式的除法法则： 符号语言 （𝑎≥0,𝑏>0）。注意此处 的取值范围与乘法法则中 的取值范围不同 文字语言 两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根。 拓展 二次根式的除法法则可推广到多个二次根式相除的情况， 如(𝑎≥0,𝑏>0,𝑐>0) 。 【知识点02】二次根式的加减运算 1.可以合并的二次根式：将二次根式化成最简二次根式，若被开方数相同，则这样的二次根式可以合并。如和，化成最简二次根式是，所以和可以合并。也叫同类二次根式 2.同类二次根式的合并方法： 只把系数相加减，根指数和被开方数不变。如。根号外面的因数或因式 注意：当二次根式的系数是假分数时，不要写成带分数。 3.二次根式的加减运算： 二次根式加减运算的实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中含有相同被开方数的二次根式的项进行合并。（在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用） 4.二次根式加减运算的步骤： 步骤 示例： （1）化：将每个二次根式都化成最简二次根式。 = （2）找：找出被开方数相同的二次根式。 = （3）合：类似于合并同类项，将被开方数相同的二次根式合并。 =（2-3）。 【知识点03】二次根式的四则混合运算 1.二次根式的混合运算顺序：与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的。 2.二次根式的混合运算依据：实数的运算律、整式的乘法公式和运算法则在二次根式的运算中仍然适用。 3.二次根式混合运算的结果：二次根式混合运算的结果要写成最简形式。 4.二次根式混合运算的几种常见类型及计算方法 （1） ; （2） ; （3） ; （4） ; （5） 。#5.5 【知识点04】二次根式的应用 1.二次根式的应用常表现在两个方面：一是用二次根式或含二次根式的代数式表示未知量；二是通过二次根式的四则混合运算求出未知量，并化简。 2.坡比：如图,坡面的铅垂高度 和水平距离的比叫作坡面的坡比,记作,即 （坡比通常写成 的形式）。 【题型一】二次根式的乘法 例1．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）（   ） A．2 B．4 C． D．1 例2．（2023·浙江衢州·中考真题）计算： ． 变式1．（24-25八年级下·浙江·月考）下列二次根式中，与的乘积为有理数的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）计算： (1)； (2)． 【题型二】二次根式的除法 例3．（22-23八年级下·浙江杭州·期末）方程的解为（　　） A． B． C． D． 例4．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）长方形的面积为S，长和宽分别为a和b，已知，，则 ． 变式1．计算： ． 变式2．计算： （1）；     （2）；     （3）；     （4）． 【题型三】分母有理化 例5．化简结果正确的是（    ） A． B． C． D．7 例6．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）化简 ． 变式1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）定义：不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，；，，，若且，则 变式2．阅读下而问题： ； ； ．试求： (1)的值； (2)的值； (3)（为正整数）的值． 变式3．我们将，称为一对“对偶式”． 因为．所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉．例如：．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题． (1)分母有理化的值为______； (2)计算：． 【题型四】二次根式的乘除混合运算 例7．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 例8．（24-25八年级下·浙江·月考）计算： (1)； (2)． 变式1．计算： ． 变式2．（23-24八年级下·浙江金华·期中）计算题： (1)； (2) 【题型五】复合二次根式的化简 例9．（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 变式1．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）化简的结果为 ． 变式2．先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如： ． 解决问题： (1)在横线和括号内上填上适当的数： ； (2)根据上述思路，试将予以化简． 【题型六】同类二次根式 例10．（24-25八年级下·浙江金华·月考）与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 例11．若最简二次根式与能合并成一项，则a＝ ． 变式1．下列各式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 变式2．若最简二次根式与可以合并，则x的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 变式3．阅读下面的解题过程： 已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值． 解：因为与能合并， 所以为正整数）． 所以， 所以． 又为正整数，所以为偶数， 所以为奇数． 所以当时，； 当时，； 当时，． 所以满足条件的的值可以为3、31、87．（也可取为其他正奇数，得出不同的答案） 请根据上面的信息，回答问题： 已知为正整数，且与能合并，试写出三个满足条件的的值． 【题型七】二次根式的加减运算 例12．（22-23八年级下·浙江温州·期中）计算： ． 变式1．（23-24八年级下·浙江温州·期中）计算的结果为 ． 变式2．（24-25八年级下·浙江台州·期中）计算： 【题型八】二次根式的混合运算 例13．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）把四张形状、大小完全相同的宽为1cm的小长方形卡片不重叠地放在一个底面长为，宽为4cm的长方形盒子底部（如图），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图中两块阴影部分的周长之和为（    ） A． B．16cm C． D． 例14．计算 (1)； (2)． 变式1．（23-24八年级下·浙江嘉兴·月考）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）定义：对于一组关于x的多项式，，，，当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差为常数p时（不含字母x），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，常数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．若多项式，，，是一组黄金多项式，黄金因子为2，则n的值为 ． 变式3．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）计算 (1) (2) 【题型九】已知字母的值，化简求值 例15．（23-24八年级下·浙江金华·月考）若，则代数式的值是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 例16．先化简，再求值：，其中． 变式1．已知，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 变式2．（22-23八年级下·浙江杭州·月考）当，时， ． 变式3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的就应用了黄金分割数．设，，请解决下面的问题． (1)分别求出，的值． (2)分别求出，的值． 【题型十】已知条件式，化简求值 例17．（22-23八年级下·浙江·单元测试）已知，，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 变式1．（2023八年级下·浙江杭州·期中）已知，那么的值等于 变式2．已知，求的值． 【题型十一】比较二次根式的大小 例18．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 变式1．比较大小： （填“”、“”或“”） 变式2．（22-23八年级下·浙江杭州·期末）请比较和的大小． 【题型十二】二次根式的应用 例19．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，长方形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为3和12，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．3 D．4 例20．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1秒时，宇宙飞船内时间只经过秒（千米/秒，是宇宙飞船的速度）．假定宇宙飞船的速度是千米/秒时，当地面经过5分钟时，宇宙飞船内经过多少时间？ 变式1．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，将面积分别为2和16的两个小正方形放入面积为25的大正方形中，两个小正方形的重叠部分（阴影部分）的面积为 ． 变式2．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，一个长方形被分割成四部分．其中图形①、②、③都是正方形，且正方形①、③的面积分别为24和求图中阴影部分的面积． 一、单选题 1．已知，，则的值为（    ） A．4 B．12 C．10 D．6 2．若是最简二次根式，且与可以进行加减合并，则的值为（    ） A．1 B． C． D．5 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．若，则（    ） A． B．a、b互为倒数 C． D．a、b互为相反数 6．若a＝2+，b＝2-，则ab＝（    ）． A．1 B．2 C． D．2 7．一个三角形的三边长分别是，，，则此三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 8．估计的值在（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 9．计算：（   ） A． B． C．2026 D．2025 10．下列结论中正确的个数是（      ） ①；     ②是最简二次根式；     ③和不是同类二次根式； ④的有理化因式是；     ⑤不等式的解集是； ⑥将保留两个有效数字，可表示为． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 11．若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则x的值是 ． 12．计算： ． 13．已知，，则的值是 ． 14．已知，，则 ． 15．比较大小： （填“>”“<”或“=”） 16．计算的结果为 ． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 18．若最简二次根式与最简二次根式可以合并，求的值． 19．计算： (1)； (2)． 20．如图，架在消防车上的云梯长为，，云梯底部离地面的距离为．你能求出云梯的顶端离地面的距离吗？（精确到）． 21．如图1是一张等腰直角三角形彩色纸，．将斜边上的高线四等分，然后裁出三张宽度相等的长方形纸条． (1)分别求出三张长方形纸条的长度． (2)若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），如图2，正方形美术作品的面积为多少平方厘米？ 22．阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当，时，有，所以，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为_______；当时，的最大值为________； (2)当时，求代数式的最小值，并求出此时的值． 23．阅读下面的材料：，即，∴的整数部分为2．小数部分为．规定实数m的整数部分记为，小数部分记为．如：，． 解答以下问题： (1)______，______； (2)求的值． 24．先阅读材料，然后回答问题． （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________； （2）化简； （3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $