第六章 课时4 数列求和课件——2027届天津市高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“数列求和”专题，依据课标要求覆盖分组、错位相减、倒序相加、裂项相消四大核心方法，对接高考评价体系分析考点权重，其中分组转化、裂项相消、错位相减为高频考查内容，归纳出绝对值数列、分式裂项、等差乘等比数列等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题训练+技巧建模”，精选2023浙江宁波质检、2024全国甲卷等真题，通过裂项相消中分母有理化、错位相减时错项对齐等实例，培养学生数学思维中的推理能力与运算能力，帮助学生掌握得分技巧，教师可据此精准把握学情，提升复习效率。

课时 4数列求和 一、 课标要求 1.掌握数列求和的常见方法 2.将数列转化为等差或等比数列， 然后进行求和 二、知识梳理 1.分组求和法：一个数列的通项公式由若干个等差数列或等比数列或可求和的 数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减， 2.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应 项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的 3.倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首、末两端等“距离”的两项的和 相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法，如等差 数列的前n项和即是用此法推导的. 4.裂项相消法：如果一个数列的通项可拆分成两个式子的差，然后通过累加抵 消掉中间的许多项.此种方法适用于通项可以分裂成两式之差，尤其是分母为等 差数列的两项之积的类型的数列求和问题 【拓展知识】 1.若{an}为各项都不为0的等差数列，公差为dd0) 1 1 2. n (n+k) 1 3. =1Vn+1-n; n+n+1 4.10g-(1+=1og.n+1)-logn(a>0且aw1). 心 则 a an+l 三、基础回顾 1.判断正误.（正确的打V”,错误的打“×”) (1)若数列{an}为等比数列，则其前n项和多 4m q :.(x) (2)当心2时，，1=1一1 (×) n2-1n-1n+1 (3)利用倒序相加法可求得sin21°十sn22° sm23°+..+s7m289°=44.5.(V) (4)若Sn=a+2a2+3a+..+na, 减法 (√) 则当a0且a≠1时， 求Sn的值可用错位相 2.己知数列{an}的通项公式为an A.9 B.99 C. 1 B【解析】因为an= nnt -m)+n-n-1)+.+(3- n=99.故选B. n+n十1 且前 10 D.100 n+1-Vn,所以Sm 2)十(2-1)=n n项和为9，则n=( =41+a2+..+an=(n+1 +1-1.令Vn+1-1=9,得 3.(多选题)若数列{a,}的前n项和是Sm,且三三，数列{b}满足 ,则下列结论正确的有( A.数列{a,}是等差数列 B.%2 心发筑和为2n.使城列{6 的前n项和为T,则<1 01 BD【解析】当nl时，2，当2时，由字，得 两式相减得名又1，所以数列4是以2为首项，以2为公比的等 出藏限之学中，成55子 所以 所以 故选BD 4.观察如下规律： 则该组数据的前2项和 为 45【解析】设数列a}是等差数列，且素，则题中数列的和可以看成 又因为题中数列的项数等于数列a的前n项和， 所以 ，故题中数列的前2项的和为45 四、考点扫描 考点一分组、并项转化求和 例1(1)若数列{}的通项公式是亮空 A.15 B.12 C.12 D.-15 A【解析】 故选A (2)设数列{am}的通项公式为an=2n一7，则a1十a2 A.153 B.210 C.135 D.120 4【解析】令a=217≥0，解得n≥ 所以从第4 la2+…+la15|=-a1-a-a3十a4十a5+…十a15=5+3 7)=9+12×(1+23)-153.故选A 2 十.+la15=( 项开始大于0，所以a1十 +1+1+3+…+(2X15- 规律方法： (1)数列{cm}的通项满足下列条件，一般采用分组求和 ①若数列{cm}的通项公式为Cn=an士b,且{an},{bn}为等差或等比数列； an,n为奇数， ②若数列{cm}的通项公式为cn= 其中{an},{bn}是等比数列或 bm,n为偶数， 等差数列. (2)数列{an}的通项满足下列条件，一般采用并项求和 ①数列{an}的通项公式为an=(-1)fn); ②数列{am}是周期数列或ak十a+1(化∈N)为定值. 对点训练(2025浙江宁波市质检)已知数列{am}的前n项和为Sm,且4Sm=54,一2. (I)证明：{a}是等比数列，并求其通项公式； ②设h-(-1y1g2, 求数列{bm}的前100项和T0o. 【解】（1)因为4Sn=5an-2,所以当n≥2时，4Sn-1=5am-1-2,两式相减得an -5w又m=S-a2 解得a1=2,所以数列{an}是首项为2，公比为5的 等比数列，则4n=2X5"1. (2)loglo 2X52m+1 =(-1)”·(2n+1),所以 T10=(b1+b2)+(b3+b4)十…+(b9+b1oo)=(-3+5)+(-7+9)+…+(-199+ 201)=2×50=100. 考点二 裂项相消法求和 例2(1)记数列{an,{bn}的前 S6=Ss十25=90，anbnan+1=1,则 2 A. 45 10 C. 41 n项和分别为Sm, T10=( ) 8 B. 45 40 D 41 Tn,若{an}是等差数列，且 o) A【解析】设等差数列{an}的公差为d.由S6 a1=5, 解得 所以an=5+4(n-1)=4n十 d=4, 1 1-1 4n+14n+5 (4n+1)(4n+5) 4 g-+0-+1r =1x8=2 故选A 445 45 16a+6X54=90, 2 S5+25=90,可得 1.由anbnan+1=1,得bn= 三 anan+1 则Tn=b1十b2+…十bm= 三 2.骑以褐 (2)已知数列{a,}的各项均为正 a的前”项和为5，则： A.119 B.121 数，4=2， ) C. 120 4 若数列 D. 122 e)o C【解析】依题意，有=，即数列}是以4首项，公差为4的等差数 列，放云4，，所以与4克 前n项和 防以2mkD ,所以亚.故选C. 规律方法： 1.裂项是通分的逆变形，裂项时需要注意两 二是裂项后，要注意从哪里开始相互抵消， 项，应做好处理 点：一是要注意裂项时对系数的调整； 前面留下哪些项，后面对应留下哪些 2.常见的几种裂项结构： u品，及。以an anan-1 1 (2)指数型： (a-1)a (an+b)(+b)a+b+b ③)对数型：1ogam dr1=1ogam-1-log do(dn0) (4)无理型： oa6a-ba6sn 对点训练(2025·河北邯郸市调研)已知正项数列{a}的前n项和为Sm,a2=3,且 S+1=S+S1. (1)求数列{an}的通项公式： ②)若。=4S,求数列b}的前n项和x. anan+1 【解】(1)当n=1时，由/S2=VS1十VS,即a1十a2=2a1,且a2=3,解得a1 =1,所以1Sn+1-Sm=VS=1,则数列{Sm}是首项为1，公差为1的等差数列， 所以Sn=n,则Sn=n2.当n≥2时，an=Sm-Sn-1=2-(-1)2=2n-1,当n= 1时，41=1也满足此式，所以{an}的通项公式为am=2n-1(n∈N). (2)由(1)知bn= 4Sn anan +1 1 (2n-1)2n+1) 收n- n 即Tm=n 2n+1 4n2 所 (2-1)2n+1) 1动 …十 1-1 n-12m+1J 4n2 以bn= n11+ =1+ 4n2-1 nn小 2n十1’ 考点三错位相减法求和 例3在等差数列{a,}中，已知公差大于0， 数列{a}的前n项和为S. (1)求数列{a,}的通项公式： (2)若2，求数列凸，}的前n项和T 4=2,且a,3+2,a6成等比数列， 【解】(1)设等差数列a的公差为d.因为，马+2，a成等比数列，得 (乎，又因为42，则 , 解得（舍去）或， 则数列}的通项公式为三 (2)由(1)）得一②2，所以 ①， 则 ①-②得金之主 宝烂 二，所以 2 规律方法： (I)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列， 采用错位相减法. (2)错位相减法求和时，应注意： ①在写出“Sn”与“qSn” 的表达式时应特别注 下一步准确地写出“Sm一qS,”的表达式. ②应用等比数列求和公式时必须注意公比9是 Sn=na1. 求数列{anbm}的前n项和时，常 意将两式“错项对齐”，以便于 否等于1，如果9=1，应用公式 对点训练(2024·全国甲卷)记Sm为数列{an}的前m (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bm=(-1)nna,求数列{bn}的前n项和T 项和，且4Sm=3an十4. 【解】(1)当n=1时， -1十4，所以4Sm-4Sm-1 =-3,所以数列{an}是 4S1=4a1=3a1十4， =4an=3an-3an-1, 以4为首项，一3为 解得a1=4.当n≥2时，4Sn-1=3an 即4n=-34n-1,而41=4≠0，故 n-1 公比的等比数列，所以4=4·（一3）” (2)由(1)知bm=(-1yr-1·n·4·(-3y1=4·3m1, +bm=4X30+8X31+12×32+…+4n·3n1,故3Tm=4 十4n·3”,两式相减得一2Tn=4十4×31十4×32十… 4。 31-3）-4·3"=4+2×3·3”1-1)-4n·3= 1-3 =(2n-1)·3”+1. 所以Tnm=b1十b2十b3十… X×31+8×32+12×33+… +4·3n-1-4n·3n=4+ (2-4m·3”-2,所以T 米 感谢观看 THANKS