23.3一次函数与方程（组）、不等式 同步自主达标测试题 2025-2026学年人教版八年级数学下册

2025-2026学年人教版八年级数学下册《23.3一次函数与方程（组）、不等式》 同步自主达标测试题（原创 附答案） 一、单选题（满分24分） 1．若是关于x的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是(　　) A． B． C． D． 2．已知a为实数，则一次函数与的图象的交点不可能在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．观察图中的函数图象，可以得到关于的不等式的解为（   ） A． B． C． D． 4．点在直线上，且到轴的距离为1，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 5．已知直线与直线交于点，那么关于x，y的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 6．如图，点在直线上，则当时，的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 7．已知一次函数，其中x与y的部分对应值如下表所示，根据该表提供的信息，下列说法正确的是（    ） x … 0 1 3 … y … 1 5 13 … A．该函数的图象经过第一、三、四象限B．函数值y随x值的增大而减小 C．关于x的方程解是D．关于x的不等式解集为 8．如图，一次函数（，为常数且）与一次函数（，为常数且）的图象相交于点，给出下列结论：①关于的方程的解是；②当时，函数的值比函数的值小；③关于的不等式的解集是；④关于，的方程组的解是，其中错误的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题（满分24分） 9．若三条直线、、不能围成三角形，则的值为______． 10．无论为何值，一次函数的图象恒过定点______． 11．若关于的二元一次方程组无解，则的图象不经过第_______象限． 12．在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为_______． 13．一次函数中两个变量x，y的部分对应值如表所示，那么关于x的方程的解是_________． x … 0 … y … 9 7 5 3 1 … 14．一次函数与为常数，，的图象如图所示，若，则______ ． 15．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，过点的直线平分的面积且与轴交于点，则直线对应的函数解析式为__________． 16．x的取值和代数式的对应值如下表： x … 0 1 2 3 … … 9 7 5 3 1 … 根据表中信息，下列说法中： ①当时，；②关于x的方程的解为； ③；④使的x值在2和3之间． 正确的是________（填序号）． 三、解答题（满分72分） 17．（8分）画出一次函数的图像，并求出该图像与坐标轴围成的三角形的面积． 18．（8分）已知直线． (1)为何值时，直线过原点． (2)为何值时，该直线与平行． (3)若函数的图象经过点，请求出这条直线与坐标轴围成的三角形面积． 19．（10分）已知一次函数，其中． (1)若点在的图象上，求的值； (2)当时，若函数有最大值5，求的函数表达式； (3)对于一次函数，当时，都成立，求的取值范围． 20．（10分）如图，直线经过点和点． (1)求直线的解析式； (2)求直线与轴的交点坐标； (3)求的面积． 21．（12分）在直角坐标系中，直线的解析式为，直线过原点且与直线交于点． (1)试求a的值； (2)试问可以看作是怎样的二元一次方程组的解； (3)设直线与x轴交于点A，你能求出的面积吗？试试看； (4)在直线上是否存在点M，使点M到x轴和y轴的距离相等？若存在，求出点M的坐标；不存在，说明理由． 22．（12分）如图，直线与直线交于点，与y轴交于点B． (1)___________；不等式的解集为___________． (2)y轴上是否存在一点P，使得的面积为6，若不存在请说明理由，若存在请求出P的坐标． (3)若点在线段上，点在直线上，求的最小值． 23（12分）如图1，直线，相交于点，直线与x轴相交于点，直线与x轴相交于点． (1)求直线和的函数关系式． (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于直线的函数值，也小于直线的函数值，求m的取值范围． (3)如图2，若直线与y轴相交于点D，线段上是否存在一点P，使点P ，点 B和点 D为顶点组成的三角形面积，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 参考答案 1．D 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为 (a，b为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值． 由方程的解可得与的关系，再令一次函数求解，即可得交点坐标． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即． 令，即， 代入，得， ∴， ∵， ∴，解得． ∴交点坐标为． 故选：D． 2．D 【分析】本题考查了求函数交点坐标，判断点所在的象限． 通过联立两个一次函数解析式求交点坐标，再根据交点横纵坐标的符号判断所在象限． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴交点坐标为 ． 若交点在第一象限，则且，解得且，即，成立； 若交点在第二象限，则且，解得且，即，成立； 若交点在第三象限，则且，解得且，即，成立； 若交点在第四象限，则且，解得且，无解，不成立； 故选：D． 3．A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）某一个值的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在直线上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．观察函数图象即可得到不等式的解集，即为的解集． 【详解】解：观察函数图象得当时，函数都在函数的图象下方， ∴不等式的解为． ∴不等式的解为． 故选：A． 4．C 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；根据点P到y轴的距离为1，即横坐标绝对值，故或，再代入直线方程求纵坐标y即可． 【详解】解：∵点P到y轴的距离为1， ∴， ∴或， 又∵点P在直线上， 当时，； 当时，， ∴点P的坐标为或； 故选C． 5．A 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，先把点A的坐标代入中求出点A的坐标，再根据两直线的交点的横纵坐标即为对应的二元一次方程组的解可得答案． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴， ∴， ∴， ∵方程组可变形为 ∴关于x，y的二元一次方程组的解是， 故选：A． 6．B 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，及一次函数与不等式．熟悉结合一次函数的图像，及其在某一点的函数值，求自变量的取值范围是解题的关键．本题中根据已知点的坐标，和图像中随的增大而减小，即可得出所求的的取值范围． 【详解】解：由图像可知当时，，且随的增大而减小， ∴当时，． 故选：． 7．D 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，掌握知识点是解题的关键． 根据表格信息结合一次函数的图像和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由表格可知，的值随值的增大而增大，故选项B错误； ∴， 当时，， ∴该函数的图像经过第一、二、三象限，故选项A错误； 当时，，故关于的方程的解不是，故选项C错误； ∵的值随值的增大而增大，且当时，， ∴不等式的解集为；故选项D正确； 故选：D． 8．B 【分析】本题考查一次函数与方程和不等式的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数与方程和不等式的关系逐项判断即可． 【详解】解：①：方程 的解为两函数图象交点的横坐标，即 ，正确． ②：当 时，函数 的图象在 图象下方，即的值小于 的值，正确． ③：不等式 的解集为图象在图象下方时的取值范围，即 ，而不是 ，错误． ④：方程组 的解为两函数图象交点坐标，是 ，正确． 错误的结论有1个， 故选：B． 9．或1或2 【分析】本题考查了三角形的构成，一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键． 三条直线不能围成三角形有两种情况，一是其中两条直线平行，二是三条直线交于一点；分别讨论与平行或与平行，以及经过与的交点时的值． 【详解】解：由题意可知，可分为两种情况， ①三条直线、、中存在两条直线平行， 当与平行时，即， 当与平行时，即； ②三条直线、、相交于一点， 求与的交点，解方程组，解得， 直线与的交点为， 将代入，得，解得； 综上所述，的值为或或． 故答案为：或或． 10． 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，解二元一次方程组，将一次函数方程化为关于的表达式，令的系数和常数项分别为零，建立方程组求解定点坐标，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：一次函数可化为， ∵无论为何值，图象恒过定点， ∴， 解得， ∴图象恒过定点， 故答案为：． 11．一 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）．首先根据题意，方程组无解则两直线平行且不重合，得到，求得，然后根据一次函数的性质进行解答即可． 【详解】解：∵关于的二元一次方程组无解， ∴，且。 解得， 则， ∵，， ∴一次函数图象过二、三、四象限，即不经过第一象限． 故答案为：一． 12． 【分析】本题考查一次函数与方程组的关系，解题的关键是理解方程组的解就是两个一次函数图象的交点坐标． 把交点坐标代入直线求解得到的值，再根据方程组的解即为交点坐标解答． 【详解】解：直线经过， ， 交点坐标为， 方程组的解就是两个一次函数图象的交点坐标， 关于，的方程组的解为． ∵关于x，y的方程组可变形为， ∴关于x，y的方程组的解为． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程．通过观察函数值表，当时，对应的值为，因此方程的解即为. 【详解】解：根据表格数据，当时，，即， 所以关于的方程的解是， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 根据当时，，即可求得，从而得出 【详解】解：两个函数的图象交点的横坐标为4， ， ， ， ， 故答案为： 15． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、三角形中线性质，熟练掌握以上知识点是关键． 先求出点、的坐标，根据中线性质得到点坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可． 【详解】解：一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点， 令，则，令，则， ，． 过点的直线平分的面积， ， ． ， 设直线对应的函数解析式为． 把代入，得，解得， 直线对应的函数解析式为． 故答案为：． 16．①④ 【分析】本题主要考查了一次函数的图形和性质，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据表格数据，代入特定x值验证代数式的值，并比较大小． 【详解】解：由图表可得，当时，，即，故①正确； 当时，，方程的解为，而非，故②错误； 当时，，当时，，，故，③错误； 当时，，当时，，由于函数连续，的x值在2和3之间，故④正确． 故答案为：①④． 17．画图见解析；三角形的面积为2 【分析】本题考查了画一次函数图象，一次函数图象与坐标轴的交点问题，求直线围成的图形面积，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先求出一次函数的图像与两坐标轴的交点坐标，再画出一次函数的图像，然后求出该图像与坐标轴围成的三角形的面积． 【详解】解：一次函数， 当时，， 当时，， 解得：， 所以一次函数的图像经过点和点， 画出一次函数的图像如图， 所以该图像与坐标轴围成的三角形的面积为． 18．(1) (2) (3)4 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数的与坐标轴的交点，以及一次函数图象的平行问题． （1）直接将原点代入计算即可； （2）根据平行可知，进而列方程计算即可； （3）将点代入求出m的值，进而求出函数解析式，求出与x轴交点，进而计算即可． 【详解】（1）解：将原点代入得， 即， 解得； （2）解：∵该直线与平行， ∴， 解得； （3）解：将点代入得， 即， 解得， 即， 当时，，解得，即直线与x轴交点为， ∴这条直线与坐标轴围成的三角形面积． 19．(1) (2)一次函数解析式为或 (3)且 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数与不等式的关系．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）把代入中可求出的值； （2）讨论：当时，根据一次函数的性质得到时，，然后把代入求出的值，即可得一次函数解析式；当时，利用一次函数的性质得到时，，把代入求出的值，即可得一次函数解析式； （3）结合图象，分两个函数平行和有交点两种情况分析即可． 【详解】（1）解：把代入得， ． （2）解：当时，随的增大而增大， ∵当时，函数有最大值5 ，即时，， 把代入得， 解得：， 此时一次函数解析式为； 当时，随的增大而减小， ∵当时，函数有最大值5，即时，， 把代入得， 解得：， 此时一次函数解析式为， 综上，一次函数解析式为或； （3）解：如图： 分为两种情况：①当一次函数与一次函数的图象没有交点时， 即当一次函数与一次函数的图象平行时， 满足一次函数与轴的交点在一次函数与轴的交点的上方， 此时， 即； ②当一次函数与一次函数的图象有交点时， 若满足一次函数与一次函数的交点在轴的左侧，包括轴， 此时时，成立， 即； 综上，a的取值范围为：且． 20．(1) (2) (3)8 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，求一次函数解析式： （1）设直线的解析式为，利用待定系数法求解； （2）令，求出x的值即为与轴的交点的横坐标； （3）标记直线与轴的交点为点D，则． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 将和点代入，得：， 解得， 直线的解析式为； （2）解：令， 解得， 直线与轴的交点坐标为； （3）解：标记直线与轴的交点为点D， 由（2）知 ， ． 21．(1) (2)可以看作二元一次方程组的解 (3)能， (4)存在，点M坐标为或 【分析】本题是一个开放性问题，综合考查了函数图象交点、图形面积求法等知识．解答（4）题时需注意，由于点M的坐标存在两种情况，因此要分类讨论，以免漏解． （1）由于P是两个函数的交点，因此可将P点坐标代入直线的解析式中，求出a的值． （2）由于直线过原点，因此一次函数是个正比例函数，根据P点坐标，可确定其解析式．联立两个直线解析式所组成的方程组的解，即为两个函数图象的交点坐标． （3）根据直线的解析式，可求出A点坐标；以为底，P点纵坐标绝对值为高，可求出的面积． （4）若点M到x轴、y轴的距离相等，那么点M的坐标有两种情况：①横坐标与纵坐标相等；②横坐标与纵坐标互为相反数；因此本题要分情况讨论． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得． （2）解：由（1）知：点； 则直线的解析式是， 因此可以看作二元一次方程组的解． （3）解：如图， ∵直线的解析式，令，解得， ∴直线与轴交于点， 所以． （4）解：存在点，使得点到轴和轴的距离相等． 设点的坐标为， 当时，点的坐标为，代入，得，解得， 即点的坐标为； 当时，点的坐标为，代入，得，解得， 即点的坐标为． 综上所述，存在符合条件的点坐标为或． 22．(1)1， (2)存在，P坐标为或 (3) 【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，一次函数与不等式组，一次函数的性质． （1）将点代入直线，即可求出k的值，从而得到直线的解析式，令，求出直线与x轴的交点，再根据数形结合思想求出不等式组的解集； （2）对于直线，令得，得到．设点P的坐标为，则，，根据的面积为6列出方程，求解即可； （3）根据题意得到，因此，根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：∵直线过点， 解得， ∴直线的解析式为， 令得，解得， ∴直线与x轴交点为， 不等式的解集为， 故答案为：1，； （2）解：存在，理由如下： 对于直线，令得， ∴． 设点P的坐标为，则， ∵， ∴当的面积为6时，， 解得或， ∴P坐标为或． （3）解：∵点在线段上，点在直线上， ， ， ， ∴当时，取得最小值，为． 23．(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）采用待定系数法，分别设​、​的一次函数解析式为，将​经过的、，​经过的、代入解析式，列方程组求解系数，得到​和​的函数关系式． （2）分析时的函数值约束：当过时，与​平行时；结合图象可知，当时，时的值小于、​的函数值． （3）先求​与y轴交点D的坐标，计算的面积，进而得到的面积；平移​得到过P的直线，结合面积求出该直线与x轴的交点，确定其解析式；最后联立该直线与​的解析式，解方程组得到P点坐标． 【详解】（1）解：已知过、， 设解析式为​，代入得： ， 解得，， 故​：． 已知过、， 设解析式为 ​，代入得： ， 解得，， 故​：． （2）解：当时，、​的函数值均为4，此时需满足． 当与:平行时，，此时时恒成立． 当过点时，，此时时（即小于​、​的函数值）． 结合图象，得． （3）解：直线​：与y轴交点，令，得． ∵， ∴， ∴ ， 平移​得直线（过P点），设​与x轴交于E，连接，则． ∵ ， ∴， ∴E点坐标为 ． 设​：， 代入得， 即​：， ∴ ， 解得​，， 即 ． 学科网（北京）股份有限公司 $