精品解析：北京市第二十二中学2025-2026学年高二下学期期中调研数学试题

北京22中学2025-2026学年度第二学期期中试卷 高二年级数学学科 命题人：高二年级数学学科备课组 2026年4月 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分,考试用时120分钟.考试结束后,将本试卷与答题纸一并交回.祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 一、单项选择题（下列各小题中只有一个选项符合题意,共48分,每小题4分） 1. 已知集合,,则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用并集定义计算求解. 【详解】集合,,则 2. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，，所以不是奇函数，A错误； 对于B，，所以不是奇函数，B错误； 对于C，的定义域为，， 所以是奇函数，且在上单调递增，C正确； 对于D，的定义域为，， 所以是奇函数，但是在上单调递减，D错误. 3. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，，故错误； 对于B，，故错误； 对于C，，故错误； 对于D，，故正确. 4. 已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由导函数图象可知是的极小值点， 是的极大值点. 故选：D． 5. 在的展开式中，的系数为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式定理的性质. 【详解】设的通项，则，化简得， 令，则的系数为，即A正确. 故选：A 6. 已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（ ） A. 0.92 B. 0.93 C. 0.94 D. 0.95 【答案】B 【解析】 【分析】结合已知条件由全概率公式求解即可. 【详解】从某地市场上购买一个灯泡，设买到的灯泡是甲厂产品为事件， 买到的灯泡是乙厂产品为事件，记事件从该地市场上买到一个合格灯泡， 则，，，， 所以. 故选：B. 7. 已知函数,则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的正负性与函数的单调性的关系，结合充分性、必要性的定义进行求解即可. 【详解】. 当在上单调递增时，则有在上恒成立， 于是有，解得， 显然当时，不一定能推出， 同样当时，也不一定能推出， 所以“”是“在上单调递增”的既不充分也不必要条件. 8. 已知有7件产品，其中4件正品，3件次品，每次从中随机取出1件产品，抽出的产品不再放回，那么在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用缩小事件空间来求解. 【详解】第一次取得次品的条件下，第二次取产品时，共有6件产品，其中4件正品，所以第二次取得正品的概率为. 故选：B. 9. 春节期间小明与爸爸、妈妈、爷爷、奶奶一家五人来到电影院观看《哪吒2》，已知五人的电影票座位是依次相邻的，且爷爷、奶奶，小明三人相邻，则符合要求的坐法的种类数为（ ） A. 120 B. 36 C. 24 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相邻问题捆绑法列式求解. 【详解】爷爷、奶奶、小明三人相邻有种排法， 再把爷爷、奶奶、小明三人视作一个元素，与爸爸、妈妈全排列，有种排法， 根据分步乘法计数原理，可知共有种不同的坐法. 故选：B 10. 下列四个函数中，满足性质：“对定义域内任意的，当时，恒成立”的为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先明确题目中“对定义域内任意的，当时，恒成立”的含义，即函数的图象除切点外，其它部分均在处的切线的下方，由此结合导数的几何意义以及导数与函数单调性的关系，一一判断各选项是否符合题意，即可得答案. 另解：根据导数的几何意义结合题意判断出函数的图象的形状，结合选项，一一判断是否符合题意，即可得答案. 【详解】根据导数的几何意义可知表示的是函数在处的切线方程， 而函数满足性质：“对定义域内任意的，当时，恒成立”， 即函数的图象除切点外，其它部分均在处的切线的下方， 对于A,，，， 在处的切线方程为，即，不符合题意，A错误； 对于B，，， 在处的切线方程为，即， 令， 则，当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以，即，当且仅当时等号成立，不符合题意，B错误； 对于C，，，不妨取，则， 则在处的切线方程为， 当时，，此时不满足，C错误； 对于D，，定义域为，， 在处的切线方程为，即， 令， ，当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以，即，当且仅当时等号成立， 则当时，恒成立，符合题意，D正确. 另解： 根据导数的几何意义可知表示的是函数在处的切线方程， 而函数满足性质：“对定义域内任意的，当时，恒成立”， 即函数的图象除切点外，其它部分均在处的切线的下方， 即可知函数的图象为向上凸形状； 对于，其图象为直线，不符合题意，A错误； 对于，其图象为向下凹的形状，不符合题意，B错误； 对于，其在上的图象为向下凹的形状，不符合题意，C错误； 对于，其图象为上凸形状，符合题意， 故选：D 11. 曲线上的点到直线的最短距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，求出直线的斜率，再利用导数求出曲线与直线平行的切线的切点，求出切点到直线的距离即可． 【详解】解：因为直线的斜率为2， 所以令，解得， 把代入曲线方程得：， 即曲线过的切线斜率为2， 则到直线的距离， 即曲线上的点到直线的最短距离是． 故选：C． 【点睛】本题考查了导数的几何意义和点到直线的距离公式的应用问题，属于基础题． 12. 关于函数,给出下列四个结论,其中正确的是（ ） A. 的值域是； B. 在区间上单调递增； C. 0是的一个极值点； D. 曲线与x轴有且仅有2个交点. 【答案】B 【解析】 【分析】由，，可求得函数的值域，可判断A；利用函数单调性与导数的关系可判断B；利用函数极值点的定义可判断C；利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为， 且当时，，，， 故，即函数的值域为，A选项错误； 对于B，当时，，则，所以， 此时， 故函数在区间上单调递增，B选项正确； 对于C，因为且函数是可导函数， 故不是的一个极值点，C选项错误； 对于D，当时，，则函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数， 因为，， 故存在，使得， 且当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增，故， 因为， 故存在，使得， 作出函数与的图象如下图所示： 由图可知，函数与函数在上的图象有且只有一个交点， 且交点的横坐标为， 由图可知，当时，，则， 即函数在上单调递增， 当时，，则， 即函数在上单调递减， 又，则， 又因为， 由零点存在定理可知，存在，使得， 当时，，， 此时，故函数在上无零点， 综上所述，函数有且只有个零点，分别为、、，D选项错误. 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题5分,共30分） 13. 计算__________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】应用组合数及排列数公式计算求解. 【详解】计算 14. 随机变量X的分布列如下表所示：则__________,__________. X 1 2 3 4 P 0.3 m 0.1 2m 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【详解】，解得. 15. 用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有_______个．（用数字作答） 【答案】14 【解析】 【详解】试题分析：由题意知本题是一个分类计数问题， 首先确定数字中2和3 的个数， 当数字中有1个2，3个3时，共有种结果， 当数字中有2个2，2个3时，共有种结果， 当数字中有3个2，1个3时，共有有种结果， 根据分类加法原理知共有4+6+4=14种结果 考点：计数原理的应用 16. 已知二项式，则__． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式，利用赋值法，即可解出． 【详解】解：令得，①， 令得，② ①②得，． 故答案为：． 17. 设函数(为常数)，若在单调递增，写出一个可能的值________. 【答案】0（答案不唯一，即可） 【解析】 【分析】求得，根据题意转化为当时，恒成立，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为在单调递增，即当时，恒成立， 即当时，恒成立，所以， 所以，即为一个可能的值. 故答案为：（答案不唯一，即可）. 18. 若无穷数列满足：，当时，，则称是“数列”，则下列正确的有____________ ①若是“数列”则为假命题 ②若是“数列”且是等差数列，则单调递增 ③若是“数列”且单调递减，则是等比数列 ④若是“数列”且是周期数列，则集合的元素个数最多是50 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据数列定义，举例计算判断①；结合等差数列，单调性，周期数列计算判断②③④. 【详解】对于①，若是“数列”，当时，， ，若 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 故命题若是“数列”则为假命题，①正确； 对于②，若是“数列”且是等差数列，设公差为， 当时，，即， 当时，，则，，即， 此时，数列不单调递增，②错误； 对于③，若是“数列”且单调递减， 当时，，因为数列单调递减，所以. 当时，，因为数列单调递减，所以. 当时，，因为数列单调递减，所以. 可知数列不是等比数列，③错误； 对于④，若是“数列”且是周期数列，假设周期为， 当时，， 当时，，所以或 若时，当时，，所以或， 若时，当时，，所以或， 这样数列值会越来越大（非周期），所以 若时，当时，，所以或， 若时，当时，，所以或， 若时，当时，，所以或， 同理按此规律计算可得数列的取值可能是， 所以的元素个数最多是，④正确． 故答案为：①④ 三、解答题（第19、20、22题14分,第21、23题15分,共72分） 19. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值和最小值； （3）若函数有三个零点，直接写出c的取值范围. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，求出切线的斜率，然后根据函数值求出切线方程即可. （2）对函数求导，判断函数在区间上的单调性，求出极值和端点的函数值，从而求得函数的最值. （3）对函数求导，判断单调性，画出图象，从而得到的范围. 【小问1详解】 因为， 所以；，， 所以曲线在处的切线方程为. 【小问2详解】 令，即，解得或， 在区间上，的单调递增区间为，递减区间为， 且，，； 所以当时，最大值为， 所以当时，最小值为. 【小问3详解】 c的取值范围为. 因为函数有三个零点，所以方程有三个根. 对函数求导得. 当或时，；当时，. 所以函数在单调递增，在上单调递减， 当时，；；；当时， 画出图象为： 要使函数有三个零点，则的取值范围为. 20. 在锐角中,,. （1）求的值； （2）若为边上的中点,从下列三个条件中选择一个作为已知,使存在,求的长. 条件①：的周长为； 条件②： 条件③：的面积为； 注：如果选择的条件不符合要求,第（2）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分. 【答案】（1） （2）选择条件①或③，；条件②不符合要求 【解析】 【分析】（1）借助二倍角公式和正弦定理计算即可得； （2）选条件①或③，借助余弦定理与面积公式求解，并验证三角形为锐角三角形的条件；不可选②，不存在这样的三角形. 【小问1详解】 由，得， 因为为锐角三角形，所以，所以， 由正弦定理，得， 由，得. 【小问2详解】 选择条件①：即的周长为， 由（1）知，的周长为，所以，由余弦定理， 在中，由余弦定理，所以， 此时在中，由余弦定理，所以为锐角， 又因为，有，所以也是锐角，符合为锐角三角形的条件； 选择条件②：即， 由（1）知，根据余弦定理，即，方程无解，不符合要求，所以不能选择条件②； 选择条件③：即的面积为， 由（1）知，因为的面积，得， 因为为锐角三角形，所以， 在中，由余弦定理．所以，所以， 此时在中，由余弦定理，即， 所以，即为锐角， 又因为，有，所以也是锐角，符合为锐角三角形的条件. 21. 如图,在多面体ABCDEF中,梯形ADEF与平行四边形ABCD所在平面互相垂直,,,,,. （1）求证：平面CDE； （2）求二面角B-EF-D的余弦值； 【答案】（1） 由底面是平行四边形，可知， 又因为平面，平面，所以平面， 同理平面，又因为，所以平面平面， 又因为平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）通过面面平行即可证明线面平行； （2）证得两两垂直，从而建立以为原点的空间直角坐标系，求得平面和平面的一个法向量，根据法向量的夹角求得二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，连接，因为平面平面，平面平面，， 所以平面，又平面， 则， 又因为，，，所以平面，则， 故两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴、轴和轴，如图所示建立空间直角坐标系， 由于 则，，，，，， 所以，，是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，则有，即， 令，则，得， 设为二面角的平面角，且为锐角， 则， 即二面角的余弦值为. 22. 甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 （1）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； （2）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望； （3）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系． 【答案】（1） （2）X的分布列为 X 0 1 2 P ，数学期望 （3） 【解析】 【分析】（1）根据表中数据，可得甲获胜的场数，代入古典概型公式，即可得答案. （2）根据表中数据，可得甲得分不低于10分的场数，在其中选出乙得分大于丙得分的场次，可得X的取值，分别求出每个概率，可得分布列，代入期望公式，即可得答案. （3）根据题意，可得，根据二项分布方差公式，代入计算，即可得答案. 【小问1详解】 根据表中数据，在10场比赛中，甲获胜的是第3场，第8场，第10场，共有3场， 所以从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率. 【小问2详解】 根据表中数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的是第2场，第3场，第5场， 第8场，第9场，第10场，共有6场， 其中乙得分大于丙得分的场次是第2场，第5场，第8场，第9场，共有4场， 则X可取0,1,2， ，，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 数学期望 【小问3详解】 10场比赛中，甲胜3场，乙胜5场，丙胜2场，获胜频率分别为，，， 由题意， 所以，， ， 所以. 23. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）已知点，过作曲线的切线，直线交轴于点． ①求证：点在轴的下方； ②设与轴交于点，曲线在点处的切线与轴交于点为坐标原点，当时，求证：． 【答案】（1）单调递减区间，单调递增区间； （2） 对于①：在点处，切线方程为， 令得，即， 令，则， 当时，，单调递减，所以； 当时，，单调递增，所以 故，即，点在轴下方. 对于②：切线与轴交于点，令，得 即. 在处切线斜率为，切线方程为， 令，得，即， 因为，所以，所以 因为， 令，则， 令，则， 当时，，在单调递增，所以， 即，所以在单调递增，所以，即， 又时，，所以，即，所以. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，通过导数的正负确定函数的单调区间； （2）①，先求出切线方程，得到点B的纵坐标，再构造新函数分析其单调性，证明纵坐标恒小于0； ②，分别求出、两点的横坐标，通过化简证明，从而得到. 【小问1详解】 定义域为，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以的单调递减区间为，单调递增区间为； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京22中学2025-2026学年度第二学期期中试卷 高二年级数学学科 命题人：高二年级数学学科备课组 2026年4月 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分,考试用时120分钟.考试结束后,将本试卷与答题纸一并交回.祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 一、单项选择题（下列各小题中只有一个选项符合题意,共48分,每小题4分） 1. 已知集合,,则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是(　　) A. B. C. D. 5. 在的展开式中，的系数为 （ ） A. B. C. D. 6. 已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（ ） A. 0.92 B. 0.93 C. 0.94 D. 0.95 7. 已知函数,则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知有7件产品，其中4件正品，3件次品，每次从中随机取出1件产品，抽出的产品不再放回，那么在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 春节期间小明与爸爸、妈妈、爷爷、奶奶一家五人来到电影院观看《哪吒2》，已知五人的电影票座位是依次相邻的，且爷爷、奶奶，小明三人相邻，则符合要求的坐法的种类数为（ ） A. 120 B. 36 C. 24 D. 6 10. 下列四个函数中，满足性质：“对定义域内任意的，当时，恒成立”的为（    ） A. B. C. D. 11. 曲线上的点到直线的最短距离是（ ） A. B. C. D. 12. 关于函数,给出下列四个结论,其中正确的是（ ） A. 的值域是； B. 在区间上单调递增； C. 0是的一个极值点； D. 曲线与x轴有且仅有2个交点. 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题5分,共30分） 13. 计算__________.（用数字作答） 14. 随机变量X的分布列如下表所示：则__________,__________. X 1 2 3 4 P 0.3 m 0.1 2m 15. 用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有_______个．（用数字作答） 16. 已知二项式，则__． 17. 设函数(为常数)，若在单调递增，写出一个可能的值________. 18. 若无穷数列满足：，当时，，则称是“数列”，则下列正确的有____________ ①若是“数列”则为假命题 ②若是“数列”且是等差数列，则单调递增 ③若是“数列”且单调递减，则是等比数列 ④若是“数列”且是周期数列，则集合的元素个数最多是50 三、解答题（第19、20、22题14分,第21、23题15分,共72分） 19. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值和最小值； （3）若函数有三个零点，直接写出c的取值范围. 20. 在锐角中,,. （1）求的值； （2）若为边上的中点,从下列三个条件中选择一个作为已知,使存在,求的长. 条件①：的周长为； 条件②： 条件③：的面积为； 注：如果选择的条件不符合要求,第（2）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分. 21. 如图,在多面体ABCDEF中,梯形ADEF与平行四边形ABCD所在平面互相垂直,,,,,. （1）求证：平面CDE； （2）求二面角B-EF-D的余弦值； 22. 甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 （1）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； （2）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望； （3）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系． 23. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）已知点，过作曲线的切线，直线交轴于点． ①求证：点在轴的下方； ②设与轴交于点，曲线在点处的切线与轴交于点为坐标原点，当时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $