第12讲 一次函数的概念（知识详解+5典例分析+习题巩固） 2025-2026学年人教版八年级数学下册同步讲义与测试

本讲义聚焦一次函数概念核心知识点，系统讲解一次函数（y=kx+b，k≠0）与正比例函数（y=kx，k≠0）的定义及关系，明确前者包含后者且常数函数需区分，通过知识详解搭建基础，5类题型（定义辨析、识别、参数求解、函数值计算、解析式应用）形成学习支架，衔接概念与应用。 该资料以核心素养为导向，定义辨析题（如例1、变式3）培养抽象能力（数学眼光），参数求解题（如例7、例8）提升推理能力（数学思维），实际应用题（如旅行社费用问题）强化模型意识（数学语言）。课中助力教师分层教学，课后习题巩固帮助学生查漏补缺，夯实基础。

第12讲 一次函数的概念（知识详解+5典例分析+习题巩固） 【知识点01】一次函数 定义：一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫作一次函数. 【知识点02】正比例函数 1. 定义：形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数，叫作正比例函数，其中k叫作比例系数. 2. 一次函数与正比例函数的关系 (1)正比例函数y＝kx(k≠0)是一次函数y＝kx＋b(k≠0)中b＝0 的特例，即正比例函数都是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数. (2)若已知y与x成正比例，则可设函数解析式为y＝kx(k≠0)；若已知y是x的一次函数，则可设函数解析式为y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0). 特别提醒 函数y＝k(k是常数)不是正比例函数，称其为常数函数. 【题型一】正比例函数的定义 例1．（22-23八年级下·河南许昌·月考）下列关于的函数中，是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级下·江苏南通·月考）若函数是正比例函数，则的值是_____________ . 例3．（24-25八年级下·福建福州·月考）已知，其中是的正比例函数，与成正比例，当时，；当时，，求与的函数关系式． 变式1．（25-26八年级下·全国·周测）若函数是正比例函数，则的值是（    ） A．2 B． C．2或 D． 变式2．（25-26八年级下·河南周口·月考）定义为一次函数的特征数，若特征数是的一次函数为正比例函数，则的值是_____． 变式3．（23-24八年级下·全国·课堂例题）下列式子，哪些y是x的正比例函数？如果是，请你指出正比例系数k的值． (1) (2) (3) 【题型二】识别一次函数 例4．（25-26八年级下·重庆·月考）下列函数中，是一次函数的是（） A． B． C． D． 例5．（24-25八年级下·广东汕头·月考）下列函数中，属于一次函数的有___________．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 例6．（25-26八年级下·北京·课前预习）判断下列函数是否为一次函数：①；② ；③． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正比例函数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2．（2025八年级下·全国·专题练习）下列函数：①；②；③；④；⑤（a是常数）；⑥，其中是一次函数的是___________（填序号）． 变式3．（23-24八年级下·全国·课前预习）函数中是一次函数的有哪些？并说出k和b的值． (1)y＝x (2)y ＝ (3)y＝52－3 (4)m＝2.5n－0.3 (5)y＝3x＋3（1－x） (6) 【题型三】根据一次函数的定义求参数 例7．（25-26八年级下·全国·课后作业）若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．1或 B．1或 C．或 D．1或或 例8．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·月考）当________时，函数是关于x的一次函数． 例9．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知函数为一次函数，求的值． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）一次函数中，为（    ） A． B．2 C．3 D． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）若函数是关于x的一次函数，则常数k必须满足________________． 变式3．（22-23八年级·全国·课后作业）写出下列一次函数的一次项系数k和常数项b的值． (1)． (2)． (3)． (4)． 【题型四】求一次函数自变量或函数值 例10．（24-25八年级下·福建厦门·期中）已知直线经过点A，则A点坐标不可能是（　　） A． B． C． D． 例11．（25-26八年级下·全国·课后作业）与自变量的关系如图所示，当的值每增加1时，的值增加____________． 例12．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求的面积． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知点，，，其中在函数的图象上的点有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）漏刻是中国古代的一种计时工具，是古代人民对函数思想的创造性应用．某漏刻水位（单位：）与时间（单位：）满足，当为6时，时间的值为____________． 变式3．（22-23八年级下·河北邢台·月考）已知一次函数． (1)当时，求x． (2)当时，求x的取值范围． 【题型五】列一次函数解析式并求值 例13．（23-24八年级下·福建福州·期末）一次函数图象经过点，则的值是（　　） A． B． C． D． 例14．（23-24八年级下·云南昆明·期中）点在直线上，则代数式的值是_________． 例15．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）已知． (1)若把y看成是x的函数关系式，求出其函数关系式； (2)当或时，求函数值； (3)当时，求自变量x的值． 变式1．（23-24八年级下·湖北荆州·月考）若点在一次函数的图象上，则k的值为（   ） A．1 B． C． D．2 变式2．（22-23八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则的值等于______． 变式3．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过人，每人都按九折收费，超过人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家． 一、单选题 1．一次函数中，b的值是（    ） A．3 B．2 C． D． 2．在平面直角坐标系中，已知点在第三象限，若点关于轴的对称点在直线上，则的值为（    ） A．3 B．1 C．-1 D．-3 3．正比例函数的图象必经过的点是（   ） A． B． C． D． 4．已知一个口袋中装有七个完全相同的小球，小球上分别标有七个数，搅匀后一次从中摸出一个小球，将小球上的数用表示，将的值分别代入函数和方程，恰好使得函数的图像经过二、四象限，且方程有整数解，那么这7个数中所有满足条件的的值之和是（    ） A．1 B． C． D． 5．若函数y＝（k﹣3）x+k2﹣9是正比例函数，则（　　） A．k≠3 B．k＝±3 C．k＝3 D．k＝﹣3 6．下列各点在正比例函数的图象上的是（    ） A．（2，－1） B．（－1，2） C．（1，2） D．（2，1） 7．在①y＝﹣8x：②y＝﹣：③y＝+1；④y＝﹣5x2+1：⑤y＝0.5x﹣3中，一次函数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，已知点K为直线l：y＝2x+4上一点，先将点K向下平移2个单位，再向左平移a个单位至点K1，然后再将点K1向上平移b个单位，向右平1个单位至点K2，若点K2也恰好落在直线l上，则a，b应满足的关系是（　　） A．a+2b＝4 B．2a﹣b＝4 C．2a+b＝4 D．a+b＝4 9．若函数是一次函数，则的值为（） A．2 B． C．或 D．0 二、填空题 10．已知与成正比例，当时，，则当时，__________． 11．在平面直角坐标系中，点A（m，2m）在第一象限，若点A关于y轴的对称点B在直线y＝﹣x＋2上，则m的值为____． 12．写出一个y关于x的函数，满足当时，：_________． 13．若一次函数的图象经过第一，三，四象限，则k的取值范围是________． 14．根据下表，可以得到与之间的一个关系式是______． … 0 1 … … 2 1 0 … 15．根据如图所示的程序计算函数的值．若输入的值是1，则输出的值是2，若输入的值是5，则输出的值是________． 16．已知点A是直线在第一象限内的一点，且它到两坐标轴的距离相等，那么点A的坐标是_______． 三、解答题 17．已知点在函数的图像上，求点的坐标． 18．已知函数； (1)当取何值时，这个函数是正比例函数？ (2)当在什么范围内取值时，这个函数是一次函数？ 19．设有三个变量、、，其中是的正比例函数，是的正比例函数 （1）求证：是的正比例函数； （2）如果，时，求出关于的函数关系式． 20．兴平辣椒在漫长的栽种过程中，经过不断选择培育，形成了色泽鲜红、椒身细长、肉厚籽多的特征．一种兴平辣椒的单价是元，当购买兴平辣椒时，需要花费元． (1)写出与之间的关系式，并判断是否为的正比例函数； (2)当时，求的值． 21．已知与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数图象；并结合图象，直接写出x的取值范围． 22．与的函数关系式为； (1)当，为何值时，是关于的一次函数？ (2)当，为何值时，是关于的正比例函数？ 23．已知T＝（a+1）（a﹣1）﹣a（a+2）． (1)化简T； (2)若点M（2，a）在一次函数y＝x+1的图象上，求T的值． 24．某电信公司手机的A套餐收费标准为：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费18元，另外，通话费按元/计；B套餐收费标准为：不收月租费，但通话费用按元/计． (1)写出两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间x（）之间的关系； (2)若每月平均通话时间为，你选择哪种套餐？并说明理由． 25．小明在学习一次函数之后，对学习过程进行反思：在学习一个新函数的时候，我们从“数”和“形”两方面研究函数的性质，并积累了一些经验和方法．请根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． 问题一：认识函数 （1）函数中自变量x的取值范围是__________； A．    B．任意实数   C．        D． （2）如表是y与x的几组对应值． … 0 1 2 3 4 5 … … 4 3 1 2 3 4 … 直接写出表格中的值是_______； （3）在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； 问题二：结合函数图象，解决问题： ①方程有几个解； ②当时，的取值范围是_______； 问题三：反思延伸 （4）若点，是函数图象上的任意两点，若对于，，都有，则的取值范围是____． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 一次函数的概念（知识详解+5典例分析+习题巩固） 【知识点01】一次函数 定义：一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫作一次函数. 【知识点02】正比例函数 1. 定义：形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数，叫作正比例函数，其中k叫作比例系数. 2. 一次函数与正比例函数的关系 (1)正比例函数y＝kx(k≠0)是一次函数y＝kx＋b(k≠0)中b＝0 的特例，即正比例函数都是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数. (2)若已知y与x成正比例，则可设函数解析式为y＝kx(k≠0)；若已知y是x的一次函数，则可设函数解析式为y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0). 特别提醒 函数y＝k(k是常数)不是正比例函数，称其为常数函数. 【题型一】正比例函数的定义 例1．（22-23八年级下·河南许昌·月考）下列关于的函数中，是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正比例函数的定义 【详解】解：A、，含有常数项，不是正比例函数，该选项不符合题意； B、，是正比例函数，该选项符合题意； C、，不是正比例函数，该选项不符合题意； D、，不是正比例函数，该选项不符合题意． 例2．（25-26八年级下·江苏南通·月考）若函数是正比例函数，则的值是_____________ . 【答案】 【知识点】正比例函数的定义、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了正比例函数的定义，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：，为常数且，自变量的次数为1，即；． 【详解】解：由题意得：， ,而， , 故答案为： ． 例3．（24-25八年级下·福建福州·月考）已知，其中是的正比例函数，与成正比例，当时，；当时，，求与的函数关系式． 【答案】 【知识点】正比例函数的定义、加减消元法 【分析】本题考查的是用待定系数法求正比例函数的解析式，一定要熟练掌握并灵活运用．根据正比例的定义设出与之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式计算即可得解． 【详解】解：设，， 则，（，）， 将、和、分别代入，得 ， 解得． 故函数与的函数关系式为， 即． 变式1．（25-26八年级下·全国·周测）若函数是正比例函数，则的值是（    ） A．2 B． C．2或 D． 【答案】B 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数的定义，熟知一般地，形如（是常数，）的函数叫做正比例函数是解此题的关键． 根据正比例函数的定义即可得解． 【详解】解：∵ 函数是正比例函数， ∴ 且 ， 解得 ，即 或 ， 又 ∵ ，即 ， ∴ . 因此，m 的值为 故选：B． 变式2．（25-26八年级下·河南周口·月考）定义为一次函数的特征数，若特征数是的一次函数为正比例函数，则的值是_____． 【答案】 【知识点】正比例函数的定义 【分析】根据题意，得出为正比例函数，即可求出的值． 【详解】解：若特征数是的一次函数为正比例函数， 即为正比例函数， 故， 得． 变式3．（23-24八年级下·全国·课堂例题）下列式子，哪些y是x的正比例函数？如果是，请你指出正比例系数k的值． (1) (2) (3) 【答案】(1)不是正比例函数 (2)不是正比例函数 (3)是正比例函数，正比例系数是2 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．根据正比例函数的一般形式为判断即可． （1）根据正比例函数的一般形式为判断即可． （2）根据正比例函数的一般形式为判断即可． （3）先去括号化简，根据正比例函数的一般形式为判断即可． 【详解】（1）解：不是正比例函数． （2）解：不是正比例函数． （3）解：，是正比例函数，正比例系数是2． 【题型二】识别一次函数 例4．（25-26八年级下·重庆·月考）下列函数中，是一次函数的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】识别一次函数 【分析】一次函数的定义为：形如（，是常数，）的函数叫做一次函数．根据一次函数的定义，逐一判断各选项的函数类型，即可得到正确结果． 【详解】解：A．，不符合一次函数的形式，不是一次函数； B．，的次数为，不是一次函数； C．，其中，，满足且，符合一次函数定义，是一次函数； D．中不是整式，不符合一次函数定义，不是一次函数． 例5．（24-25八年级下·广东汕头·月考）下列函数中，属于一次函数的有___________．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 【答案】②④ 【知识点】识别一次函数 【分析】本题主要考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：①不属于一次函数； ②属于一次函数； ③不属于一次函数； ④属于一次函数； ⑤，当时，属于一次函数； 属于一次函数的有②④． 故答案为：②④ 例6．（25-26八年级下·北京·课前预习）判断下列函数是否为一次函数：①；② ；③． 【答案】①是一次函数；②不是（是反比例函数）；③ 不是（是常数函数） 【知识点】识别一次函数 【分析】根据一次函数的定义，一次函数是函数的一种，一般形如． 【详解】解：①，是一次函数； ② ，不是（是反比例函数） ③，不是，（是常数函数） 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正比例函数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】识别一次函数、正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数的定义，掌握正比例函数需满足（k为非零常数）的形式是解题的关键． 正比例函数的形式为（k为常数且），根据此定义判断每个函数即可． 【详解】解：∵正比例函数需满足， ①，符合形式，； ②，不是一次函数，不符合； ③，符合形式，； ④，有常数项，不符合； ⑤，的次数为，不符合； ⑥，有常数项，不符合； ∴正比例函数有①和③，有个． 故选：B． 变式2．（2025八年级下·全国·专题练习）下列函数：①；②；③；④；⑤（a是常数）；⑥，其中是一次函数的是___________（填序号）． 【答案】②④⑤⑥ 【知识点】识别一次函数 【分析】本题考查一次函数的定义，正确掌握知识点是解题的关键． 【详解】根据一次函数的解析式：k、b为常数）可知符合条件的是②，④、⑤、⑥． 故答案为②④⑤⑥． 变式3．（23-24八年级下·全国·课前预习）函数中是一次函数的有哪些？并说出k和b的值． (1)y＝x (2)y ＝ (3)y＝52－3 (4)m＝2.5n－0.3 (5)y＝3x＋3（1－x） (6) 【答案】(1)是一次函数，其中k=，b=0 (2)不是一次函数 (3)不是一次函数 (4)是一次函数，其中k=2.5，b=-0.3 (5)不是一次函数 (6)是一次函数，其中k=，b= 【知识点】识别一次函数 【题型三】根据一次函数的定义求参数 例7．（25-26八年级下·全国·课后作业）若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．1或 B．1或 C．或 D．1或或 【答案】D 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】根据一次函数的定义，函数中的最高次数必须为，且一次项系数不为．因此，需使含的项的系数为或指数为或，并确保整体函数为一次函数． 本题考查了一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解决本题的关键． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴需考虑的情况： 情况1：当系数时，即，函数化为，是一次函数； 情况2：当指数时，即，函数化为，是一次函数； 情况3：当指数时，即，函数化为，是一次函数； 其他情况均不满足一次函数定义； 故选：D． 例8．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·月考）当________时，函数是关于x的一次函数． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查一次函数的定义，根据一次函数的定义列出关于的关系式，再求解即可． 【详解】解：根据一次函数的定义可得， 解方程，得，即， 由，得， 因此． 例9．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知函数为一次函数，求的值． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如的函数叫做一次函数．根据一次函数的定义求解即可． 【详解】解：函数是一次函数， ， 解得：． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）一次函数中，为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】D 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了一次函数的定义，掌握一次函数标准形式中，是自变量的系数是解题的关键． 解题思路是先明确一次函数的标准形式，再从题目给出的一次函数表达式中，找到x的系数，即为k的值． 【详解】解：一次函数的标准形式为 题目中一次函数为，对应标准形式，的系数是​，即． 故选：D． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）若函数是关于x的一次函数，则常数k必须满足________________． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了一次函数的定义，掌握一次函数中，自变量的系数是解题的关键． 根据一次函数的定义，的系数不能为零，因此令，求解的条件． 【详解】解：函数是关于的一次函数，则的系数必须不等于零， 即， 所以， 解得：， 故答案为：． 变式3．（22-23八年级·全国·课后作业）写出下列一次函数的一次项系数k和常数项b的值． (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】（1）根据定义写出、的值； （2）根据定义写出、的值； （3）根据定义写出、的值； （4）先化为一般形式，然后根据定义写出、的值即可求解． 【详解】（1），则，； （2），则，； （3），则，； （4），则，． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的关键．一般地，两个变量、之间的关系式可以表示成形如的函数（，为常数，的次数为，且），那么就叫做一次函数． 【题型四】求一次函数自变量或函数值 例10．（24-25八年级下·福建厦门·期中）已知直线经过点A，则A点坐标不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题利用一次函数图象上点的坐标特征解题，若点在直线上，则点的横纵坐标满足直线的解析式，将各选项的横坐标代入解析式计算y值，对比即可得到不可能的坐标. 【详解】解： 当时，，直线经过该点，不符合题干要求； 当时，，直线不经过该点，符合题干要求； 当时，，直线经过该点，不符合题干要求； 当时，，直线经过该点，不符合题干要求. 例11．（25-26八年级下·全国·课后作业）与自变量的关系如图所示，当的值每增加1时，的值增加____________． 【答案】2 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数的函数值变化知识点，掌握一次函数中自变量变化时函数值变化量的计算方法是解题的关键． 先根据函数表达式求出增加1后的函数值，再用新函数值减去原函数值，得到的增加量． 【详解】解：∵ ∴当的值增加1时，新的值为 ∴对应的新的值为 ∴的增加量为 ∴的值增加2． 故答案为：2． 例12．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求的面积． 【答案】4 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了三角形面积公式，一次函数的性质． 分别求出，，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：当时，． 点的坐标为 ． 当时，．解得． 点的坐标为 ∴． ． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知点，，，其中在函数的图象上的点有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】判断点是否在一次函数图象上，只需将点的横坐标代入函数解析式，计算对应纵坐标并与点的实际纵坐标比较，相等则点在函数图象上，否则不在． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ∴只有点在函数的图象上． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）漏刻是中国古代的一种计时工具，是古代人民对函数思想的创造性应用．某漏刻水位（单位：）与时间（单位：）满足，当为6时，时间的值为____________． 【答案】10 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了求自变量的值的问题，明确把的值代入函数关系式求出的值是解题的关键． 将代入解析式，得出值即可． 【详解】解：当时，， 移项得 ， 即 ， 系数化为，得. 故答案为：10. 变式3．（22-23八年级下·河北邢台·月考）已知一次函数． (1)当时，求x． (2)当时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】（1）把代入中得，再解方程即可； （2）由题意可得不等式，再解不等式组即可． 【详解】（1）把代入中得， 解得：； （2）∵， ∴， 解得：． 【点睛】此题主要考查了一次函数，根据题意得出关于x的不等式和方程是解答此题的关键． 【题型五】列一次函数解析式并求值 例13．（23-24八年级下·福建福州·期末）一次函数图象经过点，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出，解之即可得出的值． 【详解】解：一次函数图象经过点， 解得： 故选：C 例14．（23-24八年级下·云南昆明·期中）点在直线上，则代数式的值是_________． 【答案】4 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，代数式求值，把点代入直线解析式推出，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 例15．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）已知． (1)若把y看成是x的函数关系式，求出其函数关系式； (2)当或时，求函数值； (3)当时，求自变量x的值． 【答案】(1) (2)1或 (3)7 【知识点】列一次函数解析式并求值、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，求自变量的值，求函数值， 对于（1），用含有x的代数式表示y即可； 对于（2），将，分别代入关系式，求出答案； 对于（3），将代入关系式，求出结果即可． 【详解】（1）解：移项，得， 两边都除以2，得； （2）解：当时，； 当时，； （3）解：当时，， 解得． 变式1．（23-24八年级下·湖北荆州·月考）若点在一次函数的图象上，则k的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式． 把点代入一次函数，通过解一元一次方程来求的值． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ， 解得． 故选：A． 变式2．（22-23八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则的值等于______． 【答案】 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】先把点代入直线求出，再点代入直线求解即可． 【详解】解：将代入直线得：， ∴， 将代入直线得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数上点的特征，准确计算是解题的关键． 变式3．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过人，每人都按九折收费，超过人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家． 【答案】(1)甲旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为，乙旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，选择乙旅行社． 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意． （1）根据题意即可得出甲、乙旅行社收取组团两日游的总费用与人数之间的函数关系式； （2）将人数代入对应的函数关系式，可分别得出两个旅行社收取组团两日游的总费用，比较大小即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 甲旅行社收取组团两日游的总费用 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用， 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用， ∴乙旅行社收取组团两日游的总费用， 答：甲旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为，乙旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为． （2）解：当时， 甲旅行社收取总费用（元） 乙旅行社收取总费用（元） ∵， ∴乙旅行社收取总费用较少， 答：若王老师组团参加两日游的共有人，选择乙旅行社． 一、单选题 1．一次函数中，b的值是（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义即可求解． 【详解】解：一次函数中，b的值是． 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，掌握定义是解题的关键．一般地，形如y=kx+b的函数（k，b为常数，x的次数为1，且k≠0），叫做一次函数． 2．在平面直角坐标系中，已知点在第三象限，若点关于轴的对称点在直线上，则的值为（    ） A．3 B．1 C．-1 D．-3 【答案】D 【分析】由题意知，代入中得，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，代入中得 解得 故选D． 【点睛】本题考查了关于轴对称的点坐标，一次函数等知识．解题的关键在于求出点坐标． 3．正比例函数的图象必经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算当，当时的函数值，从而可得答案． 【详解】解：当时， ∴点不在函数图象上，点在函数图象上， 故A不符合题意，C符合题意； 当时， ∴点不在函数图象上，点不在函数图象上， 故B，D都不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，掌握“点在函数图象上，则点的坐标满足解析式”是解本题的关键． 4．已知一个口袋中装有七个完全相同的小球，小球上分别标有七个数，搅匀后一次从中摸出一个小球，将小球上的数用表示，将的值分别代入函数和方程，恰好使得函数的图像经过二、四象限，且方程有整数解，那么这7个数中所有满足条件的的值之和是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正比例函数的图象过二、四象限确定a的取值范围，根据分式方程有整数解进一步确定a的值，将满足条件的a的值取和即可． 【详解】解：∵的图象经过二、四象限， ∴， 解得， 解分式方程得， ， ∵此方程有整数解， ∴，，或， 解得， ∵且， ∴即且， 解得：， 经检验，都是原方程的解， ∵在数字 这七个数中， ∴满足的值有这三个数， ∴这7个数中所有满足条件的的值之和是． 5．若函数y＝（k﹣3）x+k2﹣9是正比例函数，则（　　） A．k≠3 B．k＝±3 C．k＝3 D．k＝﹣3 【答案】D 【分析】形如的函数是正比例函数，根据定义解答. 【详解】解：∵y＝（k﹣3）x+k2﹣9是正比例函数， ∴k2﹣9＝0，且k﹣3≠0， 解得：k＝﹣3， 故选：D. 【点睛】此题考查正比例函数的定义：形如的函数是正比例函数，熟记定义是解题的关键. 6．下列各点在正比例函数的图象上的是（    ） A．（2，－1） B．（－1，2） C．（1，2） D．（2，1） 【答案】B 【分析】分别把各点坐标代入进行验证即可． 【详解】解：A、∵当x=1时，y=-2≠2，∴此点不在正比例函数的图象上，故本选项错误； B、∵当x=1时，y=2，∴此点在正比例函数的图象上，故本选项正确； C、∵当x=2时，y=-4≠1，∴此点不在正比例函数的图象上，故本选项错误； D、∵当x=-2时，y=4≠1，∴此点不在正比例函数的图象上，故本选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式． 7．在①y＝﹣8x：②y＝﹣：③y＝+1；④y＝﹣5x2+1：⑤y＝0.5x﹣3中，一次函数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义，正比例函数属于一次函数；一次函数是形如 的形式，结合题中所给表达式，比照定义形式即可解答． 【详解】解：①y＝﹣8x是正比例函数，属于一次函数，符合题意； ②不是一次函数，不符合题意； ③不是一次函数，不符合题意； ④中未知数次数是二次，不是一次函数，不符合题意； ⑤y＝0.5x﹣3是一次函数，符合题意； 一次函数有①y＝﹣8x和⑤y＝0.5x﹣3， 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数的定义：一般地，形如（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 8．如图，已知点K为直线l：y＝2x+4上一点，先将点K向下平移2个单位，再向左平移a个单位至点K1，然后再将点K1向上平移b个单位，向右平1个单位至点K2，若点K2也恰好落在直线l上，则a，b应满足的关系是（　　） A．a+2b＝4 B．2a﹣b＝4 C．2a+b＝4 D．a+b＝4 【答案】C 【分析】点K为直线l：y＝2x+4上一点，设再根据平移依次写出的坐标，再把的坐标代入一次函数的解析式，整理即可得到答案. 【详解】解： 点K为直线l：y＝2x+4上一点，设 将点K向下平移2个单位，再向左平移a个单位至点K1， 将点K1向上平移b个单位，向右平1个单位至点K2， 点K2也恰好落在直线l上， 整理得： 故选C 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，点的平移，掌握“点的平移坐标的变化规律”是解本题的关键. 9．若函数是一次函数，则的值为（） A．2 B． C．或 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义，x的指数必须为1且系数不为零． 【详解】解：函数是一次函数， 且， 解得， 或， 当时，，不符合条件， 当时，，符合条件， 的值为． 故选：B． 二、填空题 10．已知与成正比例，当时，，则当时，__________． 【答案】/-0.5 【分析】根据题意设，进而待定系数求解即可 【详解】解：∵与成正比例， ∴设， 当时，， 当时， 故答案为： 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，待定系数法求解析式是解题的关键． 11．在平面直角坐标系中，点A（m，2m）在第一象限，若点A关于y轴的对称点B在直线y＝﹣x＋2上，则m的值为____． 【答案】2 【分析】根据一次函数图像上点的坐标特征和关于y轴的对称点的坐标的性质求解即可． 【详解】解：∵点A（m，2m）在第一象限，若点A关于y轴的对称点为点B， ∴B（−m，2m）， ∵点B在直线y＝−x＋2上， ∴2m＝m＋2， ∴m＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和关于y轴对称的点的坐标的性质，解题的关键是熟知一次函数图象上点的坐标特点． 12．写出一个y关于x的函数，满足当时，：_________． 【答案】y=x（答案不唯一） 【分析】根据函数的概念，列出满足条件的一次函数即可． 【详解】解：根据题意，函数y=x，当x＞0时，y＞0满足题意； 故答案为：y=x． 【点睛】此题考查函数的概念；函数概念的理解主要抓住以下三点：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化；③对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应．掌握一次函数图象的特征是解题关键． 13．若一次函数的图象经过第一，三，四象限，则k的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据一次函数图象与系数的关系得到，然后求出不等式组的解集即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一，三，四象限， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数中，当时函数的图象在一、三、四象限． 14．根据下表，可以得到与之间的一个关系式是______． … 0 1 … … 2 1 0 … 【答案】 【分析】本题主要考查正比例函数，根据表中数据得出二者存在正比例关系是解题关键． 观察表格发现：y随x的增大而减小，且过，所以该函数为正比例函数，用待定系数法求出函数的解析式即可． 【详解】解：观察表格发现：y随x的增大而减小，且过， 设， ∵当时，， ∴， ∴，即函数关系式为：． 故答案为：． 15．根据如图所示的程序计算函数的值．若输入的值是1，则输出的值是2，若输入的值是5，则输出的值是________． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数求值，以及程序框图，解题的关键在于正确理解程序框图． 结合程序框图，根据输入的值是1，则输出的值是2，列式求出，再将输入的值是5，代入程序框图运算求解，即可解题． 【详解】解：结合程序框图可知， 若输入的值是1，则输出的值是2，且， ， 解得， ， ； 故答案为：． 16．已知点A是直线在第一象限内的一点，且它到两坐标轴的距离相等，那么点A的坐标是_______． 【答案】 【分析】在第一象限内的一点，且它到两坐标轴的距离相等，说明此点的横纵坐标的相等，那么，且为正数，据此作答． 【详解】解：设， 点A为直线上的一点， ，     又点A在第一象限内的一点，且它到两坐标轴的距离相等， ，且为正数， ， 解得：， ， ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是根据点A在第一象限内的一点，且它到两坐标轴的距离相等，列出方程． 三、解答题 17．已知点在函数的图像上，求点的坐标． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出的值． 将点代入中，求出的值，即可得到点的坐标． 【详解】解：点在函数的图像上， ，解得：． ，． 故点的坐标为． 18．已知函数； (1)当取何值时，这个函数是正比例函数？ (2)当在什么范围内取值时，这个函数是一次函数？ 【答案】(1)当时，这个函数为正比例函数 (2)当时，这个函数是一次函数 【分析】（1）根据正比例函数的定义求解即可； （2）根据一次函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴， ∴当时，这个函数为正比例函数； （2）解：∵函数是一次函数， ∴， ∴， ∴当时，这个函数是一次函数． 【点睛】本题主要考查了一次函数与正比例函数的定义，熟知二者的定义是解题的关键． 19．设有三个变量、、，其中是的正比例函数，是的正比例函数 （1）求证：是的正比例函数； （2）如果，时，求出关于的函数关系式． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）分别设出两函数解析式，联立即可； （2）将，代入，求出即可． 【详解】解：（1）由题意，设，，，为常数， ∴ ∵，， ∴且为常数， ∴是的正比例函数； （2）当，时，代入， ∴． ∴关于的函数关系式是． 【点睛】本题考查了正比例函数的定义，列出解析式即可解答． 20．兴平辣椒在漫长的栽种过程中，经过不断选择培育，形成了色泽鲜红、椒身细长、肉厚籽多的特征．一种兴平辣椒的单价是元，当购买兴平辣椒时，需要花费元． (1)写出与之间的关系式，并判断是否为的正比例函数； (2)当时，求的值． 【答案】(1)，是的正比例函数； (2)144． 【分析】本题考查了正比例函数的定义，求函数值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合一种兴平辣椒的单价是元，故，即可作答． （2）理解题意，把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵一种兴平辣椒的单价是元，当购买兴平辣椒时，需要花费元． ∴，即是的正比例函数； （2）解：由（1）得， 依题意，当时，， 即的值为144． 21．已知与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数图象；并结合图象，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2)图象见详解，x的取值范围为任意实数 【分析】本题考查了正比例函数的定义，由图象及自变量的取值范围； （1）由正比例函数的定义可设，代入求解，即可求解； （2）画出图象，根据图象即可求解； 理解正比例函数的定义，会根据图象求自变量的取值范围是解题的关键． 【详解】（1）解：与成正比例， 设， 当时，， ， 解得：， ， y与x之间的函数表达式：； （2）解：函数图象，如图， 由图象得：x的取值范围为任意实数． 22．与的函数关系式为； (1)当，为何值时，是关于的一次函数？ (2)当，为何值时，是关于的正比例函数？ 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，解题的关键是掌握一次函数和正比例函数的定义． （1）根据一次函数的定义：形如（，为常数）叫作一次函数，即可求解； （2）根据正比例函数的定义：形如，其中为常数，叫作正比例函数，据此求解即可． 【详解】（1）解：若是关于的一次函数， 则， 解得：，， 即当，时，是关于的一次函数； （2）解：若是关于的正比例函数， 则， 解得：，， 即当，时，是关于的正比例函数． 23．已知T＝（a+1）（a﹣1）﹣a（a+2）． (1)化简T； (2)若点M（2，a）在一次函数y＝x+1的图象上，求T的值． 【答案】(1)﹣2a﹣1 (2)﹣7 【分析】（1）原式利用平方差公式，以及单项式乘以多项式化简，去括号合并即可得到结果； （2）把M坐标代入一次函数解析式求出a的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】（1）T＝（a+1）（a﹣1）﹣a（a+2） ＝（a2﹣1）﹣（a2+2a） ＝a2﹣1﹣a2﹣2a ＝﹣2a﹣1； （2）∵点M（2，a）在一次函数y＝x+1的图象上， ∴a＝2+1＝3， ∴T＝﹣2a﹣1＝﹣2×3﹣1＝﹣7． 【点睛】此题考查了平方差公式，单项式乘以多项式，以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 24．某电信公司手机的A套餐收费标准为：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费18元，另外，通话费按元/计；B套餐收费标准为：不收月租费，但通话费用按元/计． (1)写出两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间x（）之间的关系； (2)若每月平均通话时间为，你选择哪种套餐？并说明理由． 【答案】(1)A套餐：，B套餐： (2)选B套餐，理由见解析 【分析】本题主要考查列函数关系式、代数式求值等知识点，正确列出关系式是解题关键． （1）根据题意直接写两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间之间的关系式即可； （2）将分别代入两个关系式求得话费，然后比较大小即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：A套餐，B套餐， 所以A、B两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间之间的关系分别为：，． （2）解：当时， A套餐：（元）， B套餐：（元）， 因为， 所以选B套餐更优惠． 25．小明在学习一次函数之后，对学习过程进行反思：在学习一个新函数的时候，我们从“数”和“形”两方面研究函数的性质，并积累了一些经验和方法．请根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． 问题一：认识函数 （1）函数中自变量x的取值范围是__________； A．    B．任意实数   C．        D． （2）如表是y与x的几组对应值． … 0 1 2 3 4 5 … … 4 3 1 2 3 4 … 直接写出表格中的值是_______； （3）在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； 问题二：结合函数图象，解决问题： ①方程有几个解； ②当时，的取值范围是_______； 问题三：反思延伸 （4）若点，是函数图象上的任意两点，若对于，，都有，则的取值范围是____． 【答案】（1）B；（2）2；（3）画图见解析，①2，②；（4） 【分析】（1）由被开方数大于等于零得是任意实数； （2）将代入求值即可； （3）描点，连线画图即可； ①直接根据图象可得方程的解； ②根据图象求解即可； （4）由题意得函数图象的对称轴是直线，当时，随的增大而减小，而时，随的增大而增大；函数图象上的点离对称轴直线越近，函数值越小，当，，都有，故在左侧，在右侧，的中点一定在对称轴直线的右侧，则，由于，，则，得． 【详解】（1）解：∵， ∴自变量x的取值范围是任意实数； （2）解：将代入， ∴； （3）解：函数图象如图所示： ①∵， 由图象可得：，， ∴方程有2个解； ②当时， 由图象得，时，最小值是，当时，最大是3， ∴的取值范围是； （4）解：由题意可得，函数图象的对称轴是直线， 当时，随x的增大而减小，当时，随x的增大而增大， ∵函数图象上的点离对称轴直线越近，函数值越小， ∵当，，都有， ∴M在左侧，N在右侧，的中点一定在对称轴直线的右侧，则， ∵当，， ∴， ∴的取值范围是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $