统计与概率：条件概率、全概率公式专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

统计与概率：条件概率、全概率公式专项训练 统计与概率：条件概率、全概率公式专项训练 考点目录 条件概率 全概率公式 考点一 条件概率 例1．（25-26高二下·福建泉州·月考）抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件为“两个点数不相同”，为“至少出现一个6点”，则（   ） A． B． C． D． 例2．（2026·河南许昌·模拟预测）某次测试共设置两道必答题，考生至少答对其中一道题即可通过测试.已知考生甲答对每一题的概率均为，在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·天津东丽·一模）已知某外卖骑手每次在规定时间内将餐品送达的概率为，该骑手某次工作中共配送3单，若三次配送结果互不影响，记三次配送中准时送达的次数为，则的数学期望_________，若已知该骑手没有全部准时送达，则他恰好准时送达两次的概率为_________． 例4．（2026·陕西商洛·二模）两位游客准备分别从古汉台、拜将台、兴汉胜境、石门栈道风景区4个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择古汉台”，事件“两位游客选择的景点不同”，则______． 例5．（2026·广东江门·一模）某学校组织学科创新能力知识竞赛，参赛选手随机从三类问题中各抽取一个问题回答，类问题回答正确的得分依次是2分、3分、5分，回答错误得0分.已知甲同学能正确回答类问题的概率依次为，乙同学能正确回答类问题的概率都为，总分最高的选手获胜，且甲、乙同学能正确回答问题的概率与顺序无关. (1)求乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确的概率； (2)记为甲同学的总得分，求的分布列及期望； (3)已知乙同学在比赛中获胜，求甲同学的总得分不低于5分的概率. 例6．（2026·山东枣庄·二模）某人工智能实验室要对一款新型学习智能体进行轮测试（每轮测试的结果相互独立），每轮测试中智能体会随机接受类与类任务中的一个．已知该智能体每轮成功完成类任务的概率均为，每轮成功完成类任务的概率均为．成功完成一次类任务得1分，成功完成一次类任务得2分，不成功均得0分．记智能体在第1轮测试后的得分为． (1)求的分布列； (2)记智能体经过2轮测试后的总得分为，求； (3)每轮测试中智能体成功完成类或类任务就称为“过关”．记轮测试中智能体过关的次数为，求和． 变式1．（25-26高二下·江苏南京·月考）对于事件A，B，，，，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三下·陕西西安·月考）当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验室AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三下·四川雅安·月考）质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施两次打击，若没有受损，则认为该构件通过质检．若第一次打击后该构件没有受损的概率为0.85，当第一次没有受损时第二次实施打击也没有受损的概率为0.80，则该构件通过质检的概率为 _________ ． 变式4．（25-26高二下·上海奉贤·月考）已知、为随机事件，且，，若，则___________. 变式5．（25-26高三下·海南海口·月考）根据社会人口调查一万个家庭研究发现，一个家庭有个孩子的分布列为：      0 1 2 3 P (其中)每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为 ，且相互独立，事件表示一个家庭有 个孩子()，事件B表示一个家庭中男孩比女孩多(若一个家庭只有一个孩子并且恰好是一个男孩，则表示该家庭男孩比女孩多). (1)求的值及随机变量X的数学期望； (2)分别求的值; (3)求. 变式6．（2026·安徽滁州·一模）某市高三学生学习强度指数Q的概率分布情况如下表所示． 学习强度指数Q 概率 0.2 0.5 0.3 应对情况 轻松应对 勉强应对 困难应对 (1)从该市随机选取3名高三的学生，记学习强度指数的人数为X，求及X的数学期望． (2)定义为在事件M发生的条件下事件N发生的优势．记事件“该学生学习有压力”（勉强应对和困难应对都被认为是学习有压力，轻松应对被认为是学习无压力），事件“该学生困难应对”，求在事件A发生的条件下事件B发生的优势． 考点二 全概率公式 例1．（25-26高三下·安徽芜湖·月考）某品牌智能手表在甲、乙、丙3个电商平台上销售，这3个平台的销量占比和好评率如下表，若该品牌智能手表的整体好评率为，则表中（    ） 甲 乙 丙 销量占比 好评率 A．75 B．80 C．85 D．90 例2．（25-26高三下·江西·月考）若甲盒中有3个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有个白球个红球，2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若事件“从甲盒中取出的球和从乙盒取出的球颜色相同”的概率不小于，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 例3．（2026·天津河北·一模）三批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为；第三批占，次品率为．将三批产品混合，从混合产品中任取一件，这件产品是次品的概率为______；如果取到的产品是次品，则它是取自第一批产品的概率为______． 例4．（2026·天津南开·一模）学校举办“校园歌手大赛”，某参赛同学的参赛曲库中有5首歌，分别是：抒情歌1首，流行歌2首，摇滚歌2首.若他演唱这三类歌曲能晋级下一轮的概率分别为，，，他比赛时，随机从这5首歌里选择一首演唱，则他能晋级的概率为______；若他晋级了，则这名学生是演唱流行歌晋级的概率为______. 例5．（2026·辽宁抚顺·一模）某商场为了吸引顾客，举办抽奖活动，顾客可凭购物发票参与活动一次，规则如下：一个袋子中装有5个除颜色不同外其余均相同的小球，其中2个黑球和3个红球，顾客从袋子中有放回地随机摸两次，每次摸出一球，若两次摸到的球的颜色不同，则按方式①发放礼品，否则按方式②发放礼品． 方式①：若第一次摸到的是红球，则发放礼品A一份，否则发放礼品B一份． 方式②：若购物发票上的金额不低于100元，则发放礼品A一份，否则发放礼品B一份． (1)若有名顾客参与抽奖活动，用X表示其中按方式①发放礼品的人数，求的数学期望； (2)抽奖活动后，统计得到，发放的礼品中，礼品A与礼品B的份数的比例为，试估计参与抽奖活动的顾客中，购物发票上的金额不低于元的比例．（结果保留两位有效数字） 例6．（2026·湖北·一模）在区块链技术支持的加密资产网络中，设有两个智能合约钱包（甲钱包与乙钱包）.每个钱包初始配置有1枚“黑币”（代表高波动性资产）与2枚“白币”（代表稳定资产）.为平衡资产风险，系统执行如下自动交换协议：每次从两个钱包中各随机抽取一币，并交换存入对方钱包.记该协议重复执行次后，甲钱包中“黑币”的数量为，甲钱包中恰好有1枚“黑币”的概率为. (1)求； (2)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (3)求. 变式1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（   ） A．0.9 B．0.91 C．0.92 D．0.93 变式2．（2026·浙江·模拟预测）一个知识问答竞赛每题有3个选项．甲参加该竞赛有以下情况：若甲掌握该知识，则一定回答正确；若甲未掌握该知识，则从3个选项中随机选择一个作答．已知甲回答正确的概率为，则甲掌握该知识的概率为（   ） A． B． C． D． 变式3．（2026·天津河东·一模）某地区有A、B两个城区，人口比例为，由于人口密度不同，A、B两地的流感感染率分别为、.若随机选取A地区的3名市民进行该流感检测，至少1人感染的概率为________；若该地区随机选取1名市民进行该流感检测，则感染的概率为__________. 变式4．（2026·河南南阳·一模）采购员要购买某种电器元件一包（12个）．他的采购方法是：从一包中随机抽查4个，如这4个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有6个次品的包数占20%，而其余包中各含2个次品，则采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是______． 变式5．（2026·云南·模拟预测）甲乙两人进行若干局乒乓球训练赛，每局比赛必须决出胜负，且每局比赛结果相互独立．已知甲每局比赛获胜的概率为，规定先达到净胜3局者获得训练赛胜利并结束训练赛（某人的净胜局数＝某人胜的局数－某人负的局数）． (1)记经过n局比赛，甲获得训练赛胜利的概率为，求． (2)经过若干局后，甲胜的局数与乙胜的局数的差为X，记事件“X＝k时，甲最终获得训练赛胜利”发生的概率为，求证：是等比数列； (3)求甲获得训练赛胜利的概率． 变式6．（2026·广西河池·二模）每届高考结束后，某校各班都要推荐优秀学生代表作为嘉宾与下一届学生进行学习经验分享.2025届高三年级班号依次为，高三0班的优秀学生代表为2名男生和2名女生，其余各班的优秀学生代表均为1名男生和1名女生．第一场分享会的4名学生嘉宾由从高三0班的优秀学生代表中选出的2名和高三1班的2名优秀学生代表共同组成，第二场分享会的4名学生嘉宾由从上一场的4名嘉宾中选出的2名和高三2班的2名优秀学生代表共同组成，．．．，按照这样的方式，依次进行到第二十七场分享会． (1)求第一场分享会的学生嘉宾中恰有2名男生的概率； (2)求第二场分享会的学生嘉宾中恰有2名男生的概率； (3)记第二十七场分享会的学生嘉宾中男生人数为，求的分布列和数学期望． 2 学科网（北京）股份有限公司 $统计与概率：条件概率、全概率公式专项训练 统计与概率：条件概率、全概率公式专项训练 考点目录 条件概率 全概率公式 考点一 条件概率 例1．（25-26高二下·福建泉州·月考）抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件为“两个点数不相同”，为“至少出现一个6点”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子，共有种情形， 其中事件“至少出现一个6点”的情况数为种，可得， 又由事件“两个点数不相同”，可得，所以， 由条件概率的公式，可得. 例2．（2026·河南许昌·模拟预测）某次测试共设置两道必答题，考生至少答对其中一道题即可通过测试.已知考生甲答对每一题的概率均为，在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设考生甲答对第一道题和答对第二道题分别为事件，只答对一道题为事件，甲通过测试为事件， 则 ， ， 则在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为. 例3．（2026·天津东丽·一模）已知某外卖骑手每次在规定时间内将餐品送达的概率为，该骑手某次工作中共配送3单，若三次配送结果互不影响，记三次配送中准时送达的次数为，则的数学期望_________，若已知该骑手没有全部准时送达，则他恰好准时送达两次的概率为_________． 【答案】 【详解】由题意可得， 所以； 记事件为“该骑手没有全部准时送达”，事件为“恰好准时送达两次”， 则, 所以. 例4．（2026·陕西商洛·二模）两位游客准备分别从古汉台、拜将台、兴汉胜境、石门栈道风景区4个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择古汉台”，事件“两位游客选择的景点不同”，则______． 【答案】 【详解】两位游客从4个景点中任选，每人有4种选择，总事件数：种． 事件的对立事件为“两位游客都不选择古汉台”，的事件数：种， 事件分为两种情况：甲选古汉台，乙选其余3个景点，3种； 乙选古汉台，甲选其余3个景点，3种； 共种事件， 所以． 例5．（2026·广东江门·一模）某学校组织学科创新能力知识竞赛，参赛选手随机从三类问题中各抽取一个问题回答，类问题回答正确的得分依次是2分、3分、5分，回答错误得0分.已知甲同学能正确回答类问题的概率依次为，乙同学能正确回答类问题的概率都为，总分最高的选手获胜，且甲、乙同学能正确回答问题的概率与顺序无关. (1)求乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确的概率； (2)记为甲同学的总得分，求的分布列及期望； (3)已知乙同学在比赛中获胜，求甲同学的总得分不低于5分的概率. 【答案】(1) (2) 0 2 3 5 7 8 10 期望为 (3) 【详解】（1）设事件D表示乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确， . （2）可能的取值有, 所以的分布列为： 0 2 3 5 7 8 10 （3）记为乙同学的总得分，可能的取值有， 则,，， ，， ， 设事件表示乙获胜，事件表示甲的总分不低于5分， 法一：因为， 则. 法二：， ， 例6．（2026·山东枣庄·二模）某人工智能实验室要对一款新型学习智能体进行轮测试（每轮测试的结果相互独立），每轮测试中智能体会随机接受类与类任务中的一个．已知该智能体每轮成功完成类任务的概率均为，每轮成功完成类任务的概率均为．成功完成一次类任务得1分，成功完成一次类任务得2分，不成功均得0分．记智能体在第1轮测试后的得分为． (1)求的分布列； (2)记智能体经过2轮测试后的总得分为，求； (3)每轮测试中智能体成功完成类或类任务就称为“过关”．记轮测试中智能体过关的次数为，求和． 【答案】(1)分布列为： 0 1 2 (2) (3)， 【详解】（1）的可能取值为， ， ，， 所以分布列为： 0 1 2 （2）由（1），，, 所以. （3）由题意，， 所以， 所以，, 变式1．（25-26高二下·江苏南京·月考）对于事件A，B，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由条件概率公式，可得， 故， 又因， 则，所以． 变式2．（25-26高三下·陕西西安·月考）当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验室AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以. 所以. 由，得. 所以. 变式3．（25-26高三下·四川雅安·月考）质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施两次打击，若没有受损，则认为该构件通过质检．若第一次打击后该构件没有受损的概率为0.85，当第一次没有受损时第二次实施打击也没有受损的概率为0.80，则该构件通过质检的概率为 _________ ． 【答案】0.68 【详解】设事件表示对此建筑构件第一次打击后没有受损，事件表示对此建筑构件第二次打击后没有受损， 则表示对此建筑构件实施两次打击且没有受损， 由题可知：，，故. 故答案为：. 变式4．（25-26高二下·上海奉贤·月考）已知、为随机事件，且，，若，则___________. 【答案】 【详解】因为，，则， 又因为，则， 且，所以. 变式5．（25-26高三下·海南海口·月考）根据社会人口调查一万个家庭研究发现，一个家庭有个孩子的分布列为：      0 1 2 3 P (其中)每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为 ，且相互独立，事件表示一个家庭有 个孩子()，事件B表示一个家庭中男孩比女孩多(若一个家庭只有一个孩子并且恰好是一个男孩，则表示该家庭男孩比女孩多). (1)求的值及随机变量X的数学期望； (2)分别求的值; (3)求. 【答案】(1)， (2)，， (3) 【详解】（1）由题意，得，解得； ∴X的分布列为 x 0 1 2 3 P ∴X的数学期望 ； （2）由题意，得，， （3）因，则由全概率公式，得 . 变式6．（2026·安徽滁州·一模）某市高三学生学习强度指数Q的概率分布情况如下表所示． 学习强度指数Q 概率 0.2 0.5 0.3 应对情况 轻松应对 勉强应对 困难应对 (1)从该市随机选取3名高三的学生，记学习强度指数的人数为X，求及X的数学期望． (2)定义为在事件M发生的条件下事件N发生的优势．记事件“该学生学习有压力”（勉强应对和困难应对都被认为是学习有压力，轻松应对被认为是学习无压力），事件“该学生困难应对”，求在事件A发生的条件下事件B发生的优势． 【答案】(1)，的数学期望为； (2)； 【详解】（1）解：由表可知，学习强度指数的概率为： , 从该市随机选取名学生，记学习强度指数的人数为，则服从二项分布， 所以； 的数学期望为：； （2）解：由题意可知，事件为“该学生学习有压力”，事件为“该学生困难应对”. ，， 因为事件包含于事件中，所以， 在事件发生的条件下事件发生的概率为：， 在事件发生的条件下事件发生的概率为：， 所以在事件发生的条件下事件发生的优势为：. 考点二 全概率公式 例1．（25-26高三下·安徽芜湖·月考）某品牌智能手表在甲、乙、丙3个电商平台上销售，这3个平台的销量占比和好评率如下表，若该品牌智能手表的整体好评率为，则表中（    ） 甲 乙 丙 销量占比 好评率 A．75 B．80 C．85 D．90 【答案】B 【详解】依题意，，解得. 例2．（25-26高三下·江西·月考）若甲盒中有3个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有个白球个红球，2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若事件“从甲盒中取出的球和从乙盒取出的球颜色相同”的概率不小于，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】设从甲盒中取出白球、红球、黑球的事件分别为， 从甲盒中取出的球与乙盒中取出的球的颜色相同为事件， 则，，， 所以，根据全概率公式得： ， 所以，整理得：，解得， 所以满足题意的的最小值为. 例3．（2026·天津河北·一模）三批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为；第三批占，次品率为．将三批产品混合，从混合产品中任取一件，这件产品是次品的概率为______；如果取到的产品是次品，则它是取自第一批产品的概率为______． 【答案】 【详解】用表示“取到第批产品”，用表示“取到次品” 则，， 则 ； . 例4．（2026·天津南开·一模）学校举办“校园歌手大赛”，某参赛同学的参赛曲库中有5首歌，分别是：抒情歌1首，流行歌2首，摇滚歌2首.若他演唱这三类歌曲能晋级下一轮的概率分别为，，，他比赛时，随机从这5首歌里选择一首演唱，则他能晋级的概率为______；若他晋级了，则这名学生是演唱流行歌晋级的概率为______. 【答案】 【详解】设某参赛选手演唱抒情歌，流行歌，摇滚歌分别为事件， 该选手晋级为事件， 由条件可知，，，，，，， 所以； 所以他能晋级的概率为； ， 所以这名学生是演唱流行歌晋级的概率为. 例5．（2026·辽宁抚顺·一模）某商场为了吸引顾客，举办抽奖活动，顾客可凭购物发票参与活动一次，规则如下：一个袋子中装有5个除颜色不同外其余均相同的小球，其中2个黑球和3个红球，顾客从袋子中有放回地随机摸两次，每次摸出一球，若两次摸到的球的颜色不同，则按方式①发放礼品，否则按方式②发放礼品． 方式①：若第一次摸到的是红球，则发放礼品A一份，否则发放礼品B一份． 方式②：若购物发票上的金额不低于100元，则发放礼品A一份，否则发放礼品B一份． (1)若有名顾客参与抽奖活动，用X表示其中按方式①发放礼品的人数，求的数学期望； (2)抽奖活动后，统计得到，发放的礼品中，礼品A与礼品B的份数的比例为，试估计参与抽奖活动的顾客中，购物发票上的金额不低于元的比例．（结果保留两位有效数字） 【答案】(1)24 (2)0.18 【详解】（1）每次摸到黑球的概率，摸到红球的概率， 每名顾客两次摸到的球的颜色不同的概率． 由题意知，这名顾客中按方式①发放礼品的人数， 所以的数学期望． （2）记事件“按方式①发放礼品”，事件“按方式②发放礼品”，事件“发放礼品A一份”． 由（1）知，， ． 由全概率公式得， 所以，解得． 故估计参与抽奖活动的顾客中，购物发票上的金额不低于100元的比例为18%． 例6．（2026·湖北·一模）在区块链技术支持的加密资产网络中，设有两个智能合约钱包（甲钱包与乙钱包）.每个钱包初始配置有1枚“黑币”（代表高波动性资产）与2枚“白币”（代表稳定资产）.为平衡资产风险，系统执行如下自动交换协议：每次从两个钱包中各随机抽取一币，并交换存入对方钱包.记该协议重复执行次后，甲钱包中“黑币”的数量为，甲钱包中恰好有1枚“黑币”的概率为. (1)求； (2)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (3)求. 【答案】(1) (2)证明见解析， (3)1 【详解】（1）由题意得. （2）当时，设有甲钱包恰有两枚“黑币”的概率为， 则没有“黑币”的概率为， ， 故. 又，故为等比数列,故, . （3）由题的可能取值为0，1，2，其概率分布列为： 0 1 2 依题意，即.于是 故. 变式1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（   ） A．0.9 B．0.91 C．0.92 D．0.93 【答案】D 【详解】. 变式2．（2026·浙江·模拟预测）一个知识问答竞赛每题有3个选项．甲参加该竞赛有以下情况：若甲掌握该知识，则一定回答正确；若甲未掌握该知识，则从3个选项中随机选择一个作答．已知甲回答正确的概率为，则甲掌握该知识的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设甲掌握该知识的概率为，记“甲回答正确”为事件， 根据题意，，，. 根据全概率公式，，代入已知， 得：，解得. 变式3．（2026·天津河东·一模）某地区有A、B两个城区，人口比例为，由于人口密度不同，A、B两地的流感感染率分别为、.若随机选取A地区的3名市民进行该流感检测，至少1人感染的概率为________；若该地区随机选取1名市民进行该流感检测，则感染的概率为__________. 【答案】 【详解】第一空，A地流感感染率为，那么A地流感未感染率为， 考虑至少一人感染的对立事件为3人都未感染，那么人都未感染的概率为. 所以至少一人感染的概率为. 第二空，因为A、B两个城区，人口比例为，所以人口占比分别为， 由全概率公式，该地区随机选取1名市民进行该流感检测，则感染的概率为. 变式4．（2026·河南南阳·一模）采购员要购买某种电器元件一包（12个）．他的采购方法是：从一包中随机抽查4个，如这4个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有6个次品的包数占20%，而其余包中各含2个次品，则采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是______． 【答案】 【详解】设事件为“包含6个次品”，为“包含2个次品”，为“采购员拒绝购买”， 则， 则，， 故 故采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是. 变式5．（2026·云南·模拟预测）甲乙两人进行若干局乒乓球训练赛，每局比赛必须决出胜负，且每局比赛结果相互独立．已知甲每局比赛获胜的概率为，规定先达到净胜3局者获得训练赛胜利并结束训练赛（某人的净胜局数＝某人胜的局数－某人负的局数）． (1)记经过n局比赛，甲获得训练赛胜利的概率为，求． (2)经过若干局后，甲胜的局数与乙胜的局数的差为X，记事件“X＝k时，甲最终获得训练赛胜利”发生的概率为，求证：是等比数列； (3)求甲获得训练赛胜利的概率． 【答案】(1) (2)证明见解析； (3) 【详解】（1）由题意可知经过3局比赛，甲获得训练赛胜利，需3局连胜，则； （2）由题意，​为事件“时，甲最终获得训练赛胜利”发生的概率， 由乙胜的局数即为甲负的局数，甲胜的局数与乙胜的局数的差为， 故即为甲的净胜局数，所以. 经过若干局后，假定当前， ①当时，即甲的净胜局数， 则此时甲获得训练赛胜利并结束训练赛，所以； ②当时，即甲的净胜局数，乙的净胜局数， 则此时乙获得训练赛胜利并结束训练赛，则； ③当时， 由甲的净胜局数，则乙的净胜局数为，且， 故根据比赛规则比赛并未结束，要继续下一局. 记事件“时，甲最终获得训练赛胜利”（）， 事件“下一局比赛甲获胜”， 下一局若甲赢（即事件发生），则；若乙赢（即事件发生），则； 因为，，， 且， 所以由全概率公式得，， 即， 因此，整理得， 两边都减去，则可得， 又当时，， 故数列：是公比为2的等比数列． 即数列是公比为2的等比数列． （3）由题意，甲最终获得训练赛胜利的概率即为. 记， 则， 由（2）知，数列是公比为2的等比数列， 则，解得， 所以， 又， 所以， 故甲最终获得训练赛胜利的概率为. 变式6．（2026·广西河池·二模）每届高考结束后，某校各班都要推荐优秀学生代表作为嘉宾与下一届学生进行学习经验分享.2025届高三年级班号依次为，高三0班的优秀学生代表为2名男生和2名女生，其余各班的优秀学生代表均为1名男生和1名女生．第一场分享会的4名学生嘉宾由从高三0班的优秀学生代表中选出的2名和高三1班的2名优秀学生代表共同组成，第二场分享会的4名学生嘉宾由从上一场的4名嘉宾中选出的2名和高三2班的2名优秀学生代表共同组成，．．．，按照这样的方式，依次进行到第二十七场分享会． (1)求第一场分享会的学生嘉宾中恰有2名男生的概率； (2)求第二场分享会的学生嘉宾中恰有2名男生的概率； (3)记第二十七场分享会的学生嘉宾中男生人数为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2) (3) 1 2 3 【详解】（1）设第场分享会的学生嘉宾中有1名男生为事件， 有2名男生为事件，有3名男生为事件，则； （2） ； （3）当时， ， ， ， 由，得 ， 即有，又， 所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，即， 结合对称性可知，每次分享会的学生嘉宾中有1名男生的概率与有3名男生的概率相同， 故，又， 所以， 第二十七场分享会的学生嘉宾中男生人数的所有可能取值为1，2，3， ， ， 故其分布列为： 1 2 3 则. 2 学科网（北京）股份有限公司 $