湖南师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

**基本信息** 高二下学期期中数学卷聚焦核心素养，以新型机床质量评估（解答题15）、椭圆存在性问题（16）等情境，融合统计、几何、函数模块，梯度设计合理，考查数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、向量、解三角形等|基础概念辨析，如集合子集个数（1）| |多选|3/18|抛物线、概率统计、函数性质|多维度考查，如抛物线几何性质（9）| |填空|3/15|导数切线、不等式最值、概率递推|小综合应用，如曲线切线方程（12）| |解答|5/77|统计（独立性检验）、椭圆、立体几何、数列、函数导数|现实情境与逻辑推理结合，如机床质量分析（15）、数列证明（18）|

高二下学期期中考试 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 2 5 6 8 答案 C A B D A B B C 1.C【解析】集合A={2,3,4),所以集合A共有23=8个子集. 2.A【解析】若入=2，则a·b=4一4=0，即a⊥b.若a⊥b,则u·b=4一λ2=0，解得入=士2.故“入=2”是“a⊥b” 的充分不必要条件. }【解析】由(6+a)6-a)=c6-0得6-Q2=bc-C即8+2-a=bc,故cosA=十2=纸= 2bc 又0<A<π，所以A-牙. 4.D【解析】由题意：一x2+4>0,解得一2≤x≤2；又x>0且lnx≠0，即x≠1，所以函数f(.x)的定义域为(0,1) U(1,2]. 5.A【解析】由不等式ax2+bx十c<0的解集为(-0，-4)U(1,十∞)可知a<0,且-名=-4十1=一3，合= a 一4，所以b=3a,c=一4a,所以不等式bx2-cx十a<0可化为a(3x2十4x+1)<0,又a<0,则3.x2+4x+1>0, 解得《一1或>子 6.B【解析】因为函数f(x)是奇函数，则有f(一x)十f(x)=0, 即log.(√9x2+1+a.x)+log(√月x2+1-ax)=log,(9x2+1-a2x2)=0, 所以a2=9,解得a=士3，又a>0,则a=3, 由题意r=1og2,s=l0g31=号， 又3log32=log38<2,3log3=log527>2,所以r<1<s, 因为√/9x2+1一3.x= 十3函数y=9x牛1十3z>0,且在0，十∞)上单调跪增，故函数 √9.x+I一3.x在[0，十∞)上单调递减，由复合函数的单调性可知，函数f(x)=log(√9x2十1一3.x)在 [0,十∞)上单调递减，所以f(s)<f(t)<f(r). 7.B【解析】从正方体的8个顶，点中任取4个顶点，共有C。种取法，每4个顶点可分为共面与不共面两种情况， 其中共面的情况包括6个表面和6个对角面共12种情况，此外，每组不共面的4个点构成的四面体中，均有3 组异面直线，所以共有3(C一12)=174对不同的异面直线. &.C【解析】设PF=m,PF=n,Ol=1PF+PF1=2c, 在三角形PFF2中，由余弦定理可得m2十n2一m=4c2, 又m一1=2a,则有mn=4c2-4a2,① 又0为FF的中点，由中线定理可得，得m+=2[(多)+]-2，② ②-2X①可得(m-nm2=一号2+8a2,所以2-是a2,放-号a 0 F2 易知点P与Q关于原点对称，设P(x1,y),Q(-x,一y),M(x,y), 则w·a=二义·生义=二兰，因为P,Q,M都在双曲线上， x-0x十0x2-x 所以y-经(-心听=g(-a)所以y-明-号（-， 025 则kM·koM= a23 高二数学参考答案(T)一1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 ABD ACD ACD 0.ABD【解析】因为F1,0)是抛物线C:y=2px的焦点，所以号=1，解得p=2,A正确； 设M(xn,yn),因为点M在抛物线C:y2=4.x上，故xo≥0， 所以|MF|=x+1≥1=|OFl,B正确； 当MP与x轴的正半轴夹角为号时，此时∠QMF=号，又MF=|MQ,故△MQF为等边三角形，C错误； 由抛物线性质，可知|MF|=|MQ,故点M在FQ的垂直平分线上，D正确. 10.ACD【解析】由题意X~B(6,号)， 则P(X=2)=C(号》)×（传）广=器A正确： E(X)=6X号=4，B错误； D(X)=6×景×号=，C正确； 因PX=6=C(号)广（(）(=1,23,45,6， 则P(X=+1业 c(号)() P(X=k) c(号)( 6-k 26-2-1+1-3k k+1 k+1 当≤3时，P>1.即PX=+1>P(X=. 则有P(X=0)<P(X=1)<<P(X=4), 当≥4时，P1,即PX=+1D<PX=, 则有P(X=4)>P(X=5)>P(X=6),所以当k=4时，P(X=k)取得最大值，D正确. 11.ACD【解析】当k=1时，记h(.x)=g(x)-2=21-3) 3+1 则(x)+(一x)=2=3)+2二32)=21-3士3-卫=0，所以h(r)为奇函数，A正确； 3×+1 3-r十1 3x+1 由A可知，h(x)十h(一x)=0,所以g(x)十g(一x)=4, 所以g(-2026)+g(-2025)+…+g(2025)+g(2026)=4×2026+g(0)=8106,B错误； 设函数y=g(.x)的对称中心为(a,b),记p(x)=g(.x十a)一b,则p(x)为奇函数， 4 4 故p(x)十9（一x)=3十十30+后一26=0，对x∈R恒成立， 所以4(3+十3+“+2k)=2b(3+“+k)(3x+w+k), 整理得3“(4一2bk)(3r+3)=2b(9+k2)一8k,对Hx∈R恒成立， ∫4-2bk=0, [a=logsk, 所以 解 2b(9+k2)-8k=0 解得6=， 所以当>0时，函数y=gx)一定关于点(logk,是)对称，C正确； 由C可知，g(x)=g(x+1ogk)-号为奇通数， 不等式g[x2+1og(3k)]十g(x+logk)<号等价于p(r2+1)+p(x)<0, 高二数学参考答案(T)一2 即o(.x2+1)<-p(x)=o(一x),(x) 当k>0时，函数g(x)在R上单调递减，且函数p(x)的图象由函数g(x)的图象平移得到， 故(x)在R上也单调递减，所以(*)等价于x2十1>一x, 即2+x+1=(x+)+>0恒成立，故Yx∈R,都有g[x2+log(3k)]十g(x+log)<告成立，D正确， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. l2.2x一y一e=0【解析】y'=lnx十l,则切线的斜率k=lne十1=2，所以曲线y=xlnx在点P(e,e)处的切线方 程为y-e=2(.x-e),即2x-y-e=0. 13.号【解析】因为x+2y=1,所以x+2+2y+1=4. 所以中+点=中2+)加x+2+2+]=1+4+2+]×6+0=号 当且仅当-且x叶2=1，脚=-子y音时等号成立 故中2十2与的最小值为是 4分-（一号）》厂【解析】设事件A,=“第n次待球后球在甲手中”，记P(A)=Am,则A=0: P(A+)=P(A P(AA)+P(A)P(AA ) 所以p1=n,X0十(1-p.)X号=号(1-p.),由=0得加=专 由1=号1-p,)得1一子=-号(p,-） 所以{卫，一寻}是以一子为首项，一号为公比的等比数列， 所以A-子=-(3)》，所以p=(-号) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 753 15.【解析】(1)样品中，新型国产机床的次品频率为20一0， 利用样本估计总体，得新型国产机床的次品率约为司： 3 …（5分） (2)零假设为H,:产品的质量与使用机床的类型无关。…（7分) 由列联表可得，X=502275》2-≈.5>8.8M1, 325×175×250×250 (11分) 依据α=0.05的独立性检验，推断H。不成立， 即认为产品的质量与使用机床的类型有关。…（们3分） 2c=2, a=2, 16.【解析】(1)由题意，可得 合+品=1，解得后。 (3分) a2=b2+c2, (c=1, 故椭圆C的标准方程为+兰 4十3 =1.…（5分） （2)由题意，若存在这样的直线l,则直线l的斜率存在且不为0，…(6分) 易知F2(1,0),设直线l的方程为x=y十1，A(x1,y1),B(x2,y2）,…（7分) 因为2AF2=3F2B,所以有-2y1=3y2,其中y1>0,y%<0, (8分) +学-1可43i+4y+6my—9=0, 联立{ (x=my+1, 67n 9 故y1十%=一3m2+4yy%=一3m2+4' 高二数学参考答案(T)一3 12m 6 因此可得业=3m件4=3m干40… …(12分） 因比有（广=理得3m+4=24,解得m=士 2 …（13分） 21 又为=<0，截m<0,所以n= 21 …（14分） 所以存在直线（满足条件且其方程为x=一 方+1，即瓦x+2y-@=0 …（15分） 17.【解析】(1)由题意，以B为原点，BA,BC,BB1所在直线分别为x轴，y轴，x轴 B 建立空间直角坐标系，如图， 由已知得A(2,0,0),B1(0,0,2),C(0,2,0),D(0,0,1), 因为E是A1C1的中点，且A(2,0,2),C(0,2,2),所以E(1,1,2) 所以AB1=(-2,0,2),AC=(-2,2,0),DE=(1,1,1).…(2分) l·AB,=0,∫-2.x+2z=0, 设m=(xy,)是平面AB,C的法向量，则m·衣=0， 即 -2x+2y=0, 取之=1，则m=(1,1,1).…(4分） 所以m=DE,所以m∥DE,所以直线DE⊥平面AB,C. (5分) (2)在直三棱柱ABC-A1B,C中有BB1⊥平面ABC. 因为BPC平面A1B1C1,所以BB1⊥B1P. 由勾股定理，|B1P|=√BP-BB所=1<|BE=√E, (7分) 因为点P在三角形A1BC:及其内部， 所以点P的轨迹是以，点B,为圆心，半径为1的四分之一个圆. (8分) 所以动点P的轨迹长度为子X2x=受 (9分) (3)因为点P在以点B,为圆心的圆周上运动，设P(cos0,sin0,2)(0≤0≤受)， 所以BP=(cos0,sin0,2).…（10分） 设直线BP和平面AB,C所成角为a, 则如部-信2-布no叶o+希%n(+十希 …（13分) BPIIml√5X3 15 因为0<<受，所以<0叶子<要，所以号≤in0叶子)）1.…(14分） 所以当0=平时，sina取得最大值30+2 15 .…(15分） 18.【解析】(1)证明：因为an+2=4a+1一4an(n∈N), 所以a+2-2a+1=4a+1-4an-2aw+1=2an+1-4an=2(aw+1-2an）,…(2分） 又a1=2,a2=8,所以a2-2a1=4,那么4±2-282也=2. an+1-2an (4分) 所以数列{Qnt1一2an)是以4为首项，2为公比的等比数列.…(5分) (2)()知a+1一2a,=4×2-1=2+1,等式两边同时除以21，得号片一受=1.… (6分) 设6，=受则bm-=号=1，且6+1-b,=1, 所以数列{b}是以1为首项，1为公差的等差数列， (8分) 即bn=,故n=n·2”。… …(9分) (3)证明：由an=l·2", 则，十2+1 n·2”+2+1 n+2 wa01n2amD·2nm+D,2京n2=n2叶D…2,…a1 故8-（以z文2）+(X22)++(a+xm)含 1 (n+1)X2m.…(12分) 高二数学参考答案(T)一4 所以=a+1(合-s=(a+1)Xa+x2=点 …(13分） 假设数列{cn}中存在不同的三项cp,Cp,c,(p<q<r,p,q,r∈N)构成等差数列， 则2，=0，十6，即品=十，两边同时秦以2+1得到2×2=2十1， (15分) 因为p<q<r,p,q,∈N,所以r一q≥1，r一>2，故上述等式左边为偶数，右边为奇数，等式不成立。 所以假设不成立，即数列{cn》中任意不同的三项都不能构成等差数列.…(17分) 19.【解析】(1)由题意'(.x)=cos.x一csin.x一cos.x=一.rsin .x,.x>0,…（1分) 当2kx<x<(2k+1)π时，f(x)<0;当(2k+1)π<x<(2k+2)r时，f（x)>0;…(2分) 所以f(x)的单调递减区间为(2kπ，(2k+1)π)，k∈N,f(x)的单调递增区间为(2k+1)π，(2k+2)π)，k∈N. (3分) (2)当x>1时，a.nC-.c2+1<0等价于aln.C-.x+1<0,… (4分) 令A)=alnx-x+士(>I,则()=二+a,且h1)=0, (5分) 当a≤0时，h'(x)<0,h(x)在(1，十∞)上单调递减，故h(x)<h(1)=0; 对于函数y=-x2十a.x一1， 当0<a≤2时，△=a3-4≤0，此时一x2+a-1≤0，则h'(x)≤0， 所以h(.x）在(1，十0)上单调递减，故h(.x)<h(1)=0;…(7分) 当a>2时，4=a2-4>0,此时-x+ax-1=0有两根=0-三<1，=0十三>1， 则当1<x<+三时，-+ax-1>0,则W)>0,所以h(x)在(1，+三)上单调运增， 2 故h(.x)>h(1)=0,不符合题意. 综上，实数a的取值范围为（一∞，2].… …(9分) (3)易知f()=0,则x=受， 由(1)可知f(x)在区间(2kπ，(2k十1)π)，k∈N上单调递减，在区间(2k+1)π，(2k十2)π)，k∈N上单调递增， 且(2kπ)=2kx+1>0,f(2k+1)x)=-(2k+1)π+1<0，… (11分) 所以(i-1)π<c<iπ，i∈N‘,… …(12分） (i-1)in<x<i(i+1)x,iEN', 因此>1 √xx+1rii+11 …（13分） 故 …(14分） V√Cnn+i nm+元>ln(n+1). 下证：六22xa千+1 1 由(2)可知，当a=2时，不等式21nx<x-对任意x>1恒成立， 取=受1kEN,别有h尖臣丽示 1 …（16分） 所以十+…+g元>h2+n是+…+ln=ln(+1, √1X2√2X3 √n(n+1) 所以1+1++1一>n+2, √x1x2√x2xg''√xnxn+l …（17分） 7π 高二数学参考答案(T)一5 高二下学期期中考试 数 学 时量:120分钟 满分:150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={x∈N||x-3|<2},则集合A 的子集个数为 A.2 B.4 C.8 D.16 2.已知向量=(1,λ),=(4,-λ),则“λ=2”是“⊥”的 A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,且(b+a)(b-a)=c(b-c),则A= A.π6 B.π3 C.²π3 D. 4.函数 的定义域为 A.[-2,2] B.(0,2] C.(-2,1)∪(1,2] D.(0,1)∪(1,2] 5.已知关于x的不等式 的解集为(-∞,-4)∪(1,+∞),则不等式 的解集为 B. C. D. 6.已知函数 是奇函数，且 则 A.f(r)<f(s)<f(t) B.f(s)<f(t)<f(r) C.f(t)<f(s)<f(r) D.f(r)<f(t)<f(s) 7.过某正方体的任意两个顶点作直线，在这些直线中，不同的异面直线共有 A.173对 B.174对 C.183对 D.186对 8.已知双曲线 的左、右焦点分别为 点 P为第一象限内一点，且 O为坐标原点，延长PO交双曲线C的左支于点Q，点M为双曲线C上异于P，Q的任意一点，若直线 PM与QM 的斜率都存在，则直线 PM与QM 的斜率之积为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知 F(1,0)是抛物线C 的焦点，M是C上的点，O为坐标原点，l为抛物线的准线，过点 M作MQ⊥l于Q，则 A. p=2 B. C. 不可能为等边三角形 D.线段 FQ的垂直平分线经过点M 10.某计算机程序每运行一次都会随机出现一个七位二进制数 A=(例如1101010),其中A上的数字 6)出现0的概率为 ，出现1的概率为 记 ，其中X为十进制数，则当程序运行一次时 A. B. E(X)=2 C. D.当k=4时,P(X=k)取得最大值 11.函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，该结论可以推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a，b)或中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)—b为奇函数.已知函数 则下列说法正确的有 A.若k=1,则函数y=g(x)-2为奇函数 B.若k=1,则 =8104 C.函数g(x)的图象一定存在对称中心 D. ∀x∈R,都有 成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.曲线y= xlnx在点P(e,e)处的切线方程为 . 13.已知 的最小值为 . 14.甲、乙、丙、丁四人相互传球，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一个人.第1次由甲将球传出，则第2次传球后球在甲手中的概率是 ；第 n 次传球后球在甲手中的概率是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 为响应国家自主研发创新的号召，国内某工厂开发了一种新型机床产品，为评估新型机床的生产能力，现从新型国产机床和原有的进口机床所生产的产品中各抽取了250件，对两台机床的产品进行检验，得到如下列联表： 机床类型 产品质量 合计 良品 次品 新型国产机床 175 75 250 原有进口机床 150 100 250 合计 325 175 500 (1)以频率估计概率，估计新型国产机床的次品率； (2)根据小概率值α=0.05的独立性检验，能否判断产品的质量与使用机床的类型有关. 附： 其中n=a+b+c+d. α 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16.(本小题满分15分) 已知椭圆 经过点 为椭圆的左、右两个焦点， (1)求椭圆C的标准方程； (2)过右焦点 作直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，是否存在直线 l，使得 若存在，请求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. 17.(本小题满分15分) 在直三棱柱 中， 点D，E分别是线段 的中点，动点 P 在三角形 及其内部，且满足 (1)证明:直线 (2)求动点 P 的轨迹及其长度； (3)求直线 BP 和平面 所成角的正弦值的最大值. 18.(本小题满分17分) 已知数列 满足 且 (1)证明:数列 为等比数列； (2)求数列 的通项公式； (3)若数列 的前n项和为 数列 满足 证明：数列 中任意不同的三项都不能构成等差数列. 19.(本小题满分17分) 已知函数 (1)求 f(x)的单调区间; (2)当x>1时，g(x)<0恒成立，求实数a 的取值范围； (3)记 为函数f(x)从小到大的第 个零点，证明：对任意n∈N*都有 学科网（北京）股份有限公司 $