辽宁葫芦岛市第一高级中学2025-2026学年高二下学期5月练习数学试题

**基本信息** 高二数学5月练习结合AI新药筛选、肉鸡繁殖等科技情境与洛书幻方文化素材，覆盖数列、概率统计、函数导数等核心知识，通过分层设问考查数学抽象、逻辑推理与数据建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|等差等比数列、函数切线|基础概念辨析，如等比数列公比与递增关系的条件判断| |多选题|3/18|正态分布、样本相关系数|综合概念辨析，如随机变量性质与数列单调性判断| |填空题|3/15|正态分布应用、n阶幻方|数学文化与实际应用，如洛书幻方推广求列和| |解答题|5/77|函数极值、频率分布、数列证明与求和、概率比赛模型|多模块综合，如乒乓球比赛概率与数列最大项结合，考查数学建模与逻辑推理|

高二数学5月练习 考试时间：120分钟 满分：150分 一 、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1．已知等差数列的前n项和为，若，则（   ） A．36 B．32 C．24 D．18 2．已知等比数列的公比为，设甲：，乙：是递增数列，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．抛掷一枚质地不均匀的硬币（两面图案分别为“花”“字”）一次，记“花”面朝上的概率为，令随机变量，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知数列中，，则数列的前2026项和为（   ） A．4052 B．4054 C．2026 D．2027 6．某种肉鸡出栏时平均重量可达3.5千克，在没有人工干预的情况下自然繁殖，其出栏时的平均重量会一代不如一代，最后跟普通肉鸡差别不大.某实验室为了得到这种肉鸡自然繁殖后前一代与后一代的平均重量间的关系，将此种肉鸡视为第1代且又繁殖了10代.最后得到前一代平均重量（千克）与后一代平均重量（千克）之间的线性回归方程.已知第2代至第10代的平均重量之和为20千克，则第11代的平均重量为（    ） A．2.4千克 B．2.1千克 C．1.8千克 D．1.5千克 7．当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验用AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 8．已知数列的前项和为，且满足，，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二 、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.) 9．下列结论正确的有（    ） A．若随机变量，，则 B．若随机变量，则 C．样本相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 D．如果随机变量服从，且，那么是上的增函数 10．设首项为1的数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（   ） A．数列为等比数列 B．数列不是等比数列 C． D．数列是递增数列 11．某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，记事件A：该家庭中既有男孩又有女孩，事件B：该家庭中至多有一个男孩，则下列结论正确的是（    ） A．若该家庭中有两个小孩，则 B．若该家庭中有三个小孩，则 C．若该家庭中有两个小孩，则A与B相互独立 D．若该家庭中有三个小孩，则A与B相互独立 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.) 12．某次考试的数学成绩X近似服从正态分布且，若参加考生总人数是1000，则估计学生数学成绩在130分以上的总人数为________． 13．已知函数，则__________. 14．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图将填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15. 一般地，将连续的正整数填入个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻方. 记阶幻方的每列的数字之和为，如图三阶幻方的，那么__________. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 15．已知， 在处取得极值， (1)求的值. (2)在区间上的最值. 16．全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于至之间，将数据按照，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值，并估计这名学生成绩的中位数； (2)在这名学生中用分层抽样的方法从成绩在，，，的三组中抽取了人，再从这人中随机抽取人，记的分布列和数学期望； 17．已知各项均为正数的数列满足，且成等差数列，成等比数列. (1)求的值； (2)证明：数列为等差数列； (3)记，求数列的前n项和为. 18．已知数列满足，，． (1)求证：是等比数列． (2)记，求数列及的通项公式； (3)设，求． 19．甲乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，每局比赛相互独立． (1)当时，比赛采用3局2胜制，求甲最终获胜的概率； (2)若比赛采用5局3胜制比3局2胜制对甲更有利（即甲最终获胜概率更大），确定p的取值范围； (3)若甲乙共进行10局比赛，随机变量X表示甲获胜的局数．令，，若是数列的唯一的最大项，确定p的取值范围． 高二数学 第 1 页（共 4 页） 高二数学 第 2 页（共 4 页） 高二数学 第 1 页（共 4 页） 高二数学 第 2 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级5月练习——数学试题 参考答案及评分标准 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D B B D C A A AD ACD ABD 1．C 【知识点】求等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算 【详解】等差数列中，由得， 所以. 2．D 【知识点】既不充分也不必要条件、判断数列的增减性、等比数列的定义 【分析】结合等比数列的单调性及充分条件和必要条件定义判断充分性及必要性可得结论． 【详解】当，时，，不是递增数列，充分性不成立； 当，时，是递增数列，但不成立，必要性不成立． 所以甲是乙的既不充分也不必要条件. 故选：D. 3．B 【知识点】方差的性质、两点分布的方差 【分析】根据两点分布的方差计算公式和方差的基本性质，直接得出结果. 【详解】由题知，服从两点分布，且， 所以， 故选:B. 4．B 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数 【详解】, 过点， ， ， ， ， . 故选：B 5．D 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用 【详解】依题意有， ，所以数列是周期为4的周期数列， 且，因为， 所以． 6．C 【知识点】线性回归 【分析】根据题意计算出的表达式，代入直线方程即可求得第11代的平均重量. 【详解】设第1代至第11代的平均重量分别为，易知； 又， 前一代平均重量，后一代平均重量， 将代入回归方程可得， 解得. 故选：C 7．A 【知识点】计算条件概率、互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【详解】因为，所以. 所以. 由，得. 所以. 8．A 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、数列不等式恒成立问题、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据即可得到，从而得到是以为首项，为公差的等差数列，即可求出，再由作差法说明的单调性，即可求出，从而得解. 【详解】已知数列的前项和为，且满足，， 则当时，，整理得， 所以，又当时，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，故， 所以， 当时，，则， 当时，，所以， 综上可得：， 若对任意恒成立，则，故实数的取值范围是. 故选：A 9．AD 【知识点】指定区间的概率、二项分布的方差、方差的性质、相关系数的意义及辨析 【详解】对于选项A：因为随机变量，， 所以，故A正确； 对于选项B：因为随机变量，则， 所以，故B错误； 对于选项C：因为相关系数的绝对值的大小越接近，两个变量的线性相关性越强；反之线性相关性越弱，故C错误； 对于选项D：由正态曲线的性质可知，是上的增函数，故D正确． 10．ACD 【知识点】构造法求数列通项、利用an与sn关系求通项或项、由定义判定等比数列、写出等比数列的通项公式 【分析】通过构造法可得数列是以2为首项，2为公比的等比数列，选项A正确；根据选项A求出数列的通项公式，可得选项B错误；利用等比数列通项公式及前项和公式可得选项C正确；根据可得选项D正确. 【详解】由题意，可知， ∵，∴， ∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故选项A正确； 由A得，，∴， 当时，， 当时，满足上式，∴， ∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故选项B错误； ∵，∴，故选项C正确； ∵，∴， ∴数列是递增数列，故选项D正确. 故选：ACD． 11．ABD 【知识点】独立事件的判断、计算古典概型问题的概率 【分析】若该家庭中有两个小孩，写出对应的样本空间即可判断A和C，若该家庭中有三个小孩，写出对应的样本空间，即可判断B和D. 【详解】若该家庭中有两个小孩，样本空间为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，共4种情况， (男，女)，(女，男)(男，女)，(女，男)，(女，女)(男，女)，(女，男)， 则A与B不互斥，，，， 于是，所以A与B不相互独立，则A正确、C错误； 若该家庭中有三个小孩，样本空间为(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)，共8种情况， (男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)， (男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，则A与B不互斥， ，，，于是， 所以A与B相互独立，则C和D均正确. 故选：ABD 12．30 【知识点】正态曲线的性质、正态分布的实际应用、指定区间的概率 【分析】由题意，可得正态分布的均值，根据正态分布曲线的对称性，分析计算，即可得答案. 【详解】因为，所以均值， 由，根据正态分布曲线的对称性可得， 所以， 所以学生数学成绩在130分以上的总人数为. 故答案为：30 13． 【知识点】求某点处的导数值、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【详解】解：由题，则，解得. 14．65 【知识点】求等差数列前n项和、数列-其他模型、等差数列的应用 【分析】由列之和都相等，等差数列求总和，再除以列数即可. 【详解】由阶幻方填入，共列， 这个数字之和为，由这列之和都相等， 则每一列和. 故. 故答案为：65. 15．(1) (2)最大值为，最小值为 【知识点】根据极值点求参数、由导数求函数的最值（不含参）、根据极值求参数 【分析】（1）求导，利用在处的导数值为0，并且，解之检验即可求解； （2）结合（1）的结果，列出在时，随的变化，的变化情况，进而即可求解. 【详解】（1）因为函数，所以， 又函数在处取得极值. 则有，即，解得：或 经检验，时，单调递减，无极值不符合题意， 经检验，时，符合题意，故. （2）由（1）知：函数，则， 令，解得：， 在时，随的变化，的变化情况如下表所示： 单调递减 单调递增 单调递减 由表可知：当时，函数有极大值； 当时，函数有极小值； 因为，， 故函数在上的最小值为，最大值为. 16．(1)，中位数68. (2)分布列见解析；期望. 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，代入数据，即可求得m值，根据频率分布直方图中中位数的求法，代入数据，即可得答案. （2）根据三组数据频率比，可求得三组数据的人数，则可取0,1,2,3，分别求得各个取值对应的概率，列出分布列，代入公式，即可得期望. 【详解】（1）由题意得：， 解得， 因为， 所以中位数在内，设中位数为x， 则，解得， 所以这名学生成绩的中位数为68. （2），，三组数据频率比为， 所以从，，三组中分别抽取7人，3人，1人， 则可取0,1,2,3， ，，，， 则的分布列 0 1 2 3 P 期望 17．(1)9，6 (2)证明见解析 (3) 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】（1）根据条件可得和，然后令代入即可求得的值 （2）根据等差中项及等比中项的性质化简后，由等差中项可判断数列为等差数列 （3）由数列为等差数列求出，代入条件可求出，利用裂项相消法求和即可 【详解】（1）因为成等差数列，所以， 当时，，即，所以， 因为成等比数列，所以， 当时，，即，所以 （2）由条件可得，且，又， 故，代入中，得时， 有，即， 所以数列为等差数列 （3）由（1）（2）知数列为等差数列且， 所以数列是首项为2，公差1为的等差数列， 得，即， 故，即， 所以时，，且也符合上式，故， 则， 数列的前n项和为， 18．(1)证明见解析 (2)； (3) 【知识点】由递推关系式求通项公式、错位相减法求和、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）根据等比数列的定义求证； （2）结合（1）求出的通项公式，再利用求出为等比数列，利用等比数列的通项公式即可； （3）利用错位相减法求出. 【详解】（1）因为，所以， 因为，，所以， 由以上递推关系可知，，则， 故是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）可知，， 因为，所以，则， 即， 因为，所以由以上递推关系可知，，则， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，； （3）由（2）可知，，则，则， 设，则， 则， 则 ， 则. 19．(1) (2) (3) 【知识点】互斥事件的概率加法公式、服从二项分布的随机变量概率最大问题、独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式求解即可. （2）根据独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式分别求解3局2胜制和5局3胜制甲获胜的概率，然后列不等式求解即可. （3）根据二项分布列的概率公式求出，然后根据列不等式求出p的取值范围，然后通过对相邻项作比建立不等式，确定唯一性，即可得解. 【详解】（1）3局2胜制甲最终获胜结果可以是：、，每局比赛甲获胜的概率， 根据独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式得 则甲最终获胜概率是：． （2）3局2胜制甲最终获胜结果可以是：、，每局比赛甲获胜的概率， 根据独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式得 甲最终获胜概率是：， 5局3胜制甲最终获胜结果可以是：、、， 则甲最终获胜概率是：， 由题知，即， 则， 又，则p的取值范围是． （3）由题，，故，． 是数列的唯一的最大项，则必有， 即，解得：， 此时，，则 则时，；时，； 即，故是数列的唯一的最大项． 综上，p的取值范围是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $