精品解析：宁夏回族自治区吴忠市吴忠中学2025-2026学年第一学期期末考试高三数学试卷

吴忠中学2025—2026学年第一学期期末考试 高三数学试卷 考试时间：120分钟满分：150分 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据子集的概念判断AB的真假；根据交集的概念判断C的真假；根据并集的概念判断D的真假. 【详解】对A，因为，但，所以不成立，故A错误； 对B，因为，但，所以不成立，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：D 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式计算可得； 【详解】解：因为，所以，所以，所以； 故选：B 3. 二项式的展开式中常数项为（ ） A. B. 240 C. 15 D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出二项式的通项公式，令通项公式中的指数为0，求出的值，将其代入通项的系数部分，计算得到常数项即可. 【详解】二项式 的展开式的通项公式为， 令 ，得，所以二项式的展开式中常数项为. 故选：B. 4. 已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和周期性即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：B. 5. 已知，在上的投影向量为，则（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】先设向量与的夹角为，根据向量在上的投影向量为，可求得，再由，即可求解. 【详解】设向量与的夹角为， 因为向量在上的投影向量为，所以， 又，解得， 因此 又，， 所以. 故选：B 6. 如图，一同学想利用所学习的解三角形知识测量河对岸的塔高AB，他选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，，，，在点C处测得塔顶A的仰角为60°，则塔高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在中利用正弦定理求得的值，在中根据即可求解 【详解】由题可知，在中，，，故， 由正弦定理，得， 因. 所以， 因为在中，. 故选：C. 7. 四面体中，平面，，，，则该四面体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过的外接圆圆心，作直线平面，可得，在中，利用正弦定理求出外接圆半径，利用勾股定理即可求出外接球半径，再利用球的表面积公式即可求解. 【详解】如图所示，圆为的外接圆，过作直线平面， 又平面，则，连接，与球交于点，连接，与直线的交点为球心，则，则， 在中，由正弦定理得，即， 所以该四面体的外接球的半径, 所以外接球的表面积. 故选：C. 8. 在平面直角坐标系中，直线与圆交于两点，且的面积为1，已知是圆上的动点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，再根据的面积求出圆心到直线的距离，最后利用向量的运算和圆的性质求出的最大值. 【详解】圆的方程可化为， 所以圆的圆心坐标为，半径. 设圆心到直线距离为，根据的面积为1， 得，即，所以，即. 设的中点为，则，， 因为，所以 . 由，得, 的最大值为圆心到直线的距离加上圆的半径， 即，所以的最大值为. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）为激发中学生对天文学的兴趣，某校举办了“2024~2025学年中学生天文知识竞赛”，并随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. 直方图中x的值为0.035 B. 估计全校学生的平均成绩不低于80分 C. 估计全校学生成绩的样本数据的第60百分位数约为60分 D. 在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为10 【答案】ACD 【解析】 【分析】由频率分布直方图性质，平均数、百分位数的计算公式逐项判断即可. 【详解】由频率分布直方图可得，故，故A错误； 由频率分布直方图可得全校学生的平均成绩估计为：，故B正确； 前4组的频率为，故全校学生成绩的样本数据的第60百分位数大于80，故C错误； 区间对应的频率为，故对应的人数为，故D错误． 故选：ACD． 10. 以下结论正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 的最小值是4 C. 已知向量，且与的夹角为锐角，则λ的取值范围是 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用正弦定理边角互化推理判断A；利用对勾函数求出最小值判断B；利用向量同向求出判断C；利用诱导公式计算判断D. 【详解】对于A，在中，，A正确； 对于B，令，函数在上单调递减，则当时，取得最小值为5，B错误； 对于C，，当与共线且同向时，，解得， 此时与的夹角为零，不为锐角，而，C错误； 对于D，由，得，D正确. 故选：AD 11. 已知首项为2的数列的前n项和为，且，则（ ） A. B. 是等差数列 C. 是等差数列 D. 若，则n的最小值为5 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据数列前项和与通项的关系（，需验证的情况），等差数列的定义，通过对递推式变形，构造新的等差数列，及代入具体正整数验证不等式成立的最小取值，逐个分析即可. 【详解】选项A：因为，， 令，则， 因为，所以， 又因为，故，选项A正确； 选项B：因为， 则两边同时除以，得：， 即，且， 因此是首项为1，公差为1的等差数列，选项B正确； 选项C：由的通项可得：，即， 当时，， 当时，，通项成立， 则， 所以：， 所以是等差数列，选项C正确； 选项D：由，则不等式为：， （，，两边除以）得：， 则当时：，，，不成立， 当时：，，，成立， 所以的最小值为6，选项D错误. 故选ABC. 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，复数，则___________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算及复数相等求得，再根据复数模的公式求解即可. 【详解】由， 则，解得， 所以. 故答案为：5. 13. 已知，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两角差的正弦公式和同角三角函数的商关系解得，再利用两角和的正弦公式代入计算得到结果. 【详解】已知，则. 因为，则， 代入上式可得，解得， 则， 故答案为：. 14. 已知，若存在实数，满足，则的最大值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】作出的函数图象，得出，，将化简为，设，利用导数研究的单调性，从而得到最大值. 【详解】作出的函数图象如图所示： ∵存在实数，满足， ， 由函数图象可知，设， 则，显然在上单调递增， 在上为增函数， 的最大值为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及验算步骤. 15. 已知为公差不为零的等差数列，其中，，成等比数列，. （1）求数列通项公式； （2）记，设的前项和为，求最小的正整数，使得. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算，结合等比中项的概念列式求和，可得数列的通项公式. （2）利用裂项求和法求，再解不等式可得的取值范围，可得的最小值. 【小问1详解】 设数列首项为，公差为， 因为，，成等比数列，所以， 又，所以. 又， 所以. 所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 由. 所以的最小值为1013. 16. 如图，在三棱锥中，平面，， . （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）由平面得到，由可得，再利用线面垂直的判定定理可得平面，再运用面面垂直的判定定理，即可证得； （2）先根据长度关系求出，再建立空间直角坐标系，写出直线的方向向量，求出平面的法向量，再利用向量夹角公式，以及同角三角函数的基本关系，即可得解. 【小问1详解】 因为平面，平面，故， 又因为，故， 又因为，平面， 故平面， 又因平面，故平面平面. 【小问2详解】 因为平面，平面， 故， 又因为，故是的中点，则， 故. 过点作垂直于平面的垂线，则两两互相垂直， 故以点为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即，取，得， 故平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 又因为，故， 则， 即直线与平面所成角的正切值为. 17. 已知O为坐标原点，位于抛物线C：上，且到抛物线的准线的距离为2． （1）求抛物线C的方程； （2）已知点，过抛物线焦点的直线l交C于M，N两点，求的最小值以及此时直线l的方程． 【答案】（1） （2）13；． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义计算即可； （2）根据韦达定理及二次函数最值计算即可. 【小问1详解】 根据题意可得， 又，解方程组得，， 故所求抛物线C方程， 【小问2详解】 设点，，抛物线焦点坐标为． 当直线l的斜率等于0时，不存在两个交点，不符合题意； 当直线l的斜率不等于0时，不妨设过抛物线焦点的直线l的方程为：； 联立抛物线方程可得，消去x得：， ，得， 由韦达定理得，， 易知， 故 ． 所以当时，取得最小值为13． 此时直线l的方程为． 18. 在中，角所对的边分别是，且. （1）求； （2）若是边上靠近三等分点，，，求的面积； （3）若为锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理将等式化简，结合和差倍角的正弦公式即可求得. （2）先用基底向量将表示出，然后两边进行平方，并利用向量数量积的定义求出，最后根据三角形面积公式求出面积. （3）利用正弦定理求出的表达式，然后根据锐角三角形的角的范围求出结果即可. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 所以， 所以，又因为，所以， 所以，又因为，所以， 所以，故； 【小问2详解】 因为是边上靠近的三等分点， 所以， 所以， 又因为，，， 所以，化简得， 即，解得或（舍去）， 所以； 【小问3详解】 由正弦定理可得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得，· 所以，所以， 所以，所以的取值范围. 19. 已知 （1）若时，求在上的最大值和最小值； （2）若恒成立，求m的取值范围； （3）设，，证明： 【答案】（1）， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用求导判断函数在上的单调性，再根据单调性求解即可； （2）当时，因为，不满足题意；当时，利用导数求出函数的最大值，再根据求解即可； （3）由（2）知，当时，恒成立，即，令，则有，由时，，最后利用累加法即可得证． 【小问1详解】 当时，，则， 因，则，故在上单调递减， 所以， 【小问2详解】 若时，因为，不满足题目要求； 若时，， 当时，，则在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以为的一个极大值点，也为最大值点， 所以即可， 令，因为在上单调递减，且， 要使恒成立，只需，即m的取值范围是； 【小问3详解】 由（2）知，当时，恒成立， 即，当且仅当时等号成立. 令，因为，所以，不等式取严格小于号， 代入得 又因为时，， 则得 于是，，…，， 将以上个不等式左右分别相加，可得： ， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吴忠中学2025—2026学年第一学期期末考试 高三数学试卷 考试时间：120分钟满分：150分 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 二项式的展开式中常数项为（ ） A. B. 240 C. 15 D. 4. 已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 5. 已知，在上的投影向量为，则（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 7 6. 如图，一同学想利用所学习的解三角形知识测量河对岸的塔高AB，他选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，，，，在点C处测得塔顶A的仰角为60°，则塔高为（ ） A. B. C D. 7. 四面体中，平面，，，，则该四面体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，直线与圆交于两点，且面积为1，已知是圆上的动点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）为激发中学生对天文学的兴趣，某校举办了“2024~2025学年中学生天文知识竞赛”，并随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. 直方图中x的值为0.035 B. 估计全校学生平均成绩不低于80分 C. 估计全校学生成绩的样本数据的第60百分位数约为60分 D. 在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为10 10. 以下结论正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 的最小值是4 C. 已知向量，且与的夹角为锐角，则λ的取值范围是 D. 若，则 11. 已知首项为2的数列的前n项和为，且，则（ ） A. B. 是等差数列 C. 是等差数列 D. 若，则n的最小值为5 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，复数，则___________. 13. 已知，，则__________. 14. 已知，若存在实数，满足，则的最大值是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及验算步骤. 15. 已知为公差不为零的等差数列，其中，，成等比数列，. （1）求数列通项公式； （2）记，设的前项和为，求最小的正整数，使得. 16. 如图，在三棱锥中，平面，， . （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正切值. 17. 已知O为坐标原点，位于抛物线C：上，且到抛物线准线的距离为2． （1）求抛物线C的方程； （2）已知点，过抛物线焦点直线l交C于M，N两点，求的最小值以及此时直线l的方程． 18. 在中，角所对的边分别是，且. （1）求； （2）若是边上靠近的三等分点，，，求的面积； （3）若为锐角三角形，且，求的取值范围. 19. 已知 （1）若时，求在上的最大值和最小值； （2）若恒成立，求m的取值范围； （3）设，，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $