数列求和常用方法 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦数列求和专题，覆盖倒序相加、裂项相消、错位相减、分组（并项）求和四大高考核心方法，依据高考评价体系分析错位相减（占比约30%）、裂项相消（占比约25%）等高频考点，归纳函数背景求和、等差乘等比数列求和等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“方法拆解+真题演练+素养提升”策略，如以2024吉林通化高二期末题为例，详解错位相减“乘公比、错位减、化简”三步法，培养学生运算能力与推理意识，通过裂项相消分母有理化等技巧训练，提升数学语言表达能力。配套练习题覆盖选择、填空、解答全题型，助力学生高效突破考点，教师可直接用于一轮复习教学，提升备考针对性。

高三一轮复习：数列求和常用方法 方法一 倒序相加法 如果一个数列满足与首末两项等“距离”的两项之和等于首末两项之 和,那么这个数列的前项和即可用倒序相加法来求,如等差数列的前 项和公式就是用此方法推导的. 方 法 一 2 解： , ①, ②, 由 得，,故数列的通项公式为 . 例1 已知函数对任意的，都有 ，若数 列满足,求数列 的通项公式. 方 法 一 3 方法二 裂项相消法 把数列的通项公式拆成两项的差,求和时可正负相消,最后只剩下首尾 若干项. 例2（1）已知数列的前项和为，且 ，求数列 的前100项和 . 解：因为 ,所以, , 两式相减得 ,即, , 方 法 二 4 因为,即 , 所以数列 是以2为首项,2为公比的等比数列,所以 , 所以 , 所以 . 方 法 二 5 （2）已知各项都是正数的数列的前项和为，且 ， . ①求 的通项公式； 解： 由题意得 ， 所以，又数列的各项都是正数， ， 所以，则 . 当时， ， 所以 ， 所以，所以数列 是首项为1，公差为2的等差数列， 所以 . 方 法 二 6 （2）已知各项都是正数的数列的前项和为，且 ， . ②若，求证： . 证明：由（1）得 ， 所以 ， 所以 . 方 法 二 7 方法三 错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之 积构成的,那么这个数列的前 项和即可用错位相减法来求,如等比数 列的前 项和公式就是用此方法推导的. 方 法 三 8 （1）求数列 的通项公式； 解：由 知，当时， ，两式相减得 ，即，整理得 . 当时，，所以 ， 所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以 . 例3 已知数列的前项和为，且 . 方 法 三 9 例3 已知数列的前项和为，且 . （2）在和之间插入个数，使得这 个数依次组成公差 为的等差数列，求数列的前项和 . 解：由题可得，即 ， 所以 ，则，所以 ， 则 ， 由 得 ，所以 . 方 法 三 10 方法四 分组（并项）求和法 如果一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成 的,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相加减. 例4 在公差不为0的等差数列中，其前项和为 ，且满足 ， . （1）求数列 的通项公式； 解：根据题意得 可得 所以 . 方 法 四 11 例4 在公差不为0的等差数列中，其前项和为 ，且满足 ， . （2）设，求数列的前项和 . 解：由题意知， ， 所以 . 方 法 四 12 例5 设是数列的前项和，已知 , （1）求，并证明 是等比数列； 方 法 四 13 解：因为，所以 ，所以 ， 所以 . 下面证明 是等比数列. 由已知得 ， 所以 ， 又,所以 ， 所以是以为首项， 为公比的等比数列. 方 法 四 14 例5 设是数列的前项和，已知 , （2）求 . 方 法 四 15 解：由（1）知 ， 所以, ， 所以 ， 所以 . 方 法 四 16 练习册 17 一、单项选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 1.已知数列满足， 则 的前6项的和是( ) A.16 B.20 C.33 D.120 [解析] ， ，， ， ，， 的前6项的和是 .故选C. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 18 ★2.已知数列的前项和为， ，， 则 ( ) A.675 B.674 C.1384 D.2023 [解析] .故选A. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 19 ［技巧］在进行并项求和时，若数列总项数除以需要进行合并计算 的几项的项数后有余数，余数是几，一般从首项开始，就要有几项 进行单独计算，然后对剩余项再进行并项求和，而不是从首项开始 进行并项，留最后几项单独计算，这样做的目的是减小计算量. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 20 3.数列的通项公式是 ，则该数列的前100项 和为( ) A. B. C.200 D.100 [解析] 设数列的前项和为,由题意得 ．故选D. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 21 4.已知数列的前项和为，若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] ，则 ， 因为对任意的，不等式 恒成立，所以 ，解得或 .故选A. √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 22 5.［2024·吉林通化高二期末］已知数列 为等差数列，其首项为1， 公差为2，数列为等比数列，其首项为1，公比为2，设， 为数列的前项和，则当时， 的最大值为( ) A.9 B.10 C.11 D.12 √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 23 [解析] 数列 为等差数列，其首项为1，公差为2， 数列 为等比数列，其首项为1，公比为2， ， ， 对任意的，， 数列 是递增数列， 又 ，， 当时， 的最大值为9.故选A. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 24 6.［2025·安徽铜陵高二期中］已知数列 满足 ，且 ，则使不等式 成立的 的最大值为( ) A.98 B.99 C.100 D.101 [解析] 由，可得 ， 由，可得. 易知，将 两边同时除以， 可得，整理得 ， √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 25 所以是以为首项， 为公比的等比数列， 则 ， 所以 ， 所以. 易知在 上单调递增， 因为 ，， 所以 的最大值为99.故选B. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 二、多项选择题：本大题共2小题，每小题6分，共12分. 7.已知数列满足，，若 ， ，则下列结论正确的是( ) A.数列 是等比数列 B.数列的前项和为 C.数列的前项和为 D.若，数列的前项和为，则 √ √ √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 27 [解析] 对于A,因为，所以 ，又 ，所以数列 是以1为首项，1为公差的等差数列，故A错误； 对于B,由A知，则 ，所以 ，所以数列的前项和为 ，故B正确； 对于C,设数列的前项和为 ，则 ，则 ， 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 28 得 ， 所以 ，故C正确； 对于D,因为， 所以，故D正确.故选 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.［2024·南京高二期末］在等差数列中，已知 ，公差 为 ，， ，则下列说法正确的是( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，由题可知，则 ，显然数列 是周期为2的周期数列，又,，所以是首项 ，公 比的等比数列，所以 ，故A错误. √ √ √ 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 30 对于B，设的前项和为 ，则 ，故B正确. 对于C， ，设数列的前项和为， 当 为偶数时， ； . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综上所述， ，故C正确. 对于D， ，故D正确.故选 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 9.若数列满足则 _____. （用具体数值作答） 2236 [解析] 因为所以 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 33 10.已知数列的前项和为，且.记 为 数列在区间内的项的个数，则数列 的前100 项的和为_____. 319 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 34 [解析] 由，得 ， 两式相减得，即 ， 又，即，所以数列 是首项为1，公比 为4的等比数列，所以. 因为为数列 在区间 内的项的个数， 所以， ， ， ，所以数列 的前100项的和为 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 35 ★11.已知数列的前项和为，点在函数 的图象上，，则数列的前项和 ____________. [解析] 由题意知，当时， ，当 时，， 由 得，又符合上式， 所以 ，所以 ， 所以，所以 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 36 ［点睛］若数列的通项公式是分式的形式，分子是常数，分母是来自 同一等差数列中的两项之积或两项的根式之和，则适用于裂项相消法. 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 37 四、解答题：本大题共3小题，共43分. 12.（13分）已知各项均为正数的数列的前项和为 ，且 . （1）求数列 的通项公式； 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 38 解：因为，所以当时， ， 解得. 当时，，又 ， 所以两式相减得 ，可得 ， 又 ，所以， 所以数列 是首项为1，公差为2的等差数列，所以 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 39 12.（13分）已知各项均为正数的数列的前项和为 ，且 . （2）若，求数列的前项和 . 解：由（1）知，则 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 40 13.（15分）［2024·武汉高二期末］在数列中， ，且 . （1）求 的通项公式； 解：， ， 又 ， 是首项为4，公比为2的等比数列， ， . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 41 13.（15分）［2024·武汉高二期末］在数列中， ，且 . （2）令，求数列的前项和 . 解： , . 当 为偶数时， . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 42 当为奇数，且 时， ，当 时， 也满足上式， 当为奇数时， . 综上可得 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 43 14.（15分）已知数列的前项和为，满足， 且 . （1）求 的通项公式； 解：由 ，得 ， 所以数列 是首项为1的等差数列. 由，得，则的公差为 ，所以 ，则的通项公式为 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 44 14.（15分）已知数列的前项和为，满足， 且 . （2）若数列满足，，求 的前13 项和. 解：方法一：由（1）知， ，则 ， 所以当 时， ， 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 45 又因为，所以 . 因为也满足上式，所以 . 因为 ， 所以 的前13项和为 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 方法二： 由（1）知，，则 ， 即 ，又， 所以数列是各项均为 的常数列，即 ， 所以 . 因为 ， 所以 的前13项和为 . 练 习 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 47 $