23.2一次函数的图象和性质 同步自主达标测试题 2025-2026学年人教版八年级数学下册

2025-2026学年人教版八年级数学下册《23.2一次函数的图象和性质》 同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．平面直角坐标系中，函数的图象经过点，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 2．已知直线经过点，并且与直线平行，那么的值为（    ） A． B． C． D． 3．若点，都在直线上，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 4．直线满足（   ） A．随增大而增大 B．一定不过第一象限 C．无论取何值，必过定点 D．与轴交于点 5．若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 6．平面直角坐标系内，将直线沿轴向下平移个单位，所得直线的解析式是（   ） A． B． C． D． 7．一次函数与正比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能为（    ） A． B． C． D． 8．若函数的图象上存在点P，函数的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，则称点P（或点Q）的纵坐标为函数，与的“对偶值”．那么函数与的“对偶值”为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 二、填空题（满分24分） 9．当时，函数的最大值与最小值的和为______． 10．将直线向下平移个单位，得到直线，则的值为________； 11．如果方程组无解，那么直线不经过第_________象限． 12．若直线与直线相交于轴，则_____． 13．生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则与之间的关系式为___________． 尾长（） 6 8 10 体长（） 14．已知直线可以看作由直线向左平移10个单位长度而得到，那么直线与x轴交点坐标为______． 15．直线关于轴对称的直线的表达式为______，关于轴对称的直线的表达式为______． 16．如图，直线与轴、轴分别交于点，，在轴上作一点，使得 是以为腰作等腰三角形，则点的坐标为______． 三、解答题（满分72分） 17．已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． 18．已知y是关于x的一次函数，且当时，；当时，． (1)求该一次函数的表达式； (2)当时，求自变量x的值． 19．在平面直角坐标系中，画出函数的图象． (1)列表，将下表补充完整： (2)描点，根据（1）的数值表，在如图所示的平面直角坐标系中描点； (3)连线，用平滑的曲线将这些点连接起来，即得到函数的图象． 20．一次函数恒过定点． (1)若一次函数还经过点，求的表达式； (2)若有另一个一次函数． ①点和点分别在一次函数和的图象上，求证：； ②设函数，当时，函数有最大值8，求的值． 21．为解决学生课桌面乱堆乱放现象，班主任王老师计划从某文具店购进A，B两种不同型号的书挂袋给学生使用，每名学生1只（班级共40名学生）．已知：购买3只A种书挂袋、2只B种书挂袋需要110元，购买5只A种书挂袋、4只B种书挂袋需要200元． (1)求文具店A种、B种书挂袋售价各为多少元？ (2)已知文具店A，B两种书挂袋的进货价分别为16元和18元，王老师要给所有同学买书挂袋（共40只），若买B书挂袋m只，该文具店所获利润为w元，请写出w与m之间的关系式． 22．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为． (1)请在图中作出关于轴对称的； (2)作出线段的垂直平分线，它与轴的交点坐标为_____； (3)请在轴上找一点，使得最小，画出点，点的坐标为_____； 23．秤是我国传统的计重工具，方便了人们的生活．如图1，可以用秤砣到秤组的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤组的水平距离为（厘米）时，秤钩所挂物重为（斤），则是的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据． （厘米） 1 2 4 7 11 12 （斤） 0.75 1.00 2.00 2.25 3.25 3.50 (1)在上表、的数据中，发现有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断错误的一对是___________；（用坐标表示）． (2)求与之间的函数关系式． (3)求当秤钩所挂物重为4.50斤时，秤杆上秤砣到秤组的水平距离是多少厘米． 24．如图，等腰中，，，点A，B分别在y轴、x轴的正半轴上，点位于第三象限，交x轴于点D，交y轴于点E． (1)求点A的坐标； (2)若，求线段的长； (3)在（2）的条件下，在坐标平面内，是否存在点P（与点C不重合），使得以P，B，D为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．解：∵函数的图象经过点， ∴， ∴； 故选A． 2．解：∵直线与直线平行． ∴． 把点代入，得． 整理得． 解得． 3．解：， ∴的值随着的增大而减小， ∵， ∴， 故选：． 4．解：A、∵的符号不确定，当时，随增大而减小， ∴A错误，该选项不符合题意； B、当时，直线解析式为，经过第一象限， ∴B错误，该选项不符合题意； C、， ∵当，即时，无论取何值，恒成立， ∴直线必过定点， ∴C正确，该选项符合题意； D、令，代入解析式得， ∴直线与轴交于点，只有当即时，才交于点，由于的值不确定，因此直线不一定与轴交于点， ∴D错误，该选项不符合题意． 5．解：∵关于x的方程的解是， ∴当时，，即当时，， ∴直线一定经过点． 6．解：直线沿轴向下平移个单位后的解析式为： ，即． 故选：． 7．A 【分析】分别根据一次函数和正比例函数的图象判断k和b的符号，然后进行比较求解即可． 【详解】解：一次函数中，，则一次函数图象y随x的增大而增大，故A、B选项符合，C、D选项不符合， 当时，一次函数与y轴交于正半轴，正比例函数的图象在第一、三象限，A选项符合题意； 当时，一次函数与y轴交于负半轴，正比例函数的图象在第二、四象限，B选项不符合题意． 8．C 【分析】设，，根据题意，得， 求解即可． 【详解】解：函数的图象上存在点P，函数的图象上存在点Q，且P、Q关于y轴对称，且，， 设，， 根据题意，得， ， 解得， ． 9．2 【分析】此题主要考查了一次函数在自变量限定范围内的最值，需利用一次函数增减性求解，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 由函数解析式可知，y随x的增大而减小，所以当时，函数有最大值，当时，函数有最小值，最后将最大值与最小值相加即可． 【详解】解：， y随x的增大而减小， 当时，函数有最大值，最大值为； 当时，函数有最小值，最小值为； 当时，函数的最大值与最小值的和为． 故答案为：2． 10．5 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键；根据一次函数图象平移的规律，向下平移a个单位，则函数解析式中的常数项减去a，比较两个解析式与中的常数项，即可求得a的值． 【详解】解：将直线向下平移a个单位，得到新直线为， 由题意，与相同， ∴， 解得：； 故答案为：5． 11．二 【分析】本题考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，一次函数的图像与系数的关系，解题的关键是根据方程组解的情况求得的值，再根据一次函数的性质求解．由方程组无解，可得，解得，则直线为，根据一次函数图像与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵方程组无解， ∴， 解得， 将代入得， ∵， ∴直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 故答案为：二． 12． 【分析】先利用x轴上点的纵坐标为0的特征，求出直线与x轴的交点坐标，再将该交点代入直线，通过解方程得到b的值． 【详解】因为两直线相交于x轴，所以交点的纵坐标为0， 对于直线，令，则：， 解得， 因此两直线的交点坐标为， 将代入直线中，得：， 解得． 13． 【分析】本题主要考查了根据列表求一次函数的解析式，解题的关键是掌握待定系数法． 由题意，y是x的一次函数，设函数关系式为，利用待定系数法，选取数据点代入求解k和b． 【详解】解：设函数关系式为， 将和代入得， ， 解得， ∴与之间的关系式为． 14． 【分析】先利用“左加右减”的平移规律得出平移后的直线解析式，再通过令函数值为0求解自变量的值，即可得到与x轴的交点坐标． 【详解】解：∵直线由直线向左平移10个单位长度得到， ∴平移后的直线解析式为， 展开得． 令，则：， 解得：， ∴直线与x轴交点坐标为． 15． 【分析】本题考查一次函数图象的对称变换，熟悉一次函数关于轴和轴的对称变换规律，是解题的关键．利用点关于坐标轴对称的性质求解对称直线表达式即可． 【详解】解：直线关于轴对称时，其上任意一点的对称点为， 代入原方程得，即， 关于轴对称时，点的对称点为， 代入原方程得，即． 故答案为：；． 16．或或 【分析】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，等腰三角形定义，由直线可得，当时，；当时，；所以，，由勾股定理得，然后分如图，当时，如图，当或时进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由直线可得，当时，；当时，； ∴，， ∴，， ∴， 如图，当时， ∴， ∴点； 如图，当或时， ∴点或； 综上可得，点的坐标为或或， 故答案为：或或． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质． （1）根据正比例的定义得到，进而根据“当时，”计算即可； （2）将代入函数解析式计算即可． 【详解】（1）解：设，则， 当时，，代入得：， 解得：， ∴与之间的函数关系式为：； （2）解：将点代入得：， 解得：． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式．一次函数图象上点的坐标特征． （1）设一次函数的表达式为．把、的值分别代入函数解析式，利用待定系数法即可求得、的值； （2）把代入函数解析式求得相应的的值． 【详解】（1）设， 将，；，代入，得： ， 解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）令，则， 解得：， ∴自变量x的值为． 19．(1)，，， (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）把的值代入函数中求出对应的值； （2）根据表中数据描点； （3）用平滑的曲线将描出的点连接起来． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，； （2）解：描点，如下图所示： （3）解：连线，如下图所示： 20．(1)； (2)①证明见详解；②或 【分析】本题考查一次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式及一次函数的最值问题，关键是利用恒过定点得到这一核心关系式． （1）利用待定系数法，将已知的两个点代入一次函数解析式，得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出参数值，进而得到函数表达式； （2）①根据点在函数图象上的性质，将两点坐标分别代入对应函数解析式，得到关于的两个等式，结合的关系对等式变形，从而证明； ②先化简的表达式，再代入得到只含参数的一次函数，根据一次函数的单调性，分和两种情况讨论函数在给定区间内的最大值，进而求解的值． 【详解】（1）解：∵一次函数恒过定点，且经过点， ∴，解得， ∴； （2）解：①证明：∵点在的图象上， ∴； ∵点在的图象上， ∴； ∴， 又∵恒过， ∴，即， ∴，移项化简得， ∵， ∴； ②∵，， ∴， 分两种情况讨论： 当时，， ∴在上随的增大而增大， ∴当时，取得最大值， 最大值为，即，解得； 当时，， ∴在上随的增大而减小， ∴当时，取得最大值， 最大值为，即，解得； 综上，的值为或． 21．(1)文具店A种、B种书挂袋售价各为20元、25元 (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，列一次函数解析式． （1）设文具店A种、B种书挂袋售价各为x元、y元，根据“购买3只A种书挂袋、2只B种书挂袋需要110元，购买5只A种书挂袋、4只B种书挂袋需要200元”列二元一次方程组求解即可； （2）设B种挂书袋为m只，则A种挂书袋为只，根据利润=（售价-进价）×销量列函数关系式即可． 【详解】（1）解：设文具店A种、B种书挂袋售价各为x元、y元， 根据题意得：， 解得：， 答：文具店A种、B种书挂袋售价各为20元、25元； （2）解：设B种挂书袋为m只，则A种挂书袋为只，根据题意可知： · 22．(1)见解析 (2)见解析， (3)见解析， 【分析】本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征、线段垂直平分线的性质与方程、轴对称最短路径问题，熟练掌握轴对称的性质、一次函数解析式的求解以及数形结合的思想是解题的关键． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，作即可； （2）取格点，作直线，则直线即为线段的垂直平分线，从而得它与轴的交点坐标； （3）利用轴对称的性质，找到点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求的点，再求出直线的方程，进而得到点的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，直线即为所求， 由图可知，，，，， ∴，，，， ∴，， ∴点、在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴直线与轴的交点为； （3）解：连接交轴于点，则点即为所求； 设直线的解析式为， 将，代入解析式，得 ， 解得，， 所以直线的解析式为， 令，， 解得， ∴的坐标为． 23．(1)，见解析 (2) (3)16厘米 【分析】此题考查画一次函数的图象的方法，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的实际应用，正确计算是解此题的关键． （1）利用描点法画出图形即可判断； （2）设函数关系式为y＝kx+b，利用待定系数法解决问题即可； （3）根据（2）中求得的函数解析式，当时，可求得秤杆上秤砣到秤组的水平距离． 【详解】（1）解：观察图象可知：，这组数据错误． 故答案为：； （2）由（1）的图象可知，与的关系满足一次函数， 设与的函数解析式为，把，，，代入可得： ，解得， 与之间的函数关系式是； （3）当时，， 解得， 当秤钩所挂物重为4.50斤时，秤杆上秤砣到秤组的水平距离是16厘米． 24．(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一次函数的解析式求解及图形的对称和平移． （1）通过构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等求出点A的坐标； （2）先根据已知条件求出点B、C的坐标，进而求出直线的解析式，得到点E的坐标，从而求出的长； （3）根据全等三角形的性质，通过图形的对称和平移来找出符合条件的点P的坐标． 【详解】（1）解：如图，作轴，垂足为F， 由题意得，， 在和中， ， ∴， ∴， 即点． （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴， 设线段的函数表达式为， 将，分别代入， 得，解得， ∴， 当时，， 即， ∴， ∴． （3）解：存在， 如图，作关于x轴对称的， ∴点C与点关于x轴对称，即， 设线段的函数表达式为， 将点和点代入， 得：，解得， ∴线段的函数表达式为，与x轴交点为， 即， 将线段平移得到线段，设线段的函数表达式为， 将点代入得：，解得， ∴线段的函数表达式为， 当时，则有，解得， ∴， ∴关于x轴的对称点， 综上所述，点P的坐标为或或． 学科网（北京）股份有限公司 $