微专题 数列求和之裂项相消法课件-2027届高三数学一轮复习

数列求和一 裂项相消法 通项裂项基本形式 1、裂项相减型 ?2=??+1)-?(?)或？2=？？+2)-？(？)或 ?3= 2、裂项相助加型 ?,=(-1)??+1)+?(?川 裂项求和的原则：每项裂项后形式相同，中间项相互抵消 ??+3)-?(?)?? 【题型一】裂项相消法之等差型 【模型解析】等差型裂项 1 1) n(n+k) 1 2 (an-1)(n+1) 1 般青研形 二 an'an 1 例如： n(n+) 1 例如： 4n2-1 (其中α，等差数列 1 n(n-3) ) 【题型一】裂项相消法之等差型 【模型解析】等差型裂项 1 11 1) n(n+k) kn n+k 1 2 1(1 (am-1)(an+1) 2n-1 一般情青形 a.an 1 1 例如： n(n+1)n n+1 n+1 例如： 1,1 4n2-122n-1 】）(电中a为5列) 1= n(n-3) 月 颐型消文眼型 型炕根式型裂贡 1 何例收 nk+n 1 n134n 【型二】裂肖去之根式型 【模型解析】根式型裂项 1 =(n+k-m) 例收如： ntk+n k 1 Vn+3+/n }naiw 列1、两列？，数函列 (1)数晒列？，}顶式 2列，}项p· [?2}的前邯项2，？6=11？3=9 轮 ()设数饭，差为， 科二2 所次，=1+2- 1 2) ?2?+1 1 1 贝g, + 1 ?17222373? 十？ ?222+ =1-2+}=+1 ,(?6=?1+5=11 2,+- 1)=2-1 4+ X1+55+片7+？+2124） 例列2、设國列？，}大等数函列？？， ()数炳列？，}公式 a设=，r 的前孕？，控，· ?3+?7=22?10=120 角轮( )饭p2为，书3+？7=22？10=120 吨十20臀==2 21+8=22 故=3+(1Z2=2+1 2②由D得，一2TN =2☑+3/2+1 2 ?-253+W7.5Wgv7+?W2+3V2+) =2W2+3V3=2+33 22 】裂消去之指数型 模型解忻】指数型裂页 d (d+d+ 2” 列收 21+(2”+ 3” 二 (3H+K3+ 【题型三】裂项相消法之指数型 【模型解析】指数型裂项 a” 1 .1 (a”1+k)(a”+k) a-1a”+ka1+k 2” 1 1 例如： (2m1+k)(2”+k) 2”+k2+1+k 例列邮、数列？，前邯项酥头？ (1)?,}公式 3 (2)棕？= 3,+13+t1? 数函列？？ 3” 1(1 1) (3+1+)(3”+k)2`3+k3+1+k ,日2？，+33？2=0，？？N. }的前伞项叩？. 翰4)由22，+33？=0，可得得=1时21+3-3？1=0，得1=3 ?=2时2？，.1+33？.1=0，又2？，+3382=0 两减阿得22，=22，-2？，.1=3？-3-3？.1+3 即？，=3？1，数列？}是首项3，公比3等数列所次，=32； D数p,-2+41+u1-i4） 3 ,=2C40+0g+++i34)-=434 【题型四】裂项相消法之裂项相加型 【模型解析】裂项相加的典型特征 本类模型典型特征：通项中含有（一） 加以1小a+-1 乘以一个分式. 0*】 ②(-1) (3n+3=-y ) n(n+1) 【题型四】裂项相消法之裂项相加型 【模型解析】裂项相加的典型特征 本类模型典型特征：通项中含有(-)”乘以一个分式 :-1r0-1日+ni） 例4数饭？2}电1=2？3+1=￡，+2+1 (1)明{？，+2]等数项列求数饭？2}道成公弋 2设，o盘？+2)-1，求场〔-2回，名}的前n顶，. 【解】(1)由？2+1=4？2+22+1，则？2+1+22+1=4(？2+22)， 又？1=2，则？1+2=4， 所以？2+2)是首项、公比都为4的等比数列， 则？2+2？=4？，故，=4？-2； (2)由(1)及已有，=10没4-1=2？-1， iKP风，=(1同22+)=yC1+1 所2，-(1+3)+(3+)-(5+)+？+(1)21++1)=1+(-1)y回+ 练 习 变式训练1】已知数列？2的前项和？2，且？1=3，？+1=？+？+2？+3. (1)求？，}的通项公式： ②岩，=，求数列？，的前？项和， 解】(1)因为，+1=？+？，+2？+3，所次？+1=？+2？+3. 则p=2时，72=21+5+7+？+2+1=3+5+7+？+27+1=3+24？=？2+2. 2 当？=1时，？1=3，适合上式，所以数殉？，}的通项公式为？2=？2+22； 2)由2)可，=42=(，4) 败，=+4++？+，+4 =1+24）=4品 )-422+12+8 【变式训练2】设公差不为0的等差数列？}的首项为1，且？2，？5，？14成等比数列. (1)求数列？，}的通项公式； (2已知数列纪，为项数列，且2号=士，设数列{，+，}的前？项和，求证：，<7+T 【①)设等数列？2}的公3，则中？0， ??2,?5,?14成数炳列 2?14=?,?1+?)Q1+13)=?1+?), 嘟1=1代入式得鼎=2或边=0舍去. ??2=22-1; 。)由4)得粥-1=？，，>0，所沙，=7， 以，，=7mwm=+1万， ?+1V? 吹2=V2-1+V3-V2+.+V?+1-√F=v?+1-1<v?+1. 变)3】饭即2}，堂1=2日？+1=3？，+2 ()饭？2+1是等数饭列求出？2}通形公式 O净=+目数的i0和w9,小证正。=， 【解】 (1)因为2+1=3？+2，所？+1+1=3(？？+1)， 又？1=2，所R1+1=3, 所火？，+1}是以3为首项3为公比的等比数5列，所以2，+1=32，则？2=32-1. 232 11 2)▣)可得=222+13.18+1103.132+ 1,2+,1,+图11，=11 7?=31132.1+32.133.1 32-132+1-1232+11 易知？，3在N上单调概增，且y1>0恒成立。所次1=？<2，故=？， <2 【变式训练4】已知数列？的前？项和为？，满足？1=1，？？+1-(？+1)？=？？+1). (1)求数列？，的通项公式： (2岩，=1)+1，求数列？，的前20项和20 【解】(1).数列？，}的前？项和为？2满足？1=1，？+1-(？+1)？=？(？+1)， ?7=1,=71=1, ?数列是首项为1，公差为1的等差数列， ?=1+(?-1)回1=？，即2，=？2， 当？=2时，？3=？-？.1=？2.(？-1)2=2？-1，显然1=1也满足上式，？？，=2？-1. (2)由(1)知，？3=？2，？，+1=2？+1， ?,=(1少+14=(1)+1(6+，4) ?2o=(+(G+)+(+分+7+(+动(0+》=1= 小 1、等差型 1 ① ② ay (kn-1)(kn+1) (其中4，为等差数列) 2、无理型 店a 结 3型 2 ecr 1 etik 4玉滚蛋型 王 以必式代 c6-r(+) co *【题型五】裂项相消法之多 【模型解析】多项式型裂项 ①？=3？·2)2=L?(? 对比系数，得： 项式型 +1)+?」回22+1·2？+ ?)回2=( )@2? *【题型五】裂项相消法之多项式型 【模型解析】多项式型裂项 ①？=3？-2)2？=？(？+1)+？」2+1-？+？)2？=(？+2？+？)2 对比系数得(n子72？{2。 ??,=(3?-2)皿2=3(？+1)-81回22+1-(3？-8回2=3？-5)回22+1-3？-8)回2 例5、(2024全国甲卷高考真题)记？，为数列？2的前？项和，己知4？2=3？+4. (1)求(？，}的通项公式 (2)设？3=(-1)2-1？？2，求数列？，的前？项和？？· 【解】(1)当？=1时，4？1=4？1=3？1+4，解得？1=4. 当？=2时，4？3.1=3？3.1+4，所以4？-4？？.1=4？=3？-32？-1即即？=3？.1 m1=4?0.枷，？0，故=3， ∴.数列？}是以4为首项，-3为公比的等比数列，所以？=4回-31. (2)解法一：（错位相减法）？2=(-1)}14-3}1=4？B2-1, 所以？=？1+？2+？3+？+？=4B0+8B1+12B2+?+4?B21 故3？2=431+8B2+12B3+？+4?3 所以2？2=4+4B1+432+？+4B1-4?32 =4+4回1：3.4B?=4+2B33-1.1)-42B=(2-4)盛-2， 1-3 ???=(2?-1)B2+1. 法二： (裂项法)？，=(-1)？14-3}1=4？B21, 设4？B21=??+1)+?」回32-？+？)回32-1，则： 4nBn-1=(2An+3A+2BB-1 对比系数，得： 3A2B076A23 2A=4 ？4?B2-1=2(?+1)-3回32-2？-3)回321=(2？-1)回32-(2？-3)回321 ???=?1+?2+?3+?+?3=?3+??.1+??+?3+?2+?1 =(2?-1)☑3？-(2？-3)回321+(2？-3)回32-1-(2？-5)回32-2+？+ 5回32-3回32+3回32-1回3+1回31-(-1)回30=(2？-1)回3+1 §矫日 1+22+33 2+??+1子②2 !1黄 ②，=？22=(？？+1)2+？(？+ =( )2? 对北数得 )+?2+1(?2+??+?)2 ②3=？22=(？？+1)2+？(？+1)+？22+1 =[？?2+(4?+?)?+2?+2+?12 ?=1 ？=1 对比系数得 4?+?=0 4 2?+22+?=0 ?=6 ??2=(?2-2+322+1-?2-4?+62 (??2+??+?)2 至)簿1+222+3必+？？+子② 【確对员出项 设？22-「？？+13+？？+1)十？122+1-？2+？+)221 ?,=?22=??+13+?(?+)+?」2+1(？2+？？+？) =??2+(9+?)?+2+2卫+？]@ ?=1 ？1 对北系数得 4?+?=0 子4 22+2+?=0 =6 ??2=(?2-2+322+1?2-4?+62 于是122+2222+3222+？+？22？=(？2-2？+32？+16. 谢 谢