湖北孝感高级中学2025-2026学年高三下学期2月测试数学试卷

2.22数学测试（教师版） 一、单选题 1．集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，.故选：D. 2．若复数满足，则（    ） A．3 B．2 C． D．1 【答案】C 【详解】由，得，所以，所以， 所以.故选：C. 3．已知为偶函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得，故函数的定义域为，因为函数为偶函数，则， 即，所以对任意的恒成立，故，解得.故选：A. 4．对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差.将某公司新产品自上市起的月份与该月的对应销量（单位：万件）整理成如下表格： 月份x 1 2 3 4 5 销量y 0.5 1 1.4 建立y与x的线性回归方程为，则第2个月和第4个月的残差和为（   ） A．-0.919 B．-0.1 C．0.1 D．0.919 【答案】C 【详解】由题意可得，，将其代入回归方程，得，故，将2，4代入线性回归方程，则第2，4个月的预测值分别为，，故第2个月和第4个月的残差和为.故选：C. 5．若函数的两个零点分别为和，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数，其中，由，得，而，因此，即，则即，所以.故选：A. 6．已知是公比不为1的等比数列的前项和，则“成等差数列”是“存在不相等的正整数，使得成等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为是公比不为1的等比数列的前项和，所以若成等差数列，则， 从而，结合化简得，若成等差数列，则，即，所以，故当时，有， 即“成等差数列”能推出“存在不相等的正整数，使得成等差数列”； 反之，满足不一定是，如，，，满足，但不满足， 即“存在不相等的正整数，使得成等差数列”推不出“成等差数列”； 所以“成等差数列”是“存在不相等的正整数，使得成等差数列”的充分不必要条件.故选：A 7．在中，“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不必要条件，又不充分条件 【答案】C 【详解】等价于，等价于，又在中，，所以等价于， 由正弦定理得等价于，等价于，故“”是“”的充要条件.故选：C 8．已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为.若在双曲线的渐近线上存在点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】双曲线的右顶点，渐近线方程为，抛物线的焦点为，设，则，，由可得：， 整理可得：，，，， 则：，由可得：.故选：B. 二、多选题 9．下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由正方体的平面展开图还原正方体如图， 由图形可知，，故A错误；由，四边形为平行四边形，所以，故B正确；因为,,所以平面,所以，故C正确；因为，而,所以，故D正确.故选：BCD 10．设 ，则（     ） A． B． C．的最小值为 D．若且当时， 则有 【答案】AC 【详解】因二项式的展开式的通项为， 对于A，由题意，故A正确；对于B，在中， 取，可得，故B错误； 对于C，，因，当时，的最小值为，故C正确；对于D，由二项式的通项， 令，可得，因且当时， 则当时，，于是当时， ，故，故D错误.故选：AC 11．已知等式其中e是自然对数的底数，将a视为自变量x（，），b为x的函数，记为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若方程有4个不等的实根，则 D．当时，若的两实根为，，则 【答案】ABD 【详解】由题意知，，故即，且，故， 对于A，，故A正确；对于B，故在上，单调递增； 在和上，单调递减；故且故，故B正确；对于C，，故为偶函数， 则有4个不等的实根，即，有2个不等的实根，且在和上单调递减，在上单调递增，故，即，故C错误；对于D，由的单调性可知，当时，若的两实根为，，则， 且，故，引入不等式， 证明过程如下：不妨设，因为，设，，则问题转化为：，．令， 所以在上恒成立， 所以在上单调递增；所以，故，成立，所以． 故，故，故D正确.故选：ABD 三、填空题 12．设曲线在点处的切线与曲线在点P处的切线互相平行，则点P的坐标为 . 【答案】 【详解】设，因为的导数为，所以曲线在点处的切线的斜率为， 因为的导数为，曲线在点处的切线斜率为，所以，解得，代入可得，故.故答案为：. 13．现将位民警派往甲，乙，丙，丁，戊5个学校进行“反校园欺凌”普法宣讲，每人只到1个学校，每个学校只去1人.已知民警不能去甲学校，两位民警不能到乙学校，则不同的分派方法共有 种. 【答案】60 【详解】因为每人只到1个学校，每个学校只去1人，所以将5人全排列有种， 其中将A民警安排在甲学校有种不同的安排方法，将民警B或C安排在乙学校有种不同的安排方法，又A民警在甲学校，且民警B或C在乙学校有，所以A民警不能去甲学校，B，C两位民警不能到乙学校，则不同的分派方法共有种.故答案为：60. 14．如图， 在△ABC中，．取BC边中点D， 连接AD，设E为AD中点，连接BE 并延长与△ABC交于点F，则EF 的长为 ． 【答案】/ 【详解】作交于点，因为点为中点，所以点为中点，即，又因为为中点，即，又因为，所以，即，在，由余弦定理可得，在中，， 则， 所以，则.故答案为：. 四、解答题 15．的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若的外接圆半径为，且，求的面积. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由可得：， 即,即，又，所以，所以，即，又,所以，所以. （2）由（1）可得：，所以，又，可得：，由， 解得：，所以. 16．已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【答案】(1)(2)且. 【详解】（1）因为，故，故，故，故即为， 设，则，故在上为增函数，而即为，故， 故原不等式的解为. （2）在有极大值即为有极大值点.， 若，则时，，时，，故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，，时，，故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，，时，，故为的极大值点，符合题设要求；综上，且. 17．某校举行知识竞赛，甲乙两位同学组队答题，甲先依次答一二题，乙再依次答三四题，若两人合计答对题数大于或等于3，则取得胜利，并获得纪念品（恰好答对前三题时应继续答完第四题）；若两人合计答错两题则中止答题，已知，甲、乙答对每道题的概率分别为，假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响． (1)当时，设为乙答题的道数，求的分布列及期望； (2)当时，求甲乙获得纪念品的概率的最小值． 【答案】(1)分布列见详解，(2) 【详解】（1）X的可能取值为0,1,2，当时，甲前2题都答错，此时乙不需要答题，所以， 当时，甲前2道题只答对1道题，且乙答第3题时答错，此时不会继续答第4题，甲前2道题只答对1道题的概率为，乙答错第3题的概率为，所以， 当时，有2种情况，①甲前2道题只答对1道题，乙第3题答对，此时必答第4题，概率为，②甲答对2题，此时乙必答第3和第4道题，概率为，所以，分布列如下， 0 1 2 P 期望． （2）两人合计答对题数大于或等于3获得纪念品，分三种情况： ①甲答对1题，乙答对2题，概率为； ②甲答对2题，乙答对1题，概率为； ③甲答对2题，乙答对2题，概率为. 所以获得纪念品的概率，又因为，所以，即，对P进行变形，， 由可得，即，所以，当且仅当即时等号成立. 所以P的最小值.综上，甲乙获得纪念品的概率的最小值为． 18．如图，球O的半径为4，PQ是球O的一条直径，C是线段PQ上的动点，过点C且与PQ垂直的平面与球O的球面交于⊙C，是⊙C的一个内接正六边形．    (1)若C是OQ的中点． （i）求六棱锥的体积； （ii）求二面角的余弦值； (2)设的中点为M，求证：tan∠MPQ·tan∠MQP为定值． 【答案】(1)（i）；（ii）(2)证明见解析 【详解】（1）（i）因为O到⊙C的距离为2，所以⊙C的半径为，所以正六边形的边长为， 所以正六边形的面积为，且P到⊙C的距离为6，所以六棱锥的体积为； （ii）以C为原点，为轴，的中垂线为y轴，PQ为z轴建系，  则，，，，所以，，， 设平面的一个法向量，则令＝1，得， 设平面的一个法向量则，令＝1，得， 所以． （2）由已知，M点在过PQ且与⊙C所在平面垂直的一个平面内，记这个平面为α．在平面α内，以O为坐标原点，以PQ为y轴，以PQ中垂线为x轴建立平面直角坐标系，设，则，， 因为，所以，即，又P，Q的坐标分别为，所以 19．如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，．      (1)求与的标准方程； (2)过点作直线MN，交于点M，交于点N，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；（上述各点均不重合） (3)点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N，求点G坐标，使直线NG与直线NH的斜率之积为定值．（上述各点均不重合） 【答案】(1)；(2)；(3). 【详解】（1）由题意得，，又因为在上，代入得，所以，则. （2）设，则，又因为，所以， 则，同理可得，所以. （3）设直线分别为，其斜率依次为，设直线，联立得，即有，所以，代入直线方程得，则，设，则经过的两直线之间斜率满足关系：，将直线绕原点顺时针旋转后也会经过，所以两者斜率满足，所以，同理将直线绕原点顺时针旋转后也会经过，所以两直线斜率满足，，设，则有，代入上式得：， 得到，所以，因此存在定点，使直线和直线的斜率之积为定值5. 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 孝感高中2023级高三年级 数学试题 本卷满分150分 考试时间：120分钟 ★祝新年快乐 马到成功★ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求。 1．集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则（    ） A．3 B．2 C． D．1 3．已知为偶函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差.将某公司新产品自上市起的月份与该月的对应销量（单位：万件）整理成如下表格： 月份x 1 2 3 4 5 销量y 0.5 1 1.4 建立y与x的线性回归方程为，则第2个月和第4个月的残差和为（   ） A．-0.919 B．-0.1 C．0.1 D．0.919 5．若函数的两个零点分别为和，则（ ） A． B． C． D． 6．已知是公比不为1的等比数列的前项和，则“成等差数列”是“存在不相等的正整数，使得成等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．在中，“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不必要条件，又不充分条件 8．已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为.若在双曲线的渐近线上存在点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．右图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（    ） A． B． C． D． 10．设 ，则（     ） A． B． C．的最小值为 D．若且当时， 则有 11．已知等式其中e是自然对数的底数，将a视为自变量x（，），b为x的函数，记为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若方程有4个不等的实根，则 D．当时，若的两实根为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设曲线在点处的切线与曲线在点P处的切线互相平行，则点P的坐标为 . 13．现将位民警派往甲，乙，丙，丁，戊5个学校进行“反校园欺凌”普法宣讲，每人只到1个学校，每个学校只去1人.已知民警不能去甲学校，两位民警不能到乙学校，则不同的分派方法共有 种. 14．如图， 在△ABC中，．取BC边中点D， 连接AD，设E为AD中点，连接BE 并延长与△ABC交于点F，则EF 的长为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若的外接圆半径为，且，求的面积. 16．已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 17．某校举行知识竞赛，甲乙两位同学组队答题，甲先依次答一二题，乙再依次答三四题，若两人合计答对题数大于或等于3，则取得胜利，并获得纪念品（恰好答对前三题时应继续答完第四题）；若两人合计答错两题则中止答题，已知，甲、乙答对每道题的概率分别为，假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响． (1)当时，设为乙答题的道数，求的分布列及期望； (2)当时，求甲乙获得纪念品的概率的最小值． 18．如图，球O的半径为4，PQ是球O的一条直径，C是线段PQ上的动点，过点C且与PQ垂直的平面与球O的球面交于⊙C，是⊙C的一个内接正六边形．   (1)若C是OQ的中点． （i）求六棱锥的体积； （ii）求二面角的余弦值； (2)设的中点为M，求证：tan∠MPQ·tan∠MQP为定值． 19．如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，． (1)求与的标准方程； (2)过点作直线MN，交于点M，交于点N，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；（上述各点均不重合） (3)点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N，求点G坐标，使直线NG与直线NH的斜率之积为定值．（上述各点均不重合） 孝感高中2023级高三年级 数学试题 第2页，共4页 孝感高中2023级高三年级 数学试题 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $