2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册综合检测

**基本信息** 以立体几何、向量、解三角形、概率统计为核心模块，通过多样化题型整合知识，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |立体几何|6题（圆柱体积、正三棱柱外接球等）|空间想象与几何运算结合，涉及体积、表面积、外接球|从几何体结构到空间关系推导，结合球的性质综合应用| |平面向量|3题（向量夹角、数量积等）|数量关系与几何意义并重，考查模长与夹角计算|从向量概念到数量积公式推导，应用于几何问题| |解三角形|3题（测量塔高、内角平分线等）|实际应用与定理结合，涉及正弦定理、余弦定理|从三角形边角关系到实际测量问题，体现数学应用| |概率统计|4题（频率分布直方图、比赛概率等）|数据处理与随机思维，涵盖抽样、概率计算|从数据特征分析到概率模型构建，培养数据观念|

人教A版必修第二册综合检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 2. 已知圆柱的上，下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则该圆柱的体积为（　　） A. B. C. D. 3. 在平行四边形中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法错误的是（ ） A. 一组数据的众数和中位数相同 B. 对A，B，C三种个体按的比例分层随机抽样调查，如果抽取A的个体数为9，则样本容量为18 C. 一组数据为，则这组数据的分位数为10 D. 若样本数据，，，的标准差和平均数均为8，则数据，，…，的标准差为16，平均数为15 5. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 1 6. 从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得，米，在点，处测得塔顶的仰角分别为，，则塔高（ ） A. 15米 B. 米 C. 30米 D. 米 8. 一个底面边长和侧棱长均为4的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水，当底面水平放置时，水面高为.当侧面水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在一次科普知识竞赛中共有200名同学参赛，经过评判，这200名参赛者的得分都在之内，其得分的频率分布直方图如图所示，则（ ） A. B. 这200名参赛者得分的中位数为64 C. 得分在内的频率为 D. 得分在内的共有80人 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，，，则有两解 D. 若的面积为S，且，则 11. 如图，棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为正方形，内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ） A. 动点F轨迹的长度为 B. 直线与不可能垂直 C. 当三棱锥的体积最小时，直线与所成角的余弦值为 D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记的内角的对边分别为a，b，c，，，，则边上的高为______． 13. 甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，如果出现平的情况，先多得2分者为胜方．在平后，双方实行轮换发球，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方平后，甲先发球，则甲以赢下此局的概率为_________． 14. 在三棱锥中，是边长为的等边三角形，侧面底面，.若三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的表面积为__________，三棱锥体积的最大值为__________. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，且与的夹角为. （1）求； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16. 如图，在正三棱柱中，，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 17. 在中，分别为内角所对的边，满足：. （1）求角； （2）若，求内角平分线的长． 18. 每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． （1）在第一轮比赛中，求甲，乙至少有一人胜出的概率； （2）若甲，乙两轮都失败的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． ①求的值； ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 19. 唐代诗人温庭筠的《新添声杨柳枝词二首》中写道“玲珑骰子安红豆，入骨相思知不知”，表达了诗人的相思之情．为迎接七夕，某超市购进了一批“玲珑骰子”（如图所示）：棱长为1的水晶正八面体（八个面都是全等的正三角形），中间的球体部分是被挖空的（表面不被破坏），并嵌入了红豆． （1）当给红豆留出最大空间时，求骰子中间被挖空的球体的表面积． （2）超市推出一项活动，在“玲珑骰子”的所有顶点中每次随机抽取三个不同的顶点，能构成等边三角形即可获得“花好”卡片，能构成直角三角形即可获得“月圆”卡片．甲乙两人每人抽取一次（抽取结果互不影响），求两人所获得的卡片能凑成“花好月圆”的概率． （3）若点P为（1）中球面上的任一点，设，，二面角的平面角为，求证：为定值． ( 第 1 页 共 6 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版必修第二册综合检测 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A D A C B D C A ACD AD ACD 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 【解析】A 因为， 所以. 2. 已知圆柱的上，下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则该圆柱的体积为（　　） A. B. C. D. 【解析】D 设圆柱的底面半径为，母线长为，由题意得：， 因为过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形， 所以，即，所以， 所以该圆柱的体积为， 3. 在平行四边形中，，则（ ） A. B. C. D. 【解析】A . 4. 下列说法错误的是（ ） A. 一组数据的众数和中位数相同 B. 对A，B，C三种个体按的比例分层随机抽样调查，如果抽取A的个体数为9，则样本容量为18 C. 一组数据为，则这组数据的分位数为10 D. 若样本数据，，，的标准差和平均数均为8，则数据，，…，的标准差为16，平均数为15 【解析】C 对于A，将这组数据按从小到大的顺序排列为，所以众数为出现次数最多的3，中位数为中间两个数的平均数，即，众数和中位数相同，故A说法正确； 对于B，由知A在样本中所占比例为，所以样本容量为，故B说法正确； 对于C，将这组数据按从小到大的顺序排列为，共8个数，因为，所以这组数据的分位数为第6，第7个数据的平均数，即，亦即这组数据的分位数为11，故C说法错误； 对于D，因为样本数据，，，的标准差和平均数均为8，则数据，，…，的标准差为，平均数为，故D说法正确. 5. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 1 【解析】B 因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 6. 从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为（ ） A. B. C. D. 【解析】D 从两名男生（记为和）、两名女生（记为1和2）中任意抽取两人， 记事件“抽到的两人是一男生一女生”， 在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为： 共16个样本点， 其中有8个样本点， 所以. 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为： 共12个样本点， 其中有8个样本点， 所以. 7. 如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得，米，在点，处测得塔顶的仰角分别为，，则塔高（ ） A. 15米 B. 米 C. 30米 D. 米 【解析】C 在中，因为，可得 在中，因为，可得 在中，因为 由余弦定理得 即，可得 解得或（舍去），即塔的高度为30米. 8. 一个底面边长和侧棱长均为4的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水，当底面水平放置时，水面高为.当侧面水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【解析】A ， 如图，， 而， ，，即， 由于到距离，则到距离， 设正方形外接圆圆心，则 设矩形外接圆圆心，则，设外接球半径 ，，故外接球表面积为. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在一次科普知识竞赛中共有200名同学参赛，经过评判，这200名参赛者的得分都在之内，其得分的频率分布直方图如图所示，则（ ） A. B. 这200名参赛者得分的中位数为64 C. 得分在内的频率为 D. 得分在内的共有80人 【解析】ACD 由题意有，解得，故A正确； 设中位数为，所以，解得，故B错误； 由题意得得分在内的频率为，故C正确； 由题意得得分在内的频率为， 则得分在内的共有人，故D正确. 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，，，则有两解 D. 若的面积为S，且，则 【解析】AD 对于A，由，可得，由正弦定理可得，所以A正确； 对于B，由正弦定理得，所以，所以C为锐角，但A，B可能为钝角，不能确定为锐角三角形，故B错误； 对于C，已知，，，根据正弦定理可知，解得，所以无解，C错误； 对于D，若的面积为S，因为，则，所以，则，由于，则，故D正确. 11. 如图，棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为正方形，内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ） A. 动点F轨迹的长度为 B. 直线与不可能垂直 C. 当三棱锥的体积最小时，直线与所成角的余弦值为 D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 【解析】ACD 对A，如图，令中点为,中点为,连接， 又正方体中，为棱的中点，可得,， 平面,平面,又， 且平面，平面平面, 又平面，且平面，平面， 又为正方形内一个动点（包括边界）， 平面平面，而平面平面， ，即的轨迹为线段. 由棱长为2的正方体得线段的长度为，故选项A正确； 对B，由可知三角形为等腰三角形， 当为线段中点时，由可得,又中点为,中点为, ，而，,故选项B不正确； 对C，由侧棱底面，所以三棱锥体积为， 所以最小时，体积最小，∵，可得在处时最小， 由知此时与所成角为，等腰三角形中，，故选项C正确； 对D，同理可得当在处时，三棱锥的体积最大， 由已知得此时，所以在底面的射影为底面外心，，，， 由勾股定理易知底面为直角三角形，所以在底面的射影为中点，设为， 如图，设外接球半径为，由，，可得外接球半径， 外接球的表面积为，故选项D正确． 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记的内角的对边分别为a，b，c，，，，则边上的高为______． 【解析】设边上的高为， 由余弦定理可得, 又，故， 13. 甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，如果出现平的情况，先多得2分者为胜方．在平后，双方实行轮换发球，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方平后，甲先发球，则甲以赢下此局的概率为_________． 【解析】在双方平后，甲先发球，则甲以赢下此局包括两种情况： (1)后四球胜方依次是甲、乙、甲、甲，则概率为， (2) 后四球胜方依次是乙、甲、甲、甲，则概率为， 由互斥事件的概率加法公式，所求事件的概率为. 14. 在三棱锥中，是边长为的等边三角形，侧面底面，.若三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的表面积为__________，三棱锥体积的最大值为__________. 【解析】如图①，设的外接圆的圆心分别为，半径为，三棱锥的外接球的球心为O，半径为，取AB的中点为E，连接，. 在中，由正弦定理，得，即，同理可得. 因为侧面底面，侧面底面，面，所以底面，所以. 由外接球的性质可得底面侧面，所以四边形为矩形. 在中，， 因为，所以，所以球的表面积为. 设三棱锥的高为h，过作于点H， 由面面垂直的性质可得，底面，即为三棱锥的高. 及其外接圆如图②所示，由图可知，当位于劣弧的中点时，最大，最大值为， 所以三棱锥体积的最大值为. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，且与的夹角为. （1）求； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【解析】（1）由向量，得，且， 由与的夹角为，得，解得，则 ， 于是，所以. （2）由（1）知向量， 则， 由与的夹角为锐角，得且与不共线， 由，解得且， 所以实数的取值范围为. 16. 如图，在正三棱柱中，，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 【解析】（1）连接交于，连接，易得为中点． 在正三棱柱中，因为、分别为、中点，所以 又因为平面，平面，所以平面 （2）取中点，连接． 在正三棱柱中，设，因为、分别为、中点， 可得，且，所以四边形是平行四边形 所以，或其补角即为异面直线与所成的角． 在中，， 满足， 则是直角三角形， 所以． 即异面直线与所成角的余弦值为． 17. 在中，分别为内角所对的边，满足：. （1）求角； （2）若，求内角平分线的长． 【解析】（1）由． 故，而，得． （2）由， 设的长为，由． 即的长为． 18. 每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． （1）在第一轮比赛中，求甲，乙至少有一人胜出的概率； （2）若甲，乙两轮都失败的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． ①求的值； ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 【解析】（1）根据题意可知在第一轮比赛中甲，乙两人都失败的概率， 所以在第一轮比赛中，甲，乙至少有一人胜出的概率. （2）①记事件为甲在第轮胜出，事件为乙在第轮胜出，， 由题意相互独立，且，，，， 若甲，乙两轮都失败的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为， 则 ， ， 整理得， 所以， 将代入得，解得或， 当时；当时，不满足， 综上，； ②甲没有两轮都胜出的概率， 乙没有两轮都胜出的概率， 所以甲、乙两人都没有两轮都胜出的概率， 所以至少有一人两轮都胜出的概率为. 19. 唐代诗人温庭筠的《新添声杨柳枝词二首》中写道“玲珑骰子安红豆，入骨相思知不知”，表达了诗人的相思之情．为迎接七夕，某超市购进了一批“玲珑骰子”（如图所示）：棱长为1的水晶正八面体（八个面都是全等的正三角形），中间的球体部分是被挖空的（表面不被破坏），并嵌入了红豆． （1）当给红豆留出最大空间时，求骰子中间被挖空的球体的表面积． （2）超市推出一项活动，在“玲珑骰子”的所有顶点中每次随机抽取三个不同的顶点，能构成等边三角形即可获得“花好”卡片，能构成直角三角形即可获得“月圆”卡片．甲乙两人每人抽取一次（抽取结果互不影响），求两人所获得的卡片能凑成“花好月圆”的概率． （3）若点P为（1）中球面上的任一点，设，，二面角的平面角为，求证：为定值． 【解析】（1）设被挖空的球体的半径为r．球心为O，根据题意， 当球体为正八面体的内切球时，留给红豆的空间最大， 此时设四棱锥的高为h，则． 所以， 正八面体每个面的面积是． 由得：．解得．所以． （2）在“玲珑骰子”的所有顶点中每次随机抽取三个不同的顶点， 该试验的样本空间 共20个样本点，所以． 每种选择是等可能的，因此这个实验是古典概型． 设事件甲获得“花好”卡片，事件乙获得“花好”卡片 ， 所以，从而． 设事件甲获得“月圆”卡片，事件乙获得“月圆”卡片， 任取三个顶点构成三角形，除等边三角形外，其余全部为直角三角形， 所以，从而． 记两人所获得卡片能凑成“花好月圆”为事件M， ，且与互斥，根据概率加法公式和事件的独立性定义， 得 因此甲乙两人所获得的卡片能凑成“花好月圆”的概率为． （3）证明：过点P做交AB（或其延长线）于点M， 过点P做交AD（或其延长线）于点N． 则，， 为二面角的平面角． 在中，；① 在中，．② 由①②得， 从而， 所以，即． 所以定值． 学科网（北京）股份有限公司 $