第14讲 二次根式的乘除（6知识详解+8典例分析+习题巩固）2025-2026学年（苏科版）八年级数学下册同步讲义与测试

第14讲 二次根式的乘除（6知识详解+8典例分析+习题巩固） 【知识点01】二次根式乘法的性质 二次根式乘法的性质： ，即两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根． 特别地，当,时， . 拓展：二次根式乘法性质的推广 （1） . （2） ，当二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式的乘法法则进行运算，即把系数之积作为积的系数，被开方数的积作为积的被开方数. 【知识点02】二次根式乘法的性质的逆用 1.把 反过来，可以得到 ，即两个非负数的积的算术平方根， 等于这两个非负数的算术平方根的积.利用这个式子可以化简一些二次根式. 拓展 ：该性质可以推广到多个非负数的积的算术平方根的运算，如 . 2.逆用二次根式乘法的性质化简的步骤 （1）将被开方数进行因数分解或因式分解，如化简 时，先把化成 的形式； （2）利用和 ，将能开得尽方的因数或因式开到根号外，如 . 【知识点03】二次根式除法的性质 二次根式除法的性质 ，即两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根. 注意：中，要特别注意b＞0.若b=0，则式子无意义。 拓展：二次根式除法性质的推广 （1） . （2） . 【知识点04】二次根式除法的性质的逆用 把 反过来，就得到 ， 即商的算术平方根等于被除数（必须非负）的算术平方根除以除数（必须为正）的算术平方根. 利用这个式子可以化简一些二次根式. 【知识点05】分母有理化 分母有理化 示例 使分母中不含根号的方法称为分母有理化. 当𝑎≥0，𝑏>0 时， 【知识点06】最简二次根式 1.一般地，化简二次根式就是使二次根式： （1）被开方数中不含分母； （2）分母中不含有根号; （3）被开方数写成乘积形式时，不含能开得尽方的因数，且因式的次数等于1. 这样化简后得到的二次根式叫作最简二次根式. 2.化简二次根式的一般类型 类型 举例 将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方. 化去根 号下的 分母. 若被开方数中含有带分数，应先 将带分数化成假分数. 若被开方数中含有小数，应先将 小数化成分数. 被开方数是多项式的要先进行分解因式. 解题通法 将二次根式化成最简二次根式的一般步骤 【题型一】二次根式的乘法 例1．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）______． 例2．计算：； 变式1．（24-25八年级·江苏南通·月考）下列各数与相乘，结果为有理数的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）计算的结果是______． 变式3．（23-24八年级下·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； 【题型二】二次根式的除法 例3．（23-24八年级下·江苏南通·月考）一间长方形卧室的面积为平方米，其中一边长为米，则这条边的邻边长为（    ） A． B． C． D． 例4．（24-25八年级下·江苏常州·期末）计算，则中的数是______． 例5．（23-24八年级下·江苏南京·期末）（1）填空：______，______（填“”、“”或“=”）； （2）若，，求证． 变式1．下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（22-23八年级下·江苏镇江·期末）如果一个长方形的面积为，它的一边长是，那么这个长方形另一边长是______． 变式3．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【题型三】二次根式的乘除混合运算 例6．计算结果为（   ） A． B． C． D． 例7．（22-23八年级下·江苏盐城·期末）计算的结果为______． 例8．（23-24八年级下·江苏泰州·月考）化简计算． 变式1．若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 变式2．（22-23八年级上·江苏苏州·期中）______． 变式3．（23-24八年级下·江苏无锡·月考）计算 (1) (2) 【题型四】分母有理化 例9．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）分母有理化：________． 例10．（23-24八年级下·江苏南京·期中）像、、……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与，与等都是互为有理化因式． 进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 请完成下列问题： (1)化简：； (2)计算：； (3)比较与的大小，并说明理由． 变式1．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）“黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌”．其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中有这样相辅相成的例子：，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（n为非负数），则； ． 则＝_____． 变式2．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）通过适当运算，将分母中的二次根式化为有理式的过程，称为分母有理化． 如这些运算都称为分母有理化． (1)将下列二次根式分母理化：___________，___________ (2)甲、乙两人化简时，写出两种不同的解答过程． 甲： 乙： 请你仔细阅读甲、乙两人的解题过程，对甲、乙两人的解答作出评判（　　） A．甲对乙错    B．甲错乙对    C．甲、乙全对    D．甲、乙全错 (3)已知有理数a、b满足求a、b的值． 【题型五】最简二次根式的判断 例11．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）下列二次根式，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 例12．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）请写出一个正整数m的值使得是最简二次根式，_________． 变式1．（23-24八年级下·江苏南通·月考）在下列根式，，，中，最简二次根式的个数是（） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 变式2．（22-23八年级下·江苏·期末）若二次根式是最简二次根式，则正整数a的最小值是________． 变式3．判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【题型六】化为最简二次根式 例13．将化成最简二次根式的结果为（    ） A． B． C． D． 例14．（2024·江苏徐州·一模）计算：___________． 变式1．下列二次根式中，不是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 变式2．写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是______． 变式3．把下列二次根式化为最简二次根式： (1) (2) (3) (4) 【题型七】已知最简二次根式求参数 例15．（22-23八年级下·江苏南通·月考）若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 例16．（23-24八年级下·江苏泰州·月考）若最简二次根式与是同类二次根式，则______． 变式1．（2023八年级下·江苏·专题练习）两个最简二次根式与可以合并，则_____． 变式2．若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 【题型八】复合二次根式的化简 例17．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 例18．（25-26八年级下·江苏·课后作业）计算：． 变式1．阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式”______． 变式2．（23-24八年级下·全国·单元测试）先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如： ． 解决问题： (1)在横线和括号内上填上适当的数： ； (2)根据上述思路，试将予以化简． 一、单选题 1．下列各式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．方程的解为（    ） A． B． C． D． 3．一个矩形的两条邻边长分别是和，它的面积是(   ) A． B． C．18 D．36 4．下列说法中正确的是（    ） A．一直角三角形的两条边长为3和4，则第三条边长为5 B．使是正整数的最小整数n是3 C．若正方形的边长为，则面积为 D．计算的结果是3 5．估算的值在（） A．和之间 B．和之间 C．和0之间 D．0和1之间 6．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 7．一个等边三角形的边长为4，则它的高为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 8．写出二次根式的一个有理化因式是________． 9．化简：_______． 10．已知，，，则的最后结果是_____． 11．化简：①_____；②______． 12．直角三角形的两条直角边分别为，，则这个直角三角形的面积为______． 三、解答题 13．在南北走向的河流一侧有一村庄，在河边有两个取水点，经测量，点到河岸的最短距离，求取水点之间的距离． 14．先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如； (1)填空____________； (2)化简，并写出化简过程． 15．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都1，在所给网格中按下列要求画出图形． (1)已知点A在格点（即小正方形的顶点）上，请画一个格点△ABC，使AB=，BC=，AC=3． (2)求所画的△ABC的AB边上高线的长． 16．已知、满足 (1)求、的值； (2)若、是某直角三角形的两条边的长，求此直角三角形的面积． 17．阅读理解：观察下列等式： ①＝＝； ②＝＝； … (1)利用你观察到的规律，化简：； (2)若a＝﹣，b＝﹣，比较a，b大小． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 二次根式的乘除（6知识详解+8典例分析+习题巩固） 【知识点01】二次根式乘法的性质 二次根式乘法的性质： ，即两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根． 特别地，当,时， . 拓展：二次根式乘法性质的推广 （1） . （2） ，当二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式的乘法法则进行运算，即把系数之积作为积的系数，被开方数的积作为积的被开方数. 【知识点02】二次根式乘法的性质的逆用 1.把 反过来，可以得到 ，即两个非负数的积的算术平方根， 等于这两个非负数的算术平方根的积.利用这个式子可以化简一些二次根式. 拓展 ：该性质可以推广到多个非负数的积的算术平方根的运算，如 . 2.逆用二次根式乘法的性质化简的步骤 （1）将被开方数进行因数分解或因式分解，如化简 时，先把化成 的形式； （2）利用和 ，将能开得尽方的因数或因式开到根号外，如 . 【知识点03】二次根式除法的性质 二次根式除法的性质 ，即两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根. 注意：中，要特别注意b＞0.若b=0，则式子无意义。 拓展：二次根式除法性质的推广 （1） . （2） . 【知识点04】二次根式除法的性质的逆用 把 反过来，就得到 ， 即商的算术平方根等于被除数（必须非负）的算术平方根除以除数（必须为正）的算术平方根. 利用这个式子可以化简一些二次根式. 【知识点05】分母有理化 分母有理化 示例 使分母中不含根号的方法称为分母有理化. 当𝑎≥0，𝑏>0 时， 【知识点06】最简二次根式 1.一般地，化简二次根式就是使二次根式： （1）被开方数中不含分母； （2）分母中不含有根号; （3）被开方数写成乘积形式时，不含能开得尽方的因数，且因式的次数等于1. 这样化简后得到的二次根式叫作最简二次根式. 2.化简二次根式的一般类型 类型 举例 将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方. 化去根 号下的 分母. 若被开方数中含有带分数，应先 将带分数化成假分数. 若被开方数中含有小数，应先将 小数化成分数. 被开方数是多项式的要先进行分解因式. 解题通法 将二次根式化成最简二次根式的一般步骤 【题型一】二次根式的乘法 例1．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）______． 【答案】 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题主要考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式乘法法则（）和二次根式的化简是解题的关键．利用二次根式乘法法则，将被开方数相乘后化简求解． 【详解】解： ， 故答案为： ． 例2．计算：； 【答案】 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，先计算乘法，再化简，即可求解． 【详解】解： ． 变式1．（24-25八年级·江苏南通·月考）下列各数与相乘，结果为有理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题主要考查二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则分别计算，再判断是否为有理数即可． 【详解】解：选项A：，结果为有理数，符合题意； 选项B：，不是有理数，不符合题意； 选项C：，不是有理数，不符合题意； 选项D：，不是有理数，不符合题意； 故选：A． 变式2．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）计算的结果是______． 【答案】 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 变式3．（23-24八年级下·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的乘法法则，熟练运用法则进行化简是解决问题的关键． （1）根据二次根式的乘法法则计算即可求解； （2）根据二次根式的乘法法则计算即可求解． 【详解】（1） ； （2） ． 【题型二】二次根式的除法 例3．（23-24八年级下·江苏南通·月考）一间长方形卧室的面积为平方米，其中一边长为米，则这条边的邻边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据长方形面积公式直接用面积除以已知边长即可得到答案． 【详解】解：， ∴这条边的邻边长为， 故选：D． 例4．（24-25八年级下·江苏常州·期末）计算，则中的数是______． 【答案】 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，根据二次根式的乘法运算解答即可求解，掌握二次根式的乘除运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴中的数是， 故答案为：． 例5．（23-24八年级下·江苏南京·期末）（1）填空：______，______（填“”、“”或“=”）； （2）若，，求证． 【答案】（1）=，=；（2）见解析 【知识点】二次根式的除法 【分析】（1）利用二次根式的性质证明解答即可； （2）利用二次根式的性质证明解答即可． 本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 故． 同理可证，． 故答案为：=，=． （2）∵，， ∴． ∵，， ∴． 变式1．下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的除法 【分析】根据二次根式的除法公式逐一计算即可． 【详解】A. 运算正确； B. 运算正确； C. 运算正确； D. 运算错误． 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的除法运算，熟练掌握二次根式的除法公式是解答本题的关键． 变式2．（22-23八年级下·江苏镇江·期末）如果一个长方形的面积为，它的一边长是，那么这个长方形另一边长是______． 【答案】 【知识点】二次根式的除法 【分析】根据长方形的面积公式进行计算即可得． 【详解】解：∵一个长方形的面积为，它的一边长是， ∴这个长方形另一边长是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了长方形的面积公式，二次根式的除法，解题的关键是掌握这些知识点，正确计算． 变式3．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】二次根式的除法 【分析】（1）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （2）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （3）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （4）根据二次根式的除法运算法则计算即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的除法运算，掌握二次根式的除法运算法则是解答本题的关键． 【题型三】二次根式的乘除混合运算 例6．计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 例7．（22-23八年级下·江苏盐城·期末）计算的结果为______． 【答案】6 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 例8．（23-24八年级下·江苏泰州·月考）化简计算． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合运算，根据二次根式的乘除运算法则进行乘除运算即可． 【详解】解： ． 变式1．若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】把代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除运算是解题的关键． 变式2．（22-23八年级上·江苏苏州·期中）______． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】利用二次根式的性质进行乘除运算． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是掌握二次根式的乘除运算法则． 变式3．（23-24八年级下·江苏无锡·月考）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的乘除混合运算、二次根式的乘法 【分析】（1）先将根号下的带分数化成假分数，然后跟号外与跟号外相乘，根号内与根号内相乘即可； （2）先将根号进行化简，然后跟号外与跟号外相乘除，根号内与根号内相乘除即可； 【详解】（1）解：原式= = = （2）解：原式= = = 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算的运算法则． 【题型四】分母有理化 例9．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）分母有理化：________． 【答案】 【知识点】分母有理化 【分析】找出原式分母的有理化因式，将分子与分母同乘该有理化因式，再利用平方差公式化简分母，整理后得到结果． 【详解】解： ． 例10．（23-24八年级下·江苏南京·期中）像、、……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与，与等都是互为有理化因式． 进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 请完成下列问题： (1)化简：； (2)计算：； (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)． 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查分母有理化，掌握二次根式的运算是解题的关键． （1）利用有理化因式，化去分母中的根号即可； （2）利用有理化因式，化去分母中的根号，再进行加减运算即可； （3）利用有理化分子，化去分母中的根号，再进行比较即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：∵ ， ， ， ∴ ∴． 变式1．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）“黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌”．其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中有这样相辅相成的例子：，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（n为非负数），则； ． 则＝_____． 【答案】 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查分母有理化，平方差公式以及分式的运算，先将代入得到原式，再根据分母有理化的方法将分式进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 变式2．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）通过适当运算，将分母中的二次根式化为有理式的过程，称为分母有理化． 如这些运算都称为分母有理化． (1)将下列二次根式分母理化：___________，___________ (2)甲、乙两人化简时，写出两种不同的解答过程． 甲： 乙： 请你仔细阅读甲、乙两人的解题过程，对甲、乙两人的解答作出评判（　　） A．甲对乙错    B．甲错乙对    C．甲、乙全对    D．甲、乙全错 (3)已知有理数a、b满足求a、b的值． 【答案】(1)， (2)C (3)， 【知识点】分母有理化 【分析】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是找准有理化因式． （1）根据乘以有理化因式或根据平方差公式因式分解化简计算即可； （2）根据（1）中方法进行判断即可； （3）根据方法一，进行分母有理化计算得出，根据为有理数，进而即可求得的值，即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：，； （2）根据（1）中的方法进行计算可知，甲、乙都对 故选：C． （3）解： 是有理数 ． 【题型五】最简二次根式的判断 例11．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）下列二次根式，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐个化简判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数含分母，故不是最简二次根式，不符合题意； C、的被开方数是正整数，且不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，故是最简二次根式，符合题意； D、，被开方数含分母，故不是最简二次根式，不符合题意． 例12．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）请写出一个正整数m的值使得是最简二次根式，_________． 【答案】1 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查的是最简二次根式的含义，根据最简二次根式的定义可得或等，从而可得答案． 【详解】解：∵是最简二次根式，m为正整数， ∴正整数m的值可以为1或3等， 故答案为：1（答案不唯一）． 变式1．（23-24八年级下·江苏南通·月考）在下列根式，，，中，最简二次根式的个数是（） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】最简二次根式需要两个条件，被开方数不含分母，被开方数不含开得尽方的因式或因式，根据最简二次根式的条件逐项判断即可． 【详解】解：满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式； ==，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； 满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式； ==，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； ∴最简二次根式共有2个． 变式2．（22-23八年级下·江苏·期末）若二次根式是最简二次根式，则正整数a的最小值是________． 【答案】2 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】让被开方数为非负数列式求得a的取值范围，找到最小的整数解即可． 【详解】∵二次根式 有意义， ∴， 解得， 当时，二次根式的值为，不是最简二次根式，不符合题意； 当时，二次根式的值为，是最简二次根式， 综上所述：若二次根式是最简二次根式，则正整数a的最小值是2． 故答案为：2 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 变式3．判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【答案】（3）（4）是最简二次根式，（1）（2）（5）（6）不是最简二次根式，原因见解析 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：（1） 不是最简二次根式，被开方数含能开得尽方的因式； （2）不是最简二次根式，被开方数含分母． （3）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式； （4）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式； （5）不是最简二次根式，被开方数含分母． （6） 不是最简二次根式，被开方数含分母． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【题型六】化为最简二次根式 例13．将化成最简二次根式的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】化为最简二次根式 【分析】本题考查了最简二次根式，如果一个二次根式符合下列两个条件：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式，那么，这个根式叫做最简二次根式，根据最简二次根式的定义化简即可得到答案． 【详解】解：将化成最简二次根式的结果为， 故选：A． 例14．（2024·江苏徐州·一模）计算：___________． 【答案】 【知识点】二次根式的乘法、化为最简二次根式 【分析】本题考查的是二次根式的化简，将18分解为，进一步进行简化即可． 【详解】解：, 故答案为:． 变式1．下列二次根式中，不是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】化为最简二次根式 【分析】根据直接得到答案． 【详解】∵、、是最简二次根式 ∴A、B、D不符合题意； ∵ ∴不是最简二次根式 故选：C． 【点睛】本题考查根式的性质，解题的关键是熟练掌握根式的相关知识． 变式2．写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是______． 【答案】1（答案不唯一） 【知识点】化为最简二次根式 【分析】本题考查最简二次根式的定义．掌握最简二次根式需满足1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式是解题关键． 【详解】解：当时，， 是最简二次根式， 故答案为：1（答案不唯一）． 变式3．把下列二次根式化为最简二次根式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】化为最简二次根式 【分析】本题考查了二次根式的性质，最简二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质化简即可． （2）根据二次根式的性质化简即可． （3）根据二次根式的性质化简即可． （4）根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 【题型七】已知最简二次根式求参数 例15．（22-23八年级下·江苏南通·月考）若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 【答案】A 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】根据最简根式的定义可知a、b的指数都为1，据此列式求解即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的定义是解题的关键：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式． 例16．（23-24八年级下·江苏泰州·月考）若最简二次根式与是同类二次根式，则______． 【答案】3 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】本题主要考查的是同类二次根式的定义，由同类二次根式的定义可知，从而可求得a的值． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：． 故答案为：3 变式1．（2023八年级下·江苏·专题练习）两个最简二次根式与可以合并，则_____． 【答案】5 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】根据最简二次根式的定义即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ∴， ∴， 但当时，，不是最简二次根式，应舍去， ∴； 故答案为：5． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，理解二次根式的定义是解题的关键． 变式2．若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 【答案】 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入计算求值 【详解】解：∵ 与是被开方数相同的最简二次根式 解得： ∴符合题意 【点睛】本题考查了最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开的尽的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．本题求出a，b后还需检验，因为被开方数必须为非负数． 【题型八】复合二次根式的化简 例17．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 例18．（25-26八年级下·江苏·课后作业）计算：． 【答案】 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】利用完全平方公式进行简便运算. 【详解】设原式， 则． ， ∴原式． 【点睛】本题考查了复合二次根式的化简，解题的关键熟练掌握二次根式的运算法则和完全平方公式． 变式1．阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式”______． 【答案】/ 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】仿照题意进行求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了化简复合二次根式，正确理解题意是解题的关键． 变式2．（23-24八年级下·全国·单元测试）先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如： ． 解决问题： (1)在横线和括号内上填上适当的数： ； (2)根据上述思路，试将予以化简． 【答案】(1)；；； (2) 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题主要考查了复合二次根式化简： （1）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可； （2）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：；；；； （2）解： ． 一、单选题 1．下列各式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】最简二次根式需满足两个条件：1.被开方数不含分母；2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断选项即可． 【详解】解：最简二次根式的判定条件为：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式.对选项逐一判断： ∵ 选项A中，==，被开方数含能开得尽方的因式，∴A不是最简二次根式； ∵ 选项B中，==，被开方数含能开得尽方的因数，∴B不是最简二次根式； ∵ 选项C中，=，分母中含根号，∴C不是最简二次根式； ∵ 选项D中，的被开方数101是质数，不含分母，也不含能开得尽方的因数，∴D是最简二次根式． 2．方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两边同时除以，然后分母有理化即可求解． 【详解】解：， ， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了分母有理化，正确计算是解题的关键． 3．一个矩形的两条邻边长分别是和，它的面积是(   ) A． B． C．18 D．36 【答案】B 【分析】直接根据矩形面积公式列式计算即可． 【详解】解：根据题意，得 矩形的面积=×=， 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式乘法法则是解题的关键． 4．下列说法中正确的是（    ） A．一直角三角形的两条边长为3和4，则第三条边长为5 B．使是正整数的最小整数n是3 C．若正方形的边长为，则面积为 D．计算的结果是3 【答案】B 【分析】直接利用勾股定理，二次根式的乘除运算法则分别计算得出答案． 【详解】解：A、一直角三角形的两条边长为3和4，则第三条边长为5或，故选项错误； B、，，，则使是正整数的最小整数n是3，故选项正确； C、若正方形的边长为，则面积为，故选项错误； D、，故选项错误； 故选B． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，二次根式的乘除运算，正确掌握相关定义是解题关键． 5．估算的值在（） A．和之间 B．和之间 C．和0之间 D．0和1之间 【答案】C 【分析】先利用二次根式的乘法法则化简原式，再估算的取值范围，即可得到原式的范围． 【详解】解：∵， 又∵，，且， ∴ ， ∴ ， 即原式的值在和之间． 故选：C． 6．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把四个选项中的二次根式化简，再根据同类二次根式的定义进行判定即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式； B．与不是同类二次根式； C．与不是同类二次根式； D．与是同类二次根式． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、同类二次根式等知识点，根据二次根式的定义化简二次根式是解题的关键． 7．一个等边三角形的边长为4，则它的高为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，根据三线合一结合勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， ∵等边三角形的边长是4，， ∴，， ∴．. 故选：A． 二、填空题 8．写出二次根式的一个有理化因式是________． 【答案】 【分析】二次根式的有理化的目的就是去掉根号，所以的一个有理化因式是． 【详解】解：×＝（）2＝x＋y， 故的一个有理化因式是 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的有理化，根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．本题二次根式有理化主要利用平方公式． 9．化简：_______． 【答案】/ 【分析】现将带分数化为假分数，在进行分母有理化即可得出结果． 【详解】解：原式 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的化简，熟练掌握分母有理化的法则是解题的关键． 10．已知，，，则的最后结果是_____． 【答案】 【分析】直接代入具体数值，再根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘法，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘法运算法则． 11．化简：①_____；②______． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的乘法运算等知识点，掌握二次根式的性质以及乘法运算法则成为解题的关键． ①根据二次根式的性质化简即可；②根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：①或； ②． 故答案为：或，． 12．直角三角形的两条直角边分别为，，则这个直角三角形的面积为______． 【答案】 【分析】根据题意，得，化简计算即可． 【详解】解：根据题意，得 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的乘法运算法则，根据题意列出算式是解题关键． 三、解答题 13．在南北走向的河流一侧有一村庄，在河边有两个取水点，经测量，点到河岸的最短距离，求取水点之间的距离． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，垂线段最短，由垂线段最短得到，在中，，则；证明是等腰直角三角形，得到，则． 【详解】解：∵点到河岸的最短距离， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 答：取水点之间的距离为． 14．先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如； (1)填空____________； (2)化简，并写出化简过程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握完全平方公式和二次根式相关运算的法则． （）仿照阅读材料解答即可； （）仿照阅读材料解答即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2） ． 15．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都1，在所给网格中按下列要求画出图形． (1)已知点A在格点（即小正方形的顶点）上，请画一个格点△ABC，使AB=，BC=，AC=3． (2)求所画的△ABC的AB边上高线的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理得使线段AB为直角边为2和1的直角三角形的斜边，BC为以2位边长的正方形的对角线，AC=3即可； （3）根据三角形的面积公式即可得到所画的三角形ABC的AB边上高线长． 【详解】（1）解：△ABC就是所求作的三角形． 根据题意得：，，AC=3； （2）解：如图，过作于 解得：， 【点睛】本题考查了勾股定理、此题要读懂题目要求，设计画图方案也比较灵活，目的培养学生运算能力，动手能力． 16．已知、满足 (1)求、的值； (2)若、是某直角三角形的两条边的长，求此直角三角形的面积． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）将原等式转化为，然后利用非负性可得、的值； （2）分、为直角边和为斜边、为直角边两种情况讨论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． （2）当、为直角边时， 此直角三角形的面积为， 当b为斜边，为直角边时， 另一直角边为， 此直角三角形的面积为：， 综上所述，此直角三角形的面积为或． 【点睛】本题考查二次根式的性质，完全平方公式，非负数的性质，勾股定理，二次根式的乘法，三角形的面积．运用分类讨论是解题的关键． 17．阅读理解：观察下列等式： ①＝＝； ②＝＝； … (1)利用你观察到的规律，化简：； (2)若a＝﹣，b＝﹣，比较a，b大小． 【答案】(1) (2)a＜b 【分析】（1）根据分母有理化，配成平方差公式化简即可； （2）利用倒数法比较大小即可． 【详解】（1）解：原式= =； （2）∵， ， ∴， ∴， 即a＜b． 【点睛】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去；分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．也考查了二次根式的性质与化简． 1 学科网（北京）股份有限公司 $