精品解析：山东济宁市邹城市2025-2026学年第二学期期中检测八年级数学试题

2025—2026学年度第二学期教学质量监测 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，共120分，其中选择题30分，非选择题90分；考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名、准考证号和座号，然后用0.5毫米黑色签字笔将本人的姓名、准考证号和座号填写在答题卡的相应位置． 3．答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其他答案标号，答案不能答在试卷上． 4．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写．务必在题号所指示的答题区域内作答．答作图题时，要先用2B铅笔试画，无误后用黑色签字笔描黑． 5．填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 下列图形中具有稳定性的（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若最简二次根式和能合并，则x的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 下列由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 若n是正整数，是整数，则n的最小值为（ ） A. 2 B. 11 C. 44 D. 176 7. 如果一个多边形的内角和等于外角和的3倍，那么这个多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 如图，每个小正方形的边长为1，则的长和的面积分别为（ ） A. ，8 B. 40，8 C. ，16 D. 40，16 9. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则留下的阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知点E，F，G，H分别是四边形的边，，，上的中点，则下列结论错误的是（ ） A. 四边形一定是平行四边形 B. 若，则是菱形 C. 若，则是矩形 D. 四边形的面积是四边形的面积的3倍 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_________． 12. 直角三角形两边长为和，则第三边长为__________ 13. 如图，在中，，，，，，则阴影部分图形的面积为_________． 14. 如图，菱形的对角线和相交于点O，，垂足为E，若菱形的周长为20，，则的长为_________． 15. 观察下列算式： ； ； ； …… 根据上面的规律计算：_________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 二次根式的计算 （1）； （2）． 17. 已知a是的小数部分，求代数式的值． 18. 图1和图2都是用四个直角边长分别为a和b，斜边长为c的直角三角形围成的正方形，请在图1或图2中任选一个，结合图形利用等面积法证明勾股定理． 19. 如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以每小时30海里的速度向北偏东方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，1小时后，甲船到达C岛，乙船达到B岛，若C、B两岛相距50海里，请你求出乙船的航行方向． 20. 如图，在矩形中，和相交于点O，，垂足为E，，垂足为F，连接和． （1）若，，求的长； （2）求证：四边形为平行四边形． 21. 如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；同时点从点出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． （1）从运动开始，需经过多长时间，四边形为矩形？ （2）是否存在某个时刻，四边形为菱形？如果存在，求出此时所需的时间，并证明你的结论；如果不存在，请说明理由． 22. 【初步感知】 如图1，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的坐标为，过点和分别作x轴和y轴的垂线，两条垂线交于点，连接，，，求的长度． （1）请补全下面的过程． ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴点C的坐标为． ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴_________． ∵点B的坐标为，点C的坐标为， ∴_________． 在中， ∵_________，_________， ∴_________． 【探究归纳】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点M的坐标为，点N的坐标为，过点M和N分别作坐标x轴和y轴的垂线，两条垂线交于点P，连接，，．类比【初步感知】的过程，求的长度（用含，，，的代数式表示）． 【迁移应用】 （3）直接应用【探究归纳】得到的结论解决下面的问题： 在平面直角坐标系中，已知菱形的四个顶点的坐标分别为，，，，求菱形的面积． 23. 我们在学习平行四边形时，利用倍长中线的方法研究了三角形的中位线，请据此思考下面的问题：如图1，在平行四边形中，点E是边的中点，点F是边上一点，且． （1）求证：； （2）如图2，若点F是边的中点，点G为边的中点，连接，求证：； （3）如图3，若点F是边的中点，连接，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期教学质量监测 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，共120分，其中选择题30分，非选择题90分；考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名、准考证号和座号，然后用0.5毫米黑色签字笔将本人的姓名、准考证号和座号填写在答题卡的相应位置． 3．答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其他答案标号，答案不能答在试卷上． 4．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写．务必在题号所指示的答题区域内作答．答作图题时，要先用2B铅笔试画，无误后用黑色签字笔描黑． 5．填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 下列图形中具有稳定性的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性这一特性，判断所给图形是否由三角形构成或可分割成三角形，从而确定哪些图形具有稳定性即可． 【详解】解：A．四边形被分割成了2个三角形，具有稳定性； B．四边形内加一条线段，形成了两个四边形，四边形不具有稳定性，所以整个图形不具有稳定性； C．五边形被分割成了一个三角形和一个四边形，四边形不具有稳定性，所以整个图形不具有稳定性； D．六边形被分割成了2个四边形，四边形不具有稳定性，所以整个图形不具有稳定性． 2. 下列各式中一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的定义，二次根式需满足两个条件：根指数为2，且被开方数为非负数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A选项，被开方数，无意义，不是二次根式； B选项，根指数为3，是三次根式，不是二次根式； C选项，当时，无意义，不一定为二次根式； D选项，，，根指数为2，被开方数恒为正数，因此一定是二次根式． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则和性质逐一判断选项即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能直接合并，A计算错误； B、，B计算错误； C、，C计算错误； D、，D计算正确． 4. 若最简二次根式和能合并，则x的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同类最简二次根式的性质，能合并的最简二次根式是同类二次根式，同类二次根式的被开方数相等，据此列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式和能合并， ∴二者是同类二次根式，被开方数相等，可得 ， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 检验：当时，被开方数 且 ，此时两个二次根式是最简二次根式，符合题意， 所以． 5. 下列由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用勾股定理的逆定理，通过验证两短边的平方和是否等于最长边的平方，判断三角形是否为直角三角形，找出不符合的选项即可． 【详解】解：A、最长边为，，能构成直角三角形，不符合要求； B、最长边为，，，，不能构成直角三角形，符合要求； C、最长边为，，能构成直角三角形，不符合要求； D、最长边为，，能构成直角三角形，不符合要求． 6. 若n是正整数，是整数，则n的最小值为（ ） A. 2 B. 11 C. 44 D. 176 【答案】B 【解析】 【分析】先对176分解质因数，根据二次根式的性质，若二次根式运算结果为整数，则被开方数必须是完全平方数，据此求解n的最小正整数值． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ 是整数，n是正整数， ∴必须是完全平方数， ∵ 11是质数， ∴ n的最小正整数值为11． 7. 如果一个多边形的内角和等于外角和的3倍，那么这个多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为，任意多边形外角和恒为，边形内角和为，据此结合题意建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得， 解得， ∴这个多边形的边数为． 8. 如图，每个小正方形的边长为1，则的长和的面积分别为（ ） A. ，8 B. 40，8 C. ，16 D. 40，16 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理，找到、、的长分别为、、，由勾股定理的逆定理可判断是直角三角形，然后根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：；；； ∴， ∴是直角三角形，， ∴的面积． 9. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则留下的阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形性质，正方形面积，二次根式加法乘法运算等．根据题意先求出两个正方形边长后再求得大正方形边长，继而即可求得阴影面积． 【详解】解：∵从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形， ∴两个小正方形的边长分别为：，， ∴大正方形边长为， ∴大正方形面积为：， ∴阴影面积为：， 故选：C． 10. 如图，已知点E，F，G，H分别是四边形的边，，，上的中点，则下列结论错误的是（ ） A. 四边形一定是平行四边形 B. 若，则是菱形 C. 若，则是矩形 D. 四边形的面积是四边形的面积的3倍 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中点四边形，中位线的性质，特殊四边形的判定，根据平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：点，，，分别为四边形的边，，，的中点， 、、分别为、、的中位线， ，，，，，， ，， 四边形为平行四边形； 当时，，则平行四边形为菱形； 当时，，则平行四边形是矩形； ∵，， ∴， ∴， 同理， ∴， 同理， ∴， ∴四边形的面积是四边形的面积的2倍；故不正确的选项是D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式和分式有意的条件，根据二次根式的被开方数为非负数和分式的分母不为可求出的取值范围． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 直角三角形两边长为和，则第三边长为__________ 【答案】或 【解析】 【分析】本题未明确已知两边是否均为直角边，需分两种情况讨论，利用勾股定理计算第三边长. 【详解】解：分两种情况讨论： 当边长为和的边都是直角边时， ∴第三边长为：； 当边长为的边为斜边时， ∴第三边长为：， 综上：第三边长为或. 13. 如图，在中，，，，，，则阴影部分图形的面积为_________． 【答案】24 【解析】 【分析】先用勾股定理解求出，再用勾股定理逆定理证明是直角三角形，进而即可求解． 【详解】解：中，，，， ， ，， ， 是直角三角形， 阴影部分图形的面积． 14. 如图，菱形的对角线和相交于点O，，垂足为E，若菱形的周长为20，，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质求出的长度，再利用等面积法求出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，且周长为， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵，且， ∴， 解得． 15. 观察下列算式： ； ； ； …… 根据上面的规律计算：_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：； ； ； ……； ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 二次根式的计算 （1）； （2）． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ． 17. 已知a是的小数部分，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ∴， ∴． 当时， ， ， ， ． 18. 图1和图2都是用四个直角边长分别为a和b，斜边长为c的直角三角形围成的正方形，请在图1或图2中任选一个，结合图形利用等面积法证明勾股定理． 【答案】 证明：选择图1： 四个完全相同的直角三角形的直角边为a和b， ∴直角三角形的面积为， 小正方形的边长为， ∴小正方形的面积为． 大正方形由四个完全相同的直角三角形和一个小正方形组成， ∴大正方形的面积为． 大正方形的边长为c， ∴大正方形的面积也可以表示为． ∴． 选择图2： 四个完全相同的直角三角形的直角边为a和b， ∴直角三角形的面积为， 小正方形的边长为， ∴小正方形的面积为． 大正方形由四个完全相同的直角三角形和一个小正方形组成， ∴大正方形的面积为． 大正方形的边长为， ∴大正方形的面积也可以表示为． ∴， ∴． 【解析】 【分析】大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，由此列式即可． 【详解】略． 19. 如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以每小时30海里的速度向北偏东方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，1小时后，甲船到达C岛，乙船达到B岛，若C、B两岛相距50海里，请你求出乙船的航行方向． 【答案】南偏东度 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理以及方位角，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c，满足，那么这个三角形就是直角三角形． 首先计算出甲乙两船的路程，再根据勾股定理逆定理可证明，然后再根据C岛在A北偏东方向，可得B岛在A南偏东方向． 【详解】解：由题意得：甲船1小时的路程：（海里）， 乙船1小时的路程：（海里）， ∵， 即 ∴， ∵C岛在A北偏东方向， ∴ ∴B岛在A南偏东方向． ∴乙船航行的角度是南偏东方向． 20. 如图，在矩形中，和相交于点O，，垂足为E，，垂足为F，连接和． （1）若，，求的长； （2）求证：四边形为平行四边形． 【答案】（1） （2） 证明：∵四边形是矩形， ∴，． ∴． ∵，， ∴， 在和中， ∴． ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质求出，然后在中，利用勾股定理求解即可； （2）由矩形的性质得出，证明，再由全等三角形的性质得出，由，得出，由平行四边形的判定可得出结论． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴． 在中，． 【小问2详解】 略 21. 如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；同时点从点出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． （1）从运动开始，需经过多长时间，四边形为矩形？ （2）是否存在某个时刻，四边形为菱形？如果存在，求出此时所需的时间，并证明你的结论；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） 解：当时间为时，四边形为菱形， 证明：过点作，垂足为， ∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴四边形为矩形， ∵，， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， 当时间为时，，， ∴， ∴且， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】（）由题意可得，，则，当时，四边形为矩形，然后列出方程即可； （）过点作，垂足为，证明四边形为矩形，通过勾股定理求出，当时间为时，，，则有且，所以四边形是平行四边形，然后通过菱形的判定方法即可求解． 【小问1详解】 解：设运动时间为，由题意可得，，， ∴， 当时，四边形为矩形， 则有：， 解得， 答：经过，四边形为矩形； 【小问2详解】 略 22. 【初步感知】 如图1，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的坐标为，过点和分别作x轴和y轴的垂线，两条垂线交于点，连接，，，求的长度． （1）请补全下面的过程． ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴点C的坐标为． ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴_________． ∵点B的坐标为，点C的坐标为， ∴_________． 在中， ∵_________，_________， ∴_________． 【探究归纳】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点M的坐标为，点N的坐标为，过点M和N分别作坐标x轴和y轴的垂线，两条垂线交于点P，连接，，．类比【初步感知】的过程，求的长度（用含，，，的代数式表示）． 【迁移应用】 （3）直接应用【探究归纳】得到的结论解决下面的问题： 在平面直角坐标系中，已知菱形的四个顶点的坐标分别为，，，，求菱形的面积． 【答案】（1） 解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴点C的坐标为． ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴． ∵点B的坐标为，点C的坐标为， ∴． 在中， ，， ∴． （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）利用平行于轴的直线上的点纵坐标相等，平行于轴的直线上的点横坐标相等，得到点坐标，利用勾股定理求得答案． （2）同（1）方法一致，只是将数字替换成了字母． （3）利用第（2）问得到公式，求出菱形对角线的长度，直接套用菱形面积公式即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵点M的坐标为，点N的坐标为， ∴点P的坐标为． ∵点M的坐标为，点P的坐标为， ∴ ∵点N的坐标为，点P的坐标为， ∴． 在中， ∵，， ∴． 【小问3详解】 解：由（2）可得： ，， ∴， ，， ∴， ∴菱形的面积． 23. 我们在学习平行四边形时，利用倍长中线的方法研究了三角形的中位线，请据此思考下面的问题：如图1，在平行四边形中，点E是边的中点，点F是边上一点，且． （1）求证：； （2）如图2，若点F是边的中点，点G为边的中点，连接，求证：； （3）如图3，若点F是边的中点，连接，求证：． 【答案】（1） 证明：延长，交的延长线于点P． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵点E是边的中点， ∴． 在和中，， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∴ ． ∴， ∴． （2） 证明：连接并延长交的延长线于点Q． ∵点F是边的中点，点G是边的中点， ∴是的中位线． ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵点F是边的中点， ∴． 在和中， ∴ ∴． ∵点E是边的中点， ∴． ∴ ． （3） 证明：连接并延长交的延长线于点Q． 由（1）得，． ∵， ∴． ∴． ∴ ． ∵， ∴ ． ∴，即是直角三角形， 由（2）得 ， ∴，即点C是的中点， ∴． 【解析】 【分析】（1）延长，交的延长线于点P，由平行四边形的性质证明，可得，，再证明 ，即可证明结论； （2）连接并延长交的延长线于点Q．易证是的中位线．得到．证明，得到．再根据，即可证明； （3）连接并延长交的延长线于点Q．由（1）得，，根据等边对等角结合平行线的性质易证，即是直角三角形，同理（2）得 ，证明点C是的中点，利用直角三角形的性质即可证明． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $