第11讲 分式的乘除（知识详解+08典例分析+习题巩固）2025-2026学年苏科版八年级数学下册同步讲义与测试

第11讲 分式的乘除（知识详解+08典例分析+习题巩固） 【知识点01】分式的乘除 1.分式的乘法法则： 法则 式子表示 分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母. 示例1 分式的乘法 2.分式的除法法则： 法则 式子表示 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 示例2 分式的除法 【知识点02】分式的乘方法则 法则 式子表示 分式的乘方要把分式的分子、分母分别乘方. 说明：分式的乘方法则可根据分式的乘法法则推理得到，即 敲黑板 进行分式的乘方运算时，一定要先确定乘方结果的符号，它与实数的乘方运算相同，即正数的任何次方都是正数；负数的偶次方为正数，奇次方为负数． 【知识点03】分式的乘除混合运算 1.运算法则：分式的乘除混合运算可以统一为乘法运算. 2.运算顺序：分式的乘除混合运算顺序与分数的乘除混合运算顺序相同，即按照从左到右的顺序计算，有括号时先算括号里面的. 示例3 分式的乘除混合运算 【知识点04】分式的混合运算 分式的混合运算顺序：分式的混合运算顺序与分数的混合运算类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；对于同级运算，按从左到右的顺序进行. 说明：有理数的运算律对分式同样适用，在运算过程中，如果能用运算律，要尽量运用运算律简化运算. 【题型一】分式乘法 例1．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】整式与分式相加减、分式乘法 【分析】本题考查分式的加减法和乘法，掌握分式的加减法的法则和乘除法的法则是解题的关键．根据分式的加减法的法则和乘法的法则计算后判定即可． 【详解】A． ，错误，该选项不符合题意； B． ，正确，该选项符合题意； C． ，错误，该选项不符合题意； D． ，错误，该选项不符合题意； 故选：B． 变式1．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）随着2022年底城东快速路的全线通车，徐州主城区与东区之间的交通得以有效改善，如图某人乘车从徐州东站至戏马台景区，可沿甲路线或乙路线前往．甲路线的平均速度为乙路线的倍，甲路线的长度为12，设甲路线的行驶时间为x，则乙路线的平均速度为_______（用含x的代数式表示）． 【答案】 【知识点】列代数式、分式乘法 【分析】本题考查列代数式，及分式的运算，根据“甲路线的平均速度为乙路线的倍” 得数量关系是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，甲路线的平均速度为， ∵甲路线的平均速度为乙路线的倍， ∴乙路线的平均速度为， 故答案为：． 变式2．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）计算：； 【答案】 【详解】（1）解： ； 【题型二】分式除法 例2．（25-26八年级下·江苏常州·月考）计算：________ 【答案】 【知识点】分式除法 【分析】根据分式除法运算法则，将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约分即可得到结果． 【详解】解： ． 例3．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 变式1．（22-23八年级下·江苏宿迁·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式除法、分式乘法 【分析】按照分式的除法计算即可． 【详解】解：， ∴A、B、C错误，不符合题意，D正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的除法和乘法，解题的关键是除法转化为乘法． 变式2．（23-24八年级下·江苏·期末）化简：______． 【答案】 【知识点】分式除法 【分析】本题主要考查了分式的除法计算，根据分式的除法计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 变式3．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）数学探究是数学学习的重要方法之一，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养． 例如：给定一列式子，并规定：（为整数且）． 则： 照此规律，解答下列问题： (1)______； (2)______； (3)若，求的值； (4)当时，则的最大值为______． 【答案】(1) (2) (3)2 (4)4 【知识点】数字类规律探索、同分母分式加减法、分式除法 【分析】本题考查新定义，分式的运算，解一元一次方程，解题的关键是得到的结果以，5个为一组进行循环； （1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据前面的几个等式，推出规律，进行求解即可； （3）根据规律，列出方程进行求解即可； （4）根据规律求出，再根据的取值范围求出最大值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； （2）∵， ，， ∴， ∴， ∴的结果以，5个为一组进行循环， ∵， ∴； （3）由（2）可知： ∴， 解得：； ∴； （4）∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，，最小， 此时最大为； 故答案为：4． 【题型三】分式乘除混合运算 例4．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）计算：______． 【答案】 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】直接利用分式乘除运算法则化简求出即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了分式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键． 例5．（25-26八年级下·江苏南京·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】本题考查分式的乘除运算，解题思路为将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约去公因式，即可计算得到结果，用到分式乘除运算法则和因式分解的知识． 【详解】（1） 解： ． （2）解： ． 变式1．（2023八年级下·江苏·专题练习）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】先计算乘方，再计算除法，然后化简即可． 【详解】解： 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的乘除运算，熟记运算法则是解题关键． 变式2．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）化简： ___________． 【答案】 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】先用完全平方公式变形分子，再约分来求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式乘除法运算，理解完全平方公式和运算法则是解答关键． 变式3．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】（1）先除法变乘法，再约分即可求出答案． （2）先因式分解，再约分化简即可求出答案． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 【题型四】分式乘方 例6．计算分式得（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式乘方 【分析】分别给分子、分母运用积的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选C． 【点睛】本题主要考查了分式的乘方，分式的乘方即给分子、分母分别乘方． 例7．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）（1）        （2） 【答案】（1）；（2） 【知识点】分式乘方、分式乘法、分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的乘法以及分式的混合运算； （1）根据分式的乘方和乘法运算进行计算即可求解； （2）先将除法转化为乘法，再约分，最后计算减法，即可求解． 【详解】解：（1）        （2） 变式1．计算：_____． 【答案】 【知识点】分式乘方 【分析】此题考查了分式的乘方，根据分式的乘方法则：把分式的分子和分母分别乘方即可． 【详解】解：， 故答案为：． 变式2．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分式乘法、分式乘方 【分析】本题考查了分式乘方以及分式乘法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算乘方再运算乘法，即可作答． （2）先运算乘方再运算乘法，即可作答． （3）先运算乘方再运算乘法，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 【题型五】含乘方的分式乘除混合运算 例8．计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 先计算乘方，然后计算分式的乘法求解即可． 【详解】 ． 故选：C． 例9．计算： 【答案】 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的分式的乘除混合运算，先算乘方，然后把除法转化为乘法，最后化简即可． 【详解】解：原式 ． 变式1．计算：______． 【答案】 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】按照分式的乘方、乘除运算法则逐步化简，即可解答． 【详解】解：原式， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的乘方与乘除混合运算，熟练掌握分式乘方、除法变乘法、约分的法则是解题的关键． 变式2．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】异分母分式加减法、含乘方的分式乘除混合运算 【分析】本题考查分式的运算，熟练掌握分式的运算法则，是解题的关键： （1）先乘方，除法变乘法，约分化简即可； （2）先通分，化为同分母，再进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ． 【题型六】分式加减乘除混合运算 例10．（23-24八年级下·江苏扬州·月考）已知x为整数，且为整数，则所有符合条件的x的值有（    ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查分式的化简，首先对所求的式子进行化简，然后根据分子一定是分母的整数倍即可求得x的值，从而求解． 【详解】解：∵， ∵为整数， ∴整数的值为，，， 即整数为（舍），共个， 故选C． 例11．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）计算：___________． 【答案】/0.2 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查了分式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．首先通分，然后相加减求解即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 例12．（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算、分式加减乘除混合运算 【分析】（1）根据分式的乘方进行计算，同时将除法转化为乘法进行计算，即可求解； （2）先计算括号内，同时将除法转化为乘法，再约分，即可求解； （3）先计算括号内，同时将除法转化为乘法，再约分，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 变式1．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）数学家们曾思考过这个问题：一个容器装有1 升水，按照下面的方式将水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第n次倒出的水量是升的，，按照这种倒水的方式，第n次倒出水后，还剩下水（  ） A．升 B．升 C．0升 D．升 【答案】A 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是正确 找出规律，如第次倒出的水为升．根据题意易知倒出水的规律，第次倒出的水为升，然后从1升水中逐次减去每一次倒的水，再进行计算即可． 【详解】解：根据题意可知，第一次倒出：（升）， 第二次倒出：（升）， 第三次倒出：（升）， 第次倒出：所以次共倒出：（升）， 所以第次倒出水后，还剩下水（升）． 故选：A 变式2．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）化简：______________． 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的混合运算．根据分式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 变式3．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）【阅读理解】在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式M，N的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)若，则_______0（填“>”“=”或“<”）； (2)已知，，当时，比较A与的大小，并说明理由； (3)小王和小张的加油习惯不同，小王每次加300元的油（油箱未加满），而小张每次加相同容量的油（油箱未加满）．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为x元/升，第二次油价为y元/升． ①小王两次加油的平均单价为_______元/升，小张两次加油的平均单价为_______元/升（用含x，y的代数式表示，化简结果）； ②请通过计算判断，小王和小张的两种加油方式中，哪种平均单价更低？ 【答案】(1) (2)，见解析 (3)①；；②小王加油的平均单价低． 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查分式的基本性质，异分母分式减法计算，解题关键是掌握分式的基本性质，通过题干方法作差求解． （1）先计算分式的减法运算，再根据a的取值范围即可求解； （2）化简，由可得，进而求解； （3）①根据加油量费用油的单价，平均单价两次加油花的钱两次加油的总量列代数式即可；②用小王的平均油价减去小张的平均油价，如果大于0则小张的省钱，如果小于0则小王的省钱，等于0则费用一样； 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： ∵，， ∴ ， ∵， ∴ ∴， ∴，即； （3）①小王两次所加油的平均单价为： 元/升； 设小张油箱加满能加a升． ∴小张两次加油的平均单价为元/升； 故答案为：，； ② ∵，， ∵时， ∴，即， 答：小王加油的平均单价低． 【题型七】分式化简求值 例13．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如果，那么的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【知识点】分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式的加减，解题关键是熟练掌握分式的通分与约分．先把已知条件中的等式中的分式进行通分，把用表示出来，再利用完全平方公式把所求分式的分子和分母展开，写成含有的形式，再把换成，进行约分即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：A． 例14．（2026·江苏连云港·模拟预测）若，，则代数式的值是______． 【答案】4 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式化简求值，先化简得，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴， 故答案为：4． 例15．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【知识点】分式化简求值 【分析】先根据分式混合运算的法则进行化简，再代入求值即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 变式1．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查分式的求值．解题关键是将比例式转化为与的关系，再代入分式中化简． 设，将和用表示，从而代入简化计算． 【详解】根据比例式，设，代入分式： ， 答：A． 变式2．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）已知正数、、满足：，，，则______． 【答案】/ 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值．计算，然后整体代入求解即可． 【详解】解：因为 ， 所以， 解得． 故答案为：． 变式3．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即． 所以．故的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目： (1)已知，求的值． (2)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知式子的值，求代数式的值、分式化简求值 【分析】本题主要考查了新的解题方法—“倒数法”，正确理解题意是解题关键． （1）首先利用“倒数法”可得，然后将整理为，代入数值计算，进一步求解即可获得答案； （2）首先利用“倒数法”可得，，，易知，然后将整理为，代入数值计算，进一步求解即可获得答案． 【详解】（1）解：由知， 所以，即， ∴， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 【题型八】分式最值 例16．分式的最大值是（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【知识点】分式最值 【分析】本题考查分式的最值，利用完全平方公式，求出分母的最小值，进而求出分式的最大值即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴的最小值为4， ∴分式的最大值是； 故选：C． 例17．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，，则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①②③④ (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝，＝． (3)和谐分式的最大值为． (4)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的正整数x的值． 【答案】(1)①③ (2)； (3)3 (4)2或8 【知识点】分式化简求值、分式最值、求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了分式的化简、分式有意义的条件及分式的混合运算．解决本题的关键是弄清楚“和谐分式”的定义． （1）根据“和谐分式”的定义可判定求解； （2）根据分式的性质，结合“和谐分式”的定义进行化简求解； （3）先对变形，配凑出，依据得范围，进而确定范围，求出最大值． （4）把变形为，因值为整数，故是的因数，据此找正整数． 【详解】（1）解：①，是“和谐分式”． ②，不是“和谐分式”（分子不是常数）． ③，是“和谐分式”． ④，不是“和谐分式”（分子不是常数）． 故答案为①③． （2）解：． ． （3）解：． 因为， 则，， 所以， 最大值为． （4）解：． 因为值为整数， 所以是的因数， 或（正整数）， 解得或． 变式1．（25-26八年级上·江苏南通·月考）新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式． 例如：，它们都是交换对称式．已知：， ①若，则交换对称式________； ②若，则交换对称式的最小值为________． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、分式加减乘除混合运算、分式最值 【分析】本题考查了分式的混合运算和完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是关键． 对于①，利用多项式的乘法得到和的值，代入表达式求值；对于②，先将表达式化简为关于的表达式，然后配方求最小值． 【详解】①∵，， ∴， ∴，， ∵ ∵，， ∴原式， 故答案为； ② ∵ ∴原式 故答案为． 变式2．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设，则． ∴原式＝ ∴ ∴分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：当，时，∵ ∴当，即时，有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)参照以上资料，试将分式拆分成整式的真分式的和的形式； (2)已知分式的值为整数，求整数x的值； (3)当时，求代数式的最小值 ． 【答案】(1) (2)或0 (3)3 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式最值、通过对完全平方公式变形求值、分式化简求值 【分析】（1）设，则，将它代入，再化简，然后将代入后得出结果； （2）设，则，将它代入，再化简，然后将代入后，根据分式的值为整数和x是整数，得到关于x的方程求解； （3）设，则，将它代入，再化简，然后将，代回，配方后求出最小值． 【详解】（1）解：设，则， ∴原式， ∴； （2）解：设，则， ∴原式， ∴， ∵分式的值为整数， ∴或或， 又x是整数， ∴，解得：或0； （3）解：设，则， ∴原式， ∴， 当时，解得，满足，此时代数式有最小值3． 【点睛】本题考查了分式加减乘除混合运算，通过对完全平方公式变形求值，利用完全平方式来求解，分式最值等知识点，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 一、单选题 1．下列计算正确的是（    ） A．（）3 B． C． D．a2a3 【答案】D 【分析】根据分式的运算法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误； B、，则此项错误； C、，则此项错误； D、，则此项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 2．符号代表一个代数式能使分式运算成立，则代表的代数式为（    ） A． B． C．m D． 【答案】D 【分析】根据分式运算对分式进行化简，将符号“”看成未知数求解即可． 【详解】解： 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的运算，熟知分式的运算法则是解决本题的关键． 3．化简的结果是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的除法，运用平方差公式和完全平方公式进行化简即可． 【详解】解： 故选：C． 4．（   ） A．1 B．ab C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘除法的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 现将除法化为乘法，再约分即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 5．若化简的最终结果是整式，则〇代表的式子可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的混合运算，先根据分式的乘法运算法则计算乘法，然后再算加法，最后根据整式的概念进行判断． 【详解】解：A、，是分式，故此选项不符合题意； B、，是分式，故此选项不符合题意； C、，4是整式，故此选项符合题意； D、，是分式，故此选项不符合题意． 故选：C． 6．下列算式中，你认为正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的加减，乘除的法则，进行通分、约分，计算可得答案． 【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意； B、，故此选项正确，符合题意； C、，故此选项错误，不符合题意； D、，故此选项错误，不符合题意， 故选：B． 【点睛】此题考查了分式的加减乘除运算，解题的关键是注意结果进行约分，化成最简分式． 7．下列计算正确的是(  ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的除法法则、零指数幂、负整数指数幂的意义、分式的乘除运算法则逐项排查即可． 【详解】解：A、a5÷a=a4，原计算错误，故此选项不符合题意； B、-20=-1，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，原计算正确，故此选项符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法法则、零指数幂、负整数指数幂的意义、分式的乘除运算法则等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键． 8．下面计算中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的运算，根据分式的乘法、除法，约分，分式加法逐一验证即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项计算正确，不符合题意； 、，原选项计算错误，符合题意； 、，原选项计算正确，不符合题意； 、 ，原选项计算正确，不符合题意； 故选：． 9．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为以此类推，第n个数记为（为正整数）．已知，并规定：，以下结论中，正确的个数为（    ） ①；     ②若，则； ③若（为正整数）且，则的值为3； ④若的值为正整数，则满足条件的整数共有3个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】先由题意，表示出，发现周期为6，即6次一循环，，即可判断①；由得，，整理得：，则，对不断地进行降幂处理，化简到，故②正确；由题意得，，则，整理得：，利用平方根解得，或，即可判断③错误；，，则，再对其进行分离常数得到，由的值为正整数，则或，求得，代入，发现或2或2或10，均为正整数，即可判断④． 【详解】解：∵， 则由题意得：， ， ， ， ， ∴6次一循环， ∴， 故， ∴①错误； 由得，， ∴整理得： ∴ ∴， ∴②正确； ∵（为正整数）， ∴，，， ∴由 得：， 整理得：， 解得：或， ∴③错误； ∵，， ∴， ∵的值为正整数， ∴或， ∴， 代入 ∴或2或2或10，均为正整数， ∴满足条件的整数x为：，则有4个， ∴④错误， 故选：A． 【点睛】本题考查了规律探索，涉及分式的化简，利用平方根解方程，以及整除的概念，因式分解，难度很大，对知识点的综合要求高． 二、填空题 10．计算：_________． 【答案】． 【分析】原式分子分母分别平分即可得到结果． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 11．化简，其结果为_____________ 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除．熟练掌握运算法则是解题的关键． 先进行除法运算，然后进行乘法运算即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 12．甲从地到地要走小时，乙从地到地要走小时，甲、乙两人分别从、两地同时出发相向而行到相遇需要的时间是_________小时． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的实际应用，设地到地的距离为单位“1”，分别求出甲乙的速度，根据时间=路程÷速度，即可得到答案. 【详解】设地到地的距离为单位“1”， ∴甲的速度是，乙的速度是， ∴， 故答案为：． 13．计算：____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式计算，根据分式的除法、负整数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】 ， 故答案为：． 14．已知分式乘一个分式后结果为，那么这个分式为_______． 【答案】 【分析】此题主要考查分式乘除，解题的关键是熟知分式的乘除运算法则． 【详解】解：依题意这个分式为： ， 故答案为：． 15．当时，计算的值为______． 【答案】2 【分析】先计算括号内的异分母分式减法，同时将除法化为乘法，再计算乘法并化简，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ = = =a+b =2-b+b =2， 故答案为：2． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，求分式的值，正确掌握分式混合运算法则及运算顺序是解题的关键． 16．已知实数满足等式，且，则____________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，代数式求值；解题的关键是令求出、、的值． 令，求得，，，结合题意求出、、的值，代入即可求解． 【详解】解：设， 故，，， 则， 即， 解得：； ∴，，， ∴． 故答案为：． 三、解答题 17．甲地和乙地都种植相同品种的水稻，甲地的种植面积为亩，乙地的种植面积为亩，最后两块土地收获的水稻重量都是请问甲地每亩水稻的产量是乙地的多少倍？你能根据计算结果直接写出哪一块土地每亩水稻产量更高吗？ 【答案】甲地每亩水稻的产量是乙地的倍，乙地每亩水稻的产量高 【分析】先表示出甲地、乙地每亩水稻的产量得到甲地每亩水稻的产量为，乙地每亩水稻的产量为，然后计算即可． 【详解】解：甲地每亩水稻的产量为，乙地每亩水稻的产量为， ， ， ， ， 乙地每亩水稻的产量高． 故甲地每亩水稻的产量是乙地的倍，乙地每亩水稻的产量高． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，注意运算顺序是解题的关键． 18．观察下列等式． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； ..... 按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第6个等式； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）观察已知等式，找到规律即可； （2）根据前几个等式，得出规律，再根据分式的运算进行计算进行验证，即可求解． 【详解】（1）解：第6个等式为：； （2）猜想的第n个等式： 证明：等式左边= 等式右边 所以，等式左边等式右边，即 【点睛】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出规律． 19．某中学的校园中有两块草坪．草坪甲是边长为的正方形，中间有一个边长为2的正方形喷水池，草坪乙是长为，宽为的长方形，设两块草坪的面积分别为、． (1)比较甲、乙两块草坪面积的大小； (2)求甲、乙两块草坪的面积的比． 【答案】(1) (2)甲、乙两块草坪的面积的比为 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式在几何图形中的应用，完全平方公式，分式的化简，根据图形分别表示出甲、乙两图中草坪的面积即可得到答案． （1）根据题意分别表示出、，然后作差求解即可； （2）列式根据分式的性质化简即可． 【详解】（1），； ， ， ， ； （2）． 所以甲、乙两块草坪的面积的比为． 20．学习了分式化简后，张老师布置了这样一道化简题 ，甲、乙两位同学的计算过程分别如下： 甲同学： 化简：．                            ………第①步                        ………第②步                        ………第③步                                   ………第④步 乙同学： 化简：．                        ………第①步                            ………第②步                               ………第③步                                           ………第④步 老师发现这两位同学的解答过程都有错误．请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正． (1)我选择 同学的解答过程进行分析（填“甲”或“乙”）； (2)该同学的解答过程从第 步开始出现错误（填序号）；错误的原因是 ； (3)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)甲 (2)①，填括号时，这一项中的1未变号 (3) 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算．根据分式的加减乘除混合运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解：甲或乙； （2）解：选择甲时，①，填括号时，这一项中的1未变号； 选择乙时，②，去括号时，这一项中a没有与1相乘； （3）解：选择甲，          ； 选择乙， 解：          ． 21．小红根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面算式的运算规律． 下面是小红的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． ；；；…… 特例：______（填写一个符合上述运算特征的例子）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式于表示上述的运算规律为：______． (3)证明你的猜想． (4)应用运算规律：计算＝______． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）仿照题意进行求解即可； （2）根据题意得到规律即可得到答案； （3）根据异分母分式减法和分式的乘法分别计算出左右两边的结果即可得到答案； （4）先证明，然后根据（2）的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：根据规律可得：， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：第1个式子为：； 第2个式子为：； 第3个式子为：； 第4个式子为：； …… ∴第n个式子为：； 故答案为：； （3）证明：∵左边， 右边， ∴； （4）解：∵ ∴原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式有关的规律问题，正确理解题意找到规律是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 分式的乘除（知识详解+08典例分析+习题巩固） 【知识点01】分式的乘除 1.分式的乘法法则： 法则 式子表示 分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母. 示例1 分式的乘法 2.分式的除法法则： 法则 式子表示 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 示例2 分式的除法 【知识点02】分式的乘方法则 法则 式子表示 分式的乘方要把分式的分子、分母分别乘方. 说明：分式的乘方法则可根据分式的乘法法则推理得到，即 敲黑板 进行分式的乘方运算时，一定要先确定乘方结果的符号，它与实数的乘方运算相同，即正数的任何次方都是正数；负数的偶次方为正数，奇次方为负数． 【知识点03】分式的乘除混合运算 1.运算法则：分式的乘除混合运算可以统一为乘法运算. 2.运算顺序：分式的乘除混合运算顺序与分数的乘除混合运算顺序相同，即按照从左到右的顺序计算，有括号时先算括号里面的. 示例3 分式的乘除混合运算 【知识点04】分式的混合运算 分式的混合运算顺序：分式的混合运算顺序与分数的混合运算类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；对于同级运算，按从左到右的顺序进行. 说明：有理数的运算律对分式同样适用，在运算过程中，如果能用运算律，要尽量运用运算律简化运算. 【题型一】分式乘法 例1．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 变式1．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）随着2022年底城东快速路的全线通车，徐州主城区与东区之间的交通得以有效改善，如图某人乘车从徐州东站至戏马台景区，可沿甲路线或乙路线前往．甲路线的平均速度为乙路线的倍，甲路线的长度为12，设甲路线的行驶时间为x，则乙路线的平均速度为_______（用含x的代数式表示）． 变式2．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）计算：； 【题型二】分式除法 例2．（25-26八年级下·江苏常州·月考）计算：________ 例3．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）计算：． 变式1．（22-23八年级下·江苏宿迁·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 变式2．（23-24八年级下·江苏·期末）化简：______． 变式3．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）数学探究是数学学习的重要方法之一，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养． 例如：给定一列式子，并规定：（为整数且）． 则： 照此规律，解答下列问题： (1)______； (2)______； (3)若，求的值； (4)当时，则的最大值为______． 【题型三】分式乘除混合运算 例4．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）计算：______． 例5．（25-26八年级下·江苏南京·月考）计算： (1)； (2)． 变式1．（2023八年级下·江苏·专题练习）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 变式2．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）化简： ___________． 变式3．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）计算： (1)； (2)． 【题型四】分式乘方 例6．计算分式得（　　） A． B． C． D． 例7．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）（1）        （2） 变式1．计算：_____． 变式2．计算： (1)； (2)； (3)． 【题型五】含乘方的分式乘除混合运算 例8．计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 例9．计算： 变式1．计算：______． 变式2．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）计算： (1)； (2)． 【题型六】分式加减乘除混合运算 例10．（23-24八年级下·江苏扬州·月考）已知x为整数，且为整数，则所有符合条件的x的值有（    ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 例11．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）计算：___________． 例12．（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）化简： (1)； (2)； (3)． 变式1．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）数学家们曾思考过这个问题：一个容器装有1 升水，按照下面的方式将水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第n次倒出的水量是升的，，按照这种倒水的方式，第n次倒出水后，还剩下水（  ） A．升 B．升 C．0升 D．升 变式2．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）化简：______________． 变式3．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）【阅读理解】在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式M，N的大小，只要作出差，若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)若，则_______0（填“>”“=”或“<”）； (2)已知，，当时，比较A与的大小，并说明理由； (3)小王和小张的加油习惯不同，小王每次加300元的油（油箱未加满），而小张每次加相同容量的油（油箱未加满）．现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为x元/升，第二次油价为y元/升． ①小王两次加油的平均单价为_______元/升，小张两次加油的平均单价为_______元/升（用含x，y的代数式表示，化简结果）； ②请通过计算判断，小王和小张的两种加油方式中，哪种平均单价更低？ 【题型七】分式化简求值 例13．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如果，那么的值为（   ） A． B． C． D．1 例14．（2026·江苏连云港·模拟预测）若，，则代数式的值是______． 例15．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）先化简，再求值：，其中． 变式1．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）已知正数、、满足：，，，则______． 变式3．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即． 所以．故的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目： (1)已知，求的值． (2)已知，，，求的值． 【题型八】分式最值 例16．分式的最大值是（   ） A．5 B．6 C． D． 例17．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，，则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①②③④ (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝，＝． (3)和谐分式的最大值为． (4)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的正整数x的值． 变式1．（25-26八年级上·江苏南通·月考）新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式． 例如：，它们都是交换对称式．已知：， ①若，则交换对称式________； ②若，则交换对称式的最小值为________． 变式2．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设，则． ∴原式＝ ∴ ∴分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：当，时，∵ ∴当，即时，有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)参照以上资料，试将分式拆分成整式的真分式的和的形式； (2)已知分式的值为整数，求整数x的值； (3)当时，求代数式的最小值 ． 一、单选题 1．下列计算正确的是（    ） A．（）3 B． C． D．a2a3 2．符号代表一个代数式能使分式运算成立，则代表的代数式为（    ） A． B． C．m D． 3．化简的结果是（      ） A． B． C． D． 4．（   ） A．1 B．ab C． D． 5．若化简的最终结果是整式，则〇代表的式子可以是（    ） A． B． C． D． 6．下列算式中，你认为正确的是（    ） A． B． C． D． 7．下列计算正确的是(  ) A． B． C． D． 8．下面计算中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 9．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为以此类推，第n个数记为（为正整数）．已知，并规定：，以下结论中，正确的个数为（    ） ①；     ②若，则； ③若（为正整数）且，则的值为3； ④若的值为正整数，则满足条件的整数共有3个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 10．计算：_________． 11．化简，其结果为_____________ 12．甲从地到地要走小时，乙从地到地要走小时，甲、乙两人分别从、两地同时出发相向而行到相遇需要的时间是_________小时． 13．计算：____________． 14．已知分式乘一个分式后结果为，那么这个分式为_______． 15．当时，计算的值为______． 16．已知实数满足等式，且，则____________． 三、解答题 17．甲地和乙地都种植相同品种的水稻，甲地的种植面积为亩，乙地的种植面积为亩，最后两块土地收获的水稻重量都是请问甲地每亩水稻的产量是乙地的多少倍？你能根据计算结果直接写出哪一块土地每亩水稻产量更高吗？ 18．观察下列等式． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； ..... 按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第6个等式； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 19．某中学的校园中有两块草坪．草坪甲是边长为的正方形，中间有一个边长为2的正方形喷水池，草坪乙是长为，宽为的长方形，设两块草坪的面积分别为、． (1)比较甲、乙两块草坪面积的大小； (2)求甲、乙两块草坪的面积的比． 20．学习了分式化简后，张老师布置了这样一道化简题 ，甲、乙两位同学的计算过程分别如下： 甲同学： 化简：．                            ………第①步                        ………第②步                        ………第③步                                   ………第④步 乙同学： 化简：．                        ………第①步                            ………第②步                               ………第③步                                           ………第④步 老师发现这两位同学的解答过程都有错误．请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正． (1)我选择 同学的解答过程进行分析（填“甲”或“乙”）； (2)该同学的解答过程从第 步开始出现错误（填序号）；错误的原因是 ； (3)请写出正确的解答过程． 21．小红根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面算式的运算规律． 下面是小红的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． ；；；…… 特例：______（填写一个符合上述运算特征的例子）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式于表示上述的运算规律为：______． (3)证明你的猜想． (4)应用运算规律：计算＝______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $