湖南衡阳市常宁市第二中学2025-2026学年下学期高一年级四月测试数学试题

2026年上学期高一年级四月测试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的， 1.已知集合A={x<x<3},B={x0<x<2),则AUB=（) A.{xh<x<2) B.x(xh<x<3 C.{x0<x<2 D.{x0<x<3) 2.若向量a=(x4)与向量b=(1,x)是共线向量，则实数x等于（) A.2 B.-2 C.±2 D.0 3.复数z=3+1 1 (其中；为虚数单位)的共轭复数为() A.1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-1-2i 4.△4BC的内角A,B,c的对边分别为a,b,c若Bc边上的高等于BC,且△ABc的面积为 a2+c2-b2 ,则sinA=（) 4 A B.0 c. D.3vo 10 5 10 5.已知△ABC中，7s1nB+3sin2C=2sinA+2 sin Asin BsinC,则cosA-=（ A.0 B.-0 D.26 10 c.6 10 5 6.波兰数学大师史坦因豪斯编著的《一百个数学问题》中的第46个问题是球的堆垒问题： 有无数个完全相同的球，取3个使它们两两相切放置，然后放上第4个球，使其与前3个 球都相切，这样形成4个凹穴，在每个凹穴再放上一个球，则一共放了8个球，它们形成 多少个凹穴？这个过程可以一直继续下去吗？若我们只考虑前8个球，设球的半径为1，其 中两个球的球心之间的距离为d,则d的取值集合为（) 7.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,给出以下4个命题： ①若a>b,则c0s2A<cos2B ②若acosB-bcosA=c,则△ABC一定为直角三角形 1 回若a=4,b=5,c=6,则△ABc外接圆半径为15 ④若△4BC是锐角三角形且a2-c2=bc,则1 7 +3sinA的取值范围为 tanc tanA 则其中真命题的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 8.已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，f(x+1)+f(x+2)=0,且当 [时，f=+19,3x+,若f(m+y5-,则实数m的取值范围为() x+1 A.2k+2k+2kk∈z) 31 3 C.(k-1.k+5(kez) 1， 6 6 D.2k-5.2k+2(kEz) 6 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知复数z=(m2-4m-5)+(m2+3m+2)1在复平面内对应的点为z,，则下列结论正确的 是（) A.若m=-1,则z为纯虚数 B.若m=-2,，则z为实数 C.若m=三，则点Z在直线y=-×上D.若-2<m<5,则点Z在第三象限 2 10.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a=4,sinB+sinC=2sinA, 则() A,角A的最大值是” 6 B,cos(B+C)的最大值是- C.△ABc外接圆的半径的最小值是4 D,△ABC面积的最大值是4V3 11.已知函数（动=s如(wx+?ω>）的图象在(o,?上有且仅有两条对称轴，则下列结论正 确的有（) A.W的取值范围是(4,5) B.若（的图象关于直线x号对称，则W的最小正周期T C.若()的图象关于点5o)对称，则()在(@，？上单调递增 D.wE(0,+∞)，使得f(x)在0，马上的最小值不可能为 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知日，日，是两个不共线的单位向量，a=日-马，，6=-2g+k8,若a与6共线，则 k= 13若a,6,c均为单位向量，且a16,ac的取值范围是 3√2 则3a-2引= 。2’2 6:。的取值范围是 a.c lnx0<x≤e, 14.已知函数f(x) (其中e为自然对数的底数)，若方程f(x)=m有三个 --x+2,x>e e 根x,×2,×(X<x2<X),则x好+2ex,+e2x×2的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知向量a与6的夹角为30同=V5,6=2. (1)求a+b的值； (2)若6=（√2，√2），求a在6上的投影向量的坐标 16.(15分)设△ABc中角A,B,C的对边分别为a,b,C,A=号 (1)若c=2,a=25,求b; (2)求sinB+sinc的取值范围. 17.(15分)记△ABC的内角∠BAC,∠B,∠c的对边分别为a,b,c,已知 2bcos B cos2C =a-2ccosC cos2B. (1)求∠BAC. (2)若b+c=8,且边8c上的中线AD= ,求△ABC的面积， 2 3 18.(17分)在平面直角坐标系x0y中，利用公式 ×=ax+byo(其中a,b,c,d为常 y'=cx+dy 数)，将点P(x,y)变换为点P'(x,y的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换 a b a b 公式，该变换公式①可由a,b,c,d组成的正方形数表 ,唯一确定，我们将 c d d 称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母A,B,…表示. P(x;y) P(x,) ()在平面直角坐标系x0y中，将点P(3,4)绕原点0按逆时针旋转二得到点。（到原点距离 不变)，求点P的坐标； (2)如图，在平面直角坐标系x0y中，将点P(x,y)绕原点0按逆时针旋转a角得到点 P'(x,y)(到原点距离不变)，求坐标变换公式及对应的二阶矩阵； (3)向量0P=(xy)(称为行向量形式)，也可以写成 这种形式的向量称为列向量，线 性变换坐标公式①可以表示为 的乘积，设A是一个二阶矩阵，m,方是平面上的任意两个向量，求证：A(m+)=Am+A万， 19.(17分)已知集合M,=(x∈Nx≤2m(n∈N,n≥4)，若存在数阵T= & ] 满足： ①(a,a2,…,an}U{b,b2.…,bn}=Mn; 专花制 ②ak-b=k(k=1,2,…,n). 则称集合M,为"好集合”，并称数阵T为Mn的一个“好数阵”. (1)已知数阵T= 是M,的一个“好数阵”，试写出×，y,z,w的值； (2)若集合Mn为"好集合”，证明：集合M,的”好数阵"必有偶数个； 霸 (3)判断Mn(n=5,6)是否为"好集合”.若是，求出满足条件n∈{a,a2,,an}的所有"好数阵”； 若不是，说明理由， 投