2026年中考数学复习讲义专题2.5二次函数的实际应用（题型归纳+核心考点+常考题型）.

专题2.5二次函数的实际应用中考复习讲义 考点、考情分析 一、核心考点： 1.考查二次函数实际建模应用，涵盖销售利润、图形面积、抛物线轨迹、动态几何四大模型； 2.重点考查函数列式、自变量取值范围判定、区间最值求解，核心考查数形结合、数学建模思想。 二、考情分析： 1.本考点为中考必考中档解答题，稳定占6-10分，命题套路固定、备考性价比极高，试题多结合生活实际与几何场景命题，，整体难度不高； 2.中考区分度集中在自变量取值范围判定、区间最值取舍、答题规范细节，是学生必须稳拿满分的核心保底题型 题型归纳 题型1图形问题 题型2图形运动问题 题型3拱桥问题 题型4销售问题 题型5投球问题 题型6喷水问题 题型7增长率问题 题型8其他问题 考点梳理 考点1.用二次函数解决实际问题的一般步骤： （1）审：仔细审题，理清题意； （2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； （3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； （4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题； （5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论． 【提示】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 考点2.利用二次函数解决实际问题的常见类型 常见的问题：求最大（小）值，如求最大利润、最大面积、最小周长等，涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等，对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角坐标系是解决此类问题的关键，然后用待定系数法求出函数表达式，利用函数性质解决问题． 考点3、解题技巧 1.解决销售利润问题，首先要掌握以下3个核心等量关系，这是建模的基础∶ （1）单件利润=单件售价-单件进价（成本） （2）总利润=单件利润销售量 （3）售价与销量的变化关系∶若售价每上涨/下降元，销售量就减少/增加m件， 调整后售价=原售价 ±（上涨用“+”，下降用“-”） 调整后销量 =原销量± m（上涨对应“-”，下降对应“+”） 核心考点解析 题型1图形问题 1．如图，在等边三角形的三边上，分别取点D、E、F，使．若，，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等边三角形的性质和已知条件，证明，利用“割补法”，用大三角形的面积减去三个全等小三角形的面积，得到的面积关于的函数解析式．根据二次函数的解析式，分析其开口方向、对称轴及顶点坐标，从而确定函数图象． 【详解】是等边三角形， ，， ， ，，， ． 在、和中， ， ， ． 过作于点， 在中，，， ， ， ， ， 二次项系数， 函数图象开口向上， 对称轴为直线， 当时，取得最小值， ． 当或时，． 综上所述，函数图象为开口向上的抛物线，且经过和，观察选项，只有B选项符合． 2．如图，小明的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙的长度为）的矩形鸭舍，并在垂直于墙的某一边中间留一个宽为的门（由其他材料制成）．已知矩形的宽为x米，当矩形面积S最大时，则矩形的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设矩形场地垂直于墙一边长为，可以得出平行于墙的一边的长为．根据矩形的面积公式构建S关于x的二次函数，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设矩形场地垂直于墙一边长为， 根据题意，得 ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，S最大， 此时． 3．已知，在抛物线上从左往右有两个点A，B；当点在与之间运动时，过点A，B分别作轴，轴的平行线，平行线相交于点M，N形成矩形，矩形（包括边界）刚好覆盖12个整数点，求点横坐标的范围_____． 【答案】或或 【分析】矩形中的整数点个数问题可以分解为横、纵坐标中的整数个数问题，通过设参数，分类讨论求整数的个数，判断是否满足题意即可． 【详解】解：设，， 由矩形（包括边界）刚好覆盖12个整数点可知，矩形的横向边界的点的横坐标为整数的个数，与纵向边界的点的纵坐标为整数的个数，满足相乘等于12， ∵， 设横向边界的整数个数为n， 分两种情况， 第一种，点A的横坐标为整数， ①若，则，， 显然，当时，，此时矩形内的整数点个数一定小于12， ∴， ∴，即矩形的纵向边界的长度大于横向边界的长度， ∴， 检验：若横向边界的整数为3，则，此时，存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为4，满足题意； ②若，则，， 显然，当时，，此时矩形内的整数点个数一定小于12， ∴， ∴，即矩形的纵向边界的长度大于横向边界的长度， ∴， 检验：若横向边界的整数为3，则，此时，存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为4，满足题意； ③若，则，， 显然，当时，，此时矩形内的整数点个数一定大于12， ∴， ∴或， 检验：若横向边界的整数为1，则，此时，不存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为12； 若横向边界的整数为2，则，此时，存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为6，满足题意； 第二种，点A的横坐标不为整数， ①若，则， 由第一种情况可知，，此时，， 则，存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为4，满足题意； ②若，则， 由第一种情况可知，， ∴或， 检验：若横向边界的整数为1，则，此时，不存在纵向边界的点的纵坐标为整数的个数为12； 若横向边界的整数为2，则，此时，此时纵向边界的长度小于6，只有当点A的纵坐标为整数，即，时才能使得纵向边界上纵坐标为整数的点的个数为6，满足； 综上，横坐标a的范围为或或． 4．为落实《中共中央  国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校成立了劳技兴趣小组，某次活动如下：用两块全等、周长均为的矩形材料拼成如图所示的物件，其中矩形和矩形的对角线交点重合，，依次取，，，的中点，然后沿图中虚线剪去八个全等的小直角三角形，得到一个星状图形． (1)当两个矩形重叠部分的四边形面积为时，求星状图形的面积； (2)求星状图形周长的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得：四边形为正方形，，接着求得的长度，接着利用求得答案； （2）设的中点为，，那么，通过勾股定理表示出，利用二次函数的性质，求得的最小值，从而求得答案． 【详解】（1）解：由题意得：四边形为正方形， 设图形的面积用表示，依题意，， ∵矩形和矩形，周长均为， ∴， ∴， ∵图中剪去八个全等的小直角三角形， ∴． （2）解：设的中点为，， ∵矩形和矩形，周长均为， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， ∵图中剪去八个全等的小直角三角形， ∴星状图形的周长最小值． 题型2图形运动问题 1．如图1，在菱形中，，连接，点从点出发，沿方向以的速度运动至点，同时点从点出发，沿方向以的速度运动至点．设运动的时间为的面积为．已知与之间的函数图象如图2所示，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据点M和点N的运动速度和路径，分情况讨论的面积表达式，再结合函数图象即可求解a的值． 【详解】解：四边形是菱形，， ，． 如图1，当点N在上运动时，则，． 过点M作于点E． 在中，， ． ． 当点N在点C时，，即．解得（负值已舍）． ． 如图2，当点N在上运动时，，． 过点N作于点H． 在中，， ． ． 当时，． 解得，（不符合题意，舍去）． ． 2．如图，等腰三角形ABC的直角边长为a，正方形MNPQ的边为b（），C、M、A、N在同一条直线上，开始时点A与点M重合，让向右移动，最后点C与点N重合．设三角形与正方形的重合面积为y，点A移动的距离为x，则y关于x的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，需要根据三角形移动的不同阶段，分段求出重叠面积y与移动距离x的函数关系式，再根据函数类型判断图象形状． 【详解】解：分三种情况讨论： ①当时，逐渐进入正方形，重叠部分为等腰直角三角形，直角边长为��，   ∴，该函数图象为开口向上的抛物线的一部分； ②当时， ∵， ∴完全在正方形的内部，   ∴，该函数图象为平行于��轴的线段； ③当时，逐渐移出正方形，重叠部分面积为面积减去右侧移出的小等腰直角三角形面积， 移出部分直角边长为，   ∴，该函数图象为开口向下的抛物线的一部分； 综上所述，图象先是开口向上的抛物线，中间是水平线段，最后是开口向下的抛物线． 故选：C． 3．如图，在中，，，，点D是的中点，点P、Q分别是、上的动点，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】作于点，设，根据含30度角的直角三角形的性质，求出，，进而求出点与点重合时，的长，当点在点左侧，得到，勾股定理得到，利用二次函数求最值，当点在点右侧得到的长比重合时要大，且，得到，即可得出结果． 【详解】解：作于点，设， ∵，，， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵，， ∴，， 当点与点重合时，则：， 解得， ∴， 当点在点的左侧时，如图， 则：， ∴ ， ∴抛物线的开口向上，当时， 有最小值为， ∴的最小值为； 当点在点的右侧时，如图， 此时的长比重合时要大，且， ∴， ∵， ∴的最小值为． 4．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴正半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B的坐标为．点D在边上，且．点M在线段上（不与点A，O重合），将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，． (1)求点N的纵坐标； (2)求四边形面积的最大值． 【答案】(1)点N的纵坐标为 (2) 【分析】本题考查了图形与坐标，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数与图形运动综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合矩形的性质以及旋转的性质，得出，得出，故点N的纵坐标为； （2）与（1）同理得，点N的纵坐标为，得出，则四边形面积，代入数值计算，得出四边形面积，结合二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：过点N作于T，如图所示： ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将线段绕点D逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点N的纵坐标为； （2）解：设点，其中， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 与（1）同理得，点N的纵坐标为； ∴，， ∴， 四边形面积 ， ∵， ∴当时，四边形面积有最大值，且为． 题型3拱桥问题 1．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降2米后，水面的宽度为（    ）米 A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】建立适当坐标系，设出函数解析式，把代入解析式求出a，然后把代入解析式即可． 【详解】解：以水面所在直线为x轴，以过拱顶垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图， 根据题意设二次函数解析式为：， 把代入，得， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴水面的宽度为（米）． 2．如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线 （单位：米），施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，已知，则脚手架高为（    ）    A．7米 B．6米 C．5米 D．4米 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用问题，设出点的坐标并代入解析式是解题的关键．设，然后用表示点的坐标，将点坐标代入抛物线解析式求出，从而可得到的值． 【详解】解：，矩形脚手架在大棚正中， 设，，则， 点坐标为， 将代入， 得， 解得或（舍）， ， 故选：B． 3．某婚庆公司设置的拱门内，外边界线（分别记为，）都呈抛物线形，且形状相同，建立如图所示平面直角坐标系．若米，米，则的最大高度为________米． 【答案】 【分析】根据题意利用待定系数法求出的解析式，再根据形状相同， 得出抛物线的二次项系数为，进一步即可求解． 【详解】解：∵， ∴设的解析式为：， 且当时，， 则， 解得：， 故的解析式为：， ∵形状相同， ∴抛物线的二次项系数为：， ∵， ∴，， 则的解析式为：， 故当时，，即的最大高度为． 4．综合与实践 问题情境：“两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的《秋登宣城谢朓北楼》，生动描绘了小桥倒映水中的美景．春节期间，某公园的工作人员计划对园中一处小桥进行装饰，营造出别样的节日美景． 测量数据：已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点，的距离为6米，桥拱最高点到水面的距离为米． 数学建模：如图，以水面为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； 问题解决： (2)如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为5米． ①若在桥拱最高点处有一个星形灯饰（大小忽略不计），求灯饰与其水中倒影之间的距离； ②工作人员计划在桥拱悬挂3盏红灯笼，其中1盏甲型灯笼自身高度为米，另外2盏乙型灯笼自身高度均为米，若要求灯笼底部距离水面的距离均为米，请直接写出3盏灯笼分别与桥拱最高点的水平距离． 【答案】(1) (2)①灯饰与其水中倒影之间的距离为米； ②甲型灯笼与桥拱最高点的水平距离为0米，乙型灯笼与桥拱最高点的水平距离均为米． 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由题意得出点的坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）①由抛物线的对称性得，然后把其代入解析式求解点的纵坐标，即可求出灯饰与其水中倒影之间的距离； ②先求出甲型灯笼到的距离，再由点与之间的距离即可得到甲型灯笼的悬挂点即为点；接着求出2盏乙型灯笼到的距离，再求出它们到的距离，代入解析式即可求解乙型灯笼与桥拱最高点的水平距离． 【详解】（1）解：轴垂直平分，， ，， 由题意得， 设该抛物线的函数表达式为，将，，代入， 得，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：①由抛物线的对称性得， 当时，， ∴灯饰与其水中倒影之间的距离为（米）； ②解：由题意可得，甲型灯笼的悬挂点到的距离为（米）， 由①得，点与之间的距离为（米）， 甲型灯笼的悬挂点即为点， 甲型灯笼与桥拱最高点的水平距离为0米； 由题意可得，乙型灯笼的悬挂点到的距离为（米）， 由①得，与之间的距离为米， 该悬挂点到的距离为（米）， 令，解得或， 乙型灯笼与桥拱最高点的水平距离均为米． 综上，甲型灯笼与桥拱最高点的水平距离为0米，乙型灯笼与桥拱最高点的水平距离均为米． 题型4销售问题 1．某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售该文具时，销售单价不低于进价且不高于21元．经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间满足，则销售该文具每天获得的最大利润是（    ） A．200元 B．180元 C．170元 D．160元 【答案】A 【分析】解题思路是根据总利润单件利润销售量列出利润关于销售单价的函数解析式，再结合二次函数的性质和x的取值范围求最大值． 【详解】解：设销售该文具每天获得的利润为元， 根据题意可得， ， ∵，二次函数图象开口向下， ∴当时，取得最大值， 又∵，在的取值范围内， ∴当时，的最大值为元． 2．已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论： ①当售价为57元时，每星期可卖360件； ②每星期的利润为5850元时，可以将该商品的零售价定为55元或59元； ③每星期的最大利润为6125元． 其中，正确结论的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】设降价元，可得每件利润为元，销售量为件，依次验证三个结论，利用一元二次方程和二次函数的性质即可判断． 【详解】解：设商品降价元，则售价为元．，每件利润为元，每星期销售量为件． ①：∵售价为57元， ∴，得， ∴销售量（件），故①正确； ②：当利润为5850元时，根据题意，得， 整理得， 若零售价为55元，即，则，代入方程左边得， 若零售价为59元，即，则，代入方程左边得，故②错误； ③：设每星期利润为y元，则， 整理得， 配方得， ∵， ∴当，y取得最大值6125，故③正确； 综上所述，正确结论共2个． 3．某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出30个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出2个，设每个商品降价（元），每天获得利润（元），当时，与的函数关系式为________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，根据利润等于单个商品的利润乘以销售量列出函数关系式即可． 【详解】解：设每个商品降价元，则每个商品的利润为元，每天销量为个， ∴， ∴与的函数关系式为， 故答案为：． 4．随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机快递配送，用于紧急配送业务．无人机从物流基地出发，匀速飞往某菜鸟驿站，飞行距离为16千米．若采用传统车辆配送，公路距离为30千米，车辆的平均速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多0．1小时． (1)求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； (2)若无人机从物流基地出发前往该菜鸟驿站，0.2小时后接到通知，需要在接到通知10分钟以内（含10分钟）送达，则无人机的速度至少要提高到多少千米/时，才能完成此次配送任务． (3)无人机快递配送业务的服务费是每单10元，每月可配送300单．经过一段时间的试运营，发现每单服务费每降低1元，每月可增加50单．当每单服务费为多少元时，该菜鸟驿站每月无人机配送服务费总额最大？ 【答案】(1)无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时 (2)48千米/时 (3)8元 【分析】（1）设无人机的速度为x千米/时，则传统车辆的速度为千米/时，根据传统车辆匀速配送所用时间要比无人机配送多0.1小时，列分式方程即可求解； （2）根据剩余路程提高后的速度剩余可用时间列不等式． （3）构建每单服务费订单量的二次函数，根据二次函数性质，求最大值． 【详解】（1）解：设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时， 可得， 解得， 经检验，是原分式方程的根，符合题意， ， 答：无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时． （2）设无人机的速度提高到千米/时，根据题意得 ， 解得， 答：无人机的速度至少提高到48千米/时． （3）设每单服务费降低y元，每月服务费总额为W元，则： ． 当时，W取最大值3200元，此时，每单服务费为元． 题型5投球问题 1．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是；③当时，；④当时，．其中正确的有（    ） A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】由图象得，抛物线顶点坐标为，即可判断①②，然后利用待定系数法求出函数解析式，然后分别将和代入即可判断③④． 【详解】解：①由图象得，抛物线顶点坐标为 ∴小球抛出3秒时达到最高点，故①正确； ②小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故，故②正确； ③设函数解析式为：， 把代入得，解得， 函数解析式为， 当时，，故③错误； ④当时，， 解得：，故④错误． 综上所述，其中正确的有①②． 2．如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系式为，则该男生此次实心球训练的成绩为（    ） A．5米 B．7米 C．8米 D．9米 【答案】C 【分析】此次实心球训练的成绩就是抛物线与轴交点的横坐标，即当时，求的值即可． 【详解】解：当实心球落地时，， 即， 解得，， 因为水平距离不能为负数， 所以舍去， 则此次实心球训练的成绩为米． 3．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为__________． 【答案】8 【分析】根据题意得到，当时，，解一元二次方程即可． 【详解】解：铅球抛出时离地面的高度为， ， ， 当时，， 解得或（舍去）， 铅球掷出的水平距离为． 4．综合与实践 【问题背景】水火箭是一种利用水和压缩空气作为动力的简易火箭模型，其工作原理主要基于牛顿第三定律，即作用力与反作用力定律，它的制作简易，通常由塑料汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．如图1是某学校兴趣小组制作出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，并确定了函数表达式为．同时也收集了飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，发现其近似满足二次函数关系，数据如下表所示： 飞行时间 0 2 4 6 8 10 … 飞行高度 0 10 16 18 16 10 … (1)【建立模型】 任务1：求关于的函数表达式． 任务2：探究飞行距离，当水火箭落地时，求水火箭飞行的水平距离； (2)【反思优化】如图2是兴趣小组同学在操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当发射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为由抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，． 任务3：当水火箭落到内（包括端点、），直接写出发射台高度的取值范围． 【答案】(1)任务1：， 任务2：当水火箭落地时，求水火箭飞行的水平距离为米 (2) 【分析】（1）任务1：由表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为，抛物线经过原点，设抛物线的解析式是，用待定系数法求出函数表达式； 任务2：解方程求出的值，再根据求出水火箭飞行的水平距离； （2）任务3：由可知，设发射台的高度为米，则抛物线的解析式为，求出点、的坐标，分别求出当抛物线经过点、时的值，即可得到的取值范围． 【详解】（1）任务1：解：由表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为，抛物线经过原点， 设抛物线的解析式是， 可得：， 解得：， ； 任务2：当时， 可得：， 解得：，， ， ， 当水火箭落地时，求水火箭飞行的水平距离为米； （2）解：，， ， ， 整理可得：， 设发射台的高度为米， 则抛物线的解析式为， 当抛物线经过点时，则米， 点的坐标为， 可得：， 解得：； 当抛物线经过点时，则， 点的坐标为， 可得：， 解得：， ． 题型6喷水问题 1．要修建一个圆形喷水池，需要先在池中心竖直安装一根水管，并在水管顶端处安一个喷水头，喷出抛物线形水柱．若喷出水柱的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，有下列结论： 水柱落地处距池中心的距离为； 水管的长度为； 水柱到达最高点时的高度为． 其中，正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数顶点式的性质，分别计算三个结论判断正误，落地对应，长度对应时的值，最高点高度是抛物线顶点的纵坐标． 【详解】解：∵水柱落地时高度，代入得， 解得 ，（距离为正，舍去负根） ∴水柱落地处距点距离为， ∴正确； ∵是池中心，长度对应 ， 代入得， ∴长度为， ∴正确； ∵，抛物线开口向下，顶点为， ∴水柱最高点高度为， ∴③正确． 2．如图为喷泉某一截面的水流可看作关于y轴对称的两条抛物线，右侧水流的竖直高度与距水管的水平距离之间满足，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用，轴对称的性质，令，求出对应的x的值，则可求出的长度，然后根据轴对称的性质求解即可． 【详解】解：当时，， 解得，， ∴， ∵喷泉某一截面的水流可看作关于y轴对称的两条抛物线， ∴， ∴， 即的长为， 故选：A． 3．小林家的洗手台面上有一瓶洗手液（如图1），当手按住顶部下压时（如图2），洗手液瞬间从喷口流出，已知瓶身横截面为轴对称图形，为其对称轴，下部分的视图是矩形，点到台面的距离为，点距台面的距离为，且B，D，H三点共线．如果从喷口流出的洗手液路线呈抛物线形，且该路线所在的抛物线经过C、E两点． （1）则的长为_______； （2）接洗手液时，当手心距的水平距离为时，手心距水平台面的高度为_______． 【答案】 11 【分析】根据题意得出各点坐标，利用勾股定理求得的值，利用待定系数法求抛物线解析式进而求得点坐标即可． 【详解】如图，以为原点，建立平面直角坐标系， 由题意可知，，，， ， 设抛物线解析式为, 因为抛物线经过C、E、B三点， 可得， 解得， 所以抛物线的解析式为， 由题意可得点的横坐标为， 把代入抛物线解析式，可得， ， 即手心距水平台面的高度为 4．游乐场的一种游乐项目（图1）在运行过程中游客可以用水枪向中间的动物模型喷水，某位游客在玩该项目时，某次用水枪喷水时水流的运动路径如图2中的抛物线形状，水流从水枪口点射出，在与水枪口点的水平距离为2m时达到最高点，点到水平地面的距离，已知水枪口点到水平地面的高度，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求水流所在抛物线的函数表达式； (2)若水池中央水台的部分截面可以看作是长为2m、宽为1m的矩形（即，），在台面的中点处有一座高为的海马模型（宽度忽略不计），请你通过计算判断水枪此次喷出的水流是否会击中该海马模型． 【答案】(1) (2)水枪此次喷出的水流会击中该海马模型． 【分析】（1）根据题意设抛物线关系式为，将代入求a，则水流所在抛物线的函数表达式可求； （2）由题意得到海马模型的最高点距离地面，把横坐标3代入解析式，求出对应函数值，与比较即可． 【详解】（1）解：由题意可得水流所在抛物线的顶点的坐标为，点的坐标为． 设水流所在抛物线的函数表达式为， 将代入上式，得，解得， ∴水流所在抛物线的函数表达式为（或）． （2）解：水枪此次喷出的水流会击中该海马模型． 理由：由题意，，则点D的坐标为， ∵C为的中点， ∴点的坐标为， ∵处有一座高为的海马模型 ∴海马模型的最高点距离地面． 当时，． ∵， ∴水枪此次喷出的水流会击中该海马模型． 题型7增长率问题 1．某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键； 根据连续两次降价，每次降价的百分率为，则两次降价后的价格等于原价乘以的平方． 【详解】解：∵每次降价的百分率都是， ∴第一次降价后价格为， 第二次降价后价格为， ∴， 故选：B． 2．下列说法错误的是（   ） A．一元二次方程的一次项系数是 B．若函数是关于x的二次函数，则m的值为 C．将数字图案“69”旋转，得到的数字图案是“69” D．某商场一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共y万元，若每月的增长率相同，设每月的增长率为x，则y与x之间的函数关系式为 【答案】D 【分析】该题考查了一元二次方程的一般式，二次函数的定义和应用，旋转，根据以上相关知识点解答即可． 【详解】解：A：一元二次方程的一次项系数为，正确； B：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得，即， 当时，系数，不符合要求， ∴，正确； C：数字“69”整体旋转后，得到“69”，正确； D：第一季度的营业额包括一月、二月和三月， 一月为200万元，二月为万元，三月为万元， 总和， 而非，错误． 故选：D． 3．某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共万元，如果平均每月增长率为，则营业额与月平均增长率之间的函数关系式为_____（直观关系式无需化简） 【答案】 【分析】此题考查了由实际问题抽象出二次函数关系式，掌握平均增长率是解决问题的关键；注意本题的等量关系为3个月的营业额之和． 可先表示出二月份、三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额二月份的营业额三月份的营业额，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：二月份的营业额为，三月份的营业额为， 则营业额与月平均增长率之间的函数关系式为：． 故答案为：． 4．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 题型8其他问题 1．已知整式，其中n为正整数，（，1，2…n，为整数），．若M中各项系数之和为A，M中各项次数之和为B，满足．下列说法： ①符合条件的n的最大值为3； ②若时，在满足条件的所有整式M中，则M的最小值为； ③若时，则满足条件的整式M共有7个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据多项式的系数和、次数和的概念，以及根据条件进行分类讨论求解即可． 【详解】解：已知整式各项系数之和， 各项次数之和， 对于①：∵，即， ∴， 其中A是整数，n为正整数，是12的正因数， ∴的可能取值为，对应n为， ∴符合条件的n的最大值为11，故①错误； 对于②：当时，则，系数和， 且，， 整式的最小值为， 枚举所有组合：；；， 当组合为时，最小值为， 当组合为时，最小值为， 当组合为时，最小值为， 最小值为，是所有组合中的最小值，故②正确； 对于③：当时，则，系数和， 且，， 枚举所有有效组合：，，， ，，，，共7个，故③正确 综上，②③正确，正确的个数是2个． 2．在物理学中，物体做自由落体运动时，下落的高度（单位：）与下落的时间（单位：）的关系可以用公式表示，其中重力加速度取．小明把一个物体从一标杆顶端做自由落体运动，并测得该物体在最后内下落的高度为，则这个标杆高为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用自由落体高度公式，设总下落时间为，根据“最后1秒下落高度总高度秒内下落高度”列方程求解总时间，再代入公式计算标杆总高度． 【详解】解：将代入，得． 设物体下落总时间为， ∵最后内下落高度为，总高度减去前下落高度等于最后下落高度， ∴列方程： 展开化简左边： 解得， 将代入，得： 3．在2025年第十五届全运会10米跳台比赛中，某运动员从起跳到入水的运动轨迹可以近似看作是抛物线的一部分．如图所示，跳台宽度为，水池边与跳台支柱之间的宽度为（见图中标注）．该运动员的起跳点A距离水面，运动过程中的最高点B距离水面，此时与点A的水平距离为．根据上述信息，可估计入水点C与池边的水平距离为________． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，确定点的坐标和抛物线对称轴，设出抛物线顶点式解析式，代入坐标求解出解析式，进而得到点的横坐标，即点与池边的水平距离． 【详解】如图，以水面所在的直线为轴，以跳台支柱所在的直线为轴建立平面直角坐标系，并绘制函数图象． 由题意，得，，对称轴为直线． 设抛物线的表达式为， 则， 解得， ， 当时， 解得：（舍去）或 ， ∴， 即点C距离池边 故答案为：． 4．跳绳是民间常见的一项体育运动，集体跳绳时，需要两人同步甩动绳子．当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作抛物线．下图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且相距．现在以两人的站立点所在的直线为轴，过小明拿绳子的手作轴的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线的解析式． (1)求绳子所对应的抛物线的解析式． (2)身高为的君君站在绳子的正下方，绳子能否过他的头顶？并说明理由． (3)身高为的小红和身高为的小美，同时站在绳子的下方，在保证绳子甩到最高处时能过她们的头顶的情况下，她们之间的最大距离是多少． 【答案】(1)； (2)绳子不能过他的头顶；理由见解析 (3) 【分析】（1）用待定系数法，把代入解析式，求绳子所对应的抛物线的解析式即可； （2）根据抛物线的解析式，求得抛物线的最大值，与比较，大于则过，否则不过． （3）当时，当时，求得对应的自变量的值，此时绳子刚刚过顶，求得最大距离即可． 【详解】（1）解：根据题意，抛物线经过点， ， 解得， ∴绳子所对应的抛物线的解析式为； （2）解：身高为的君君站在绳子的正下方，绳子不能过他的头顶． 理由如下：， ∵， ∴当时，， ∴绳子不能过他的头顶； （3）解：当时，， 解得或； 当时，， 解得或， 所以两人之间最远相距或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5二次函数的实际应用中考复习讲义 考点、考情分析 一、核心考点： 1.考查二次函数实际建模应用，涵盖销售利润、图形面积、抛物线轨迹、动态几何四大模型； 2.重点考查函数列式、自变量取值范围判定、区间最值求解，核心考查数形结合、数学建模思想。 二、考情分析： 1.本考点为中考必考中档解答题，稳定占6-10分，命题套路固定、备考性价比极高，试题多结合生活实际与几何场景命题，，整体难度不高； 2.中考区分度集中在自变量取值范围判定、区间最值取舍、答题规范细节，是学生必须稳拿满分的核心保底题型 题型归纳 题型1图形问题 题型2图形运动问题 题型3拱桥问题 题型4销售问题 题型5投球问题 题型6喷水问题 题型7增长率问题 题型8其他问题 考点梳理 考点1.用二次函数解决实际问题的一般步骤： （1）审：仔细审题，理清题意； （2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； （3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； （4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题； （5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论． 【提示】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 考点2.利用二次函数解决实际问题的常见类型 常见的问题：求最大（小）值，如求最大利润、最大面积、最小周长等，涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等，对此类问题要正确地建立模型，选择合理的位置建立平面直角坐标系是解决此类问题的关键，然后用待定系数法求出函数表达式，利用函数性质解决问题． 考点3、解题技巧 1.解决销售利润问题，首先要掌握以下3个核心等量关系，这是建模的基础∶ （1）单件利润=单件售价-单件进价（成本） （2）总利润=单件利润销售量 （3）售价与销量的变化关系∶若售价每上涨/下降元，销售量就减少/增加m件， 调整后售价=原售价 ±（上涨用“+”，下降用“-”） 调整后销量 =原销量± m（上涨对应“-”，下降对应“+”） 核心考点解析 题型1图形问题 1．如图，在等边三角形的三边上，分别取点D、E、F，使．若，，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．如图，小明的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙的长度为）的矩形鸭舍，并在垂直于墙的某一边中间留一个宽为的门（由其他材料制成）．已知矩形的宽为x米，当矩形面积S最大时，则矩形的长为（   ） A． B． C． D． 3．已知，在抛物线上从左往右有两个点A，B；当点在与之间运动时，过点A，B分别作轴，轴的平行线，平行线相交于点M，N形成矩形，矩形（包括边界）刚好覆盖12个整数点，求点横坐标的范围_____． 4．为落实《中共中央  国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校成立了劳技兴趣小组，某次活动如下：用两块全等、周长均为的矩形材料拼成如图所示的物件，其中矩形和矩形的对角线交点重合，，依次取，，，的中点，然后沿图中虚线剪去八个全等的小直角三角形，得到一个星状图形． (1)当两个矩形重叠部分的四边形面积为时，求星状图形的面积； (2)求星状图形周长的最小值． 题型2图形运动问题 1．如图1，在菱形中，，连接，点从点出发，沿方向以的速度运动至点，同时点从点出发，沿方向以的速度运动至点．设运动的时间为的面积为．已知与之间的函数图象如图2所示，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，等腰三角形ABC的直角边长为a，正方形MNPQ的边为b（），C、M、A、N在同一条直线上，开始时点A与点M重合，让向右移动，最后点C与点N重合．设三角形与正方形的重合面积为y，点A移动的距离为x，则y关于x的大致图象是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，点D是的中点，点P、Q分别是、上的动点，且，则的最小值为______． 4．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴正半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B的坐标为．点D在边上，且．点M在线段上（不与点A，O重合），将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，． (1)求点N的纵坐标； (2)求四边形面积的最大值． 题型3拱桥问题 1．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降2米后，水面的宽度为（    ）米 A． B． C．6 D． 2．如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线 （单位：米），施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，已知，则脚手架高为（    ）    A．7米 B．6米 C．5米 D．4米 3．某婚庆公司设置的拱门内，外边界线（分别记为，）都呈抛物线形，且形状相同，建立如图所示平面直角坐标系．若米，米，则的最大高度为________米． 4．综合与实践 问题情境：“两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的《秋登宣城谢朓北楼》，生动描绘了小桥倒映水中的美景．春节期间，某公园的工作人员计划对园中一处小桥进行装饰，营造出别样的节日美景． 测量数据：已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点，的距离为6米，桥拱最高点到水面的距离为米． 数学建模：如图，以水面为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； 问题解决： (2)如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为5米． ①若在桥拱最高点处有一个星形灯饰（大小忽略不计），求灯饰与其水中倒影之间的距离； ②工作人员计划在桥拱悬挂3盏红灯笼，其中1盏甲型灯笼自身高度为米，另外2盏乙型灯笼自身高度均为米，若要求灯笼底部距离水面的距离均为米，请直接写出3盏灯笼分别与桥拱最高点的水平距离． 题型4销售问题 1．某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售该文具时，销售单价不低于进价且不高于21元．经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间满足，则销售该文具每天获得的最大利润是（    ） A．200元 B．180元 C．170元 D．160元 2．已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论： ①当售价为57元时，每星期可卖360件； ②每星期的利润为5850元时，可以将该商品的零售价定为55元或59元； ③每星期的最大利润为6125元． 其中，正确结论的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出30个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出2个，设每个商品降价（元），每天获得利润（元），当时，与的函数关系式为________． 4．随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机快递配送，用于紧急配送业务．无人机从物流基地出发，匀速飞往某菜鸟驿站，飞行距离为16千米．若采用传统车辆配送，公路距离为30千米，车辆的平均速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多0．1小时． (1)求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； (2)若无人机从物流基地出发前往该菜鸟驿站，0.2小时后接到通知，需要在接到通知10分钟以内（含10分钟）送达，则无人机的速度至少要提高到多少千米/时，才能完成此次配送任务． (3)无人机快递配送业务的服务费是每单10元，每月可配送300单．经过一段时间的试运营，发现每单服务费每降低1元，每月可增加50单．当每单服务费为多少元时，该菜鸟驿站每月无人机配送服务费总额最大？ 题型5投球问题 1．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是；③当时，；④当时，．其中正确的有（    ） A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④ 2．如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系式为，则该男生此次实心球训练的成绩为（    ） A．5米 B．7米 C．8米 D．9米 3．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为__________． 4．综合与实践 【问题背景】水火箭是一种利用水和压缩空气作为动力的简易火箭模型，其工作原理主要基于牛顿第三定律，即作用力与反作用力定律，它的制作简易，通常由塑料汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．如图1是某学校兴趣小组制作出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，并确定了函数表达式为．同时也收集了飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，发现其近似满足二次函数关系，数据如下表所示： 飞行时间 0 2 4 6 8 10 … 飞行高度 0 10 16 18 16 10 … (1)【建立模型】 任务1：求关于的函数表达式． 任务2：探究飞行距离，当水火箭落地时，求水火箭飞行的水平距离； (2)【反思优化】如图2是兴趣小组同学在操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当发射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为由抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，． 任务3：当水火箭落到内（包括端点、），直接写出发射台高度的取值范围． 题型6喷水问题 1．要修建一个圆形喷水池，需要先在池中心竖直安装一根水管，并在水管顶端处安一个喷水头，喷出抛物线形水柱．若喷出水柱的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，有下列结论： 水柱落地处距池中心的距离为； 水管的长度为； 水柱到达最高点时的高度为． 其中，正确的结论是（   ） A． B． C． D． 2．如图为喷泉某一截面的水流可看作关于y轴对称的两条抛物线，右侧水流的竖直高度与距水管的水平距离之间满足，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．小林家的洗手台面上有一瓶洗手液（如图1），当手按住顶部下压时（如图2），洗手液瞬间从喷口流出，已知瓶身横截面为轴对称图形，为其对称轴，下部分的视图是矩形，点到台面的距离为，点距台面的距离为，且B，D，H三点共线．如果从喷口流出的洗手液路线呈抛物线形，且该路线所在的抛物线经过C、E两点． （1）则的长为_______； （2）接洗手液时，当手心距的水平距离为时，手心距水平台面的高度为_______． 4．游乐场的一种游乐项目（图1）在运行过程中游客可以用水枪向中间的动物模型喷水，某位游客在玩该项目时，某次用水枪喷水时水流的运动路径如图2中的抛物线形状，水流从水枪口点射出，在与水枪口点的水平距离为2m时达到最高点，点到水平地面的距离，已知水枪口点到水平地面的高度，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求水流所在抛物线的函数表达式； (2)若水池中央水台的部分截面可以看作是长为2m、宽为1m的矩形（即，），在台面的中点处有一座高为的海马模型（宽度忽略不计），请你通过计算判断水枪此次喷出的水流是否会击中该海马模型． 题型7增长率问题 1．某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 2．下列说法错误的是（   ） A．一元二次方程的一次项系数是 B．若函数是关于x的二次函数，则m的值为 C．将数字图案“69”旋转，得到的数字图案是“69” D．某商场一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共y万元，若每月的增长率相同，设每月的增长率为x，则y与x之间的函数关系式为 3．某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共万元，如果平均每月增长率为，则营业额与月平均增长率之间的函数关系式为_____（直观关系式无需化简） 4．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 题型8其他问题 1．已知整式，其中n为正整数，（，1，2…n，为整数），．若M中各项系数之和为A，M中各项次数之和为B，满足．下列说法： ①符合条件的n的最大值为3； ②若时，在满足条件的所有整式M中，则M的最小值为； ③若时，则满足条件的整式M共有7个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．在物理学中，物体做自由落体运动时，下落的高度（单位：）与下落的时间（单位：）的关系可以用公式表示，其中重力加速度取．小明把一个物体从一标杆顶端做自由落体运动，并测得该物体在最后内下落的高度为，则这个标杆高为（        ） A． B． C． D． 3．在2025年第十五届全运会10米跳台比赛中，某运动员从起跳到入水的运动轨迹可以近似看作是抛物线的一部分．如图所示，跳台宽度为，水池边与跳台支柱之间的宽度为（见图中标注）．该运动员的起跳点A距离水面，运动过程中的最高点B距离水面，此时与点A的水平距离为．根据上述信息，可估计入水点C与池边的水平距离为________． 4．跳绳是民间常见的一项体育运动，集体跳绳时，需要两人同步甩动绳子．当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作抛物线．下图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且相距．现在以两人的站立点所在的直线为轴，过小明拿绳子的手作轴的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线的解析式． (1)求绳子所对应的抛物线的解析式． (2)身高为的君君站在绳子的正下方，绳子能否过他的头顶？并说明理由． (3)身高为的小红和身高为的小美，同时站在绳子的下方，在保证绳子甩到最高处时能过她们的头顶的情况下，她们之间的最大距离是多少． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $