2026年陕西数学中考压轴题之面积平分专题

陕西中考压轴题之面积平分专题 平分面积相关计算 哪部分好求面积，就令它等于整个图形面积的一半。 平分线的画法： 三角形：中线平分面积 （1）AD是中线 （2）过固定点D画直线平分三角形ABC的面积 画图步骤：①先找到BC的中点E，连接AE；②过点A作AH，连接DH，DH即为所求 平行四边形： (1)过对角线的交点的直线 (2)过固定点E画直线平分平行四边形ABCD 画法：连接OE即可（O是对角线的交点） 梯形： 图1 图2 画法（一）如图1 步骤：①连接AC；②过点D作DF，交BC的延长线于点F；③取BF的中点G，连接AG，AG即为所求 画法（二）如图2 步骤：①连接AC；②取BC的中点E,AD的中点 F；③连接EF，EF即为所求 针对练习 1.如图，在菱形中，，，分别是上的点，且，连接，当平分菱形的面积时，的长为__________． 2.如图，在菱形中，，，点在的上方，的外接圆半径为，为的中点，若平分五边形，则的长度是___________． 3．如图，在中，，点，，，分别在边，，，上，且，将分成面积相等的四部分．若，则的长为_____． 4．如图，在菱形中，，，，分别为菱形边上的动点，过点的直线将菱形分成面积相等的两部分．过点作于点，连接．则线段的最大值为______． 5．问题提出 （1）如图1，在中，，，作的外接圆．则的长为______；（结果保留π）    问题解决 （2）如图2所示，道路的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点D，E，C，线段和为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口，已知点E在上，且，，，，，现要在湿地上修建一个新观测点P，使．再在线段上选一个新的步道出入口点F，并修通三条新步道，使新步道经过观测点E，并将五边形的面积平分．    请问：是否存在满足要求的点P和点F?若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由．（点A，B，C，P，D在同一平面内，道路与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号） 6．问题提出：经过中心对称图形的对称中心的直线将图形分成面积相等的两部分． (1)如图1，过点作出平行四边形的面积等分线． 问题探究： (2)如图2，在中，，，．平面内一点F且满足，求面积的最小值． 问题解决： (3)某城市规划一个形状为平行四边形的生态公园，如图3，其中，，且与边AB垂直．公园内要修建一条快速通道，使得E、F分别在平行四边形边界上（可与顶点重合），并要求线段平分的面积．为方便管理，从顶点C向通道作垂线，垂足为P，并将区域设为游客休息区．为了使公园有更多空间布置游乐设施，要求休息面积尽可能小．问：的面积是否存在最小值？若存在，求出面积最小值及此时通道的长度；若不存在，请说明理由． 7.问题发现 (1)如图①，在中，，，D是边上一点且平分的面积，则线段的长度为______； 问题探究 (2)如图②，在四边形中，，，，，在上求作一点P，连接，使平分该四边形的面积，请画出，并求出的长； 问题解决 (3)如图③，星期天小明在浐灞湿地公园露营时发现一块空地由三条道路围成，即由线段、、围成的封闭图形，他想起了最近学习的面积平分问题，于是他想设计一条小道（小道宽度忽略不计），使其平分该空地的面积，他进行测量得到以下数据：所对的圆心角度数是，，米，米，D为的中点，请你根据他的测量数据，帮小明验证他的想法能否实现？若能实现，请求出的长；若不能，请说明理由． 8．解答下列问题 (1)问题提出：如图①，在中，已知，，在上找一点D，使得线段将分成面积相等的两部分，画出线段，并写出的长为______． (2)问题探究：如图②，点D是边上一定点，在上找一点E，使得线段将分成面积相等的两部分，并说明理由． (3)问题解决：如图③，是某块责任田的平面示意图，由和弓形组成，其中四边形的面积为，m，所在圆的半径长为，点C在线段的垂直平分线上．王大伯计划在责任田上种植蔬菜并修建一条水渠，用于灌溉蔬菜，其中点P是弓形的中点，点Q在上．若要使水渠两边所要灌溉的蔬菜面积相等，即直线平分这块责任田的面积，请你帮助王大伯计算所要修建的水渠的长度。 9．问题提出 (1)若的面积为10，边的长为8，D为边上的动点，则的最小值为_________． 问题探究 (2)如图1，在中，为边上的三等分点，，在射线上是否存在一点，使得直线将四边形的面积平分？若存在，找出点的位置（在图中画出符合条件的点），并求出的值；若不存在，请说明理由． 问题解决 (3)如图2，四边形是一个游乐场的平面示意图，出入口在点E，F，G，H处．已知，．为了进一步提升游乐场的运营功能，管理部门规划修建两条直线型步道，其中，为边AB的中点，点F，G在边上，的长为，点在边上．按照设计要求，请你帮助管理部门计算，当平分四边形的面积，且满足最小时，求BF的长．（步道宽度大小均忽略不计） 10．问题探究 （1）如图①，，面积为6，则的面积为________； （2）如图②，，点为平面内一点，且满足面积为6，求周长的最小值； 问题解决 （3）某新区计划在一块空地上修建一个四边形公园，如图③所示，按规划要求千米，千米，且四边形面积最大．在规划的面积最大的公园内修建一个凉亭，沿着、修建观光路线，两条观光路线恰好平分四边形的面积．若修建观光路线每千米投资20万元，试问观光路线修建费用是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 11.求解下列各题： (1)问题提出：如图1，和是两个等腰直角三角形，连接，若，，则______，______． (2)问题探究：如图2，已知为等边三角形，，D为上一点，且，若上存在一点E，使得平分的面积，求的长． (3)问题探究：智能机器人在生活中广泛应用，某智能分拣机器人的作业路径设计如下：如图3，机器人沿路径完成货物转运，已知为的外接圆，，．同时，机器人配套辅助作业单元对应，机械臂为，满足且，E为的中点，F为上一点，当机器人的作业单元的面积最大时机械臂会平分四边形的面积，请求出此时四边形的面积和的长度． 参考答案 1. 【分析】本题主要考查菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握菱形的性质是关键． 如图，过点分别作，交的延长线于点，连接，为中点，则过点，，且，可证，得，，，，，，，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作，交的延长线于点，连接，为中点， 四边形是菱形， ，， ，， 四边形是矩形， ，， 平分菱形的面积， 过点，，且， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ，， ， 在中，． 2. 【分析】如图，连接，，作 于点，可得四边形和四边形都是平行四边形，推出，在中，可得，然后可证，即可求出，根据直角三角形共边建立方程，求解即可. 【详解】解：如图，连接，，作 于点， ∵为的中点，若平分五边形， ∴与交于点，且平分， ∴，； ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∵四边形是菱形，，， ∴ ， ∵为中点， ∴， 在中， ， ∴，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∵，， 在中， ∴，设， ∴， 在与中， ∴，则， 解得：（负值舍去）， ∴ ， ∴ ， 故答案为：. 【点睛】本题考查了圆的综合应用，菱形的性质，勾股定理，角的直角三角形，相似三角形判定和性质，解题关键是能作出合适的辅助线，并综合运用相关知识点解题，难度较大. 3． 【分析】考查平行四边形性质、全等三角形、面积公式及勾股定理，用面积分割与对称性思想．关键是借对称性证全等、用面积求线段，再构直角三角形计算；易错点是漏用对称性或误判直角边． 首先通过构造垂线得到直角三角形，利用的锐角三角函数求得，接着计算得到平行四边形总面积，得每部分面积为． 然后借对称性证，得、． 由平行四边形的对称性与面积平衡再设，用与的面积列方程，解得，推得、． 最后过作构直角三角形，用勾股定理得． 【详解】解：过A作于点H， ， 在中，． ， ∵，将分成面积相等的四部分， ∴每部分面积为，交点即为平行四边形的中心O， 在中，，， ∴，．，， 连接， ∴经过中心点O， ∴， ∵ ． 同理得：， ∴，． 设，过作于点Q， 在中， 在中，由三角形面积公式：   ． 过E作于延长线上点G， 又，， 且． 在中， 又平行四边形的对称性与面积平衡可得， ， 解得， ． 过M作交于P，过A作于点H， 则． ，． ． 在中，由勾股定理：   ． 故答案为：． 4. 【分析】连接交于点O．取的中点T，连接．求出，可得结论． 【详解】解：如图，连接交于点O．取的中点T，连接． ∵直线平分菱形的面积， ∴直线经过点O， ∵四边形是菱形， ∴， ∴都是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查中心对称，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，用勾股定理解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题． 5．（1）；（2）存在满足要求的点P和点F，此时的长为． 【分析】（1）连接，证明等边三角形，再利用弧长公式计算即可求解； （2）点P在以为圆心，圆心角为的圆上，如图，由题意知直线必经过的中点，得到四边形是平行四边形，求得，作于点，解直角三角形求得和的长，再证明，利用相似三角形的性质求得，据此求解即可． 【详解】解：（1）连接，    ∵， ∴， ∵， ∴等边三角形， ∵， ∴， ∴的长为； 故答案为：； （2）存在满足要求的点P和点F，此时的长为．理由如下， 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵要在湿地上修建一个新观测点P，使， ∴点P在以为圆心，为弦，圆心角为的圆上，如图，    ∵， ∴经过点的直线都平分四边形的面积， ∵新步道经过观测点E，并将五边形的面积平分， ∴直线必经过的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 作于点，    ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， ∴． 答：存在满足要求的点P和点F，此时的长为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 6. (1)见解析 (2) (3)存在；的面积最小值为，的长度为 【分析】（1）连接、交于点，作直线分别交、于点、，此时直线是平行四边形的面积等分线； （2）根据题意得，点F的运动轨迹为以的中点为圆心，长为半径的，过点作于点，过点作于点，与的交点即为点，在中，，进而得到，则，利用 求解即可； （3）取的中点O和的中点，作直线交于点N，交于点Q，在E、F两点运动过程中，，则点P是在以M为圆心，为直径的上，当时，最小，此时的面积最小，在中，利用勾股定理求出长，进而得到、长，证明，则，进而求出长，则，从而求出的最小面积；利用“等面积法”求出长，进而求出、长，证明，进而得到，求出长，再证明和求出、长，利用进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； 证明：四边形是平行四边形， 、， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即直线是平行四边形的面积等分线； （2）解：根据题意得，，， 以的中点为圆心，长为半径作的外接圆， ， ， 点在上运动， 四边形是平行四边形， ，，， 设点到的距离为，则， 当最小时，的面积最小， 过点作于点，过点作于点，与的交点即为点，此时的最小值为， ， 、， 在中，， ， ， ， ， 即面积的最小值为； （3）解：如图，取的中点O和的中点，作直线交于点N，交于点Q， 线段平分平行四边形的面积， 线段过点， 在E、F两点运动过程中，， 点P是在以M为圆心，为直径的上， 当时，最小，此时的面积最小， 四边形是平行四边形， 、、、、， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 、， 的最小面积为， ， ， 、， ， ， ， ， ，即， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 综上所述，的面积存在最小值，最小值为，此时通道的长度为． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握相关性质定理、数形结合的思想方法的运用是解题的关键 7．(1)2 (2)2 (3)能实现， 【分析】（1）在边上取一点D，连接，根据等腰三角形的性质，求解即可； （2）过点作于点，过点作于点，设的长度为，根据面积关系列方程求解，再证四边形是一个矩形，结合勾股定理求解即可； （3）根据直角三角形的相关计算和圆的直径所对的圆周角是直角，确定点在以为直径的圆上，取的中点O，即圆心，连接，求出空地总面积，，设，求出，根据题意列方程求解，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：在边上取一点D，连接如图， ∵平分的面积， ∴， ∵点到边的距离为，，的高， ∴，即是的中点， ∴是底边上的中线， ∵在中，已知， ∴是等腰三角形， ∴是底边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：过点作于点， ∵中，，， ∴，， ∵， ∴四边形是梯形， ∴， ∵平分梯形面积， ∴， 设的长度为，则， ∴，解得， ∴， ∵， ∴， 过点作于点， ∵且，， ∴四边形是一个矩形， ∴，， ∵，，则， ∴， ∴点在点的左侧， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴； （3）解：能实现， 过作于，连接， ∵在中，，， ∴在中，， ，， 在中，根据勾股定理，， ∴米 ∴，即， ∵， ∴， ∴点在以为直径的圆上，取的中点O，即圆心，连接， ∴半径， ∵，， ∴， ∵，所对的圆心角度数是， ∴， ∴， ∴空地总面积为， 空地总面积的一半为， 过D作于， ∵D为的中点， ∴即，，所对的圆心角度数是， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 设，则， 当时平分该空地的面积， 解得即， ∴， 在中． 8．(1)见解析 (2)见解析 (3)米 【分析】（1）如图1中，取的中点D，连接，线段即为所求；再根据等腰三角形的“三线合一”及利用勾股定理求解即可； （2）如图2中，取的中点，连接，过点A作交于E，则直线平分的面积； （3）连接交于点，设弓形的圆心为，利用面积公式求出，根据垂径定理及勾股定理得到，进而得到，利用面积平方求出，然后用勾股定理求即可． 【详解】（1）解：如图，取的中点D，连接，线段即为所求 ，， 为等腰三角形， 又为中点， ，， ； （2）如图中，取的中点，连接，过点作交于E， 则直线平分的面积， 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴线段平分的面积； （3）解：连接交于点，设弓形的圆心为， 由题可知，且为中点，平分弓形的面积， ，解得，， ， 又所在圆的半径长为， ， ， 要使直线平分这块责任田的面积，则， 即，解得， ， 解得，此时， 答：水渠的长度为米． 9．(1)； (2)存在， (3)米 【分析】（1）根据三角形面积公式求解即可； （2）过点B作，在上找一点P，连接并延长交于点H，根据题意得出，再利用梯形的面积计算公式得出，结合相似三角形的判定和性质即可求解； （3）作点E关于的对称点Q，连接并延长交于点R，过点G作，确定点Q、F、R三点共线，取得最小值，根据相似三角形的判定和性质得出，，设，则，结合梯形的面积建立方程求解即可 【详解】（1）解：如图所示： 当时，取得最小值， ∵的面积为10，边的长为8， ∴， 解得：； （2）解：过点B作，在上找一点P，连接并延长交于点H，如图所示： ∵，为边AD上的三等分点，， ∴， ∵直线将四边形的面积平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：作点E关于的对称点Q，连接并延长交于点R，过点G作，如图所示： ∴，四边形为平行四边形， ∴，， ∴，此时点Q、F、R三点共线，取得最小值， ∵为边的中点，, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵平分四边形的面积， ∴， 解得：， 即米 10.（1）6；（2）；（3）存在，最小值为万元 【分析】（1）根据“同底等高的两个三角形的面积相等”即可求解； （2）过A作于D，作，作C关于a的对称点，连接，，，根据轴对称的性质和线段公理得出，则当、、三点共线时，最小，最小值为，即周长的最小值为，在中根据勾股定理求出，即可求解； （3）连接，作的外接圆O，连接，求出，结合，得出当最大时，最大，证明A、B、C、D四点共圆，则当时，最大，连接，，过O作，在上任取一点Q（不含端点），连接，，根据三角形中线的性质得出，，可求出，由（1）知：，进而得出，则当点Q在上（不含端点）时，、平分四边形的面积，延长交于，连接，，根据直径所对的圆周角是直角得出，则可证，根据垂径定理得出是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得出，则，故当A、Q、三点共线，即Q和O重合时，最小，最小值为，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴A、D到的距离相等， ∴和是同底（）等高的两个三角形， ∴； （2）过A作于D，作，作C关于a的对称点，连接，，， 则， ∴， ∴当、、三点共线时，最小，最小值为， 又， ∴周长的最小值为， ∵面积为6，， ∴， ∴， ∵对称， ∴， ∴， ∴周长的最小值为； （3）连接，作的外接圆O，连接 ∵，， ∴，， ∵， ∴当最大时，最大， ∵， ∴A、B、C、D四点共圆， ∴当时，最大， 如图，连接，，过O作，在上任取一点Q（不含端点），连接，， 由（1）知：， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴当点Q在上（不含端点）时，、平分四边形的面积， 延长交于，连接，， ∵是直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴平分，即是的垂直平分线， ∴， ∴， 当A、Q、三点共线，即Q和O重合时，最小，最小值为， ∴的最小值为， ∴观光路线修建费用的最小值为（万元）． 【点睛】掌握“将军饮马”模型是解题的关键． 11．(1)10； (2) (3)，． 【分析】（1）证明，即可求解； （2）作于点，于点，求得，得到，再利用解直角三角形即可求解； （3）过点作直径，连接，求得的半径，过点作，且，证明，求得，推出点在以点为圆心，为半径的圆上，当共线时，的面积最大，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：∵和是两个等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：作于点，于点， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴， ∵平分的面积， ∴， ∵， ∴，又， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作直径，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接，，过点作，且， 在中，，即， 设，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， 作于点，作交延长线于点，作交延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∵， ∴，当且仅当共线时，取等， 连接，作交延长线于点， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵平分四边形的面积， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， 连接，作于点，并交于点， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 解得． 学科网（北京）股份有限公司 $