独立重复实验的概率、条件概率、全概率公式专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

统计与概率：独立重复实验的概率、条件概率、全概率公式专项训练 统计与概率：独立重复实验的概率、条件概率、全概率公式专项训练 考点目录 独立重复实验的概率 条件概率 全概率公式 考点一 独立重复实验的概率 例1．（2026·河北沧州·模拟预测）甲､乙两名同学进行射击比赛，已知同学甲每次击中目标的概率为，同学乙每次击中目标的概率为，且两人是否击中目标相互独立. (1)射击规则如下：若当前射击的同学击中目标，则下次仍由该同学继续射击；若当前射击的同学未击中目标，则下次由另一名同学接替射击；第一次射击由同学甲进行. （i）若共进行3次射击，求同学甲击中目标的次数多于同学乙击中目标的次数的概率； （ii）记第次射击由同学甲进行的概率为，求的值. (2)新射击规则如下：初始由同学甲先射击；若甲未击中目标，则下一次由同学乙射击；若乙未击中目标，则下一次等可能地选择由甲或乙进行射击；比赛循环进行，直到有一名同学首次击中目标，该同学获胜，比赛结束.若两人射击次数不限，求最终同学乙获胜的概率. 【答案】(1)（i）；（ii） (2). 【分析】（1）（i）设三次射击中同学甲击中的次数多于同学乙击中的次数为事件，由题设求解即可. （ii）第次由同学甲进行射击的概率为，则第次由同学甲进行射击的概率为，可得化简后可得数列为等比数列，由此求解即可. （2）设表示由同学甲开始射击，最终同学乙获胜的概率，表示由同学乙开始射击，最终同学乙获胜的概率，分别求解，即可. 【详解】（1）（i）设三次射击中同学甲击中的次数多于同学乙击中的次数为事件， 可得. （ii）因为第次由同学甲进行射击的概率为，则第次由同学甲进行射击的概率为， 所以，即. ， 令，得，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 所以. （2）表示由同学甲开始射击，最终同学乙获胜的概率，表示由同学乙开始射击，最终同学乙获胜的概率， 则①， ②， 联立①②解得，最终同学乙获胜的概率为. 例2．（2026·河南郑州·二模）某商场举行抽奖活动，箱子里装有标号为1到的张奖券，不同的奖券标号对应不同的奖品，标号越大，奖品越丰厚．规则如下：顾客从中有放回地抽取奖券次，每次抽取一张奖券，抽取结果中标号最大的奖券对应的奖品即为最终奖品，设最终获得的奖品对应的奖券标号为． (1)当时，求最终拿到标号为3的奖券的概率和拿到标号为2的奖券的概率． (2)若． ①求最终拿到标号不大于的奖券的概率； ②求随机变量的期望（用表示）． (3)当时，证明：． 【答案】(1)； (2)①；② (3)证明见解析. 【分析】（1）利用对立事件和差事件求概率：，计算两次有放回抽取的结果概率； （2）①标号不大于即每次抽取都不超过，用独立重复试验求概率；②用分布列或尾和公式求期望，化简得到结果； （3）先写出期望表达式，再构造对称和式，结合函数单调性放缩证明不等式. 【详解】（1）表示最大标号为，等价于所有抽取结果都不超过，且至少有一次等于， 则两次都不超过2； 两次都不超过2两次都不超过1. （2）①最终标号不大于等价于次抽取的所有结果都不大于，每次抽到不大于的概率为， 因此. ②由于， 随机变量的期望得 . （3）， 则随机变量的期望为 . 设，， 当时，，等号成立； 当时，当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以. 设， 又因为， 所以，所以． 综上所述，. 例3．（2026·福建莆田·模拟预测）篮球运动员甲做分组投篮训练，投篮5次为一组，投中一次得1分，未投中一次得-1分．假设甲每次投中的概率为． (1)若，求甲在一组投篮训练中累计得分为1分的概率； (2)收集甲以往100组训练数据，分别计算每组累计得分，如下表所示： 累计得分 -5 -3 -1 1 3 5 频数 1 8 24 34 26 7 （i）求表中累计得分的平均数； （ii）用表示一组投篮训练的累计得分．将（i）中的平均数作为的数学期望的估计值，求的值． 【答案】(1) (2)（i）0.94; （ii）0.594. 【详解】（1）设甲在一组投篮训练中累计得分为1分为事件A，则甲在一组训练中，投中3次，未投中2次， 则. （2）（i）设累计得分的平均数为，则. （ii）设投中次数为，则，所以, 累计得分, 所以 又因为，所以，解得. 变式1．（2026·浙江温州·二模）在我国深海万米探测工程中，“奋斗者”号深潜器需在极端高压环境下完成姿态校准.工程师设计了一套算法：“向正方向姿态修正一次”记为个单位，向“负方向姿态修正一次”记为个单位.假设向正负方向姿态修正是等可能的. (1)求6次姿态修正后达到个单位的概率； (2)以下三种情况将导致校准流程终止： 情况1：累计姿态偏移达到个单位（校准到位）； 情况2：累计姿态偏移达到个单位（需紧急干预）； 情况3：完成6次姿态修正（能源耗尽）. （ⅰ）求在能源耗尽的条件下校准到位的概率； （ⅱ）设随机变量X表示终止时姿态修正的次数，求． 【答案】(1) (2)（ⅰ），（ⅱ） 【分析】（1）根据二项分布的概率公式即可求解， （2）（i）列举所有的路线，即可求解；（ii）求解对应的概率，即可根据期望公式求解. 【详解】（1）若6次姿态修正后达到个单位，则需要6次姿态修正中，有4次正方向修正，2次负方向修正， 且每次正方向和负方向修正的概率均为， 故6次姿态修正后达到个单位的概率为. （2）（ⅰ）设第次修正的结果为，且，累计的修正单位为， “能源耗尽”意味着完成6次修正，即在前4次修正中，必须是中的某一种， 则第5次和第六次的修正可以为中的任意一种，故共有种选择， 故“完成6次修正”总的路线共有种， “校准到位”的路线有共有4种， 故在能源耗尽的条件下校准到位的概率为. （ⅱ）随机变量的取值为2,4,6， 表示两次修正都是正方向，或者都是负方向，故, 表示前两次修正的方向中有一次正方向，一次负方向，后两次修正都是正方向，或者都是负方向， 故, , 的分布列如下： 2 4 6 故 变式2．（2026·山东潍坊·一模）在某智能辅助驾驶车道保持系统中，用数轴描述车辆的横向位置：表示车辆位于车道中心线上，表示车辆右偏（如表示车辆位于中心线右侧2个单位），表示车辆左偏.一辆装有该系统的车辆从初始位置（为整数）出发，每次受扰动后（扰动来自路面､侧风与传感器噪声等），车辆随机向右移动1个单位的概率为，向左移动1个单位的概率为. (1)若. （i）求车辆经过10次扰动到达的概率； （ii）已知车辆经过10次扰动恰好首次到达，求其没有重返过的概率. (2)若车辆从初始横向位置为给定正整数）出发，当车辆的横向位置到达或时，一次监测流程结束.记一次监测流程结束车辆所受扰动次数的期望为，求的表达式（用表示）. 【答案】(1)（i）；（ii）； (2). 【分析】（1）（i）根据独立重复试验模型计算概率即可； （ii）利用条件概率公式计算即可； （2）分析得，再构造等差数列，最后求和即可. 【详解】（1）（i）记“车辆经过10次扰动到达”为事件， 由题意可知车辆在10次移动中，8次向右移动，2次向左移动， 所以，． （ii）设事件为“车辆经过10次扰动恰好首次到达”，事件为“车辆移动过程中没有重返过”． 设第次向右移动赋值为，第次向左移动赋值为． 则10次移动可以表示为有序数组，其中． 记10次移动恰好首次到达处的路径为， 则可得中有且仅有两个，且不同时为， 所以共有种不同路径，所以， 记10次移动恰好首次到达处且过程中没有重返的路径为， 此时中有且仅有两个不同时为，不同时为， 所以共有种不同路径，所以， 所以． （2）设车辆从位置出发，每次有的概率向右移动到的概率向左移动到， 每次移动记为1步， 同时，， 若第一步向右到，则后续所需的期望步数为， 若第一步向左到，则后续所需的期望步数为， 第一步本身消耗1步， 所以， 所以，， 令，则， 当时，， ， 令， 所以， 因为， 所以， 由，所以， 解得， 所以， 当时，，所以为等差数列，公差为， 所以， ，由， 得，所以， 综上所述，. 变式3．（2026·甘肃金昌·三模）甲､乙两人参加射击比赛，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.8，甲､乙射击比赛得分规则是：一次击中目标得1分，未击中目标得0分且对方得1分.甲､乙同时射击，且是否击中目标，互不影响. (1)甲､乙同时射击1次，求甲得1分的概率； (2)甲､乙同时射击2次，记甲的得分为，求的分布列和数学期望； (3)甲､乙同时射击次，甲的总得分与乙的总得分相等，求证：甲､乙两人击中目标的次数相等. 【答案】(1)0.74 (2) 0 1 2 3 4 0.0064 0.1184 0.5764 0.2664 0.0324 . (3)证明见解析 【分析】（1）由概率加法公式和乘法公式进行求解； （2）甲､乙同时射击2次，甲的得分的可能取值为，结合甲、乙击中次数服从二项分布进行求解； （3）设次射击中，甲击中目标的次数为，乙击中目标的次数为，则甲､乙同时射击次，甲的总得分为，乙的总得分为，进行求解． 【详解】（1）根据得分规则甲､乙同时射击1次，甲得1分的情况是甲､乙都击中目标或甲､乙都未击中目标， 所以甲得1分的概率. （2）甲､乙同时射击2次，甲的得分的可能取值为， ， ， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 0.0064 0.1184 0.5764 0.2664 0.0324 . （3）设次射击中，甲击中目标的次数为，乙击中目标的次数为， 因为甲､乙射击比赛得分规则是：击中目标得1分，未击中目标得0分且对方得1分， 所以甲击中目标次，甲得分，乙得分；乙击中目标次，甲得分，乙得分， 所以甲､乙同时射击次，甲的总得分为，乙的总得分为， 因为甲的总得分与乙的总得分相等，所以，所以，即两人击中目标的次数相等. 考点二 条件概率 例1．（2026·福建·二模）某盲盒商店调查数据显示，顾客一次性购买某种文创盲盒数量的分布列为 其中，． (1)当时，求顾客一次性购买该种文创盲盒数量的平均值； (2)已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类，且每个盲盒为封面款的概率为，每个盲盒是否为封面款相互独立．若顾客一次性购买的盲盒中，封面款的数量大于非封面款的数量，则称此顾客为幸运客户．现从顾客中随机选取一人． （i）求该顾客为幸运客户的概率； （ii）若该顾客是幸运客户，他购买的盲盒全部是封面款的概率不超过，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i），；（ii）. 【分析】（1）由分布列的性质得出，再利用期望公式求解即可； （2）（i）设事件“一次性购买个文创盲盒”，事件“顾客为幸运客户”，求出、，利用全概率公式可得出的表达式及的取值范围； （ii）设事件“一次性购买的文创盲盒全部是封面款”， 求得，利用全概率公式求出的值，利用条件概率公式结合可得出关于的不等式，结合可得出的取值范围. 【详解】（1）由题可知，， 化简可得 ， 当时，，则， 即顾客一次性购买文创盲盒数量的平均值为． （2）（i）设事件“一次性购买个文创盲盒”，事件“顾客为幸运客户”， 则，，，． 依题意，得，， 因为每个盲盒是否为封面款相互独立， 所以，， 又由题意知，，且、、、两两互斥， 所以， 由（1）得，，代入化简可得， 所以，； （ii）设事件“一次性购买的文创盲盒全部是封面款”， 依题意，得，且，、、两两互斥， 所以， 由（i）得，， 所以幸运客户中，一次性购买的文创盲盒全部是封面款的概率为 ， 由题意，可得，解得， 又因为，所以． 例2．（25-26高三上·江西景德镇·期中）某小区物业为提高服务质量，随机调查了100名男业主和100名女业主，每位业主对该物业的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表： 是否满意性别 满意 不满意 合计 男业主 a 20 100 女业主 c d 100 合计 m 60 200 (1)求a，c，d，m，并判断是否有95％把握认为该小区物业服务评价的差异与男女性别有关？ (2)从小区的业主中任选一人，表示事件“选到的人对该物业的服务不满意”，表示事件“选到的人为男业主”，利用该调查数据，给出，的估计值． 附： α 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)，有关； (2)，. 【分析】（1）由数表信息列式计算，再求出观测值并与临界值比对即可得解. （2）由数表，利用条件概率公式求解. 【详解】（1）由数表得，解得， 零假设：小区男、女业主对该物业服务的评价无差异， 根据数表经计算得， 依据的独立性检验，推断假设不成立，即认为小区男、女业主对该物业服务的评价有差异， 所以有95％把握认为该小区物业服务评价的差异与男女性别有关. （2）依题意，，，， ，， 所以，. 例3．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）为了缓解学生的学习压力，某班级组织了一次趣味知识竞赛，经过初赛､复赛，甲､乙两个代表队（每队3人）进入了决赛.决赛规定每人回答一个问题，答对者为本队赢得10分，答错者得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响. (1)记随机变量表示甲队的总得分，求的分布列和数学期望； (2)在甲､乙两队总得分之和等于30分的条件下，求甲队得分比乙队得分高的概率. 【答案】(1) 0 10 20 30 . (2). 【分析】（1）由题意知的所有可能取值为0，10，20，30，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解； （2）记“甲､乙两队总得分之和等于30分”为事件，“甲队得分比乙队得分高”为事件，利用条件概率公式求解即可. 【详解】（1）题意知的所有可能取值为， 所以， ， ， ， 所以的分布列为： 0 10 20 30 所以. （2）记“甲､乙两队总得分之和等于30分”为事件，“甲队得分比乙队得分高”为事件， 所以， ， 所以， 即在甲､乙两队总得分之和等于30分的条件下，甲队得分比乙队得分高的概率为. 变式1．（2026·重庆·模拟预测）某乒乓球比赛采用“三局两胜制”.现有甲、乙两位选手参加比赛，假设每局比赛结果相互独立.已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为. (1)求甲最终赢得比赛的概率； (2)若已知比赛进行了三局才结束，求甲是最终获胜者的概率； (3)比赛中有“赛点”概念：当某位选手再赢一局即可获得整场比赛胜利时，称该选手拥有“赛点”.据统计，当选手拥有“赛点”时，由于其心理压力等因素，其在该局获胜的概率会比其常规单局获胜概率下降10个百分点（例如，若常规胜率为60%，则拥有“赛点”时胜率为50%）.考虑“赛点”效应时，记为比赛的总局数，求的分布列及数学期望.并简要分析此“赛点”效应使得相比于不考虑“赛点”效应时是增大还是减小. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析，，“赛点”效应使得相比于不考虑“赛点”效应时是增大. 【分析】设表示第局甲赢，表示比赛进行了两局，表示比赛进行了三局，表示最终甲赢得比赛. （1）由题设可得，据此可得答案； （2）由题设及条件概率公式可得答案； （3）若考虑“赛点”，记比赛总局数为，则可能值为2或3，据此可得对应分布列及期望；若不考虑“赛点”，记比赛总局数为，类似可得对应分布列及期望，比较后可得答案. 【详解】（1）设表示第局甲胜，表示比赛进行了两局，表示比赛进行了三局，表示最终甲赢得比赛.有， 所以； （2），， 所以； （3）若考虑“赛点”，记比赛总局数为， 则， ， 所以的分布列为 2 3 故， 若不考虑“赛点”，记比赛总局数为， 则，， 所以， 则有， 所以“赛点”效应使得相比于不考虑“赛点”效应时是增大. 变式2．（2026·安徽马鞍山·二模）某次乒乓球课上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场乒乓球比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，没有平局．乒乓球比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得奖励．已知每场乒乓球比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果、每次抽奖结果互不影响． (1)求甲在乒乓球比赛中积1分的概率； (2)记甲在游戏中总得分为2的概率为，求的最小值； (3)若，记事件A为“甲在乒乓球比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得奖励”，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用独立事件概率公式求解； （2）用独立事件概率公式表示，转化为一元二次函数的最值问题； （3）使用条件概率公式与全概率公式求解. 【详解】（1）甲在乒乓球比赛中积1分，则甲与乙、丙、丁三人的3场比赛中，胜1场，负两场，故概率为； （2）甲在游戏中总得分为2，对应事件：甲在乒乓球比赛中获得1积分，抽奖1次中1次； 或甲在乒乓球比赛中获得2积分，抽奖两次中0次，故所求概率为 ； 故当时，的最小值为 （3）乒乓球比赛中在事件发生的条件下，其余三人的积分有两种情形：2，1，0或1，1，1 则A发生当且仅当甲战胜乙、丙、丁3人，故， 记事件“甲在乒乓球比赛中积3分，乙、丙、丁各得1分”为， 则，， 事件“甲在乒乓球比赛中积3分，另3人得分为2，1，0分”为， 则， 且甲要获得奖励则对应两种情况：“甲3次抽奖至少中一次”，或者“甲3次抽奖一次都未中，而得两分的人至多抽中一次”，故 由全概率公式， 所以 变式3．（2026·重庆·一模）元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包入框，并制定了两个小游戏，且每位参与者只能参加其中一项游戏，规则如下： 游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到次，则游戏立即结束并获奖，若投掷次且后仍未累计命中次，则游戏结束，无法获奖； 游戏二：参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记得分，未命中记得分，当累计得分达到分，则游戏立即结束并获奖，当累计得分达到分，游戏立即结束，无法获奖. 现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立，已知甲同学参加游戏一，且每次命中率为；乙同学参加游戏二，每次命中率为. (1)当时，记甲同学投掷次数为，求的分布列及期望； (2)当且时，求甲同学获奖的概率（用含的表达式表示）； (3)记甲同学获奖时，投掷次数不超过次的概率为；若乙同学获奖概率不小于，求的最小值. 【答案】(1)分布列见详解， (2) (3) 【分析】（1）写出的取值可能为，再分别计算其概率，最后利用期望公式即可得到答案； （2）计算出的表达式，从而得到的表达式，再利用错位相减法即可得到答案； （3）记表示乙同学的得分，，计算出对应的概率，根据得到不等式，解出即可得到最小值． 【详解】（1）由题可知：的取值可能为， ，，， 故的分布列为： 2 3 4 故. （2）记事件：甲同学获奖， 显然，，设表示甲投掷的次数，若甲投掷次并获奖， 则， 所以， 令， 所以， 两式相减： ， 即，所以． （3）记表示乙同学的得分，， 记事件：乙同学获奖，表示乙同学得分为分时，最终获奖的概率， 显然，又， 由全概率公式知：， 所以， 那么： ， 即， 同理：， ， ， ， 累加有， 所以， 即，即， 即， 由甲同学获奖时，投掷次数不超过次的概率为得：， 由，即，解得， 故的最小值为. 考点三 全概率公式 例1．（2026·河南开封·模拟预测）某光伏板工厂将质检测得的转换效率不低于某数值的光伏板分类为高效板，其余为普通板，该工厂有两条生产线： A线：日产能为400块光伏板，其中高效板占比为15%； B线：日产能为600块光伏板，其中高效板占比为45%. 两条生产线当天生产的产品会先混合存放在同一仓库，销售时随机混合装成标准箱配送，一个标准箱中装有4块光伏板. (1)从仓库某天的产品中随机抽取一块光伏板，求抽到高效板的概率； (2)若普通板利润为25元/块，则要使一个标准箱利润的期望值不低于133元，高效板的利润至少为多少元? 【答案】(1)0.33 (2)50 【分析】（1）结合两条生产线的日产能和高效板占比，分别求出各生产线的高效板数量，从而求出抽到高效板的概率； （2）易判断一个标准箱有4块光伏板，其中高效板的数量服从二项分布，设高效板的利润， 再根据期望公式列出不等式，进而求出高效板的最低利润. 【详解】（1）由题意知，A线日产能400块，其中高效板占比为15%，则A线高效板数量为块； B线日产能600块，其中高效板占比为45%，则B线高效板数量为块， 所以高效板总数为块，因此抽到高效板的概率. （2）设高效板的利润为元/块， 由（1）知，抽到高效板的概率为，则抽到普通板的概率为， 一个标准箱有4块光伏板，设其中高效板的数量为随机变量，则， 根据数学期望公式，可得一个标准箱中高效板的期望数量为块， 普通板的期望数量为块. 已知普通板利润为25元/块，要使一个标准箱利润的期望值不低于133元， 则，解得， 因此，要使一个标准箱利润的期望值不低于133元，高效板的利润至少为50元. 例2．（2026·山西运城·二模）小张、小李、小王、小周周日都喜欢打球，这4人只打羽毛球或乒乓球，不打其他球，同一天中每人最多打一种球，且小张和小李两种球都会打，小王只打羽毛球，小周只打乒乓球.在雨天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.3，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.3；在晴天或阴天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.4，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.5；在其他天气这4人不打球.已知周日出现晴天或阴天的概率为0.5，出现雨天的概率为0.1.假设这4人打球的选择相互独立、互不影响. (1)求小张周日打羽毛球的概率； (2)若某个周日是晴天或阴天，求当天这4人中打乒乓球的人数不少于2的概率； (3)若某个周日是雨天，设小李、小王、小周这3人中当天打球的人数为，求的数学期望． 【答案】(1)0.28 (2)0.352 (3)1.2． 【详解】（1）设小张周日打羽毛球为事件， 根据题目可知，周日下雨的概率为， 周日晴天或阴天的概率为，小张在雨天打羽毛球的概率为，小张在晴天或阴天打羽毛球的概率为， 由全概率公式可得. （2）设晴天或阴天打乒乓球的人数为， 根据题目可知，小张晴天或阴天打乒乓球的概率为，小李晴天或阴天打乒乓球的概率为，小王晴天或阴天打乒乓球的概率为，小周晴天或阴天打乒乓球的概率为， ， ， ， 故. （3）根据题目可知，因为同一天中每人最多打一种球，所以小李打羽毛球和打乒乓球是互斥事件，所以在雨天的情况下，小李打球的概率为， 小王雨天打球的概率为，小周雨天打球的概率为， 可能的取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， 则． 例3．（2026·河北雄安·模拟预测）当下有许多人喜欢以爬山作为锻炼身体的运动方式，有一座山，上山有①②两条路径. (1)小李、小王、小张三人经常组队去爬这座山锻炼身体，三人选择①路径爬山的概率分别为，求小李、小王、小张三人中恰有两人选择②路径爬山的概率. (2)若小刘决定连续两天去爬山，事件“小刘第一天选择①路径爬山”，“小刘第二天选择②路径爬山”，且.若小刘第一天选择①路径爬山，第二天仍选择①路径爬山的概率为；若小刘第一天选择②路径爬山，则第二天选择①路径爬山的概率为.求. (3)有一支登山队，经过一段时间的爬山锻炼后，可对每人的登山速度的提高做出评定为“有效”和“无效”.在对全体登山队员的登山速度的提高做出评定后，从中随机抽取一人，登山速度的提高为“有效”的概率为0.88.现从全体登山队员中随机抽取一人，若此人登山速度的提高为“有效”，则继续抽取下一人，直到抽取到登山速度的提高为“无效”的人为止.若抽取的次数为，且（且），求的最大值. （参考数据：） 【答案】(1) (2) (3)29 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式求解即可； （2）根据条件概率公式以及全概率公式求解即可； （3）列出分布列，写出的表达式，利用错位相减求和，最后解不等式即可. 【详解】（1）由题意得小李、小王、小张三人中恰有两人选择②路径爬山的概率为 （2）由题意得，. . （3）设从全体登山队员中随机抽取1人，抽取到的人是“无效”的概率为，则. 抽取的次数为的分布列为 1 2 3 ... ... 故. 又， 两式相减得 . . ，即， 解得， 的最大值为29. 变式1．（2026·宁夏吴忠·二模）某次投篮游戏，规定每名同学投篮次，投篮位置有，两处，第一次在处投，从第二次开始，若前一次未投进，则下一次投篮位置转为另一处；若前一次投进，则下一次投篮位置不变.在处每次投进得2分，否则得0分；在处每次投进得3分，否则得0分.已知甲在，两处每次投进的概率分别为，，且每次投篮相互独立.记甲第次在处投篮的概率为，第次投篮后累计得分为. (1)求； (2)求的分布列及数学期望； (3)求的通项公式； 【答案】(1)； (2)分布列见解析， (3)（） 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式即可求解； （2）通过相互独立事件概率公式计算分布列，再求期望； （3）当时，甲第次在处投篮分两种情形：①第次在处投篮且投进； ②第次在处投篮且未投进.分别确定概率，结合数列的递推关系得等比数列，根据等比数列的通项公式求解的通项公式即可； 【详解】（1）甲第次在处投篮的概率为，说明第次投中，即， 甲第次在处投篮的概率为，说明第次，第次投中或第次，第次没投中， 即. （2）第次投篮后累计得分记为，则的可能取值为0，2，3，4， 设“甲第次在处投进”为事件，“甲第次在处投进”为事件， ，2，依题意，的可能取值为0，2，3，4. ， ， ， ， 所以的概率分布为 0 2 3 4 . （3）当时，甲第次在处投篮分两种情形： ①第次在处投篮且投进，这种情形概率为； ②第次在处投篮且未投进，这种情形概率为. 所以，故， 因为，所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以，即，. 变式2．（2026·湖南衡阳·二模）每年春季万象更新，也是病毒变异和流行病高发期，现代流行病学调查表明：某种流行病毒变异所形成的疾病S是由致病菌和致病菌共同引起的，治疗时至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈． (1)现有一种对疾病的试剂检测方法，该检验方法对患病的人进行化验，检测结果有96%呈阳性，对未患病的人进行化验，检测结果有98%呈阴性．检测结果为阳性的人中未患该病比例为误诊率．若某地区疾病的患病率为0.4%，求这种检验方法在该地区的误诊率（结果精确到0.001）； (2)对疾病有效治疗的药物有，两款，且这两种药物的疗程均为3天（药物使用时，按疗程服用3天，超过3天无效需换药进行治疗（无论谁先使用都不会影响后使用的药物的治愈率）．若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈．已知药物杀灭致病菌和致病菌的概率分别为，药物杀灭致病菌和致病菌的概率均为，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立．请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短？ 【答案】(1) (2)需先使用药物可使得痊愈的平均天数更短 【分析】（1）本小问主要考查条件概率和全概率公式，首先求出检测结果为阳性的概率，其次求出未患病且检测结果为阳性的概率，最后结合条件概率公式求出误诊率； （2）本小问主要考查离散型随机变量的数学问题，先分别计算出先后和先后两种方案下，治愈天数的所有可能取值及对应概率；再计算两种方案的期望天数，比较大小，选择期望更小的方案. 【详解】（1）记事件：检测结果阳性，事件：患病， 由题意可知，，，， 所以， 因此，这种检验方法在该地区的误诊率为． （2）设表示药物能治愈疾病的概率，表示药物能治愈疾病S的概率， 则有，． 设先用药物再用药来治愈疾病所需的天数为，的可能取值为3，6，9， 则， ， 所以 ． 设先用药物再用药来治愈疾病所需的天数为，的可能取值为3，6，9， 同理得， ， 则有 ， 从而有，由此需先使用药物B可使得痊愈的平均天数更短. 变式3．（25-26高二下·江苏南京·期中）有一些不透明的盒子，每个盒子里都装有形状和大小完全相同的个红球和个白球． (1)取出五个盒子，分别编号为， 第一步，把号盒子里的两个球放入号盒子，把号盒子里的两个球放入号盒子，把号盒子中的红球放入号盒子，白球放入号盒子； 第二步，从号盒子里随机摸出2个球，若摸出的两个球颜色相同，则将这两个球放入号盒子中，若摸出的两个球颜色不同，则放回号盒子中； 第三步，从号盒子中随机摸出一个球，查看颜色． ①求第三步摸到的球是红球的概率； ②若第三步摸到的是白球，请问第二步中从号盒子里摸出的两个球是放入号盒子中，还是放回号盒子中，哪种可能性更大呢？ (2)取出个盒子，重新编号，依次为， 从号盒子里随机摸出一个球放入号盒子，再从号盒子中随机摸出一个球放入号盒子，重复上述操作，直至从号盒子中随机摸出一个球放入号盒子，最后从号盒子中随机摸出一个球丢掉．记此时号盒子中红球个数的期望为，试比较与的大小． 【答案】(1)①；②放回1号盒子的可能性更大 (2) 【分析】（1）先确定第一步结束后1号盒子和2号盒子中红球和白球的数量，然后分别计算3种情况下摸到红球的概率，然后利用全概率公式求解答案即可，利用贝叶斯公式分别计算出第三步摸到的是白球，第二步从1号盒子里摸出的两个球放入2号盒子和放回1号盒子的概率，然后根据概率的大小确定可能性. （2）先通过全概率公式和构造不动点等比数列去确定摸到红球的概率是不变的，然后列出的分布列并计算期望，再化简和比较大小即可. 【详解】（1）第一步结束后，1号盒子中有3个红球和2个白球，2号盒子中有3个白球和2个红球． ①设“第三步从2号盒子中摸出红球”为事件 设“第二步从1号盒子中摸出2个红球”为事件，则. 此时2号盒子中有4红3白，. 设“第二步从1号盒子中摸出2个白球”为事件，则. 此时2号盒子中有2红5白，则. 设“第二步从1号盒子中摸出1个红球和1个白球”为事件，则. 此时2号盒子中有2红3白，则 则 故第三步从2号盒子中摸出红球的概率是. ②设“第三步从2号盒子中摸出白球”为事件，则. . . 最大，所以放回1号盒子的可能性更大. （2）记“从号盒子中摸出的球为红球”， 所以， 则由全概率公式可得：. 又，， 又，，. 设号盒子中红球个数为，可能取值为， ，，. . 而. . 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $统计与概率：独立重复实验的概率、条件概率、全概率公式专项训练 统计与概率：独立重复实验的概率、条件概率、全概率公式专项训练 考点目录 独立重复实验的概率 条件概率 全概率公式 考点一 独立重复实验的概率 例1．（2026·河北沧州·模拟预测）甲､乙两名同学进行射击比赛，已知同学甲每次击中目标的概率为，同学乙每次击中目标的概率为，且两人是否击中目标相互独立. (1)射击规则如下：若当前射击的同学击中目标，则下次仍由该同学继续射击；若当前射击的同学未击中目标，则下次由另一名同学接替射击；第一次射击由同学甲进行. （i）若共进行3次射击，求同学甲击中目标的次数多于同学乙击中目标的次数的概率； （ii）记第次射击由同学甲进行的概率为，求的值. (2)新射击规则如下：初始由同学甲先射击；若甲未击中目标，则下一次由同学乙射击；若乙未击中目标，则下一次等可能地选择由甲或乙进行射击；比赛循环进行，直到有一名同学首次击中目标，该同学获胜，比赛结束.若两人射击次数不限，求最终同学乙获胜的概率. 例2．（2026·河南郑州·二模）某商场举行抽奖活动，箱子里装有标号为1到的张奖券，不同的奖券标号对应不同的奖品，标号越大，奖品越丰厚．规则如下：顾客从中有放回地抽取奖券次，每次抽取一张奖券，抽取结果中标号最大的奖券对应的奖品即为最终奖品，设最终获得的奖品对应的奖券标号为． (1)当时，求最终拿到标号为3的奖券的概率和拿到标号为2的奖券的概率． (2)若． ①求最终拿到标号不大于的奖券的概率； ②求随机变量的期望（用表示）． (3)当时，证明：． 例3．（2026·福建莆田·模拟预测）篮球运动员甲做分组投篮训练，投篮5次为一组，投中一次得1分，未投中一次得-1分．假设甲每次投中的概率为． (1)若，求甲在一组投篮训练中累计得分为1分的概率； (2)收集甲以往100组训练数据，分别计算每组累计得分，如下表所示： 累计得分 -5 -3 -1 1 3 5 频数 1 8 24 34 26 7 （i）求表中累计得分的平均数； （ii）用表示一组投篮训练的累计得分．将（i）中的平均数作为的数学期望的估计值，求的值． 变式1．（2026·浙江温州·二模）在我国深海万米探测工程中，“奋斗者”号深潜器需在极端高压环境下完成姿态校准.工程师设计了一套算法：“向正方向姿态修正一次”记为个单位，向“负方向姿态修正一次”记为个单位.假设向正负方向姿态修正是等可能的. (1)求6次姿态修正后达到个单位的概率； (2)以下三种情况将导致校准流程终止： 情况1：累计姿态偏移达到个单位（校准到位）； 情况2：累计姿态偏移达到个单位（需紧急干预）； 情况3：完成6次姿态修正（能源耗尽）. （ⅰ）求在能源耗尽的条件下校准到位的概率； （ⅱ）设随机变量X表示终止时姿态修正的次数，求． 变式2．（2026·山东潍坊·一模）在某智能辅助驾驶车道保持系统中，用数轴描述车辆的横向位置：表示车辆位于车道中心线上，表示车辆右偏（如表示车辆位于中心线右侧2个单位），表示车辆左偏.一辆装有该系统的车辆从初始位置（为整数）出发，每次受扰动后（扰动来自路面､侧风与传感器噪声等），车辆随机向右移动1个单位的概率为，向左移动1个单位的概率为. (1)若. （i）求车辆经过10次扰动到达的概率； （ii）已知车辆经过10次扰动恰好首次到达，求其没有重返过的概率. (2)若车辆从初始横向位置为给定正整数）出发，当车辆的横向位置到达或时，一次监测流程结束.记一次监测流程结束车辆所受扰动次数的期望为，求的表达式（用表示）. 变式3．（2026·甘肃金昌·三模）甲､乙两人参加射击比赛，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.8，甲､乙射击比赛得分规则是：一次击中目标得1分，未击中目标得0分且对方得1分.甲､乙同时射击，且是否击中目标，互不影响. (1)甲､乙同时射击1次，求甲得1分的概率； (2)甲､乙同时射击2次，记甲的得分为，求的分布列和数学期望； (3)甲､乙同时射击次，甲的总得分与乙的总得分相等，求证：甲､乙两人击中目标的次数相等. 考点二 条件概率 例1．（2026·福建·二模）某盲盒商店调查数据显示，顾客一次性购买某种文创盲盒数量的分布列为 其中，． (1)当时，求顾客一次性购买该种文创盲盒数量的平均值； (2)已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类，且每个盲盒为封面款的概率为，每个盲盒是否为封面款相互独立．若顾客一次性购买的盲盒中，封面款的数量大于非封面款的数量，则称此顾客为幸运客户．现从顾客中随机选取一人． （i）求该顾客为幸运客户的概率； （ii）若该顾客是幸运客户，他购买的盲盒全部是封面款的概率不超过，求的取值范围． 例2．（25-26高三上·江西景德镇·期中）某小区物业为提高服务质量，随机调查了100名男业主和100名女业主，每位业主对该物业的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表： 是否满意性别 满意 不满意 合计 男业主 a 20 100 女业主 c d 100 合计 m 60 200 (1)求a，c，d，m，并判断是否有95％把握认为该小区物业服务评价的差异与男女性别有关？ (2)从小区的业主中任选一人，表示事件“选到的人对该物业的服务不满意”，表示事件“选到的人为男业主”，利用该调查数据，给出，的估计值． 附： α 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 例3．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）为了缓解学生的学习压力，某班级组织了一次趣味知识竞赛，经过初赛､复赛，甲､乙两个代表队（每队3人）进入了决赛.决赛规定每人回答一个问题，答对者为本队赢得10分，答错者得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响. (1)记随机变量表示甲队的总得分，求的分布列和数学期望； (2)在甲､乙两队总得分之和等于30分的条件下，求甲队得分比乙队得分高的概率. 变式1．（2026·重庆·模拟预测）某乒乓球比赛采用“三局两胜制”.现有甲、乙两位选手参加比赛，假设每局比赛结果相互独立.已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为. (1)求甲最终赢得比赛的概率； (2)若已知比赛进行了三局才结束，求甲是最终获胜者的概率； (3)比赛中有“赛点”概念：当某位选手再赢一局即可获得整场比赛胜利时，称该选手拥有“赛点”.据统计，当选手拥有“赛点”时，由于其心理压力等因素，其在该局获胜的概率会比其常规单局获胜概率下降10个百分点（例如，若常规胜率为60%，则拥有“赛点”时胜率为50%）.考虑“赛点”效应时，记为比赛的总局数，求的分布列及数学期望.并简要分析此“赛点”效应使得相比于不考虑“赛点”效应时是增大还是减小. 变式2．（2026·安徽马鞍山·二模）某次乒乓球课上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场乒乓球比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，没有平局．乒乓球比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得奖励．已知每场乒乓球比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果、每次抽奖结果互不影响． (1)求甲在乒乓球比赛中积1分的概率； (2)记甲在游戏中总得分为2的概率为，求的最小值； (3)若，记事件A为“甲在乒乓球比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得奖励”，求． 变式3．（2026·重庆·一模）元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包入框，并制定了两个小游戏，且每位参与者只能参加其中一项游戏，规则如下： 游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到次，则游戏立即结束并获奖，若投掷次且后仍未累计命中次，则游戏结束，无法获奖； 游戏二：参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记得分，未命中记得分，当累计得分达到分，则游戏立即结束并获奖，当累计得分达到分，游戏立即结束，无法获奖. 现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立，已知甲同学参加游戏一，且每次命中率为；乙同学参加游戏二，每次命中率为. (1)当时，记甲同学投掷次数为，求的分布列及期望； (2)当且时，求甲同学获奖的概率（用含的表达式表示）； (3)记甲同学获奖时，投掷次数不超过次的概率为；若乙同学获奖概率不小于，求的最小值. 考点三 全概率公式 例1．（2026·河南开封·模拟预测）某光伏板工厂将质检测得的转换效率不低于某数值的光伏板分类为高效板，其余为普通板，该工厂有两条生产线： A线：日产能为400块光伏板，其中高效板占比为15%； B线：日产能为600块光伏板，其中高效板占比为45%. 两条生产线当天生产的产品会先混合存放在同一仓库，销售时随机混合装成标准箱配送，一个标准箱中装有4块光伏板. (1)从仓库某天的产品中随机抽取一块光伏板，求抽到高效板的概率； (2)若普通板利润为25元/块，则要使一个标准箱利润的期望值不低于133元，高效板的利润至少为多少元? 例2．（2026·山西运城·二模）小张、小李、小王、小周周日都喜欢打球，这4人只打羽毛球或乒乓球，不打其他球，同一天中每人最多打一种球，且小张和小李两种球都会打，小王只打羽毛球，小周只打乒乓球.在雨天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.3，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.3；在晴天或阴天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.4，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.5；在其他天气这4人不打球.已知周日出现晴天或阴天的概率为0.5，出现雨天的概率为0.1.假设这4人打球的选择相互独立、互不影响. (1)求小张周日打羽毛球的概率； (2)若某个周日是晴天或阴天，求当天这4人中打乒乓球的人数不少于2的概率； (3)若某个周日是雨天，设小李、小王、小周这3人中当天打球的人数为，求的数学期望． 例3．（2026·河北雄安·模拟预测）当下有许多人喜欢以爬山作为锻炼身体的运动方式，有一座山，上山有①②两条路径. (1)小李、小王、小张三人经常组队去爬这座山锻炼身体，三人选择①路径爬山的概率分别为，求小李、小王、小张三人中恰有两人选择②路径爬山的概率. (2)若小刘决定连续两天去爬山，事件“小刘第一天选择①路径爬山”，“小刘第二天选择②路径爬山”，且.若小刘第一天选择①路径爬山，第二天仍选择①路径爬山的概率为；若小刘第一天选择②路径爬山，则第二天选择①路径爬山的概率为.求. (3)有一支登山队，经过一段时间的爬山锻炼后，可对每人的登山速度的提高做出评定为“有效”和“无效”.在对全体登山队员的登山速度的提高做出评定后，从中随机抽取一人，登山速度的提高为“有效”的概率为0.88.现从全体登山队员中随机抽取一人，若此人登山速度的提高为“有效”，则继续抽取下一人，直到抽取到登山速度的提高为“无效”的人为止.若抽取的次数为，且（且），求的最大值. （参考数据：） 变式1．（2026·宁夏吴忠·二模）某次投篮游戏，规定每名同学投篮次，投篮位置有，两处，第一次在处投，从第二次开始，若前一次未投进，则下一次投篮位置转为另一处；若前一次投进，则下一次投篮位置不变.在处每次投进得2分，否则得0分；在处每次投进得3分，否则得0分.已知甲在，两处每次投进的概率分别为，，且每次投篮相互独立.记甲第次在处投篮的概率为，第次投篮后累计得分为. (1)求； (2)求的分布列及数学期望； (3)求的通项公式； 变式2．（2026·湖南衡阳·二模）每年春季万象更新，也是病毒变异和流行病高发期，现代流行病学调查表明：某种流行病毒变异所形成的疾病S是由致病菌和致病菌共同引起的，治疗时至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈． (1)现有一种对疾病的试剂检测方法，该检验方法对患病的人进行化验，检测结果有96%呈阳性，对未患病的人进行化验，检测结果有98%呈阴性．检测结果为阳性的人中未患该病比例为误诊率．若某地区疾病的患病率为0.4%，求这种检验方法在该地区的误诊率（结果精确到0.001）； (2)对疾病有效治疗的药物有，两款，且这两种药物的疗程均为3天（药物使用时，按疗程服用3天，超过3天无效需换药进行治疗（无论谁先使用都不会影响后使用的药物的治愈率）．若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈．已知药物杀灭致病菌和致病菌的概率分别为，药物杀灭致病菌和致病菌的概率均为，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立．请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短？ 变式3．（25-26高二下·江苏南京·期中）有一些不透明的盒子，每个盒子里都装有形状和大小完全相同的个红球和个白球． (1)取出五个盒子，分别编号为， 第一步，把号盒子里的两个球放入号盒子，把号盒子里的两个球放入号盒子，把号盒子中的红球放入号盒子，白球放入号盒子； 第二步，从号盒子里随机摸出2个球，若摸出的两个球颜色相同，则将这两个球放入号盒子中，若摸出的两个球颜色不同，则放回号盒子中； 第三步，从号盒子中随机摸出一个球，查看颜色． ①求第三步摸到的球是红球的概率； ②若第三步摸到的是白球，请问第二步中从号盒子里摸出的两个球是放入号盒子中，还是放回号盒子中，哪种可能性更大呢？ (2)取出个盒子，重新编号，依次为， 从号盒子里随机摸出一个球放入号盒子，再从号盒子中随机摸出一个球放入号盒子，重复上述操作，直至从号盒子中随机摸出一个球放入号盒子，最后从号盒子中随机摸出一个球丢掉．记此时号盒子中红球个数的期望为，试比较与的大小． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $