2026年中考数学复习讲义 专题2.1平面直角坐标系与函数基础知识（题型归纳+核心考点+常考题型）.

该初中数学中考复习讲义聚焦平面直角坐标系与函数基础，覆盖象限坐标特征、对称平移规律、函数定义及图象识别等核心考点，通过“考点梳理-题型归纳-真题解析”教学环节，帮助学生构建知识网络，突破坐标变换、自变量范围等易错点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于数形结合与实际情境的深度融合，如“动点问题的函数图象”题型结合几何动态情境，培养学生几何直观与模型意识。特设易错点提醒与分层例题训练，确保基础题零失分，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生应考能力。

专题2.1平面直角坐标系与函数基础知识中考复习讲义 考点、考情分析 一、核心考点 1. 平面直角坐标系：各象限坐标符号、坐标轴上点的特征；点关于坐标轴、原点的对称；点的平移规律；点到坐标轴距离、平行坐标轴两点间距离计算。 2. 函数基础：函数定义与判定；自变量取值范围（整式、分式、二次根式及复合型）；函数三种表示方法：解析法、列表法、图象法。 3. 函数图象：竖线法判定函数图象；实际情境函数图象识别；从图象中读取关键信息。 4. 综合应用：坐标系内几何图形边长、面积计算；几何动点图象问题；作为基础衔接一次函数、几何综合大题。 二、中考考情 1. 分值题型：总分占比 约6–12 分，以选择题、填空题为主，解答题多作为综合题前置小问。 2. 难度分布：以基础题为主，少量中档几何计算与动点问题，常作为函数压轴题的知识铺垫。 3. 命题特点：侧重数形结合思想，贴近生活实际情境，行程、变化量、几何动态；注重基础概念、坐标变换、自变量范围等易错点考查。 4. 备考定位：属于必会保底基础，是后续各类函数、几何综合题的入门前提，必须做到基础题零失分。 题型归纳 题型1有序实数对 题型2平面直角坐标系中点的坐标 题型3已知点所在的象限求参数 题型4坐标与图形问题 题型5坐标方法的简单应用 题型6函数相关的概念辨析 题型7求自变量的值或函数值 题型8从函数图像获取信息 题型9动点问题的函数图像 考点梳理 知识点一、函数 1.变量与常量 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量． 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量． 2.函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数． 3.函数值：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值． 4.函数的表示方法 解析法（公式法） 用数学式子（解析式）表示自变量与函数的对应关系。例：y=3x-2，y= 列表法 把自变量取值和对应的函数值，用表格一一列出。 优点：不用计算，直接查表得函数值。 图象法 在平面直角坐标系中，用曲线、直线、折线等图形表示函数关系。 优点：直观看出函数增减、最值、变化趋势。 考点 2   平面直角坐标系的相关概念 1.有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． 2.平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直，并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系． x轴、y轴：水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取向右方向为正方向； 竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取向上方向为正方向． 原点：两坐标轴交点为平面直角坐标系原点． 坐标平面：坐标系所在的平面叫做坐标平面． 象限：x轴和y轴把坐标平面分成四部分，每个部分称为象限．按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限． 3.点的坐标 点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A（a，b）叫做点A的坐标，记作A（a，b），如图． 考点 3   点的坐标的有关性质 1.点的坐标特征 点A（x，y）所处的位置 坐标特征 象限内的点 点A在第一象限 A（+，+） 点A在第二象限 A（-，+） 点A在第三象限 A（-，+） 点A在第四象限 A（+，-） 坐标轴上的点 点A在x轴上 在x轴正半轴上 A（+，0） 在x轴负半轴上 A（-，0） 点A在y轴上 在y轴正半轴上 A（0，+） 在y轴负半轴上 A（0，-） 点M在原点 A（0，0） 象限角平分线上的点 点A在第一、三象限角平分线上 A（x，y）且x＝y 点A在第二、四象限角平分线上 A（x，y）且x＝-y 两点连线与坐标轴平行 轴（或AB⊥y轴） A、B两点纵坐标相等且横坐标不相等 轴（或AB⊥x轴） A、B两点横坐标相等且纵坐标不相等 2.点的坐标变化 对于平面直角坐标系上任意一点P（x，y） 变换方式 具体变换过程 变换后的坐标 平移变换 （m＞0，n＞0） 向左平移m个单位 （x-m，y） 向右平移m个单位 （x+m，y） 向上平移n个单位 （x，y+n） 向下平移n个单位 （x，y-n） 口诀：点的平移左减右加，上加下减． 变换方式 具体变换过程 变换后的坐标 对称变换 关于x轴对称 （x，-y） 关于y轴对称 （-x，y） 关于原点对称 （-x，-y） 口诀：关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变． 旋转变换 绕原点顺时针旋转90° （y，-x） 绕原点逆时针旋转90° （-y，x） 绕原点顺/逆时针旋转180° （-x，-y） 3.点到坐标轴的距离 在平面直角坐标系中，已知点P，则 1）点P到轴的距离为； 2）点P到轴的距离为； 3）点P到原点O的距离为P＝． 4.坐标系内点与点之间的距离 坐标系中有两点A与点B，则A，B两点之间的距离： 若轴，则的距离为； 若轴，则的距离为； 易错点提醒： 计算点到坐标轴的距离时，忽略绝对值； 记混对称点的坐标规律； 平移时点的坐标变化方向错误； 混淆象限角平分线的坐标特征； 忽略坐标的符号，仅看数值大小； 平移时，将“上加下减”错误应用到横坐标。 核心考点解析 题型1有序实数对 1．根据下列表述，能确定位置的是（   ） A．南偏西 B．某图书馆3层 C．城市中心广场 D．东经，北纬 【答案】D 【分析】平面内确定一个位置需要两个独立的有序信息，据此对各选项判断即可． 【详解】解：A、南偏西，只有方向，没有距离，缺少信息，不能确定位置，故此选项不符合题意； B、某图书馆3层，只有楼层，没有具体房间编号，缺少信息，不能确定位置，故此选项不符合题意； C、城市中心广场，只有区域名称，没有具体位置信息，不能确定位置，故此选项不符合题意； D、东经，北纬，有两个确定位置的信息，可以确定具体位置，故此选项符合题意； 2．在数轴上，用有序数对表示点的平移，若得到的数为1，得到的数为3，则得到的数为（    ）． A．8 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由用有序数对表示点的平移，得到的数为1，得到的数为3，可得平移的方向：后一个数为正数表示向左平移，为负数表示向右平移，而平移的距离是后一个数的绝对值，从而可得答案. 【详解】解： 用有序数对表示点的平移，得到的数为1，得到的数为3， 数轴上的数向左边平移个单位得到的数为 数轴上的数向右边平移个单位得到的数为 可表示数轴上的数向左边平移个单位得到的数是 故选： 【点睛】本题考查的是有序实数对表示平移，正确的理解平移的方向与平移的距离是解题的关键. 3．我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作，则向西走5米，再向北走3米记作_________；有序数对表示___________． 【答案】 ； 向西走2米，再向南走6米 【分析】由规定向东和向北方向为正，可得向西，向南方向为负，同时可得向东与向西写在有序数对的第一个，从而可得答案. 【详解】解：由题意得：向西走5米，再向北走3米记作： 数对表示向西走2米，再向南走6米， 故答案为：；向西走2米，再向南走6米. 【点睛】本题考查的是利用有序数对表示行进路线，正确的理解题意是解题的关键. 4．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的各顶点都在格点上，已知点A和点C的坐标分别为和 (1)根据已知条件在图中建立平面直角坐标系； (2)画出关于y轴对称的； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了坐标与图形，根据轴对称画图，三角形面积的计算，理解轴对称的性质是解题的关键． （1）根据点A，C的坐标建立平面直角坐标系即可； （2）由轴对称的性质画图即可； （3）用四边形的面积减去两个直角三角形的面积即可． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示； （2）解：如答图，即为所求； （3）解：． 题型2平面直角坐标系中点的坐标 1．如图，三角形的顶点坐标为，把三角形沿轴向右平移得到三角形．如果，那么的长为（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据平移的性质得，则，根据点的坐标求出，再求出，对应点间的距离等于平移距离求出，再根据计算即可得解． 【详解】解：∵沿轴向右平移得到， ∴， ∴， ∵的坐标为， ∴ ∵， ∴， ∴． 2．若点Q在第二象限，且点Q到x轴的距离为5，到y轴的距离为6，则点Q的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据点到坐标轴的距离得到横纵坐标的绝对值，再结合第二象限点的符号特征确定点的坐标即可． 【详解】解：∵点Q到x轴的距离为5，到y轴的距离为6， ∴点Q横坐标的绝对值为6，纵坐标的绝对值为5 ∵点Q在第二象限，第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正， ∴点Q的横坐标为，纵坐标为 ∴点Q的坐标为． 3．如图，在平面直角坐标系中，，，菱形的边在轴上，则点的坐标是_____． 【答案】 【分析】根据点、的坐标可得、的长，在中利用勾股定理求出的长，由菱形的性质可得，结合点的坐标及图形中点的位置即可求解． 【详解】解：，， ，， 在中，由勾股定理得：， 四边形是菱形， ， 边在轴上，且由图可知点在点的上方， 点的纵坐标为， 点的坐标为． 4．如图，平面直角坐标系中，已知点，是的边上任意一点，经过平移后得到，点的对应点为． (1)写出平移后三个顶点的坐标； (2)在图中画出平移后的； (3)求的面积，并写出点到轴的最短距离． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的面积为，点到轴的最短距离． 【分析】（1）根据题意，判断平移方式为向右平移6个单位，再向下平移2个单位，即可写出点的坐标； （2）根据（1）中结论即可作图； （3）根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求解，再根据点A的坐标即可求出点到轴的最短距离． 【详解】（1）解：∵点平移后的对应点为， ∴平移方式为向右平移6个单位，再向下平移2个单位， ∵， ∴， （2）解：由（1）知， 如图所示， 即为所求． （3）解： 的面积 ； ∵， ∴点到轴的最短距离为． 题型3已知点所在的象限求参数 1．若点A的坐标为，，轴，那么点B的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】平行于y轴的直线上的点的横坐标相同，则可先确定点B的横坐标，再根据求出点B的纵坐标即可得到答案． 【详解】解：∵轴，点坐标为， ∴点的横坐标为． 设点的纵坐标为， ∵， ∴， 即 ， 解得或， ∴点的坐标为或． 2．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【分析】本题考查平方与绝对值的非负性，以及平面内点所在象限的判断，先根据非负性求出a和b的值，再根据坐标的符号判断点A所在象限即可． 【详解】∵ ，，且 ∴ ，， 解得 ，， ∴ 点的坐标为，第四象限内点的横坐标为正，纵坐标为负， 因此点在第四象限． 3．在平面直角坐标系中，若点在x轴上，则a的值为______． 【答案】 【分析】根据平面直角坐标系中轴上点的纵坐标为的坐标特征，列方程求解． 【详解】解：点在轴上， 点的纵坐标满足， 解得． 4．在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为，请完成下列问题： (1)若，则点在第 象限． (2)若点在y轴上，求的值． (3)若点在第四象限，且点到轴、轴的距离相等，求的值． 【答案】(1)二 (2) (3) 【分析】（1）将代入点P坐标求出其范围，即可判断； （2）根据点在y轴上可得，进而即可得到a的值； （3）根据点在第四象限，且点到轴、轴的距离相等，可得，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴点在第二象限； （2）解：∵点在轴上， ∴， 解得； （3）解：∵点在第四象限， ∴， ∵点到轴、轴的距离相等， ∴ 解得． 题型4坐标与图形问题 1．在平面直角坐标系中，关于点和点的说法错误的是（   ）． A．点在第四象限，点在第二象限 B．点和点关于原点对称 C．点先向下移动6个单位长度，再向右移动8个单位长度到达点 D．两点间的距离是10 【答案】C 【分析】本题考查坐标系中点的特征，点的平移，勾股定理，熟练掌握相关知识是关键． 根据点的坐标，可判断选项A和选项B；根据平移规律，可判断选项C；使用勾股定理，可判断选项D． 【详解】解：∵，， ∴点在第四象限， ∵，， ∴点在第二象限，故A正确； ∵，， ∴点和点关于原点对称，故B正确； 点先向下移动6个单位长度，再向右移动8个单位长度后，坐标为，故C错误； 由勾股定理可得，，故D正确． 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，，把一条长为2026个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按……的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出四边形的周长为10，根据，由此即可解决问题． 【详解】解：∵，，，， ∴，，且四边形为矩形， ∴矩形的周长． ∵，， ∴细线的另一端落在点． 3．在平面直角坐标系中，有四个点，，顺次连接点A，B，C，D，则四边形的面积为__________． 【答案】15 【分析】根据平面直角坐标系找出点A、B、C、D的位置，然后顺次连接，再直接由底乘高计算即可． 【详解】解：如图所示： ，边上的高为3， 四边形的面积． 4．在平面直角坐标系中，已知点．对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，连接并延长至，使，则称点为点关于点的平移关联点． (1)如图1，已知 ①若点，则点的坐标为 ； ②若点的坐标为，则当 时，点在轴上； (2)如图2，已知正方形的边长为1，各边与轴平行或垂直，其中心为，点为正方形上的动点． ①当点为时，点运动过程中，点形成的图形的面积是 ； ②当点为时，在点运动过程中，若点形成的图形与坐标轴有交点，则的取值范围是 ． 【答案】(1)①；②； (2)①；②或 【分析】（1）先根据平移关联点的定义，利用中点坐标公式推导点与点、点的坐标关系，得到；再代入具体数值求解各小问． （2）根据正方形边长与中心坐标确定的坐标范围，①求出图形面积即可；②同理，得到的轨迹范围，最后结合坐标轴交点条件求参数范围． 【详解】（1）设点，点， ∵点由点向右平移、向上平移得到， ∴， 又∵连接并延长至，使， ∴是线段的中点， ∴， （1）已知， ①∵点， ∴， ∴， ②∵点， ∴， 又∵点在轴上， ∴， ∴， （2）已知正方形中心为，边长为，边与坐标轴平行，点P坐标为 ∴点的横坐标范围是：，纵坐标范围是：， ①∵点为， ∴， ∴点的横坐标，纵坐标， ∴点形成的图形是边长为的正方形， ∴， ②∵点为， ∴， ∴点的横坐标范围，纵坐标范围， ∵点形成的图形与坐标轴有交点， ∴与轴有交点时， ∴， 又∵与轴有交点时， ∴， ∴的取值范围是或． 题型5坐标方法的简单应用 1．如图，已知棋子“车”的坐标为，棋子“炮”的坐标为，则棋子“马”的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：依题意建立平面直角坐标系， 如图，棋子“马”的坐标为 2．如图，已知希望书店在学校北偏西方向处，则符合希望书店的位置的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【详解】解：由图可得，， 甲位于最外围，到中心距离为， ∴学校北偏西方向处是甲． 3．图形的位置： 图 （1）如图，点的位置可用数对表示为（______，_____）． （2）如图，点在点的___________偏___________方向上． （3）计算图中阴影部分的周长为_____，面积为_____．（图中每小格为边长1厘米的正方形，取3.14） 【答案】 2 4 北 东45 15.42厘米 3.87平方厘米 【分析】本题考查了有序数对、方向角、与圆有关的周长，面积计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据图形直接写出有序数对即可； （2）根据“上北下南，左西右东”直接可得方向角； （3）根据阴影部分的周长即为长方形的一条长加上两个四分之一圆的周长；阴影部分的面积即为长方形的面积减两个四分之一圆的面积即可解答． 【详解】解：（1）由图形可知：A点的位置用数对表示是； 故答案为：2，4； （2）由图形可知：B点在O点的北偏东方向上； 故答案为：北，东45； （3）阴影部分的周长是（厘米） 阴影部分的面积是（平方厘米）． 故答案为：15.42厘米，3.87平方厘米． 4．如图，在衡水湖景区中景点A位于景点B的正南方向，小岛D位于湖畔中，若，且． (1)根据图中所标数据，用方位角和距离描述小岛D相对于景点A的位置； (2)若景点C位于景点A的北偏西方向上，，在图中，用尺规作图画出景点C的位置（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出景点C位于景点B的什么方向上． 【答案】(1)小岛D在景点A南偏西方向，与景点A相距米 (2)见解析；南偏西 【分析】（1）根据方位角描述即可； （2）利用尺规作图，作的垂直平分线与的交点即为点，再描位置即可． 【详解】（1）解：，且， ， ， 故小岛D在景点A南偏西方向，与景点A相距米； （2）解：作图如下， ， ， ， ， 故景点C位于景点B的南偏西方向． 题型6函数相关的概念辨析 1．下列图象中，表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的定义，解题的关键是理解“对于自变量的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应”，并利用垂直于轴的直线检验法判断．根据函数定义，用垂直于轴的直线去截各选项的图象，若直线与图象最多只有一个交点，则是的函数，反之则不是． 【详解】解：根据函数的定义，对于自变量的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，用垂直于轴的直线检验． A：任意垂直于轴的直线与图象最多只有一个交点，是的函数，此选项符合题意； B：存在垂直于轴的直线与图象有两个交点，不是的函数，此选项不符合题意； C：存在垂直于轴的直线与图象有两个交点，不是的函数，此选项不符合题意； D：存在垂直于轴的直线与图象有无数个交点，不是的函数，此选项不符合题意． 2．健康骑行，快乐同行．周末，淇淇从家出发，以的速度匀速骑行，用时骑行，自变量是（    ） A． B．用时 C．骑行 D．用时和骑行 【答案】B 【分析】先根据路程、速度、时间的关系得到函数关系式，再结合自变量的定义即可判断． 【详解】解：∵路程速度时间，速度为定值， ∴得到关系式， 其中是常量，随的变化而变化， 根据函数定义，是自变量，是因变量， 因此自变量是用时． 3．某汽车油箱中原有汽油，汽车每行驶耗油，则油箱中剩余油量与汽车行驶路程之间的函数关系式为______，自变量x的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查用关系式表示变量之间的关系，理解数量关系是得出关系式的前提．求出每公里耗油量，再根据余油量=原有油量耗油量，得出关系式，并确定自变量的取值范围． 【详解】解：∵每行驶耗油， ∴每公里耗油量为， ∴， ∵油可行驶， ∴自变量的取值范围为， 故答案为，． 4．近日，首届贵州省“美丽乡村”篮球联赛总决赛在黔东南台盘村举行，因为火热的现场氛围和“接地气”的办赛风格，被网友亲切地称为“村”，激起全民运动热潮．央视启用无人机航拍了比赛过程，在操控无人机时应根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度（米）与操控无人机的时间（分钟）之间的关系如图中的实线所示． 根据图象回答下列问题： (1)图中的自变量是______，因变量是______； (2)无人机在米高的上空停留的时间是______分钟； (3)在上升或下降过程中，无人机的速度为______米/分； (4)图中表示的数是______；表示的数是______； (5)图中点表示的实际意义是_______． 【答案】(1)时间（或）；高度（或） (2) (3) (4)； (5)在第分钟时，无人机的飞行高度为米 【分析】本题考查了函数的自变量与因变量、行程问题中的速度计算、从函数图象中提取信息并进行时间与高度的相关计算，熟练掌握函数的基本概念、速度公式以及图象的实际意义是解答本题的关键． （1）根据函数自变量与因变量的定义，结合图象横纵坐标的实际意义确定对应变量； （2）从图象中提取无人机在米高度的停留时间段，通过时间差计算停留时长； （3）利用图象中上升阶段的高度变化与时间变化，结合速度公式计算无人机的飞行速度； （4）根据速度公式，结合已知高度计算对应时间，确定的值；再根据下降阶段的高度与速度计算下降时间，结合初始时间确定的值； （5）结合图象中点的横纵坐标，解释其对应的实际飞行状态． 【详解】（1）解：由图像可得，横坐标表示的是时间，故自变量为时间（或）；纵坐标表示的是高度，故因变量为高度（或）； （2）解：根据图像可得，无人机在米高的上空停留的时间段为分钟， （分钟）， 故无人机在米高的上空停留的时间是分钟； （3）解：由图像可得，无人机在分钟从米上升到了米， 米/分钟； （4）解：（分钟）， 故， （分钟），（分钟）， 故； （5） 解：由图像得，图中点表示的实际意义是在第分钟时，无人机的飞行高度为米． 题型7求自变量的值或函数值 1．在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将点的横坐标代入各选项的函数解析式，计算得到的值若等于，则该函数图象经过该点，据此判断即可． 【详解】解：把分别代入各选项计算： A. 不符合题意； B. 不符合题意； C. 不符合题意； D. 符合题意； 故选：D． 2．点，，，中，在函数的图象上的点的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入函数解析式，若解析式有意义，且计算得到的纵坐标与点的纵坐标相等，则该点在函数图象上，依次验证四个点即可得出结果. 【详解】解：对点，代入，得，与点的纵坐标相等，该点在图象上； 对点，代入，分母，函数式无意义，该点不在图象上； 对点，代入，得，与点的纵坐标相等，该点在图象上； 对点，代入，得，与点的纵坐标不相等，该点不在图象上. 综上，共有2个点在函数图象上. 3．已知函数经过点，则m的值为______． 【答案】 【分析】将代入解析式，即可求解． 【详解】解：∵函数经过点 ∴， 解得：， 4．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学兴趣小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻模型，研究发现水位读数是供水时间的一次函数，下表是兴趣小组记录的部分数据： 供水时间 0 1 2 3 4 … 水位读数 2 2.4 2.8 3.2 3.6 … (1)水位读数与供水时间的关系式为______； (2)若供水时间为，水位读数为______； (3)若本次实验开始记录的时间是上午，当水位读数为时是几点钟？ 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】（1）根据表格可知当时，，时间增加，水位上涨了，即可得出关系式； （2）将代入关系式可得答案； （3）将代入关系式可得时间，进而得出答案． 【详解】（1）解：根据表格可知：当时，，时间增加，水位上涨了， ∴； （2）解：当时，； （3）解：在中， 令，得， 解得， ∵本次实验开始记录的时间是上午， ∴水位读数为时是． 题型8从函数图像获取信息 1．如图，在物理课测量金属块A的体积实验中，将金属块A匀速向上提起，直至完全露出水面一定高度，下列图象中，适合表示容器内液面高度h与金属块A被提起的时间t的对应关系是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【详解】解：液面高度h变化，分三个阶段： 第一阶段：金属块A完全浸没在水中时，随着时间t变大，h不变； 第二阶段：金属块A从开始部分露出水面，到完全露出水面，随着时间t变大，h逐步变小； 第三阶段：金属块A完全露出水面后，随着时间t变大，h保持不变． 故选D． 2．如图1，在中，动点P从点B出发沿折线匀速运动，回到点B后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列判断错误的是（   ） A． B． C．若，则对应4个不同的x值 D．当的面积为4时，或 【答案】D 【分析】选项A，根据点P在图1中段、段运动时，对应图2中的线段、曲线，即可判断； 选项B，当点P在图1中到达点C处时，对应图2中的点N，即知，再根据勾股定理的逆定理，即可判断； 选项C，分点P在图1中、及上三种情况，分别求出时对应的x值，即可判断； 选项D，分点P在图1中、上两种情况，根据的面积为4，分别列方程求解，即可判断． 【详解】解：由两个图形的对应关系可知，点P在图1中段运动时，对应图2中的线段， 即时，， ， 点P在图1中段运动时，对应图2中的曲线，即， 当点P在图1中到达点C处时，对应图2中的点N， ， ， ， 选项A正确，不符合题意； 当点P在图1中到达点C处时，对应图2中的点N， 即， ， ， 选项B正确，不符合题意； 当时， 若，则； 当时， 若，则； 当时，点P在上运动，对应图2中点N右侧的线段， 过点A作于点H， ， ， 当点P在点H的左侧时，， ， 此时； 当点P在点H的右侧时，同理可得， ， 此时； 综上所述，x值有4个， 选项C正确，不符合题意； 当时， 过点P作于点M， ，， ， ， ， ， ， 当的面积为4时，， 解得； 当时， 过点P作于点N， ，， ， ， ， ， ， 当的面积为4时，， 解得； 综上所述，当的面积为4时，或， 选项D错误，符合题意． 【点睛】此类问题在解答时应着重理解两个图形之间的对应关系，包括对图形中转折点的含义的理解． 3．如图1，点从正方形ABCD的顶点出发，沿直线运动到正方形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点，设点运动的路程为，点到线段的距离为，到线段的距离为，且（当点与重合时，设），图2是点运动时随变化的关系图象，则______． 【答案】 【分析】设点为点运动的转折点，结合题图可知，，，，当点沿运动时，有，则点在的平分线上，过点作于点，则，，设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设点为点运动的转折点，结合题图可知，，，，当点沿运动时，有，则点在的平分线上，． 过点作于点，则，， 设，则， 则在中，有， ， 解得（舍去）或， ， ． 4．如图，已知长方形，，，为长方形边上的动点，动点从出发，沿着运动到点停止，速度为，设点用的时间为秒，的面积为，和的关系如图所示． (1) ， ； (2)写出时，与之间的关系式； (3)当时，求的值； (4)当在线段上运动时，是否存在点使得的周长最小？若存在，请直接写出此时的度数． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4)存在， 【分析】（）根据题意和函数图象解答即可求解； （）当时，利用三角形面积公式解答即可求解； （）分两种情况：①点在上；②点在上，利用三角形面积公式构建方程解答即可求解； （4）延长至，使，连接交于，连接，此时△APD的周长最小，证出是等腰直角三角形，得出，由得到，再根据三角形外角性质解答即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴； （2）解：当时，动点在线段上，如图所示： ∴， 即与之间的关系式为； （3）解：分两种情况： ①当点在上时，如图所示，则， 解得； ②当点在上时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，， 解得； 综上所述，当时，的值为或； （4）解：点使得的周长最小，理由如下： 延长至，使，连接交于，连接，如图所示： ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，可知此时的值最小，此时的周长最小， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，一次函数的图象，线段垂直平分线的性质，三角形外角性质，看懂函数图象是解题的关键． 题型9动点问题的函数图像 1．某共享电动车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，共享电动车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（    ） A．电池能量最多可充 B．共享电动车每行驶消耗能量 C．共享电动车充满电后，行驶将自动报警 D．一次性充满电后，共享电动车最多行驶 【答案】D 【分析】根据当时，可判断A；求出每千米消耗的电量，再乘以即可判断B；求出消耗电量时，行驶的路程可判断C；根据当时，可判断D． 【详解】解：∵由函数图象可知，当时，， ∴电池电量最多可充，故A错误，不符合题意； ∵由函数图象可知，一次性充满电后，共享电动车最多行驶，电池能量最多， ∴ ∴， ∴共享电动车每行驶消耗电量，故B错误，不符合题意； ∵， ∴共享电动车充满电后，行驶超过将自动报警，故C错误，不符合题意． ∵由函数图象可知，当时，， ∴一次性充满电后，共享电动车最多行驶，故D正确，符合题意． 2．辰辰通过实验探究了和环境下大豆苗光合作用氧气释放速度（毫克小时）与光照强度（千勒克斯）之间的关系，并绘制出如图所示的关系图象，当环境下的大豆苗的氧气释放速度比环境下的快时，光照强度的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从函数图象获取信息即可． 【详解】解：若要环境下大豆苗的氧气释放速度比环境下快，则需虚线在实线的上方，根据图象可知，当环境下的大豆苗的氧气释放速度比环境下的快时，光照强度为 ． 3．甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度与挖掘时间之间关系如图：当___h时，甲、乙两个工程队所挖河渠的长度相等． 【答案】4 【分析】先求出甲、乙两个工程队挖河渠的速度，然后根据甲、乙两个工程队所挖河渠的长度相等，列出方程，解方程即可． 【详解】解：根据图象可得：甲工程队挖河渠的速度为：， 工作2小时后，乙工程队挖河渠的速度为：， 甲、乙两个工程队所挖河渠的长度相等时，， 解得： 即时，甲、乙两个工程队所挖河渠的长度相等． 4．已知小天的家、图书馆、体育馆依次在同一条直线上，图书馆离家，体育馆离家．小天从家出发，先匀速骑行了到图书馆，在图书馆停留了，之后匀速骑车行驶了到体育馆，在体育馆运动了后，再用了匀速跑步返回家．下面图中x表示小天离开家的时间，y表示小天离家的距离．图象反映了这个过程中小天离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小天离开家的时间 1 5 12 47 小天离家的距离 0.8 ②填空：小天从体育馆返回家的速度为______； ③当时，请直接写出小天离家的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当小天离开家后，他的妈妈以的速度步行直接到体育馆．在从家到体育馆的过程中，对于同一个x值，小天离家的距离为，小天的妈妈离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①0.16，0.8，2.4；②0.12；③； (2)． 【分析】（1）①根据图象信息完善表格即可；②由路程除以时间可得答案；③分情况求解函数解析式即可. （2）求解，结合，分情况讨论即可. 【详解】（1）解：①∵， ∴填表如下： 小天离开家的时间 1 5 12 47 小天离家的距离 0.8 ②∵， ∴小天从体育馆返回家的速度为； ③当时，小天匀速骑行的速度为； ∴； 当时，； 当时， 设，将点，代入， 得， 解得， ∴， 综上所述，； （2）解： ∵小天妈妈的速度为， ∴设，将代入得， 解得， ∴， 当时， ∵， ∴， 解得； 当时， ∵， ∴， 解得， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1平面直角坐标系与函数基础知识中考复习讲义 考点、考情分析 一、核心考点 1. 平面直角坐标系：各象限坐标符号、坐标轴上点的特征；点关于坐标轴、原点的对称；点的平移规律；点到坐标轴距离、平行坐标轴两点间距离计算。 2. 函数基础：函数定义与判定；自变量取值范围（整式、分式、二次根式及复合型）；函数三种表示方法：解析法、列表法、图象法。 3. 函数图象：竖线法判定函数图象；实际情境函数图象识别；从图象中读取关键信息。 4. 综合应用：坐标系内几何图形边长、面积计算；几何动点图象问题；作为基础衔接一次函数、几何综合大题。 二、中考考情 1. 分值题型：总分占比 约6–12 分，以选择题、填空题为主，解答题多作为综合题前置小问。 2. 难度分布：以基础题为主，少量中档几何计算与动点问题，常作为函数压轴题的知识铺垫。 3. 命题特点：侧重数形结合思想，贴近生活实际情境，行程、变化量、几何动态；注重基础概念、坐标变换、自变量范围等易错点考查。 4. 备考定位：属于必会保底基础，是后续各类函数、几何综合题的入门前提，必须做到基础题零失分。 题型归纳 题型1有序实数对 题型2平面直角坐标系中点的坐标 题型3已知点所在的象限求参数 题型4坐标与图形问题 题型5坐标方法的简单应用 题型6函数相关的概念辨析 题型7求自变量的值或函数值 题型8从函数图像获取信息 题型9动点问题的函数图像 考点梳理 知识点一、函数 1.变量与常量 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量． 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量． 2.函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数． 3.函数值：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值． 4.函数的表示方法 解析法（公式法） 用数学式子（解析式）表示自变量与函数的对应关系。例：y=3x-2，y= 列表法 把自变量取值和对应的函数值，用表格一一列出。 优点：不用计算，直接查表得函数值。 图象法 在平面直角坐标系中，用曲线、直线、折线等图形表示函数关系。 优点：直观看出函数增减、最值、变化趋势。 考点 2   平面直角坐标系的相关概念 1.有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． 2.平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直，并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系． x轴、y轴：水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取向右方向为正方向； 竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取向上方向为正方向． 原点：两坐标轴交点为平面直角坐标系原点． 坐标平面：坐标系所在的平面叫做坐标平面． 象限：x轴和y轴把坐标平面分成四部分，每个部分称为象限．按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限． 3.点的坐标 点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A（a，b）叫做点A的坐标，记作A（a，b），如图． 考点 3   点的坐标的有关性质 1.点的坐标特征 点A（x，y）所处的位置 坐标特征 象限内的点 点A在第一象限 A（+，+） 点A在第二象限 A（-，+） 点A在第三象限 A（-，+） 点A在第四象限 A（+，-） 坐标轴上的点 点A在x轴上 在x轴正半轴上 A（+，0） 在x轴负半轴上 A（-，0） 点A在y轴上 在y轴正半轴上 A（0，+） 在y轴负半轴上 A（0，-） 点M在原点 A（0，0） 象限角平分线上的点 点A在第一、三象限角平分线上 A（x，y）且x＝y 点A在第二、四象限角平分线上 A（x，y）且x＝-y 两点连线与坐标轴平行 轴（或AB⊥y轴） A、B两点纵坐标相等且横坐标不相等 轴（或AB⊥x轴） A、B两点横坐标相等且纵坐标不相等 2.点的坐标变化 对于平面直角坐标系上任意一点P（x，y） 变换方式 具体变换过程 变换后的坐标 平移变换 （m＞0，n＞0） 向左平移m个单位 （x-m，y） 向右平移m个单位 （x+m，y） 向上平移n个单位 （x，y+n） 向下平移n个单位 （x，y-n） 口诀：点的平移左减右加，上加下减． 变换方式 具体变换过程 变换后的坐标 对称变换 关于x轴对称 （x，-y） 关于y轴对称 （-x，y） 关于原点对称 （-x，-y） 口诀：关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变． 旋转变换 绕原点顺时针旋转90° （y，-x） 绕原点逆时针旋转90° （-y，x） 绕原点顺/逆时针旋转180° （-x，-y） 3.点到坐标轴的距离 在平面直角坐标系中，已知点P，则 1）点P到轴的距离为； 2）点P到轴的距离为； 3）点P到原点O的距离为P＝． 4.坐标系内点与点之间的距离 坐标系中有两点A与点B，则A，B两点之间的距离： 若轴，则的距离为； 若轴，则的距离为； 易错点提醒： 计算点到坐标轴的距离时，忽略绝对值； 记混对称点的坐标规律； 平移时点的坐标变化方向错误； 混淆象限角平分线的坐标特征； 忽略坐标的符号，仅看数值大小； 平移时，将“上加下减”错误应用到横坐标。 核心考点解析 题型1有序实数对 1．根据下列表述，能确定位置的是（   ） A．南偏西 B．某图书馆3层 C．城市中心广场 D．东经，北纬 2．在数轴上，用有序数对表示点的平移，若得到的数为1，得到的数为3，则得到的数为（    ）． A．8 B． C．2 D． 3．我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作，则向西走5米，再向北走3米记作_________；有序数对表示___________． 4．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的各顶点都在格点上，已知点A和点C的坐标分别为和 (1)根据已知条件在图中建立平面直角坐标系； (2)画出关于y轴对称的； (3)求的面积． 题型2平面直角坐标系中点的坐标 1．如图，三角形的顶点坐标为，把三角形沿轴向右平移得到三角形．如果，那么的长为（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 2．若点Q在第二象限，且点Q到x轴的距离为5，到y轴的距离为6，则点Q的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，，，菱形的边在轴上，则点的坐标是_____． 4．如图，平面直角坐标系中，已知点，是的边上任意一点，经过平移后得到，点的对应点为． (1)写出平移后三个顶点的坐标； (2)在图中画出平移后的； (3)求的面积，并写出点到轴的最短距离． 题型3已知点所在的象限求参数 1．若点A的坐标为，，轴，那么点B的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 2．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 3．在平面直角坐标系中，若点在x轴上，则a的值为______． 4．在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为，请完成下列问题： (1)若，则点在第 象限． (2)若点在y轴上，求的值． (3)若点在第四象限，且点到轴、轴的距离相等，求的值． 题型4坐标与图形问题 1．在平面直角坐标系中，关于点和点的说法错误的是（   ）． A．点在第四象限，点在第二象限 B．点和点关于原点对称 C．点先向下移动6个单位长度，再向右移动8个单位长度到达点 D．两点间的距离是10 2．如图，在平面直角坐标系中，，把一条长为2026个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按……的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，有四个点，，顺次连接点A，B，C，D，则四边形的面积为__________． 4．在平面直角坐标系中，已知点．对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，连接并延长至，使，则称点为点关于点的平移关联点． (1)如图1，已知 ①若点，则点的坐标为 ； ②若点的坐标为，则当 时，点在轴上； (2)如图2，已知正方形的边长为1，各边与轴平行或垂直，其中心为，点为正方形上的动点． ①当点为时，点运动过程中，点形成的图形的面积是 ； ②当点为时，在点运动过程中，若点形成的图形与坐标轴有交点，则的取值范围是 ． 题型5坐标方法的简单应用 1．如图，已知棋子“车”的坐标为，棋子“炮”的坐标为，则棋子“马”的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知希望书店在学校北偏西方向处，则符合希望书店的位置的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．图形的位置： 图 （1）如图，点的位置可用数对表示为（______，_____）． （2）如图，点在点的___________偏___________方向上． （3）计算图中阴影部分的周长为_____，面积为_____．（图中每小格为边长1厘米的正方形，取3.14） 4．如图，在衡水湖景区中景点A位于景点B的正南方向，小岛D位于湖畔中，若，且． (1)根据图中所标数据，用方位角和距离描述小岛D相对于景点A的位置； (2)若景点C位于景点A的北偏西方向上，，在图中，用尺规作图画出景点C的位置（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出景点C位于景点B的什么方向上． 题型6函数相关的概念辨析 1．下列图象中，表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．健康骑行，快乐同行．周末，淇淇从家出发，以的速度匀速骑行，用时骑行，自变量是（    ） A． B．用时 C．骑行 D．用时和骑行 3．某汽车油箱中原有汽油，汽车每行驶耗油，则油箱中剩余油量与汽车行驶路程之间的函数关系式为______，自变量x的取值范围是______． 4．近日，首届贵州省“美丽乡村”篮球联赛总决赛在黔东南台盘村举行，因为火热的现场氛围和“接地气”的办赛风格，被网友亲切地称为“村”，激起全民运动热潮．央视启用无人机航拍了比赛过程，在操控无人机时应根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度（米）与操控无人机的时间（分钟）之间的关系如图中的实线所示． 根据图象回答下列问题： (1)图中的自变量是______，因变量是______； (2)无人机在米高的上空停留的时间是______分钟； (3)在上升或下降过程中，无人机的速度为______米/分； (4)图中表示的数是______；表示的数是______； (5)图中点表示的实际意义是_______． 题型7求自变量的值或函数值 1．在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过点的是（    ） A． B． C． D． 2．点，，，中，在函数的图象上的点的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知函数经过点，则m的值为______． 4．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学兴趣小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻模型，研究发现水位读数是供水时间的一次函数，下表是兴趣小组记录的部分数据： 供水时间 0 1 2 3 4 … 水位读数 2 2.4 2.8 3.2 3.6 … (1)水位读数与供水时间的关系式为______； (2)若供水时间为，水位读数为______； (3)若本次实验开始记录的时间是上午，当水位读数为时是几点钟？ 题型8从函数图像获取信息 1．如图，在物理课测量金属块A的体积实验中，将金属块A匀速向上提起，直至完全露出水面一定高度，下列图象中，适合表示容器内液面高度h与金属块A被提起的时间t的对应关系是（   ） A．B． C． D． 2．如图1，在中，动点P从点B出发沿折线匀速运动，回到点B后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列判断错误的是（   ） A． B． C．若，则对应4个不同的x值 D．当的面积为4时，或 3．如图1，点从正方形ABCD的顶点出发，沿直线运动到正方形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点，设点运动的路程为，点到线段的距离为，到线段的距离为，且（当点与重合时，设），图2是点运动时随变化的关系图象，则______． 4．如图，已知长方形，，，为长方形边上的动点，动点从出发，沿着运动到点停止，速度为，设点用的时间为秒，的面积为，和的关系如图所示． (1) ， ； (2)写出时，与之间的关系式； (3)当时，求的值； (4)当在线段上运动时，是否存在点使得的周长最小？若存在，请直接写出此时的度数． 题型9动点问题的函数图像 1．某共享电动车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，共享电动车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（    ） A．电池能量最多可充 B．共享电动车每行驶消耗能量 C．共享电动车充满电后，行驶将自动报警 D．一次性充满电后，共享电动车最多行驶 2．辰辰通过实验探究了和环境下大豆苗光合作用氧气释放速度（毫克小时）与光照强度（千勒克斯）之间的关系，并绘制出如图所示的关系图象，当环境下的大豆苗的氧气释放速度比环境下的快时，光照强度的范围为（    ） A． B． C． D． 3．甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度与挖掘时间之间关系如图：当___h时，甲、乙两个工程队所挖河渠的长度相等． 4．已知小天的家、图书馆、体育馆依次在同一条直线上，图书馆离家，体育馆离家．小天从家出发，先匀速骑行了到图书馆，在图书馆停留了，之后匀速骑车行驶了到体育馆，在体育馆运动了后，再用了匀速跑步返回家．下面图中x表示小天离开家的时间，y表示小天离家的距离．图象反映了这个过程中小天离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小天离开家的时间 1 5 12 47 小天离家的距离 0.8 ②填空：小天从体育馆返回家的速度为______； ③当时，请直接写出小天离家的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当小天离开家后，他的妈妈以的速度步行直接到体育馆．在从家到体育馆的过程中，对于同一个x值，小天离家的距离为，小天的妈妈离家的距离为，当时，求x的取值范围（直接写出结果即可）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $