《几何图形变换综合压轴题》专题提升训练2026年春九年级数学中考二轮复习

2026年春九年级数学中考二轮复习《几何图形变换综合压轴题》专题提升训练（附答案） 一、旋转变换与线段问题综合 1.Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△ABC,点A的对 应点为A· 图① 图② 图③ (1)如图①，当∠ACB=20·时，△ABC绕点C顺时针旋转了 (2)如图②，当点B在AB上时，若AB‖BC,求∠A的度数： 3)如图③，当点P为AB的中点时，连接BP,若BC=2,AC=4,在△ABC绕点C顺时 针旋转一周的过程中，直接写出线段BP的最大值和最小值 2.综合与探究： 如图，矩形ABCD绕着点A旋转得到矩形AEFG,点B、C、D分别对应点E、F、G. H D 图1 备用图 【问题探究】 (1)如图1，将矩形ABCD绕着点A顺时针旋转得到矩形AEFG,当点G落在BC上时， 延长FG交DC于点H,求证：DH=HG: (2)在(1)的条件下，连接DG、BE.若AB=3,AD=5,求BE的长； 【拓展延伸】 (3)将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG,若AB=5,AD=12,当EF所 在直线经过点D时，直接写出DF的长， 3.(1)【问题发现】 如图1，在Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D为BC的中点，以BD为一边作 正方形BDFE,点F恰好与点A重合，则线段CF与AE的数量关系为 (2)【拓展探究】 在(1)的条件下，如果正方形BDFE绕点B顺时针旋转，连接CF,AE,BF,线段CF与 AE的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明： (3)【问题解决】 当AB=AC=12,且(2)中的正方形BDFE绕点B顺时针旋转到E,F,C三点共线时， 请直接写出线段AE的长. A(F) D D 图1 图2 备用图 4.在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点P在等边△ABC内 部，且PA=3,PC=4,∠APC=150°，求PB的长， B B 图① 图② 图③ (1)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将 △APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△APB,连接PP,寻找PA,PB,PC三 边之间的数量关系，即可求得PB的长，请写出详细的证明过程； (2)【理解应用】如图②，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P为△ABC内一点， ∠APC=135°，可判断出AP2+2PC2=PB2,请说明理由： 3)如图③，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1,∠ABC=30°，点0为Rt△ABC内 一点，连接A0,B0,C0,且∠A0C=∠C0B=∠B0A=120°，求0A+0B十0C的 值 5.综合与实践， 问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动.如图，在 △ABC中，AB=3,BC=4,∠ABC=90°，A为斜边AC的中点，将与△ABC全等 的△ABC绕点A旋转得到△AOD. 操作发现： (1)如图①，顺时针旋转一定角度，记A'D和AO分别与BC交于点E,F,当AD⊥AC时， 猜想EF和AF的数量关系为一，并证明你的猜想： (2)如图②，继续旋转一定角度，当线段AD经过点B时，连接BO,试判断四边形 AAOB的形状，并证明你的结论： 实践探究： (3)在整个旋转过程中，当△AOD在AC下方，且△AOD的直角边恰好与AC垂直时， 设线段AO与直线BC交于点G,直线BC交射线DO于点H,连接AH,请直接写出AH的 长 图① 图② 备用图 6.【问题提出】 已知：正方形ABCD和正方形AEGF有公共顶点A,把正方形AEGF绕点A顺时针旋转一定 的度数，连接BG,探究BG的长。 D 图1 图2 图3 【问题探究】 (1)己知正方形ABCD的边长为5，正方形AEGF的边长为3.如图1，若正方形AEGF的 边AF落在正方形ABCD的边AD上，求BG的长。 (2)已知正方形ABCD的边长为5，正方形AEGF的边长为6，如图2，将正方形AEGF由 图1中的位置绕点A顺时针旋转45°，求BG的长. 【拓展应用】 (3)如图3，己知矩形ABCD和矩形AEFG全等，把矩形AEFG绕点A顺时针旋转，使AE 所在的直线恰好过BG的中点O,当AB=8,BC=4时，求BG的长， 7.如图①，在直角三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=6,AC=8. (W) 图① 图② 【数学活动】 将三角形纸片ABC进行以下操作： ①折叠三角形纸片ABC,使点C与点A重合，得到折痕DE,然后展开铺平； ②将△DEC绕点D顺时针方向旋转得到△DFG,点E、C的对应点分别是点F、G,直 线GF与边AC交于点M(点M不与点A重合)，与边AB交于点N. 【数学思考】 (1)在△DEC绕点D旋转的过程中，如图①，试判断MF与ME的数量关系，并证明你 的结论； 【数学探究】 (2)如图②，在△DEC绕点D旋转的过程中，当直线GF经过点B时，求AM的长； 【问题延伸】 (3)在△DEC绕点D旋转的过程中，连接AF,则AF的取值范围是 二、旋转变换与面积问题综合 8.【问题情境】 △ABC绕点A逆时针旋转90·得△ADE,连接CB、BD,恰好点D落在线段CE上. 图1 图2 【数学思考】(1)如图1，求证：BC⊥CE; 【探究实践】 (2)如图1，已知BC=1,AC=2Y2,求AF的长； 【拓展提升】 B)如图2，当AB=V5时，过点F作FG‖CE交AE于点G,连接DG,求△DFG的面积的 最大值。 9.在Rt△ABC中，∠C=90·,∠BAC=0°<x<45),点D,E分别在边AB, AC上（不与A,B,C重合），将线段DE绕点E顺时针旋转180°-2得到线段EF, D G C(F) 图1 图2 图3 (1)如图1，当点F与点C重合时，求证：AD=BD; (2)如图2，当点F在BC边时，作FGAC,交AB于点G,试说明BG与AD有何数量关系， 并证明； 3)如图3，若点E为AC中点，tanA=号，BC=4,连接BF、CF,当△BFC为直角三 角形时，求△BFC的面积. 10.如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上， AD=AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点. D E B B N 图1 图2 (1)观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是-，位置关系是-： (2)探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN,BD,CE,判断 △PMN的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4,AB=10,请直接写出 △PMN面积的最大值， 11.综合与实践 【问题初探】(1)如图1，在△ABC中，BA=4,BC=6,BD为AC边上的中线，求 BD的取值范围.解答这个问题，我们可以将△ABD绕点D旋转180°，得到△CED,则 BD的取值范围可解.请作出△CED并直接写出BD的取值范围； 【问题解决】(2)如图2，P为等边三角形内一点，满足PB=1,PA=V2,PC=V3, 试求∠BPA的大小（提示：将△BPA绕点B顺时针旋转60°）： 【问题拓展】(3)如图3，在正方形ABCD中，E,F分别为BC,CD边上的点，且满足 ∠EAF=45°，AB=2,BE+DF=V3,求△AEF的面积. 图1 图2 图3 12.综合与探究 以“图形的旋转与面积”为主题开展下列数学活动. ① ② ③ 提出问题 (1)如图①，将边长为2的正方形ABCD的对角线AC绕点C顺时针旋转90·得到线段EC ,连接BE,过点E作EF⊥BC,交BC的延长线于点F,易证△ABC≌△CFE,得到 △BCE的面积为 问题探究 (2)如图②，在矩形ABCD中，BC=m,将对角线AC绕点C顺时针旋转90·得到线段 EC,连接BE,求△BCE的面积：（用含m的代数式表示） 解决问题 (3)如图③，在锐角三角形ABC中，AB=AC,BC=10,将边AC绕点C顺时针旋转 90o得到线段DC,连接BD,求△BCD的面积， 13.在△0AB,△0CD中，0A=0B,0C=0D,∠A0B=∠C0D=90°，连接 AD、BC,取BC的中点M, 图1 图2 备用图 (1)【观察猜想】 如图1中，若O、C、A在一条直线上，线段0M与AD的数量关系是，位置关系是 (2)【探究证明】 若将△C0D旋转到图2的位置，判定(1)中的结论是否仍然成立，并说明理由. (3)【拓展延伸】 设AD交0M与G,若将△0CD由图1的位置绕O顺时针旋转a(0°<心<360°)，且 OA=6,OC=3,是否存在角度使得0C⊥BC?若存在，请直接写出此时△ABC的面 积；若不存在，请说明理由 14.某学校数学兴趣小组的成员李同学在学习了图形的旋转这节课后，探索了一个新的问题： 新定义：把长方形ABCD绕着一个顶点旋转，使一边落在对角线上，把这样的旋转称为“对 角旋转”，这个旋转角称为对角旋转角”，如图1，在长方形ABCD中，AB<AD,AC是对 角线， D 图1 图2 备用图 (1)如图2，把长方形ABCD绕点A逆时针作“对角旋转”，使边AB落在对角线AC上，此时点 B的对应点为点B1,点C的对应点为点C1,点D的对应点为点D1,连接AC1,如果∠CAD度 数为α，则“对角旋转角"的度数=（用含有的代数式表示）； (2)在(1)的条件下，如果∠C1AD=50°，那么再把长方形ABCD绕点A顺时针作“对角旋 转”，使边AD落在对角线AC上，点B的对应点为点B2,点C的对应点为点C2,点D的对应 点为点D2,连接AC2,则∠C2AD=: (3)在长方形ABCD中，BC=2AB+4,在第(1)(2)小题的基础上经“对角旋转"后，点 C的对应点分别为点C1和点C2,连接CC2,三角形ACC1面积为312，三角形ACC2面积为 130,请求出此时长方形ABCD的面积. 三、旋转变换与角度问题综合 15.如图，平面内点O为直线AB上一点，一直角三角板C0D(∠C0D=90°)的直角顶 点与O重合，0M平分∠B0D,设∠A0C=C.(本题中所有角均小于等于180°). D M 0 (1)如图，请直接写出∠A0M= (用含a的式子表示)； (2)若图中《=50·，三角板C0D从图中的位置出发，绕O点以每秒5·的速度顺时针旋转， 同时ON从OA出发，以每秒2°的速度逆时针旋转.设运动时间为t秒(0<t<30). ①当t为何值时，∠A0M+∠C0N=270°？ ②是否存在一负数k,使得∠AOM+k∠CON取值与t无关.若存在，求此时k的值；若不 存在，说明理由 16.如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起，其中∠ACB=30·, ∠DAE=45·,∠BAC=∠D=90°，固定三角板ABC,将三角板ADE绕点A按顺时针 方向旋转，当点E落在射线AC的反向延长线上时，即停止旋转. 图1 图2 (1)如图2，当边AC落在∠DAE内. ①∠CAD与∠BAE之间存在怎样的数量关系？试说明理由； ②过点A作射线AF,AG,若LCAF=青∠CAD,∠BAG=∠EAG,求∠FAG的度数： (2)设△ADE的旋转速度为5°/秒，旋转时间为t,若它的一边与△ABC的某一边平行（不 含重合情况)，请直接写出所有符合条件的t的值. 17.在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°. 【问题】如图①，将△ABC绕点A逆时针转45·，得△ADE,延长DE交BC于点F,则 CF与EF的数量关系是-，∠CFE=-·; 【探索】如图②，将△ABC绕点A逆时针转60°，得△ADE,延长DE交BC于点F,连 接BD,CE (1)求S△4DE:S△4EF (2)连接CD,若AC=4,求CD的长： 【应用】如图③，在Rt△ABC中，AB=BC,Rt△ADC中，AD=6,DC=12,则 BD= 图0 图② 图③ 18.数学课上，有这样一道探究题. 如图，已知△ABC中，AB=AC=m,BC=n,∠BAC=a(0°<a<180),点P为 平面内不与点A、C重合的任意一点，将线段CP绕点P顺时针旋转a,得线段PD,E、F分 别是CB、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为B,探究器的值和B的度 数与m、、的关系，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务： 图2 图3 (1)填空：【问题发现】 小明研究了《=60时，如图1，求出了器 B= 小红研究了《=90时，如图2，求出了器 B= 【类比探究】 他们又共同研究了&=120时，如图3，也求出了器： 【归纳总结】 最后他们终于共同探究得出规律：器=一 (用含m、n的式子表示)；B= (用含的式子表示) (2)求出a=120时器的值和S的度数 19.综合与实践： 在数学活动课上，老师给出了一个等腰直角△ABC,∠ACB=90°，D是AB边上一点， 连接CD,如图1所示.请同学们根据自己的兴趣变换图形，并提出一个数学问题 图3 (1)智慧小组的同学经过一番讨论后，提出：把CD绕点C顺时针旋转90·得到CE,连接DE ,BE,如图2，请猜想AD和BE的数量关系，并加以证明； 【拓展应用】 (2)创新小组的同学受智慧小组同学的启发，发现可以把CD绕点C顺时针旋转45·得CM, 过点D作DH⊥CM于点H,连接BH,如图3所示，请猜想BH与CH的数量关系，并加以 证明： 【兴趣延伸】 (3)辨析小组的同学对智慧小组同学图2中△DCE和△ACB重叠部分的面积很感兴趣，提 出：当AD=8,BD=6时，请直接写出重叠部分的面积. 20.综合与实践 如图①，O为直线MN上一点，在点O处将一副直角三角板按如图所示的方式摆放 (∠M0A=90°). N M- 图3 (1)将图①中的直角三角板AOB绕点0顺时针旋转一定的角度得到图②，使边OA恰好平分 ∠NOD,问OB是否平分∠MOD？请说明理由. (2)如果将图①中的直角三角板AOB绕点O顺时针旋转一定的角度得到图③】 ①使边OB在∠COD内部，那么∠AOC与∠BOD之间存在怎样的数量关系？请说明理由， ②若继续旋转三角板AOB,直到OB与OM重合，请直接写出∠C0D与∠BOD之间的数量 关系 参考答案 1.(1)解：由旋转的性质可得，∠ACA为旋转角， 则∠ACA=90°+∠ACB=110°， 故答案为：110： (2)解：根据旋转的性质可得，∠B=∠ABC,BC=CB, .∠B=∠CBB, :AB BC, ∠ABA=∠B, 由题意可得，∠CBB+∠CBA+∠ABA=180°，即3∠B=180°， 解得∠B=60°， ∠A=90°-609=30°： (3)解：连接CP,如图： B 由旋转的性质可得，BC=BC=2,AC=AC=4, 由勾股定理可得，AB=V22+47=25, :点P为AB的中点， :.CP=AB'=5, ·点P在以C为圆心，以V5为半径的圆上运动， 从而得到BP的最大值为BC+CP=V+2,BP的最小值为CP-BC=V5-2. 2.解：(1)证明：：将矩形ABCD绕着点A顺时针旋转得到矩形AEFG, .AD=AG,∠ADC=∠AGF=90o, .∠ADG=∠AGD,∠ADC=∠AGH=90°， ∴∠ADG+∠HDG=∠AGD+∠HGD=90°， ∠HDG=∠HGD, :DH=HG: (2)如图，作EP⊥AB,垂足为P· ⊙ E 图1 :将矩形ABCD绕着点A顺时针旋转得到矩形AEFG, :AD=AG=5,∠DAB=∠B=∠GAE=∠APE=90°，AB=AE=3, ·在Rt△ABG中，BG=VAG2-AB2=4, ∠GAB+∠BAE=90°，∠BAE+∠AEP=90°， .∠AEP=∠GAB, :∠B=∠APE=90。, .△APE△GBA, 器-器-詣， 即竖=号=， AP=号，EP=是， PB=胃 在Rt△EPB中，BE=VEp2+BP2=3o (3)如图2，当点D在线段EF上时， D E 图2 :矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG, AB=AE=5,∠E=90°，EF=AG=AD=12, 在Rt△ADE中，DE=VAD2-AE2=V119, :DF=EF-DE=12-V119: 如图3，当点D在线段FE延长线上时， E G 图3 :矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG, AB=AE=5,∠AEF=90°，EF=AG=AD=12, ∴∠AED=90°， :在Rt△ADE中，DE=VAD2-AE2=Y119, “DF=EF+DE=12+V119 ·DF的长为12-V119或12+V119: 3.(1)解：：四边形BDFE是正方形， ÷FE=BE,∠E=90°， BF=BE2+FE2=2FE2=2FE 点F与点A重合，AB=AC, ÷CF=AC=AB=BF,FE=AE, CF=V2AE, 故答案为：CF=V2AE. (2)无变化， 证明：如图2， 图2 :EB=EF,∠BEF=90°， ÷∠EBF=∠EFB=45°，BF=VEB2+EF2=V2EB2=V2EB, :AB=AC,∠BAC=90°， ÷∠ABC=∠ACB=45,BC=VAB2+AC=V2AB2=V2AB, 器=%=V2,∠CBF=∠ABE=45。-∠ABF, :△CBFM△ABE, +器=脂=V反， .CF=2AE. (3)如图2，E,F,C三点共线，且点F在线段CE上， BC=2AB,AB=AC=12. aBc=V2×12=122, 由(1)得BD=BC, ÷BE=EF=BD=克×12V2=6V2, “∠BEC=90o, CB=Bc2-BE-122-(62=66, CF=CE-EF=6V6-62, CF=2AE AB=号cP=9×{66-62=65-6, 如图3，E,F,C三点共线，且点F在线段CE的延长线上， 图3 :器=脂=V2,∠CBF=∠ABE=45°+∠CBE, ·△CBFM△ABE, 器=脂=V反， ·CF=V2AE, :∠BEF=90°， ÷∠BEC=180°-∠BEF=90°， cE=Bc2-BE=V122-(62=66, CF=CE+EF=66+62. AB=号cR=号×(65+65)=65+6， 综上所述，线段AE的长为63-6或63+6. 4.(1)解：PB=5,证明如下： 根据旋转的性质得，PA=PA,∠PAP=60°， △PAP为等边三角形， ∴PP=PA=3,∠APP=60o, ·△ABC为等边三角形， AB=AC,∠BAC=60°， ∠BAP=∠CAP=60°-∠BAP, △BAP≌△CAP(SAS), BP=CP=4,∠APB=∠APC=150°， ·∠BPP=∠APB-∠APP=90°， :由勾股定理得，PB=VPP2+BP2=V9+16=5: (2)解：如图所示，将PC绕点C顺时针旋转90°得到DC,连接AD,PD, B .DC=PC,∠DCP=90°， ∠DPC=45°， 由勾股定理得，PD2=CD2+PC2=2PC2, :∠ACB=90°， .∠ACD=∠BCP=90o-∠ACP, 又：AC=BC, △ACD≌△BCP(SAS), :AD=PB, ∠APC=135°， .∠APD=∠APC-∠DPC=90°， 由勾股定理得AD2=PD2+AP2=2PC2+AP2, :AP2+2PC2=PB2; (3)解：如图，将OB绕点B顺时针旋转60·得到0B,将AB绕点B顺时针旋转60°得到 AB,连接0A,00, A O B 同(1)可得△0B0为等边三角形， .00=0B,∠00B=∠0B0=∠00B=60°， 同(1)可得△AB0≌△AB0(SAS), .0A=0A∠A0B=∠A0B=120°，∠AB0=∠AB0, ∠B0C+∠00B=180°，∠A0B+∠00B=180°， 点C0,0,A在同一条直线上， ∴.0A+0B+0C=0A+00+0C=AC, :∠0BC+∠AB0=30°=∠OBC+∠AB0, .∠0BC+∠AB0+∠0B0=90°， :∠C=90°，AC=1,∠ABC=30°， .A B=AB=2AC=2, 由勾股定理得BC2=AB2-AC2=3 AC=VAB2+BC2=4+3=7, 即0A+0B+0C=V万. 5.(1)解：猜想EF=AF,证明如下： :AD⊥AC, :∠AEC+∠ACE=90°， :△ABC≌△ABC, ∴∠B=∠B=90°， 由旋转的性质可得∠B=∠0=90°，∠D=∠C=∠ACE, :∠D十∠EAF=90°， ∠AEC=∠EAF, ∴EF=AF (2)解：四边形AAOB是平行四边形，证明如下： 由题意，得AB=AB=AO, 在Rt△ABC中，A是边AC的中点， AA=AB, ∠A=∠ABA: :△ABC兰△ABC, ∠A=∠BAC, 由旋转的性质，得∠BAC=∠BAO, ∠ABA=∠BAO, AB‖A0, 又：AB=A0, .四边形AAOB是平行四边形： (3)解：在Rt△ABC中，AB=3,BC=4, ∴AC=VAB2+BC=32+47=5, :A为AC的中点， .A'C=AC= 由全等及旋转的性质得A0=AB=3,∠0=90°，分两种情况讨论： ①当A0⊥AC时， B H :∠GAC=∠0=90°， :.ACIl OD, ∠GHO=∠ACB, 又：∠AGC=∠HG0, .△AGC~△OGH, :∠ACG=∠ACB,∠GAC=∠ABC=90°， ∴△AGCN△BAC, 铝=能，即9=享，解得AG=号， G0=A0-AG=3-晋=9， 由△AGC心△0GH,符架=架，即喜=婴，解得H0=号， 在Rt△A0H中，由勾股定理得AH=A02+H02=V32+()了=5 ②当OD⊥AC时，设AD交BC于点I,此时点G与点C重合， (G( ∵OD⊥AC， $$\therefore \angle H O C = 9 0 ^ { \circ } ，$$ $$\angle A B C = 9 0 ^ { \circ } ，$$ ∴∠HOC=∠ABC， ∵∠A=∠CA'D， LA=∠CAD， ∴AB∥A'D， $$\therefore \angle A ' G G = \angle A B C = 9 0 ^ { \circ } ，$$ 即 A'I⊥BC， ∵ A 为 AC 的中点， A'I∥AB， ∴A'I 是 △ABC 的中位线， $$\therefore A ' I = \frac { 1 } { 2 } A B = \frac { 3 } { 2 } ， G I = \frac { 1 } { 2 } B C = 2 ， A ' G = \frac { 1 } { 2 } A C = \frac { 5 } { 2 } ，$$ $$\therefore O G = A ' O - A ' G = 3 - \frac { 5 } { 2 } = \frac { 1 } { 2 } ，$$ $$\because \angle H G O = \angle A ' G I ， \angle H O G = \angle A ' G G = 9 0 ^ { \circ } ，$$ ∴△HGO∼△A'GI， $$\therefore \frac { H O } { A I } = \frac { G O } { G I } ， 且$$ $$\frac { H O } { \frac { I } { 2 } } = \frac { \frac { 1 } { 2 } } { 2 } ，$$ 解得 $$H O = \frac { 3 } { 8 } ，$$ 在 Rt△A'OH 中，由勾股定理得 $$A ^ { \cdot } H = \sqrt { A ^ { \prime } O ^ { 2 } + H O ^ { 2 } } = \sqrt { 3 ^ { 2 } + \left( \frac { 3 } { 8 } \right) ^ { 2 } } = \frac { 3 \sqrt { 6 5 } } { 8 } ；$$ 综上所述，AH的长为 $$\frac { 3 \sqrt 5 } { 2 } 或 \frac { 3 \sqrt { 6 5 } } { 8 }$$ 6.(1)解： 正方形ABCD的边长为 5， ，正方形 AEGF 的边长为3， $$\therefore A E = A G = 3 ， A B = 5 ， \angle E A D = \angle B A D = \angle E = 9 0 ^ { \circ }$$ $$\therefore \angle E A D + \angle B A D = 9 0 ^ { \circ } + 9 0 ^ { \circ } = 1 8 0 ^ { \circ }$$ ∴E、A、B 在同一直线上， ∴BE=AE+AB=3+5=8， 在 $$R t \triangle B E G 中 ， B G ^ { 2 } = E G ^ { 2 } + B E ^ { 2 } ，$$ $$\therefore B G = \sqrt { B E ^ { 2 } + E G ^ { 2 } } = \sqrt { 3 ^ { 2 } + 8 ^ { 2 } } = \sqrt { 7 3 } ；$$ (2)解：连接AG ，如图所示： G E D C B ：四边形A EGF是正方形， ·∠EAG=45°， 由旋转可知，∠EAD=90°-45°=45°， ·点A、D、G三点共线， :正方形AEGF的边长为6， ·AG=VAE2+EG2=V62+6=62, :正方形ABCD的边长为5， ÷AB=5,∠DAB=90°， 在Rt△A8G冲，BG=VAB2+AG2=52+(62)=V57: (3)解：延长BA,过点G作GM⊥AB于点M,如图所示： D G ○ MA ∠GMA=90°， .∠GAM+∠GAD=90°， :四边形AEFG是矩形， .∠GAE=90°， :∠GAD+∠DAE=90°， ·∠GAM=∠DAE, 又：∠GMA=∠EDA=90°， :△GAM△DAE, …器=器-噩 :四边形ABCD是矩形， :AB=DC=8,AD=BC=4,∠ADC=90°， 由旋转可知AE=AB=8,AG=AD=4, 在Rt△ADE中，DE=VAE2-AD2=V⑧2-4F=45, …器=学=， :MA=2,GM=23, 在Rt△MBG中，BG=VBM2+GM=V102+(23)=V12=4W5. 7.(1)解：MF=ME,证明如下：连接DM, B 由旋转的性质，得DE=DF,∠DFM=∠DEC=90°， ∠DEM=180°-∠DEC=90°， ∴∠DFM=∠DEM, 在Rt△DMF和Rt△DME中， ∫DF=DE (DM=DM' .Rt△DMF≌Rt△DME(HL) :MF=ME: (2)解：由旋转的性质可得：∠DGB=∠C,DG=DC, DB=DC, :DG=DB=DC, .∠DGB=∠DBG, ∠DBG=∠C, :BM=MC, 设BM=MC=x,则AM=AC-MC=8-x, 在Rt△ABM中，BM2=AB2+AM2,即x2=62+(8-x)2, 解得x=空， AM=AC-MC=8-=壬： (3)解：如图，连接AD, B(N) AM E G 在Rt△ABC中，BC=VAB2+AC=10 ∠BAC=90°，BD=CD, :AD=专BC=5, 由题意得DF=DE=3 当点F在AD上时，AF最小，此时AF=AD-DF=2: 当点F在AD的延长线上时，AF最大，此时AF=AD十DF=8 2≤AF≤8， 故答案为：2≤AF≤8. 8.(1)证明：由旋转可得∠ACB=∠E,AC=AE,∠CAE=90°， :.∠ACE=∠E=90°X专=45°， ∠ACB=∠E=45o, ∠BCE=45°+45°=90°， BC⊥CE (2)解：由旋转可得AB=AD,BC=DE,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°， :∠ADB=90°×3=45°， ∠ACB=∠ADB, 又：∠BFC=∠AFD, .△BFC△AFD, =器=器， :BC=1,AC=2V2, :cE=22×2=4, .CD=4-1=3, BD=12+32=V10, AD=V10x号=5， 言=器，言 22-AF V10-BF :AP=9 (3)解：由旋转可得AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°，∠BAC=∠DAE .∠E=∠ACE=90°X=45°，∠ABD=∠ADB=90°X=45°， 又：AB=5, BD=5×2=o, FG‖CE, ∴∠AFG=∠ACE=45°，∠AGF=∠E=45°， ∠AFG=∠AGF, AG=AF, 在△ABF和△ADG中， AB-AD ∠BAF=∠DAG AF-AG △ABF≌△ADG(SAS), ∠ADG=∠ABF=45°，BF=DG, .∠FDG=45°+45°=90°， 设BF=m,则DG=m,FD=V10-m, Sao6=m(0m)=(m平)°+≤是（当Br=m=耍时取等号. “△DFG的面积的最大值是罩 9.解：（1)如图，连接CD, D 由题意得，DE=CE,∠DEC=180°-2， ·∠EDC=∠ECD=X=∠BAG ·CD=AD,∠BCD=∠B=90°-% ·CD=BD, :AD BD: （2) G F C 图1 BG=2AD,理由如下： 以E为圆心，AE长为半径画弧，交AB于H,取BG的中点Q,连接FQ, :EH=AE, ·∠AHE=∠A= :∠AEH=1800-2 ·∠AEH=∠DEF ·∠AEH-∠DEH=∠DEF-∠DEH, ·∠AED=∠FEH, DE=EF, ·△ADE≌△HFE(SAS), :FH=AD,∠EHF=∠BAC=, ·∠AHF=∠AHE+∠EHF=2 :FG IAC,∠C=90°， ·∠BFG=∠C=90°，∠BGF=∠BAC= .FQ=QG=专BG ·∠QFG=∠BGF=, ·∠BQF=∠BGF+∠QFG=2, ·∠AHF=∠BQF, 2.FH=FQ, BG=2FQ=2FH=2AD: (3)如图2-1， S 图2-1 作AB的垂直平分线，交AC于S,连接BS, 则AS=BS, ∴∠ABS=∠BAC, ∠BSC=∠A十∠ABS=2∠A, :tanA=,BC=4,∠ACB=90°， AC=6, 设SC=x,则BS=AS=6-x, x2+42=(6-x)2, x=, tan∠BSC=器=号， :tan(2∠A)=号. (1)如图2-2， A GE F 图2-2 当∠BCF=90°时，即点F在AC上时，作DG⊥AC于G, .∠AED=2=2∠A, tan∠AED=器=号， 设DG=12k,EG=5k,则EF=DE=13k, :tanA==号， AG=DG=18k, :点E是AC的中点， :AE=CE=3, 由AG+EG=3得，18k+5k=3, k=桑， :EF=13k=器， ·CP=CB-EF=3-器=， SABCR=BCCP=专×4×器=8； (i)当∠BFC=90°时， D A WGEHV 图2-3 作FV⊥AC于V,作DW⊥AC于W,作∠EFH=∠AED交AC于H,作∠EDG=∠FEC ,交AC于G, DE=EF, .△DEG≌△EFH(ASA), .DG=EH,EG=FH,∠DGE=∠EHF, :∠DEF=180°-2a,∠DEG+∠FEH+∠DEF=180°， .∠DEG+∠FEH=2a, ÷∠DEG十∠EDG=2, ÷∠DEG=∠EHF=∠DEF=180°-2a=180°-2∠A, ∠DGW=∠FHV=2∠A, 设FV=12m,HV=5mCV=n,则EG=FH=13m, :DG=EH=CE-CV-HV=3-n-5m, :DW=号DG=￥(3-n-5m),WG=最(3-n-5m), :AW=是DW=号(3-n-5m), 由AW+WG+EG=AE得，器(3-n-5m)+13m=3①， 取BC的中点O,作FT⊥BC于T, 则OF=OC=OB=2,四边形CVFT是矩形， .FT=CV=n,CT =FV =12m, .0T=2-12m, 由勾股定理得，(2-12m)2+n2=22②， 由02得，m1=9,2=9, 当n=时，S2Bcs=支×4×=9， 当n=9时，SABCF=×4×9=影 综上所述：SABRC=架或号或号. 10.(1)解：：点P,N分别是CD,BC的中点， :PNIBD,PN=BD, 点P,M是CD,DE的中点， :PMICE,PM=CE, AB=AC,AD=AE, ∴BD=CE, :PM=PN, PNIBD,PMIICE, ∴∠DPN=∠ADC,∠DPM=∠DCA, ∠A=90°， ∠ADC+∠DCA=90°， ∠MPN=∠DPN+∠DPM=∠ADC+∠DCA=90°， PM⊥PN, 图1中，线段PM与PN的数量关系是PM=PN,位置关系是PM⊥PN; (2)解：△PMN是等腰直角三角形.理由如下： :把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置， ∠BAC=90°=∠DAE, ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE, 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE 、AD=AE :.△ABD≌△ACE(SAS), .∠ABD=∠ACE,BD=CE, 点P,N分别是CD,BC的中点， :PNIBD,PN=BD, 点P,M是CD,DE的中点， .PMIICE,PM=专CE, :PM=PN, PNIBD,PMICE, .∠PNC=∠DBC,∠DPM=∠DCE, ∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC, ∠MPN=∠DPM+∠DPN =∠DCE+∠DCB十∠DBC =∠BCE十∠DBC =∠ACB+∠ACE+∠DBC =∠ACB+∠ABD+∠DBC =∠ACB+∠ABC, :∠BAC=90°， .∠ACB十∠ABC=90°， .∠MPN=90°， .△PMN是等腰直角三角形； (3)解：由(2)知：△PMN是等腰直角三角形，且PM=PN=专BD, ·S△PMN=PM·PN=支BDX3BD=青BD2, ∴BD最大时，△PMN的面积最大， :△ADE绕点A在平面内自由旋转，AD=4,AB=10, 当D在BA的延长线上时，BD最大 此时BD=AB+AD=10+4=14, :S△PMN最大=青BD2=青×142=号， 即△PMN面积的最大值号 11.解：(1)如图，将△ABD绕点D旋转180°，得到△CED,连接AE, E B 图1 :DA=DC,DB=DE, :四边形ABCE是平行四边形， :BA=CE,DB=BE, BA=4,BC=6, 又：BC-CE<BE<BC+CE, 6-4<BE<6+4,即2<BE<10, 1<BD<5, BD的取值范围为1<BD<5; (2)如图，将△BPA绕点B顺时针旋转60°得到△BDC,连接PD, 图2 ·BD=BP=1,∠PBD=60°，CD=PA=V2,∠BPA=∠BDC, ·△PBD是等边三角形， .PD=BP=1,∠PDB=60°， 在△PCD中，PD=1,CD=V2,PC=V3, :PD2+cD2=12+(2)2=3,Pc2=(5)2=3 :PD2+CD2=PC2, ∠PDC=90°， ∠BDC=∠PDC+∠PDB=90°十60°=150°， ∠BPA=∠BDC=150°； ∠BPA的大小为150°； (3)如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABM, A D M B E 图3 ∴∠MAB=∠FAD,AM=AF,BM=DF,∠ABM=∠ADF :四边形ABCD是正方形，∠EAP=45°，AB=2,BE+DF=5, ∴∠ABM=∠ADF=90°，∠ABE=∠BAD=90°， 点M在CB的延长线上， :EM=BE+BM=BE+DF=3, ∠BAE+∠DAF=90°-∠EAF=45°， ∴∠MAB+∠BAE=∠FAD+∠BAE=45°， ∴∠MAE=∠EAF, 在△MAE与△FAE中， AM=AF ∠MAE=∠EAF AE-AE .△MAE≌△FAE(SAS), S△4r=S△4By=克EM·AB=克×V5×2=V5, ·△AEF的面积为V5 12.解：(1)：正方形的边长为2， BC=2, △ABC≌△CFE, .EF=BC=2, :EF⊥BC, .△BCE的面积为BC·EF=专×2×2=2； (2)过点E作EF⊥BC,交BC的延长线于点F, 四边形ABCD是矩形， ∠ABC=90o ∠ACB+∠BAC=90° 由旋转的性质得：AC=CE,∠ACE=90 ·∠ACB+∠FCE=90°， ∠BAC=∠FCE 在△ABC和△CFE中 ∠ABC=∠F=90 ∠BAC=∠FCE AC-CE ∴.△ABC≌△CFE(AAS) :EF=BC=m 则△BCE的面积为BC·EF=专m2 (3)过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于点E, 过点A作AF⊥BC,交BC的延长线于点F, B E :DE⊥BC,AF⊥BC, ∠AFC=∠CED=90o :∠FAC+∠ACF=90°，∠ECD+∠ACF=90° ∠ECD=∠FAC, 由旋转的性质得：AC=CD, 在△AFC和△CED中 ∠AFC=∠CED=90 ∠ECD=∠FAC AC=CD .△AFC≌△CED(AAS) :ED=FC AB=AC,AF⊥BC .△ABC是等腰三角形， F是BC的中点， :BC=10 .ED=FC=专BC=5 则△BCD的面积为专BC·DE=专×10×5=25 13.(1)解：：0A=0B,0C=0D,∠A0B=∠C0D=90°， ·△AOD兰△B0C(SAS), :BC=AD,∠OBC=∠DAO, :点M是BC的中点， .OM=BM=BC, :OM=专AD,∠MB0=∠MOB, :∠AD0+∠DA0=90°， ÷∠0BC+∠AD0=∠B0M+∠AD0=90°， ÷AD⊥0M. 故答案为：OM=专AD,OM⊥AD (2)解：(1)的结论仍然成立，理由如下： 如图2中，延长OM到H,使得MH=OM,设AD交OH于G,交OB于K, :CM=BM,∠CMO=∠BMH,OM=MH, ·△CMO≌△BMH(SAS), :OC=BH=OD,∠COM=∠H, OCI‖BH, ·∠0BH+∠C0B=180°， :∠A0D+∠C0B=180°， ÷∠OBH=∠AOD, :0B=0A, ·△OBH≌△A0D(SAS), ·AD=OH,∠OAD=∠BOH, OM=MH=0H, :0M=专AD '∠0AD+∠AK0=90°， ·∠B0H+∠AK0=90°， :∠0GK=90°， AD⊥OH, OM⊥AD 综上，(1)的结论0M=专AD,OM⊥AD仍然成立， (3)解：①如图，当OC⊥BC,作CHLOA于H,连接AC, H D :∠0CB=90°，0A=0B=6,0C=3, :sin∠0BC=器=号 :∠0BC=30°， .∠C0B=90°-∠0BC=90°-30°=60°， ∴BC=VB02-0c2=V62-32=35, :∠A0B=90°， .∠C0H=∠A0B-∠C0B=90°-60°=30°， :CH⊥OA,即∠CH0=90°， aCH=0C=支×3=号， :S△4BC=S△40B-S△A0c-S△B0C =克A0,B0-克A0.CH-克0C·BC =支×6×6-克×6×号-×3×3V5 =18-}.29 =9号9 =275 2 ②如图，过点C作CH⊥AO的延长线于H,连接AC, 同①可知∠0BC=30°，∠B0C=60°，BC=3V3, :∠A0B+∠B0C+∠C0H=180°，∠A0B=90° .∠C0H=180°-∠A0B-∠B0C=180°-90°-60°=30°， :CH=0C=克×3=， ·S△4Bc=S△40B十S△B0c-S△40C =A0:B0+支0C·BC-A0CH =专×6×6+×3×3V5-克×6× =18+9-号 =9+9 =27+95 2 综上所述，△ABC的面积为27-95或27+95 2 14.(1)解：由题意可知："对角旋转角"为∠BAC,∠BAC+∠CAD=90°， ∴∠BAC=90°-， 对角旋转角为：90°-α， 故答案为：90°-《： (2)解：如图， D B B C :∠C1AD=50°， 由旋转可知，∠DAC=∠D1AC1, :∠D1AC1+∠C1AD+∠DAC=90°， ∠D1AC1+∠DAC=90°-50°=40°， 2∠DAC=40°， 由旋转可知，∠DAC=∠D2AC2, .∠D2AC2+∠DAC=40°， :∠C2AD=∠C2AD2十∠CAD, .∠C2AD=40°， 故答案为：40°； (3)解：：S△4cc,=AC·B1C1=312,S△4cc,=AC·D2C2=130, BC1 AD=BC,D2C2=AB=CD,BC=2AB+4, :AB=学，312=方ACAD=AC,BC,ACD2C2=方AC·AB=130, 器- .130BC=312AB,即BC=2.4AB, :AB=, BC=4×2.4, AB=10,BC=24, S长方形ABCD=AB·BC=10X24=240. 15.(1)解：∠C0D=900, ∴∠A0C+∠B0D=90°， ∠A0C=, ∠B0D=90°-， :OM平分∠BOD, :∠B0M=专∠B0D=45°-&， ∠A0M=180°-B0M=180°-(45°-)=135°+： 故答案为：135°+号 (2)解：①如图，当点M位于AB的上方时，此时0<t≤8， D -M B N 根据题意得：∠A0D=50°+90°+5°×t=140°+(5t)°， ∠C0N=∠A0C+∠A0N=50°+(5t)°+(2t)°=50°+(7t)°， ∠A0M=∠A0D+∠D0M=140°+5°×t+[180°-(140°+5°×t)]=160°+专×5°×t, :∠A0M+∠C0N=270°， :.50°+(7t)°+160°+专×5°×t=270°， 解得：t=罗； 如图，当点M位于AB的下方，点C位于AB的上方时，此时8<t<18号， N D 根据题意得：∠A0D=360°-(50°+90。+5°×t)=220。-(5t)°， ∠C0N=∠A0C+∠A0N=50°+(5t)°+(2t)°=50°+(7t)°， ∠A0M=∠A0D+∠D0M=220°-(5t)°+[180°-(220°-5°×t)]=200°-号×5°×t, :∠A0M+∠C0N=270°， :50°+(7t)°+200°-克×5°×t=270°， 解得：t=智<8（舍去）； 如图，点M位于AB的下方，点C位于AB的下方时，此时18号≤t<30, B M D 根据题意得：∠A0D=360°-(50°+90°+5°×t)=220°-(5t)°， ∠C0N=∠A0C+∠A0N=360°-[50°+(5t)°+(2t)°]=310°-(7t)°， ∠A0M=∠A0D+∠D0M=220-(5t)°+[180°-(220°-5°×t)]=200。-×5°×t, :∠A0M+∠C0N=270°， 310°-(7t)0+200°-×5°×t=270°， 解得：t=罗， 综上所述，t可为罗或秒： 当0<t≤8时， ∠A0M+k∠C0N=[160+号t+k50+7]°=[（号+7k)t+160+50k]· 当号+7k=0,即k=~岳时，与1无关， 当8<t<18号时 ∠A0M+k∠C0N=[200-号t+k50+7t]°-=[(7k-)t+200+50k]° 当7k-号=0时，解得k=是>0，舍去： 当18号≤t<30时， ∠A0M+k∠C0N=[200-号t+k310-7t)]°=[(-号-7k)t+200+310k]° 当-号-7k=0,即k=-是时，与t无关， 综上所述：此时k=-吾时与t无关，且0<t≤8或18号≤t<30. 16.(1)解：①∠BAE-∠CAD=45°（或∠BAE=∠CAD+45): 理由如下：∠BAE十∠CAE=90°， ∠CAD+∠CAE=45°， 两式相减得：∠BAE-∠CAD=45°， ②：∠CAF=青∠CAD, ∠FAE=45°-∠DAF=45·-号∠CAD, :∠BAG=∠EAG, .∠BAG=专∠BAE, ∠EAG=∠BAE+∠BAG=等∠BAE, ∴∠FAG=∠FAE+∠EAG, =45·-等∠CAD+号∠BAE =45·+(∠BAE-∠CAD) =45°+号×450 =1050; (2)如图，当ADBC时， ∴.∠DAC=∠ACB=30°，∠EAC=45°-30°=15°， t=号=3： 如图，当DEAB时， ∠BAC+∠ADE=180°，则∠ADE=90°， 此时∠CAE=∠DAE=45°， t=9=9 如图，当DE引BC时， ∠BMA=∠D=90°，∠AMC=180°-90°=90°， ∠MAC=90°-30°=60°， ∴∠EAC=45°+600=1050， t=9=21: 如图，当DEAC时， ∠ADE=∠BAC=90°，即A,B,D共线， ∠CAE=90°+45°=135°， t=5=27; 5 如图，当AE引BC时， .∠EAB=∠B=60°， ∴∠EAC=60°+90°=150°， t=9=30, 综上：t的值为3或9或21或27或30. 17.解：问题：如图①，连接AF, D E B 图① CA=CB,∠C=90°， ∠CAB=45°， :将△ABC绕点A逆时针转45°，得△ADE, 点E落在AB上， ∴∠AEF=∠AED=90·, .在Rt△ACF和Rt△AEF中， ∫AC=AE (AF=AF' ∴.Rt△ACF≌Rt△AEF(HL), :.CF=EF, :∠ACF+∠AEF=90o, ∴∠CAE+∠CFE=180°， ∠CFE=180°-45°=1350 故答案为：CF=EF,135 探索：(1)如图②，(1)连接AF, >入 R D E F 图② 在Rt△ACF和Rt△AEF中， (AC=AE AF-AF ∴.Rt△ACF兰Rt△AEF(HL), ∠CAF=∠EAF, :∠CAE=60°， .∠FAE=号∠CAE=30°， ∴AE=V5EF, ·S△4DE:SA4EF=V5:1 (2)如图②，过点D作DT⊥CA交CA的延长线于点T,在DT上取一点R,使得 AR=DR,连接AR, :AC=AE=DE=4,∠AED=90°， .AD=V2AE=42 :∠CAE=60°，∠EAD=45°， ∠DAT=180°-60°-45°=90°， ∠T=90°， .∠ADT=900-75。=15°， AR=DR .∠ART=∠RAD+∠RDA=30°， AR=2AT,RT=V3 AT, 设AT=X,则AR=DR=2x,RT=V5x AD2=AT2+DT2. :(42°=x2+(2x+5x月， ∴x=23-2(负根已经舍去)， :CT=DT=25+2, :cD=2cT=2W2+2W6, 应用：如图③中，设AB交CD于点T,连接BD,过点T作TH⊥AC于H, B A H 图③ :∠ADC=90°，AD=6,DC=12, AC=VAD2+CD2=V62+122=65, :tan∠ACD=器=品=克， .可以假设TH=k,CH=2k, :∠ABC=90°，BA=BC, ∠BAC=45°， :AH=TH=k, AC=3K=65, k=2W5, AT=2TH=210,CT=V5k=10, “AB=BC=3V10, :BT =AB-AT =V10, :∠ADT=∠CBT=90°，∠ATD=∠CTB, △ATD~△CTB, 需=等， 器=既， :∠DTB=∠ATC, △DTB△ATC, =既， 器-细， .DB=3V2. 故答案为：32 18.解：(1)如图，连接AE、PF,延长EF、AP交于点Q, 当《=60时，△ABC和△PDC都是等边三角形， ∴∠PCD=∠ACB=60·,PC=CD,AC=CB, :E、F分别是CB、CD的中点， 器=方，器= 哭=張， 又：∠ACP=∠ECF, .△ACPw△ECF, :0=,∠CEF=∠CAP, :最=2，∠Q=B=∠ACB=60°， 故答案为：2,60°； 当&=90时，△ABC和△PDC都是等腰直角三角形， :∠PCD=∠AC8=45,PC=CD,AC=方CB, :E、F分别是CB、CD的中点， :器=在，器=方 咒=器， 又：∠ACP=∠ECF, .△ACPN△ECF, 第=古9，∠CER=∠0AP. 0=V2,∠Q=B=∠ACB=45°， 故答案为：2,45°； 由此，可归纳出器=能=罗=妥，B=∠ACB=18g, 故答案为：罗，1899 (2)当《=120时，连接AE、PF,延长EF、AP交于点Q, :AB=AC,E是CB中点， AE⊥BC,∠CAE=60 sin60=器=与， 同理可得： $=, 哭= 又：∠ACP=∠ECF, ·△ACPN△ECF, :器=器=9，∠CBF=∠CAP, 架=29，∠Q=B=∠ACB=30°. 19.(1)解：猜想：AD=BE, 理由：：CD绕点C顺时针旋转90°得到CE, .CD=CE,∠DCE=90°， ∠DCB+∠BCE=90o, :∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠DCB=90°， .∠ACD=∠BCE, :△ACB为等腰直角三角形， :CA=CB, 在△ACD和△BCE中， CA=CB ∠ACD=∠BCE CD=CE .△ACD≌△BCE(SAS, AD=BE: (2)解：猜想BH与CH的数量关系为：BH=CH, 理由：过点C作CE⊥CD,交DH的延长线于点E,连接BE,如图， 由题意得：∠DCH=45°， :DH⊥CM, ∠CDE=45°， ∠CED=180°-∠CDE-∠DCE=45°， :.△DCE和△CHE为等腰直角三角形， :.CH=HE=DH=DE,DC=DE, :∠DCB+∠BCE=90°， :∠ACB=90°， .∠ACD+∠DCB=90°， .∠ACD=∠BCE, :△ACB为等腰直角三角形， ∴CA=CB,∠A=∠ABC=45°， 在△ACD和△BCE中， CA=CB ∠ACD=∠BCE CD-CE ·.△ACD≌△BCESAS, .∠A=∠CBE=45°， ∴∠ABE=∠ABC十∠CBE=90°， H为DE的中点， :.BH=DE, :BH=CH; (3)解：设DE与BC交于点F,过点C作CH⊥DE于点H,如图， 由(1)知：△ACD≌△BCE, AD=BE=8,∠CBE=∠A=45°， ∠DBE=∠ABC+∠CBE=45°十45°=90°， :.DE=VBD2+BE2=10. :△DCE为等腰直角三角形， :DC=CE=52,∠CDE=45, CH⊥DE, .CH=DE=5, :AB=AD+BD=8+6=14, AC=BC=号AB=7E, :∠CDE=∠CBD=45o,∠DCF=∠BCD, .△CDF△CBD, 器=器， =喂， .72 :DF=9, :重叠部分的面积=SADECT=专×DF.CH=专×9×5= 20.(1)解：OB平分∠M0D,理由如下： ∠A0B=90°，∠M0B+∠A0B+∠A0C=180°， ∴∠C0A+∠B0M=90°，∠A0D+∠B0D=90°， :OA平分∠NOD, :∠C0A=∠A0D=3∠C0D, ∠BOD=∠BOM, .OB平分∠MOD. (2)解：①∠A0C-∠B0D=45°，理由如下： :∠A0B=90°， ∠B0C=90°-∠A0C, :∠C0D=45°， ∠B0C=45°-∠B0D, .90°-∠A0C=45°-∠B0D,即∠A0C-∠B0D=45°； ②第一种情况：OB在MO的延长线上，如图所示， A M B -N D ·∠A0C=∠A0B=90°，∠B0D=∠C0D=45°， ∴∠A0C-∠B0D=90°-45°=45°， ∠A0C-∠B0D=45°； 第二种情况，OB在C0的延长线上，如图所示， M B ∠C0D=45°，∠A0B=90°， ∠A0D=180°-∠A0B-∠C0D=180°-90°-45°=45°， ∠B0D=∠A0B+∠A0D=90°十45°=135°， ∠A0C=∠A0D+∠C0D=45°+45°=90°， ∠B0D-∠A0C=135°-90°=45°， ∴∠B0D-∠A0C=45°； 综上所述，∠A0C-∠B0D=45°或∠B0D-∠A0C=45°.