精品解析：辽宁鞍山市2026届高三下学期5月份质量检测数学试卷

26届高三5月份质量检测 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，所以. 2. 若复数满足，则复数虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得， 所以复数虚部为. 3. 为研究某池塘中水生植物覆盖池塘的面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，如表格所示，得到与的线性回归方程，则（ ） 3 4 6 7 2 2.5 4.5 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得，， 所以样本中心点为，又与的线性回归方程， 所以，解得. 4. 已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，将焦半径转化为点到准线的距离即得. 【详解】由可得：，则抛物线的准线方程为：直线，又，则. 故选：D. 5. 已知是两条不同直线，，是两个不同的平面，且，，∥，∥，则“与为异面直线”是 “∥”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据面面平行的判定定理分析即可. 【详解】过作平面，使平面平面，由线面平行的性质定理可得∥，因为与为 异面直线，所以与必然相交，（否则有∥，∥得到∥，与与是异面直线 矛盾），所以由面面平行的判定定理知∥；反过来若∥，则与不一定为异面直 线，可能∥，故“与为异面直线”是 “∥”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到面面平行的判定定理，考查学生的逻辑推理能力，是一道容易题. 6. 在中，点D为边的中点，过点D的直线与，两边（或其延长线）分别交于点E，F，设，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三点共线的向量表示求得 的等量关系式，再利用基本不等式求得的最小值. 【详解】因为是的中点，所以， 由于三点共线，所以，其中， ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 7. 将正整数分解为两个正整数，的积，即，当，两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解．如，即为的最优分解，当，是的最优分解时，定义，则数列的前100项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的通项公式，再求其前100项的和. 【详解】当 为偶数时，设，， ， 所以； 当 为奇数时，设，， ， 所以； 所以的前100项和为. 8. 定义在上的偶函数满足，且当时，，若关于x的方程至少有8个实数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的周期性画出函数的图象，利用对称性判断轴两个函数图象交点个数列出不等式，解不等式即可得到范围. 【详解】由已知满足， 且函数为偶函数， 所以， 令， 所以函数是周期为的周期函数. 又因为与函数都是偶函数，由对称性可知 由于关于的方程至少有8个实数解， 故当时，与至少有个交点. 函数与图象如图所示. 由图可知：当时，只需，解得 ， 当 时，只需，解得， 当时，显然符合题意. 综上所述：. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ） A. 函数的最小正周期 B. 是函数的一个对称中心 C. 函数在区间上的值域为 D. 将函数的图象向左平移后得到的图象，则 【答案】AD 【解析】 【分析】先根据图象得到解析式，再根据三角函数性质和三角变换逐项判断. 【详解】由图，，所以，所以， 图象经过点，代入解析式得， 所以，解得，又， 所以，所以， 对于A：由上分析可知，A正确； 对于B：将代入解析式得， 正弦函数的对称中心是其函数值为0的点，B错误； 对于C：因为，所以， 当，即时，取得最小值，C错误； 对于D：将函数的图象向左平移后得到， 则，D正确； 故选：AD. 10. 已知数列满足设，记数列的前 项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】依题意，，故A错误； 因为，， 所以是以6为首项，2为公比的等比数列，故正确； 所以，所以， 所以，故C正确； ，故D错误． 11. 函数的图象（如图）称为牛顿三叉戟曲线，则（ ） A. 的极小值点为 B. 当时， C. 过原点且与曲线相切的直线仅有2条 D. 若，，则的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对函数求导，由导数确定极小值点即可判断选项A；按与的大小化简即可判断选项B；设切点坐标，由导数的几何意义求出切点坐标即可判断选项C；化简，并将转化为一新变量的函数，求其最小值即可判断选项D. 【详解】由函数知，，求导得：， 对于A选项：，，则的极小值点为，A不正确； 对于B选项：时，，时， 时，，即时，恒有，B正确； 对于C选项：设切点坐标为，则切线斜率为，切线方程为， 而切线过原点，则有，解得 ，即过原点且与曲线相切的直线有一条，C不正确； 对于D选项：时，， ，令，则， ，时，时， 函数在上递增，在上递减，时 即有最小值3，的最小为，D正确. 故选：BD 【点睛】结论点睛：区间D上的可导函数f(x)的导函数为，则函数f(x)在x0(x0∈D)处的切线方程为： . 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在二项式的展开式中，若所有项的系数之和等于64，那么在这个展开式中，项的系数是__________．（用数字作答） 【答案】135 【解析】 【分析】根据给定条件，利用赋值法求出n值，再求出二项式展开式的通项即可求解作答. 【详解】在中，令得所有项的系数之和为，依题意，，解得 ， 因此的展开式的通项为， 令得：， 所以项的系数是135. 故答案为：135 13. 已知幂函数（），在区间上是单调减函数．若，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数的单调性结合不等式求出，再由同角的三角函数和二倍角的正弦计算即可； 【详解】由题意可得，解得，又，所以，所以， ，所以， 所以， 所以，即， 因为，，所以， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与该双曲线的左、右支分别交于两点，记与的内切圆的半径分别为，若，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设，先根据双曲线的定义得到，，利用三角形的面积公式可得，，进而得到，再由及余弦定理可得，进而求解即可. 【详解】由双曲线，得，则，， 设，则， 所以， ， 则． 在与中，， 即，整理得， 所以，解得， 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，实地测量中，在岸边选了3个位置在对岸处，下面得到了一些参数．已知： ，，，． （1）求的长度； （2）求的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理即可求出； （2）延长交于点 ，先在 中，求出的值，再利用正弦定理求出的长，最后设，由即可求出. 【小问1详解】 在中，， ． 【小问2详解】 延长交于点 ，则，所以为等边三角形，，， 由，得， 在 中，， 在中，由正弦定理可得，，则 ， 在中，设，由，可得，则． 故的值为． 16. 如图，在直三棱柱中，底面三角形是边长为2的等边三角形， 是棱上一点，且由沿棱柱侧面经过棱到达点的最短路线长为，设这条最短路线与的交点为. （1）求证： 平面； （2）求平面和平面所成的二面角（锐角）的正切值. 【答案】（1）由题意可知， ， 点的路径所在平面的展开图如图， 其中最短路径为， 得 ，则点为的中点， 因为 ，所以，得 ，则点为上靠近点的四等分点， 分别取线段的中点 ，连接 ， 易知 平面，，故以点为原点， 所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为等边的边长为，所以， 则 ， 则 ， 设平面的法向量为 ， 则，令，则 ， 则 ，即， 又 平面，所以 平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面展开图求出点 的位置，再取线段的中点 ，以为原点建系，求出平面的法向量，根据 即可求证； （2）利用坐标计算夹角的余弦值，再根据同角三角函数的关系求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易得，平面的法向量为， 则， 则平面和平面所成的二面角（锐角）的余弦值为， 故平面和平面所成的二面角（锐角）的正切值为. 17. 年，我国某航天公司研发的“低轨卫星通信终端（星链终端）”核心信号处理系统 内置个量子芯片元件，每个元件在太空环境下正常工作的概率为，各元件工作状态相互独立. （1）当 时记系统 中正常工作的元件个数为随机变量，回答以下问题： ①求的分布列及数学期望； ②若有超过一半的元件正常工作，则系统正常工作，系统正常工作的概率称为系统的可靠性.为改善 时系统 的可靠性，能否通过增加一个量子芯片元件即提高系统 的可靠性？请给出你的结论并证明. （2）该公司从某批次量子芯片中随机抽取了100个元件，在“模拟太空环境”和“地面实验室环境”下测试其工作状态，得到如下列联表： 正常工作 故障 合计 模拟太空 地面实验室 合计 请根据小概率值独立性检验，能否认为元件工作状态与测试环境有关联？ 附：，. 【答案】（1）① ； ②（方法1）当时记系统 中正常工作的元件数为随机变量，则， 记 时系统 的可靠性为，记时系统 的可靠性为， 故， ， 故， 故 时增加一个量子芯片元件即，能提高系统 的可靠性； （方法2）记事件为新增加的这个量子芯片元件正常工作， 当时记系统 中正常工作的元件数为随机变量， 当 时记系统 的可靠性为，当时记系统 的可靠性为， 有，. 则 即 即， 故 时增加一个量子芯片元件即，能提高系统 的可靠性. （2）没有的把握认为元件工作状态与测试环境有关联. 【解析】 【分析】（1）①由题意可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，进而可得出的值； ②方法一：计算出 时系统 的可靠性，时系统 的可靠性，比较大小后可得出结论； 方法二：记 时系统 的可靠性为，记时系统 的可靠性为，根据题意得出与之间的关系，比较大小后可得出结论； （2）计算出的观测值，结合临界值表可得出结论. 【小问1详解】 ①由题意可知，所以， ，， ，， ， 则的分布列如下： 故； ②略 【小问2详解】 由已知有， 故没有的把握认为元件工作状态与测试环境有关联. 18. 在平面直角坐标系中，定义，两点之间的“曼哈顿距离”为，我们把到两个定点，的“曼哈顿距离”之和为常数的点的轨迹叫“曼哈顿椭圆”． （1）请分析“曼哈顿椭圆”的对称性，并求出它的面积（用表示）； （2）当 ，时，该“曼哈顿椭圆”的顶点都在椭圆C上，过点作圆的两条切线与椭圆分别交于两点． （ⅰ）求椭圆的方程； （ⅱ）判断直线与圆的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）“曼哈顿椭圆”关于轴对称，关于轴对称，关于原点对称；. （2）（ⅰ）； （ⅱ）直线与圆相切，理由如下： 设过点与圆相切的直线方程为． 则，， ，解得或． 设点，．则，． 直线的斜率为． 故直线的方程为， 又，化简得直线方程为． 因此，圆心到直线的距离为，即直线与圆相切． 【解析】 【分析】（1）根据曼哈顿距离定义推导轨迹方程，利用绝对值性质判断对称性，分段讨论第一象限图形并求总面积； （2）代入顶点坐标求椭圆标准方程；设切线联立方程，用韦达定理与距离公式判断直线与圆的位置关系. 【小问1详解】 设“曼哈顿椭圆”上任意一点为，则， 即，即， 所以“曼哈顿椭圆”的方程为. 将方程中替换为 ，方程不变，所以“曼哈顿椭圆”关于轴对称； 将方程中替换为，方程不变，所以“曼哈顿椭圆”关于轴对称； 同时将方程中替换为 ，替换为，方程仍不变，所以“曼哈顿椭圆”也关于原点对称． 只需分析出第一象限的图象即可，当 ，时，方程为； 当 ，时，方程为，“曼哈顿椭圆”图形如图所示． 其面积为． 【小问2详解】 （ⅰ）∵ ，， ∴椭圆的左右顶点分别为，. 设椭圆的方程为，过点， 则， 即， 所以椭圆的方程为． （ⅱ）略 【点睛】根据距离定义建立方程；韦达定理处理斜率；圆心到直线的距离可以用于判断直线与圆位置关系. 19. 已知函数. （1）当时，求证：； （2）若 对于恒成立，求的取值范围； （3）若存在，使得，求证：. 【答案】（1）由，得. 要证，只需证 . 令，则. 当时，，则单调递减， 当时， ，则单调递增， 所以，故， 因此. （2） （3）由（2）知 ，设， 则在上单调递减，在上单调递增， 注意到， 故在上存在唯一的零点. 注意到，且在上单调递增. 要证明，只需证， 因为，所以只需证， 即证. 因为，即， 所以，只需证， 只需证（*） 由（1）得， 因此， 设， 则，所以在上单调递增， 所以， 从而，即，因此（*）得证， 从而. 【解析】 【分析】（1）由由，得，构造函数，求解单调性，证明结果; （2）求解令，则，分类讨论求解的范围; （3）由（2）知 ，设，判断单调性，，所以只需证，由，即，只需证 （*）进而证明结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 令，则 ①当时，由，得， 因此 ，满足题意. ②当 时，由，得， 因此 ，则在上单调递增. 若，则， 则在上单调递增， 所以，满足题意； 若 ，则， 因此在存在唯一的零点，且， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，不合题意. 综上，的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 26届高三5月份质量检测 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则复数虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 为研究某池塘中水生植物覆盖池塘的面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，如表格所示，得到与的线性回归方程，则（ ） 3 4 6 7 2 2.5 4.5 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知是两条不同直线，，是两个不同的平面，且，，∥，∥，则“与为异面直线”是 “∥”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在中，点D为边的中点，过点D的直线与，两边（或其延长线）分别交于点E，F，设，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 将正整数分解为两个正整数，的积，即，当，两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解．如，即为的最优分解，当，是的最优分解时，定义，则数列的前100项和为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的偶函数满足，且当时，，若关于x的方程至少有8个实数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ） A. 函数的最小正周期 B. 是函数的一个对称中心 C. 函数在区间上的值域为 D. 将函数的图象向左平移后得到的图象，则 10. 已知数列满足设，记数列的前 项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 11. 函数的图象（如图）称为牛顿三叉戟曲线，则（ ） A. 的极小值点为 B. 当时， C. 过原点且与曲线相切的直线仅有2条 D. 若，，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在二项式的展开式中，若所有项的系数之和等于64，那么在这个展开式中，项的系数是__________．（用数字作答） 13. 已知幂函数（），在区间上是单调减函数．若，，则__________． 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与该双曲线的左、右支分别交于两点，记与的内切圆的半径分别为，若，则的值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，实地测量中，在岸边选了3个位置在对岸处，下面得到了一些参数．已知： ，，，． （1）求的长度； （2）求的值． 16. 如图，在直三棱柱中，底面三角形是边长为2的等边三角形， 是棱上一点，且由沿棱柱侧面经过棱到达点的最短路线长为，设这条最短路线与的交点为. （1）求证： 平面； （2）求平面和平面所成的二面角（锐角）的正切值. 17. 年，我国某航天公司研发的“低轨卫星通信终端（星链终端）”核心信号处理系统内置个量子芯片元件，每个元件在太空环境下正常工作的概率为，各元件工作状态相互独立. （1）当 时记系统中正常工作的元件个数为随机变量，回答以下问题： ①求的分布列及数学期望； ②若有超过一半的元件正常工作，则系统正常工作，系统正常工作的概率称为系统的可靠性.为改善 时系统的可靠性，能否通过增加一个量子芯片元件即提高系统的可靠性？请给出你的结论并证明. （2）该公司从某批次量子芯片中随机抽取了100个元件，在“模拟太空环境”和“地面实验室环境”下测试其工作状态，得到如下列联表： 正常工作 故障 合计 模拟太空 地面实验室 合计 请根据小概率值独立性检验，能否认为元件工作状态与测试环境有关联？ 附：，. 18. 在平面直角坐标系中，定义，两点之间的“曼哈顿距离”为，我们把到两个定点，的“曼哈顿距离”之和为常数的点的轨迹叫“曼哈顿椭圆”． （1）请分析“曼哈顿椭圆”的对称性，并求出它的面积（用表示）； （2）当 ，时，该“曼哈顿椭圆”的顶点都在椭圆C上，过点作圆的两条切线与椭圆分别交于两点． （ⅰ）求椭圆的方程； （ⅱ）判断直线与圆的位置关系，并说明理由． 19. 已知函数. （1）当时，求证：； （2）若 对于恒成立，求的取值范围； （3）若存在，使得，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $