精品解析：山东省济宁市邹城市第十一中学2024—2025学年八年级下学期期中数学试卷

2024—2025学年度第二学期期中测试 八年级数学试题 一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 若，则下列二次根式有意义的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 3. 设a，b是直角三角形的两条直角边，若该直角三角形的周长为9，斜边长为4，则的值是（ ） A. 5.5 B. 5 C. 4.5 D. 6 4. 已知，，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 正整数满足，且和是可以合并的二次根式，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 6. 如图，已知1号、4号两个正方形的面积之和为7，2号、3号两个正方形的面积之和为4，则a、b、c三个正方形的面积之和为（ ） A. 11 B. 15 C. 10 D. 22 7. 如图，已知正方形的边长为3，点是对角线上的一点，于点，于点，连接，当时，则（ ） A. B. 2 C. D. 8. 如图，已知五边形的边长均相等，且，，则必定满足（ ） A. B. C. D. 以上情况均有可能 9. 如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是（ ） A. B. C. D. 2 10. 如图，在平行四边形中，，．连接AC，过点B作，交DC的延长线于点E，连接AE，交BC于点F．若，则四边形ABEC的面积为（ ） A. B. C. 6 D. 11. 如图，矩形纸片，，，E为边D上一点，将沿所在的直线折叠，点C恰好落在边上的点F处，过点F作，垂足为点M，取的中点N，连接，则=（　　）． A. 5 B. 6 C. D. 12. 如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作，交的延长线于点F，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①；②；③；④ ．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 在实数范围内分解因式：=______； 14. 若在数轴上以点A为圆心，边长为1的正方形的对角线长为半径作半圆，该半圆与数轴的右交点为点C，若点C表示的数是3，则点B表示的数为_____________． 15. 我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则问题中葛藤的最短长度是_______尺.  16. 如图，在矩形中，为边上一点，，将沿折叠得，连接，，若平分，，则的长为_____． 17. 如图，在△ABC中，BC＝3，将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1，点P、Q分别是AB、A1C1的中点，PQ的最小值等于_____． 18. 如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点，是对角线，，交的延长线于，连接，若．下列结论：①；②四边形是菱形；③；④．其中正确的是_____________． 三、解答题（本大题共7个小题，共60分） 19. 计算： （1） （2） 20. 已知 （1）求的值； （2）求的值． 21. 为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上． （1）求B处到灯塔P的距离； （2）已知灯塔P的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？ 22. 观察下列各式及其变形过程： ， ， ， …… （1）按照此规律，写出第五个等式________； （2）按照此规律，若，试用含的代数式表示； （3）在（2）的条件下，若，试求代数式的值． 23. 如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，∠ADB的平分线交AB于点F，交CB的延长线于点E，连接AE. (1)求证：四边形AEBD是菱形； (2)若DC＝，EF：BF＝3，求菱形AEBD的面积． 24. 已知，如图1，正方形和正方形，点G在上．，， （1）求线段的长； （2）如图2，连接，若点O是的中点，连接，请求出的值． 25. 定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）如图①，垂美四边形两组对边与之间的数量关系是 ． （2）如图②，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由． （3）如图③，在中，点F为斜边的中点，分别以为底边，在外部作等腰三角形和等腰三角形，连接，分别交于点M，N．试猜想四边形的形状，并说明理由． （4）如图④，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期期中测试 八年级数学试题 一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 若，则下列二次根式有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可进行求解． 【详解】解：A、∵，∴，∴无意义；故不符合题意； B、∵，∴，∴无意义；故不符合题意； C、∵，∴，∴无意义；故不符合题意； D、∵，∴，∴有意义；故符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 2. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】A、根据平行四边形的判定定理作出判断；B、根据矩形的判定定理作出判断；C、根据菱形的判定定理作出判断；D、根据正方形的判定定理作出判断． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项错误，不符合题意； B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形；故本选项正确，符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误，不符合题意； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系． 3. 设a，b是直角三角形的两条直角边，若该直角三角形的周长为9，斜边长为4，则的值是（ ） A. 5.5 B. 5 C. 4.5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，由直角三角形的周长和斜边长可得两直角边之和，结合勾股定理和完全平方公式即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4. 已知，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，完全平方公式的变形求值，根据，可得，再由可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5. 正整数满足，且和是可以合并的二次根式，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简和解二元一次方程组．先将和化简，根据题意得到方程组，求解得到，，再利用二次根式的性质求解即可． 【详解】解：，， ∴ 解得：，， ∴， 故选：A． 6. 如图，已知1号、4号两个正方形的面积之和为7，2号、3号两个正方形的面积之和为4，则a、b、c三个正方形的面积之和为（ ） A. 11 B. 15 C. 10 D. 22 【答案】B 【解析】 【分析】由直角三角形的勾股定理以及正方形的面积公式不难发现：a的面积等于1号的面积加上2号的面积，b的面积等于2号的面积加上3号的面积，c的面积等于3号的面积加上4号的面积，据此可以求出三个的面积之和. 【详解】利用勾股定理可得： ，， ∴ 故选B 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握相关性质定理是解题关键. 7. 如图，已知正方形的边长为3，点是对角线上的一点，于点，于点，连接，当时，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证四边形是矩形，可得，，由等腰直角三角形的性质可得，可求，的长，由勾股定理可求的长，由“”可证，可得． 【详解】解：如图： 连接， 四边形是正方形， ，， ，，， 四边形是矩形， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， ， ，，， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 8. 如图，已知五边形的边长均相等，且，，则必定满足（ ） A. B. C. D. 以上情况均有可能 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形三边关系的应用，由等边等角可得出，，结合已知条件可得出，进一步得出四边形为平行四边形．由平行四边形的性质得出，最后根据三角形三边关系即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 同理 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． ∴， ∴． 在中，， ∴ 故选：A 9. 如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 如图，连接，由正方形的性质可得，，则，由 H是的中点，可得，根据勾故定理求、的值，根据，求出的值，进而可求． 【详解】解：如图，连接， 由正方形的性质可得，，， ∴， ∵ H是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选B． 10. 如图，在平行四边形中，，．连接AC，过点B作，交DC的延长线于点E，连接AE，交BC于点F．若，则四边形ABEC的面积为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明四边形ABEC为矩形，再求出AC，即可求出四边形ABEC的面积． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD=2，BC=AD=3，∠D=∠ABC， ∵， ∴四边形ABEC为平行四边形， ∵， ∴， ∵∠AFC=∠ABF+∠BAF， ∴∠ABF=∠BAF， ∴AF=BF， ∴2AF=2BF， 即BC=AE， ∴平行四边形ABEC是矩形， ∴∠BAC=90°， ∴, ∴矩形ABEC的面积为． 故选：B 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，熟知相关定理，证明四边形ABEC为矩形是解题关键． 11. 如图，矩形纸片，，，E为边D上一点，将沿所在的直线折叠，点C恰好落在边上的点F处，过点F作，垂足为点M，取的中点N，连接，则=（　　）． A. 5 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，，可求得为的中点，根据中位线的性质可得，勾股定理求得即可． 【详解】解：连接， 由折叠的性质可得， 又∵ ∴点在线段上， 又∵ ∴ ∴ 又∵的中点N ∴为的中位线 ∴ 在中， ∴ 故选A 【点睛】此题考查了折叠的性质，矩形的性质以及三角形中位线的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 12. 如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作，交的延长线于点F，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①；②；③；④ ．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定，矩形的性质，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．如图所述，过点E作于点M，作于点N，设，交于点H，可证四边形是正方形，可得，即可判断结论①；根据结论①可证矩形是正方形，根据全等三角形的判定方法可判断结论②；根据正方形的性质可得，由结论②可得，由此可判断结论③；根据点E在上，当时，可判断结论④；由此即可求解． 【详解】解：①如图所述，过点E作于点M，作于点N，设，交于点H， ∵四边形是正方形，是对角线，，， ∴，， ∴四边形是矩形，且，， ∴，都是等腰直角三角形，即， ∴矩形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，则， ∵， ∴，则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故结论①正确； ②由结论①正确可知，DE=EF，且四边形DEFG是矩形， ∴矩形是正方形， ∴，即，且， ∵四边形是正方形， ∴，即，且， ∴， 在和中， ， ∴，故结论②正确； ③∵四边形是正方形，是对角线， ∴， 由结论②正确可知，， ∴， ∴，故结论③正确； ④∵四边形是正方形，是对角线，点E是上的点， ∴当时，点F于点C重合， ∴与不一定相等，故结论④错误； 综上所述，正确的有①②③共3个， 故选：C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 在实数范围内分解因式：=______； 【答案】2(a2+2)(a+)(a-) 【解析】 【分析】实数包括有理数和无理数，先运用提公因式法和平方差公式得出2（x2+2）（x2-2），后一个括号还能运用平方差公式进行分解． 【详解】解：原式=2（x2+2）（x2-2） 故答案为 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 14. 若在数轴上以点A为圆心，边长为1的正方形的对角线长为半径作半圆，该半圆与数轴的右交点为点C，若点C表示的数是3，则点B表示的数为_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴以及勾股定理，掌握作图方法是解题的关键．先求出圆的半径，从而得出长度，进而得出点表示的数，即可得出点表示的数． 【详解】解：正方形的边长为1， 圆的半径为， ， 点C表示的数是3， 点表示的数为， 点表示的数为． 故答案为：． 15. 我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则问题中葛藤的最短长度是_______尺.  【答案】25. 【解析】 【详解】解：这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是直角三角形求斜边的问题. 根据勾股定理可求出葛藤长为（尺）． 故答案为：25． 16. 如图，在矩形中，为边上一点，，将沿折叠得，连接，，若平分，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过作于点，于点，，由四边形是矩形，得，，证明四边形是矩形，通过角平分线的性质证得四边形是正方形，最后根据折叠的性质和勾股定理即可求解． 【详解】如图，过作于点，于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵平分， ∴，， ∴四边形是正方形， 由折叠性质可知：，， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，所对直角边是斜边的一半，角平分线的性质，正方形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 17. 如图，在△ABC中，BC＝3，将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1，点P、Q分别是AB、A1C1的中点，PQ的最小值等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，的中点，连接，，，，根据平移的性质和三角形的三边关系即可得到结论． 【详解】解：取的中点，的中点，连接，，，， 将平移5个单位长度得到△， ，， 点、分别是、的中点， ， ， 即， 的最小值等于， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平移的性质，三角形的三边关系，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 18. 如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点，是对角线，，交的延长线于，连接，若．下列结论：①；②四边形是菱形；③；④．其中正确的是_____________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、菱形的性质及判定，综合性较强，解答此类题目时要注意由结论推条件，把结论当做已知条件求解．①根据题意可证明四边形为平行四边形，继而可判断出此项正确；②根据①的结论，再结合，为边的中点得出可判断出四边形是菱形；③根据，得到，结合为中点，，即可而得到；④要使，则，而因为得不出，即不能得出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵、分别为边、的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ，故①正确． ②由①知四边形为平行四边形， ，为边的中点， ， 四边形是菱形，故②正确． ④，，， 四边形为矩形， ， 要使，则， 不能证明，即不一定成立，故④不正确． ③由④知， ， 为中点， ∴， ∴，故③正确； 综上可得：①②③正确． 故答案为：①②③． 三、解答题（本大题共7个小题，共60分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，负整数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先化简绝对值，计算二次根式乘法，分母有理化，负整数幂，再计算加减即可； （2）将整体，再利用二次根式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 已知 （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确分母有理化求出a、b的值是解题的关键． （1）分母有理化得到，则可求出，再根据计算求解即可； （2），据此代值计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：， ∴ ． 21. 为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上． （1）求B处到灯塔P的距离； （2）已知灯塔P的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？ 【答案】（1）B处到灯塔P的距离为60海里；（2）海监船继续向正东方向航行是安全的 【解析】 【分析】（1）作PD⊥AB于D．求出∠PAB、∠PBA、∠P的度数，证得△ABP为等腰三角形，即可解决问题； （2）在Rt△PBD中，解直角三角形求出PD的值即可判定． 【详解】（1）过点P作PD⊥AB于点D， 由题意得，AB=60（海里），∠PAB=30°，∠PBD=60°， ∴∠APB=∠PBD-∠PAB=60°-30°=30°=∠PAB， ∴PB=AB=60（海里）， 答：B处到灯塔P的距离为60海里； （2）由（1）可知∠APB=∠PAB=30°， ∴PB=AB=60（海里） 在Rt△PBD中， PD=BPsin60°60（海里）， ∵， ∴海监船继续向正东方向航行是安全的． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 22. 观察下列各式及其变形过程： ， ， ， …… （1）按照此规律，写出第五个等式________； （2）按照此规律，若，试用含的代数式表示； （3）在（2）的条件下，若，试求代数式的值． 【答案】（1）；（2）1；（3）5 【解析】 【分析】（1）利用题中等式的规律，即可求解； （2）根据二次根式的结构特点，消去多余二次根式，即可求解； （3）利用二次根式的运算法则，先化简x的值，再代入求值，即可求解． 【详解】解：（1）由式子的变化规律得：， 故答案是：； （2） =+++…+ =1 =1； （3）∵==， ∴===5． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则，是解题的关键． 23. 如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，∠ADB的平分线交AB于点F，交CB的延长线于点E，连接AE. (1)求证：四边形AEBD是菱形； (2)若DC＝，EF：BF＝3，求菱形AEBD的面积． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CE， ∴∠DAF=∠EBF， ∵∠AFD=∠EFB，AF=FB， ∴△AFD≌△BFE， ∴AD=EB，∵AD∥EB， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∵BD=AD， ∴四边形AEBD是菱形． （2）15. 【解析】 【分析】（1）由△AFD≌△BFE，推出AD=BE，可知四边形AEBD是平行四边形，再根据DB＝DA可得结论； （2）先求出BF的长，再求出EF的长即可解决问题. 【详解】（1）略 （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB=， ∵四边形AEBD是菱形， ∴AB⊥DE，AF=FB=， ∵EF：BF＝3 ∴EF= ∴DE=2EF= ∴S菱形AEBD=•AB•DE=××3=15． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 24. 已知，如图1，正方形和正方形，点G在上．，， （1）求线段的长； （2）如图2，连接，若点O是的中点，连接，请求出的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，设与交于点，先证明，根据全等三角形的性质可得，，由直角三角形的两个锐角互余可得，由对顶角相等可得，于是可得，由三角形的内角和定理可得，由正方形的性质可得，，，，由勾股定理可得，，设，则，，在中，根据勾股定理可得，即，解方程即可求得的长； （2）连接，由正方形的性质可知，点是的中点，由（1）可得，是直角三角形，则由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，据此即可求出的值． 【小问1详解】 解：如图，连接，设与交于点， 四边形和都是正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ，， ，， ， ， 正方形中，正方形中， ，，，， ， ， 设，则， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：，（不符合题意，故舍去）， ； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，连接， 四边形是正方形，点是的中点， 点是的中点， 由（1）可得：，是直角三角形， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，三角形的内角和定理，勾股定理，因式分解法解一元二次方程，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等知识点，添加适当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 25. 定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）如图①，垂美四边形两组对边与之间的数量关系是 ． （2）如图②，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由． （3）如图③，在中，点F为斜边的中点，分别以为底边，在外部作等腰三角形和等腰三角形，连接，分别交于点M，N．试猜想四边形的形状，并说明理由． （4）如图④，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，求的长． 【答案】（1） ，理由如下： 如图，连接，交点为点E， ∵四边形是垂美四边形， ， ， 由勾股定理得： ， ， ， 故答案为：； （2） 四边形是垂美四边形，理由如下： 连接， ∵， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴ ∴四边形是垂美四边形； （3） 四边形是矩形，理由如下： 如图，连接， ∵在中，点F为斜边的中点， ， ∵和是等腰三角形， ， 同理（2）得： ， ∵， ， ∴四边形是矩形； （4） 【解析】 【分析】（1）根据垂直的定义和勾股定理解答即可； （2）根据垂直平分线的判定定理证明即可； （3）根据在中，点F为斜边的中点，可得，再根据和是等腰三角形，可得，同理（2）可得，，从而判定四边形是矩形； （4）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：连接， 正方形和正方形中，， ，即， 在和中， ， ， ∵，， ，即， ∴四边形是垂美四边形， 同理（2）得， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了垂美四边形的问题，掌握垂直平分线的判定定理、垂直的定义、勾股定理、垂美四边形的性质、全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $