精品解析：甘肃兰州市第八十一中学等校2025-2026学年七年级下学期期中数学试卷

2025—2026学年度第二学期期中试卷 七年级数学 本卷满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共11小题，每小题3分，共33分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除，积的乘方，单项式的除法． 根据运算法则逐一判断即可． 【详解】解：选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C正确； 选项D：，D错误； 故选：C． 2. 如图，直线a，b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，由此即可判断． 【详解】解：A、，能判定直线a与b平行，故A不符合题意； B、，能判定直线a与b平行，故B不符合题意； C、，能判定直线a与b平行，故C不符合题意； D、，不能判定直线a与b平行，故D符合题意． 故选：D． 3. 祖国主权，寸土不让．钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最小的岛是飞濑岛，面积约为平方公里，请用科学记数法表示飞濑岛的面积约为（ ）平方公里． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定与的值即可选出正确答案． 【详解】解：． 4. 下列多项式乘法中，可用平方差公式计算的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方差公式形式为，要求相乘的两个二项式满足一项相同，另一项互为相反数，据此判断各选项即可， 【详解】解：A、不存在互为相反数的对应项，不能用平方差公式计算； B、，两项都相同，是完全平方形式，不能用平方差公式计算； C、，相同项为，和互为相反数，符合平方差公式的结构特征，可用平方差公式计算； D、，是完全平方式，不能用平方差公式计算． 5. 下列事件中是不可能事件的是(　　　) A. 守株待兔 B. 瓮中捉鳖 C. 水中捞月 D. 百步穿杨 【答案】C 【解析】 【分析】不可能事件是一定不会发生的事件，依据定义即可判断． 【详解】解：A、守株待兔，不一定就能达到，是随机事件，故选项不符合； B、瓮中捉鳖是必然事件，故选项不符合； C、水中捞月，一定不能达到，是不可能事件，选项不符合； D、百步穿杨，未必达到，是随机事件，故选项不符合； 故选C. 【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 6. 如图是一把剪刀示意图，当剪刀口减少时，的值（ ） A. 减少 B. 不变 C. 减少 D. 增加 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等即可求解，掌握对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴减小时，减小， 故选：C． 7. 如图，将三角尺的直角顶点放在直线b上，如果，要使，那么（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定、平角定义，利用即可求解． 【详解】解：如图，，，则， 当，， 故选：C． 8. 小明现在手里有四张背面完全相同的景点旅游卡，正面印有各景点风景，其中有两张是“崆峒山”，另外两张分别是“泾川王母宫”和“崇信龙泉寺”．现从中随机抽取一张，则恰好抽到“崆峒山”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键． 由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好抽到“崆峒山”的结果有2种，利用概率公式可得答案． 【详解】解：∵总共有4张旅游卡，其中“崆峒山”旅游卡有2张． ∴恰好抽到“崆峒山”的概率为． 故选：C. 9. 甲、乙两位同学在一次试验中统计了某一结果出现的频率，给出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（　　） A. 掷一枚正六面体的骰子，出现6点的概率 B. 掷一枚硬币，出现正面朝上的概率 C. 任意写出一个整数，能被2整除的概率 D. 一个袋子中装着只有颜色不同其他都相同的2个红球和1个黄球，从中任意取出一个球是黄球的概率 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式． 【详解】解：由图可得该试验的概率在之间 对于A，骰子上共有6个数，出现6点的概率为 ，故A选项错误； 对于B，掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为 ，故B选项错误； 对于C，任意写出一个整数，能被2整除的概率为，故C选项错误； 对于D，摸到黄球的概率为 ，故D选项正确. 10. 若，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂，积的乘方运算、同底数幂的乘方运算逆用，平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握相关运算法则，分别计算a、b、c的值，然后比较大小即可． 【详解】解： ∴， 故选：B． 11. 转角式布局的玻璃浴室隔断是浴室常见的干湿分离设施，具有适配性强，通透感好，可以有效阻挡淋浴水花外溅等特点．小明观察玻璃浴室的地面布局，从中抽象出一道数学问题：如图，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是通过作辅助线构造平行线，利用“两直线平行，同旁内角互补”的性质进行角度计算． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； 故选：B． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 12. 若可以配成一个完全平方式，则m的值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键． 将表达式与完全平方式比较，确定a和b的值，再根据中间项系数相等求解m． 【详解】解：， 可以配成一个完全平方式， ， 解得． 故答案为：． 13. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向如图所示的游戏板投掷飞镖一次（击中小正方形的边界或没有击中游戏板，则重新投掷一次），则击中阴影区域的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是几何概率，解题关键是理解飞镖停留在阴影部分的概率就是阴影部分的面积与总面积的比值． 根据几何概率的定义：飞镖停留在阴影部分的概率就是阴影部分的面积与总面积的比值． 【详解】解：总面积为， 其中阴影部分的面积为， 飞镖停留在阴影部分的概率是． 故答案为：． 14. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．根据两直线平行，内错角相等得出，即可求出的度数，再根据两直线平行，内错角相等得出即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作于点，利用等积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点与点重合时，最小． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，，为边上的高，， ， ， ， 解得：， 垂线段最短， 当点与点重合时，最小， 即最小值为． 三、解答题：本题共11小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算：； 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 先化简， 再求值： 其中 【答案】 ； 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算顺序及乘法公式是解答本题的关键． 需要先根据完全平方公式和平方差公式对中括号内的式子进行化简，再进行除法运算，最后将给定的，的值代入化简后的式子求值． 【详解】解： ， 当，， 原式． 19. 如图，为网格图中的三点，利用网格作图． （1）过点A画直线； （2）过点A画线段的垂线，垂足为H； （3）点A到直线的距离是线段 的长． 【答案】（1） 解：如图，直线即为所求； （2） 解：如图，直线即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查作图应用与设计作图，平行线的判定和性质，垂线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据直线的定义画出图形即可； （2）根据垂线的定义，画出图形即可； （3）根据点到直线的距离的定义解决问题即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：点到直线的距离是线段的长； 故答案为：； 20. 在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，我们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据： 摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到红球的次数m 14 33 95 155 241 298 602 摸到红球的频率 0.28 a 0.317 0.31 0.301 0.298 0.301 （1）求表格中a的值． （2）通过以上实验，摸到红球的概率估计为______（精确到0.1）． （3）估计盒子里红球的数量为______个． 【答案】（1）0.33 （2）0.3 （3）6 【解析】 【分析】（1）根据频率等于频数除以总数可得答案； （2）大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，据此可得答案； （3）根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，； 【小问2详解】 解：由表格可知，随着实验次数的增加，摸到红球的频率逐步稳定在0.30附近， ∴摸到红球的概率估计为0.3； 【小问3详解】 解：由题意得，估计盒子里红球的数量为个． 21. 如图，已知，是内的一条线段，且，过点作平行，交于点． （1）求的度数； （2）过点作射线，若，直接写出的度数． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由角的关系可得，再根据两直线平行的性质求解； （2）分两种情况：当在内部和在外部，再根据角的关系得出答案． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 又， （两直线平行，内错角相等）； 【小问2详解】 解：解：当在内部时， ， 当在外部时， ， 或． 22. “9·3”阅兵仪式以点线面铸就钢铁洪流，是展现国家力量的绝对证明．在阅兵仪式的观礼区内，有一块长为米，宽为米的长方形座位区．为方便特殊观礼群体，工作人员在这块长方形座位区中划出了两块边长均为y米的正方形区域作为专属观礼区，剩余的“T”形区域（阴影部分）为普通观礼区． （1）用含x，y的式子表示普通观礼区的面积； （2）当时，请计算普通观礼区的面积． 【答案】（1）平方米； （2）8200平方米． 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式与图形面积； （1）根据图形及题意可直接进行求解； （2）由（1）可知绿化部分的面积为平方米，然后把代入求解即可． 【小问1详解】 平方米 【小问2详解】 当时， 平方米． 答：普通观礼区的面积为平方米． 23. 填写下列空格完成证明，如图，点D，F，H，E都在的边上，，． 证明： 证明：（已知）． ，（理由是：__________） ，（理由是：__________） ，（已知）． ，（理由是：__________） （理由是：__________） 【答案】同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【解析】 【分析】根据平行线的性质与判定定理，结合已知推理过程进行证明即可． 【详解】证明：（已知）． ，（理由是：同位角相等，两直线平行） ，（理由是：两直线平行，内错角相等） ，（已知）． ，（理由是：等量代换） （理由是：同旁内角互补，两直线平行） 24. 西安是古丝绸之路的起点，也是“一带一路”核心枢纽城市，现有正面分别写有“最”“美”“西”“安”的卡片共20张，这些卡片除正面的字外其余完全相同，已知写有“最”字的卡片有8张，写有“西”字的卡片有4张，写有“安”字的卡片有3张，洗匀后，将卡片背面朝上放置在桌面上． （1）随机抽取一张，则抽到写有“美”字卡片的概率为________； （2）从这些卡片中取出张写有“最”字的卡片，再放入张写有“西”字的卡片，洗匀后，背面朝上放置在桌面上，从中随机抽取一张卡片，抽到写有“西”字卡片的概率为，求的值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）首先确定写有“美”字的卡片数量，然后根据简单概率计算公式求解即可； （2）根据题意，从这些卡片中取出张写有“最”字的卡片，再放入张写有“西”字的卡片，则卡片中写有“西”字卡片的数量变为张，根据“从中随机抽取一张卡片，抽到写有“西”字卡片的概率为”，列出方程并求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，可知写有“美”字的卡片有张， 则随机抽取一张，抽到写有“美”字卡片的概率为； 【小问2详解】 根据题意，可得， 解得， ∴的值为4． 25. 如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形． （1）通过计算左、右两图的阴影部分的面积，可以验证的等式是______（填字母）． A． B． C． （2）利用上述乘法公式计算： ①已知，，求的值； ② 【答案】（1）B （2）①3；② 【解析】 【分析】（1）分别表示出两幅图中阴影部分的面积即可得到答案； （2）①根据题意可得，据此可得答案； ②把所求式子中的每一项利用平方差公式展开，再计算求解即可． 【小问1详解】 解：左边那幅图中阴影部分的面积为， 右边那幅图中阴影部分的面积为， ∵左、右两图的阴影部分的面积相等， ∴； 【小问2详解】 解：①∵， ∴ ∵， ∴； ② ． 26. 【实验操作】 如图①，把一副三角板拼在一起，边在直线上，其中． （1）填空：______； （2）如图②，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为秒． ①当时，______； ②当为何值时，？ （3）如图②，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转一周，在转动过程中，当时，直接写出三角板的运动时间． 【答案】（1）75 （2）①53；② （3）或 【解析】 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示相关角的度数． （1）把，，代入计算即得； （2）①把代入计算即得答案；②由，得，解方程即得； （3）分两种情况：如图，当在的上方时，当在的下方的位置时，再结合平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 【小问2详解】 解：①当时，， ②由题意得，，则， ∴ ∵， ∴， 解得， ∴当t为时，； 【小问3详解】 解：如图，当在的上方时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， 当在的下方的位置时， 此时旋转过的角度为， ∴， 解得：； 综上：当时，直接写出三角板的运动时间为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期中试卷 七年级数学 本卷满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共11小题，每小题3分，共33分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，直线a，b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是（ ） A. B. C. D. 3. 祖国主权，寸土不让．钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最小的岛是飞濑岛，面积约为平方公里，请用科学记数法表示飞濑岛的面积约为（ ）平方公里． A. B. C. D. 4. 下列多项式乘法中，可用平方差公式计算的是（   ） A. B. C. D. 5. 下列事件中是不可能事件的是(　　　) A. 守株待兔 B. 瓮中捉鳖 C. 水中捞月 D. 百步穿杨 6. 如图是一把剪刀示意图，当剪刀口减少时，的值（ ） A. 减少 B. 不变 C. 减少 D. 增加 7. 如图，将三角尺的直角顶点放在直线b上，如果，要使，那么（　　） A. B. C. D. 8. 小明现在手里有四张背面完全相同的景点旅游卡，正面印有各景点风景，其中有两张是“崆峒山”，另外两张分别是“泾川王母宫”和“崇信龙泉寺”．现从中随机抽取一张，则恰好抽到“崆峒山”的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 甲、乙两位同学在一次试验中统计了某一结果出现的频率，给出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（　　） A. 掷一枚正六面体的骰子，出现6点的概率 B. 掷一枚硬币，出现正面朝上的概率 C. 任意写出一个整数，能被2整除的概率 D. 一个袋子中装着只有颜色不同其他都相同的2个红球和1个黄球，从中任意取出一个球是黄球的概率 10. 若，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 11. 转角式布局的玻璃浴室隔断是浴室常见的干湿分离设施，具有适配性强，通透感好，可以有效阻挡淋浴水花外溅等特点．小明观察玻璃浴室的地面布局，从中抽象出一道数学问题：如图，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 12. 若可以配成一个完全平方式，则m的值为___________ 13. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向如图所示的游戏板投掷飞镖一次（击中小正方形的边界或没有击中游戏板，则重新投掷一次），则击中阴影区域的概率是__________． 14. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为_______． 15. 如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为________． 三、解答题：本题共11小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算：； 17. 计算： 18. 先化简， 再求值： 其中 19. 如图，为网格图中的三点，利用网格作图． （1）过点A画直线； （2）过点A画线段的垂线，垂足为H； （3）点A到直线的距离是线段 的长． 20. 在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，我们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据： 摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到红球的次数m 14 33 95 155 241 298 602 摸到红球的频率 0.28 a 0.317 0.31 0.301 0.298 0.301 （1）求表格中a的值． （2）通过以上实验，摸到红球的概率估计为______（精确到0.1）． （3）估计盒子里红球的数量为______个． 21. 如图，已知，是内的一条线段，且，过点作平行，交于点． （1）求的度数； （2）过点作射线，若，直接写出的度数． 22. “9·3”阅兵仪式以点线面铸就钢铁洪流，是展现国家力量的绝对证明．在阅兵仪式的观礼区内，有一块长为米，宽为米的长方形座位区．为方便特殊观礼群体，工作人员在这块长方形座位区中划出了两块边长均为y米的正方形区域作为专属观礼区，剩余的“T”形区域（阴影部分）为普通观礼区． （1）用含x，y的式子表示普通观礼区的面积； （2）当时，请计算普通观礼区的面积． 23. 填写下列空格完成证明，如图，点D，F，H，E都在的边上，，． 证明： 证明：（已知）． ，（理由是：__________） ，（理由是：__________） ，（已知）． ，（理由是：__________） （理由是：__________） 24. 西安是古丝绸之路的起点，也是“一带一路”核心枢纽城市，现有正面分别写有“最”“美”“西”“安”的卡片共20张，这些卡片除正面的字外其余完全相同，已知写有“最”字的卡片有8张，写有“西”字的卡片有4张，写有“安”字的卡片有3张，洗匀后，将卡片背面朝上放置在桌面上． （1）随机抽取一张，则抽到写有“美”字卡片的概率为________； （2）从这些卡片中取出张写有“最”字的卡片，再放入张写有“西”字的卡片，洗匀后，背面朝上放置在桌面上，从中随机抽取一张卡片，抽到写有“西”字卡片的概率为，求的值． 25. 如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形． （1）通过计算左、右两图的阴影部分的面积，可以验证的等式是______（填字母）． A． B． C． （2）利用上述乘法公式计算： ①已知，，求的值； ② 26. 【实验操作】 如图①，把一副三角板拼在一起，边在直线上，其中． （1）填空：______； （2）如图②，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为秒． ①当时，______； ②当为何值时，？ （3）如图②，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转一周，在转动过程中，当时，直接写出三角板的运动时间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $