专题3.4 圆周角和圆心角的关系 同步练-2025-2026学年北师大版数学九年级下册

圆周角和圆心角的关系同步练习 好题冲关 基础达标 一、选择题 1.如图，AB为⊙0的直径，点C,D是O0上位于AB异侧的两点，分别连接 AD,BD,CB,CD.若AD=BD,则∠DCB的度数为() O D A.30° B.45° C.60° D.75 【答案】B 【分析】先根据弧，弦，圆心角的关系得出∠AOD=∠BOD=90°，再根据圆周角定理得出 答案。 【详解】解：连接OD, B:AD=BD,AB为OO的直径， D AD=BD· .LA0D=∠B0D=90°， :∠DCB=1∠BOD=1 ×90°=45°. 2 2 1/37 2.如图，AB为O0的直径，C是⊙0上一点，若AC=24,BC=7,则tanB=() B 0 A, 24 24 B. 25 c D. 【答案】D 【详解】解：：AB为00的直径，AC=24,BC=7, .∠C=90°， tan B=. AC 24 BC7· 3.如图，⊙O的内接四边形ABCD的对角线BD经过圆心O,若LABD=35°，则∠ACB的 度数为() D A.35 B.45° C.55 D.65° 【答案】C 【分析】根据BD为OO的直径，得出LBAD=90°，根据已知可得 ∠ADB=90°-∠ABD=55°，进而根据同弧所对的圆周角相等，即可求解. 【详解】解：：BD为O0的直径， ∠BAD=90°， :∠ABD=35°， ∠ADB=90°-∠ABD=55°， :AB=AB, .LACB=∠ADB=55°. 2/37 4.如图，点A,B,C在⊙0上，若LB0C=60°，则∠BAC的度数是() B A.15° B.30° C.60° D.120° 【答案】B 【详解】解：：BC所对圆心角为LB0C,所对圆周角为LBAC, ∠BAC∠B0C=30° 5.如图，AC与⊙0相切于点A,连接0C,与⊙0交于点D,连接BD.若∠C=30°，则 ∠B的度数为() B 0 D C A.30 B.25° C.20° D.159 【答案】A 【分析】由切线的性质可得∠40C=60°，结合圆周角定理可得∠B=】∠4OC即可求解. 【详解】解：：AC与⊙0相切于点A, 0A⊥AC,又∠C=30°， ∠A0C=90°-∠C=60°， ∠B=∠A0C=30°. 2 6.如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=45°，以AC为直径作半圆，交BC于点D,交 AB于点E,连接AD,CE相交于点F,已知CD=3,则AF的长为() 3/37 B D A.32 B.3V5 C.6 D.8 【答案】C 【分析】由圆周角定理得到∠ADC=∠AEC=90°，由等腰三角形的性质推出BC=2CD=6, 判定△AEC是等腰直角三角形，得到AE=CE,由三角形内角和定理推出∠FAE=∠BCE, 判定△AFE≌△CBE(ASA),推出AF=BC=6. 【详解】解：：AC是半圆的直径， .∠ADC=∠AEC=90°， .AD⊥BC, AB=AC, .BC=2CD=2×3=6, :∠BAC=45°， .△AEC是等腰直角三角形， .AE=CE, ∠CDF=∠AEF=90°，∠CFD=LAFE, .ZFAE ZBCE :AE=CE,∠AEF=∠CEB=90°， .△AFE≌△CBE(ASA, .AF BC=6. 7.如图，ABC为00的内接三角形，tan∠4CB=三，4B=3,则00的半径为() 4 4/37 .0 B A. 5 B.5 2 C.25 D.25 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理和三角函数的应用，根据题意作出辅助线构造直角三角形是解 题关键， 连接BO并延长交⊙0于点D,连接AD,根据三角函数求出AD=4,再由勾股定理得 BD=5,即可求解. 【详解】解：如图，连接BO并延长交⊙O于点D,连接AD, 0 :∠ACB=LADB, :tan∠ADB=tan∠ACB=3 :BD是直径， ∠DAB=90°， AB 3 .tan∠ADB= AD4' :AB=3, .AD=4, 在Rt△ABD中，由勾股定理得，BD=√AD2+AB2=√42+32=5， :00的半径为写 8.如图，AB是OO的弦，CD是OO的直径，AB与CD交于点E,点D是劣弧AB的中点， 5/37 若CD=4,∠ACD=30°，则DE的长为() B E 0 C A. B.1 c D.2 【答案】B 【分析】连接A0,根据题意得出AB⊥CD，,确定C0=D0=A0=2,再由余弦函数求解 即可。 【详解】解：连接A0, D B C :点D是劣弧AB的中点，CD是⊙O的直径， AB⊥CD, :∠ACD=30°， ∠A0D=60°， :CD是⊙O的直径，CD=4, C0=D0=A0=2, 1 在R1aA0E中，OE=AO.cos60°=2× 2 =1, .DE=D0-0E=2-1=1. 二、填空题 9.如图，四边形ABCD内接于⊙O,AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，∠BEC=36°， 则LADC的度数为 。 6/37 B E 【答案】 126°/126度 【分析】连接AE,由直径所对的圆周角为直角得∠AEB=90°，即得 ∠AEC=∠AEB-∠BEC=54°，再根据圆内接四边形的性质即可求解. 【详解】解：如图，连接AE, D ·:AB是⊙O的直径， .∠AEB=90°， :∠BEC=36°， ∠AEC=∠AEB-∠BEC=90°-36°=54°， :四边形ADCE内接于⊙O, ∠ADC+∠AEC=180°， ∠ADC=180°-∠AEC=180°-54°=126°· 10.如图，AB是⊙0的直径，点C,D在O0上，∠ABC=25°，则∠BDC的度数为 0 A B D 【答案】65 【分析】由AB是⊙0的直径，得∠ACB=90°，而LABC=25°，则∠CAB=90°-∠ABC=65 7/37 ,然后由所对应的圆周角相等即可得到答案 【详解】解：：AB是⊙0的直径， .∠ACB=90, ∠ABC=25°， .∠CAB=90°-∠ABC=65°， 又：BC所对应的圆周角相等， ,∠CAB=∠BDC=65°. 11.如图，OA、OB、0C都是⊙O的半径，连接AB、AC.若∠BAC=20°，AB=2BC, 则∠AOB的度数为。. B 【答案】 80 【详解】解：：∠BAC=20°， ∠B0C=2∠BAC=40°. AB=2BC. ∠A0B=2∠B0C=80°. 12.如图，四边形ABCD内接于O0,若LBAD=60°，则∠BCD的度数为 A B 【答案】120 【分析】根据圆内接四边形的对角互补可得∠BCD=180°-∠BAD. 8/37 【详解】解：：四边形ABCD内接于O0，LBAD=60°， .∠BCD=180°-∠BAD=120°. 三、解答题 13.已知：如图，延长圆内接四边形的边AD、BC,相交于点E.求证：△ABE∽△CDE. 0 B 【答案】见解析 【分析】根据圆内接四边形可得∠CDE=∠B,LA=∠DCE,根据两角对应相等即可得证， 【详解】证明：：四边形ABCD为OO的内接四边形， .∠B+∠ADC=180°，∠A+∠BCD=180°， :∠ADC+∠CDE=180°，∠DCE+∠BCD=180°， ∠CDE=LB,LA=∠DCE, :△ABE∽△CDE. 14.如图，在ABC中，AB=AC,过点B,C的O0与AB,AC分别相交于D,E.求 证：BD=CE. 【答案】见解析 【分析】本题考查弧、弦和圆心角的关系、圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握弧、 弦和圆心角的关系是解答的关键 连接OB,OD,OE,OC,根据等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠B0E=∠C0D,则 BE=CD,进而可得BD=CE,根据等弧对等弦可求解. 【详解】证明：：AB=AC, 9/37 .∠ABC=∠ACB,即∠DBC=∠ECB, 连接OB,OD,OE,0C, :∠BOE=2∠ECB,∠COD=2∠DBC, ∴.∠BOE=∠COD, ·BE=CD, :BE-DE=CD-DE, BD=CE, .BD CE 15.如图，ABC内接于O0,点O在AB上，AD平分∠BAC交⊙0于点D,连接BD, 延长AC,BD相交于点E,求证：AB=AE. 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定等知识点 由AB是直径得到LADB=90°，则LBAD+LABD=90°，∠EAD+∠E=90°.再由角平分线 得到∠BAD=∠EAD,那么∠ABD=∠E,即可得到AB=AE. 【详解】证明：AB是直径， .∠ADB=90°，即AD⊥BE, .∠BAD+∠ABD=90°，∠EAD+∠E=90°. :AD平分∠BAC, 10/37 .∠BAD=∠EAD, .∠ABD=∠E, :AB AE. 三能力提升 一、选择题 1.如图，AB为O0的直径，点C,D在⊙0上，若C0⊥BD于点E,∠B0C=150°，则 ∠ACD的度数为() B A.15° B.30° C.45° D.60° 【答案】D 【分析】因为CO⊥BD,根据垂径定理，所以可得出弧BC和弧CD的关系可确定.己知 ∠B0C=150°，因为圆心角的度数等于所对弧的度数，所以可得出弧BC的度数，进而得到 弧CD的度数.再求出弧AD的度数，再根据圆周角定理，即可求出∠ACD的度数. 【详解】由垂径定理可知：◆gBC=◆CD· :∠B0C=150°， .B◆C的度数为150°， ·◆C●D的度数也为150°. 又：AB是直径，A,O,B共线， .∠A0C=180°-∠B0C=30°， ◆A●C的度数为30°. .◆◆AD的度数为150°-30°=120°， .∠ACD=二×120°=60°. 2 11/37 2.如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在O0上，两边分别交⊙0于A、B两点，若 ⊙0的半径为4，则弦AB长为() D 0 A.8 B.6 C.4 D.2 【答案】c 【分析】根据圆周角定理得到∠A0B=2LP=60°，进而证明AOB为等边三角形，利用 等边三角形的性质可求解。 【详解】解：连接OA,OB, D ∴.0A=0B=4, :∠P=30°， .∠A0B=2∠P=60°， ·AOB为等边三角形， .AB=0A=4, 3.如图，AB是⊙0的直径，点C是⊙0外的一点，连接CA,CB分别交O0于D,E两点， 连接DE,DB.若∠CAB=50°，∠C=60°，则∠EDB的度数为() B A.30° B.25° C.20 D.15 12/37 【答案】C 【分析】由直径所对的圆周角是直角可得∠ADB的度数，由三角形内角和定理可得∠CBA的 度数，由圆内接四边形对角互补可得∠ADE的度数，据此可得答案， 【详解】解：：AB是⊙0的直径， ∠ADB=90°； :∠CAB=50°，∠C=60°，LCAB+∠CBA+LC=180°， .∠CBA=70°， :四边形ABED是OO的内接四边形， :∠ADE+∠ABE=180°， .∠ADE=110°， .∠EDB=∠ADE-∠ADB=20°. 4.如图，A、B、C是圆O上的三点，已知LOAB=20°，那么∠C的度数为() A.60 B.65 C.70° D.75° 【答案】C 【分析】连接OB,先根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理可得∠AOB的度数，再 根据圆周角定理即可得 【详解】解：如图，连接OB, OA=OB,∠OAB=20°， .∠OBA=∠OAB=20°， :∠A0B=180°-∠0BA-∠0AB=140°， 13/37 1 .∠C=∠A0B=70° 5.如图已知AB为半圆O的直径，AC,AD为弦，且AD平分∠BAC.若AB=6,AC=2, 则AD的长为() 0 B A.2W6 B.5 C.42 D.4V5 【答案】A 【分析】如图，连接OD,作DE⊥AB于E,OF⊥AC于F,运用圆周角定理可证得 ∠DOB=∠BAC,即证aAOF≌aOED,所以OE=AF=1,根据勾股定理，得DE=2√2， 然后在RtAADE中，利用勾股定理求解即可. 【详解】解：如图：连接OD,作DE⊥AB于E,OF⊥AC于F, ∠4F0=∠0ED=90,4F=24C=l, E :AD平分∠BAC, ∠BAC=2∠BAD, 又：∠D0B=2∠BAD, :∠DOB=∠BAC, 在△AOF和△OED中， [∠AFO=∠OED ∠BAC=∠DOB, OA=OD .△AOF≌△DDE(AAS), :OE AF=1, AB=6, .0D=A0=3, 14/37 :AE=A0+0E=3+1=4, 在Rt△D0E中，DE=V0D2-0E2=V32-12=2V2, 在R1aADE中，AD=DE2+AE=V22+4=26. 二、填空题 6.ABC是半径为5的O0的内接三角形，若AB=4,BC=8,则边AC上的高的长度是 【】号 【分析】过点B作BH⊥AC于点H,则BH即为AC边上的高，作直径BD,连接CD,在 Rt△BCD中，求出sm☑BDC二%=于利用圆周角定理的雅论得到LBDC=∠BAC,然后 根据sin∠BAC=BH 求解即可. AB 【详解】解：如图，过点B作BH⊥AC于点H,则BH即为AC边上的高，作直径BD,连 接CD, B BD是00的直径，⊙0半径为5， D BD=10,∠BCD=90°， 在Rt△BCD中，：BC=8, sin∠BDC= BC84 BD105' :∠BDC和∠BAC都是弧BC所对的圆周角， :LBDC=∠BAC, sin∠BAC4: :BH⊥AC, △AHB是直角三角形，∠AHB=90°， sin∠BAC=BH AB 15/37 AB=4, ÷BH=AB:sin∠BAC=4x4=16 55 7.如图，AB是半圆OO的直径，点C,D将AB分成相等的三条弧，点P在AC上.己知 点Q在AB上，且∠APQ=115°，则点Q所在的弧是. D 0 B 【答案】BD 【分析】根据圆周角定理和弧角关系求解， 【详解】解：如图，连接AP,BP,PQ,OD,OQ, D :AB是半圆O0的直径，P在AC上， .∠APB=90°， :∠APQ=115°，∠APQ=∠APB+∠BPQ, ∠BPQ=25°， ∠BOQ=2∠BPQ=50°， :点C、D将AB分成相等的三段弧， :AC=CD=DB, ÷∠B0D=写×180°=60， :∠BOQ<∠BOD, ∴Q在BD上. 三、解答题 8.在ABC中，∠ABC=90°，AD平分∠BAC,作BE⊥AD,垂足为点E. 16/37 M B D B D DN H 图1 图2 图3 (1)如图1，若点M为AB中点，求证：EM∥AC; 2如图2，若点N为8C的中点，求证：EV=4C-AB): 3)如图3，在第(2)问的条件下，过点C作CH⊥AD,交AD延长线于点H,连接HN, 求证：HN⊥BC. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 3)见解析 【分析】(1)根据直角三角形斜边中线的性质得到AM=ME,再进行角度的推导证明即可； (2)延长BE交AC于点G,△AEB≌△AEG(ASA),再根据三角形的中位线证明即可； (3)取AC边的中点O,以O为圆心，OA为半径画圆，则点B,H在以AC为直径的圆上， 再由圆周角定理结合三线合一证明即可， 【详解】(1)证明：：AD平分∠BAC, ∠BAD=∠CAD. BE⊥AD, .∠AEB=90°. :点M是AB的中点， ∴.AM=ME, ∠MEA=∠MAE=∠CAD, EM∥AC. (2)解：如图，延长BE交AC于点G 17/37 G E :∠BAD=∠CAD, B DN C AEB=∠AEG=90°， AE=AE, :△AEB≌△EG(ASA, :BE =GE,AB=AG. 又：点N是线段BC的中点， EN-CG-C-AG). 即EN=4c-AB. (3)解：如图，取AC边的中点0，以0为圆心，OA为半径画圆. :CH⊥AD :∠ABC=∠AHC=90 点B,H在以AC为直径的圆上， :AD平分∠BAC, ∠CAH=∠BAH, BH CH .BH =CH. 又：点N是线段BC的中点， HN⊥BC. 9.如图，已知在OO中，AB为直径，点C为圆上一点，且点D为弧BC的中点，过点D作 DE平行于AB交AC于点E,连接OD, 18/37 图1 图2 (1)如图1，求证：四边形A0DE为菱形： (2)如图2，连接BC,BD,若AC=8,BC=6,求tanCBD的值， 【答案】(1)见解析 时 【分析】(1)连接AD,由题意得∠CAD=∠BAD,证明∠CAD=∠AD0,推出OD∥AE,易 证四边形AODE为平行四边形，结合OA=OD,即可证明结论： (2)连接AD,延长AC交BD的延长线于点F,勾股定理求出AB=10,证明 △ADE≌△ADB(AA,推出CF=2,利用正切的定义即可求解. 【详解】(1)证明：如图，连接AD. 点D是弧BC的中点， :Z CAD ZBAD :0A=0D, :∠BAD=∠AD0, ∠CAD=LADO, OD∥AE. 又：DE∥AB, :四边形AODE为平行四边形 0A=0D, :四边形AODE为菱形. 19/37 (2)解：如图，连接AD,延长AC交BD的延长线于点F, :AB为直径， E LACB=90°，∠ADB=90°， B :AC=8,BC=6, :AB=√AC2+BC2=10 :∠ADB=90°， ∠ADE=∠ADB=90°， 又：∠CAD=∠BAD,AD=AD, △ADE≌AADB(ASA, ..AF AB=10, :AC=8, CF=2, :在RtaBCF中，tan∠CBD=CF-2_L CB631 10.如图，AB是⊙0的直径，点C,E在⊙0上，连接AC,CE,EB,过点C作O0的 切线，交EB的延长线于点D,己知∠ABE=2∠A. (1)求证：ED⊥CD: 2嗜anE-号AB=25,求cD的长. 【答案】(1)见解析 24v5 5 20/37 大 【分析】(1)连接圆心O与点C,根据圆周角定理可知，∠B0C=2LA,得到 ∠ABE=∠COB,由平行线判定定理，得到ED∥OC,因为CD是圆的切线，所以 OC⊥CD,再由平行线的性质，得到LCDE=90°，即可证明： (2)连接BC,得到∠ACB=90°，求出BC=2,由0A=0C,得到∠BCD=∠A,由(1)知 ED⊥CD,得到an∠BCD=BD CD =tan4= 2,根据勾股定理计算即可得到答案 【详解】(1)证明：连接圆心O与点C,如下图： :∠A是劣弧BC所对的圆周角，∠COB是劣弧BC所对的圆心角， ∴.∠COB=2∠A, :∠ABE=2∠A, :∠ABE=∠COB, :OC∥ED(内错角相等，两直线平行)， :CD是圆的切线， 0C⊥CD, .∠CDE=180°-90°=90°， :ED⊥CD. (2)解：如图，连接BC, B AB是⊙0的直径， D .∠ACB=90°， :∠A=∠E, .tan d=tan E=2 1 BC 1 4=2' 21/37 :AC=2BC, 在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2, ÷(252=4BC2+BC, BC=2, :∠BCD+∠BC0=∠AC0+∠BC0=90°， :∠BCD=∠ACO, :0A=0C, :∠A=∠AC0, :∠BCD=∠A, 由(1)知ED1CD, LCDE=90°， .tan∠BCD= BD 1 =tan CD .BDCD. 在Rt△BCD中，BC2=BD2+CD2, 4=cD, 4 :CD=45 5 拓展培优 一、选择题 1.如图，四边形ABCD内接于OO,AD=CD,连接BD和0C.若∠ABD=25°，则 ∠OCD的度数是() A D O A.50° B.65° C.60° D.55 22/37 【答案】B 【分析】先根据AD=CD,得出AD=CD,再得出LABD=∠CBD=25°，求出圆心角的度 数，再利用三角形内角和求解即可. 【详解】解：连接0D, .AD=CD, :AD=CD, .∠ABD=∠CBD=25°， .∠C0D=2∠CBD=50°， .OD=CO, ÷∠0CD=180°-LC0D =65°. 2 D 2.如图，在正方形ABCD中，AB=4,E、F分别是AD、CD上（不与端点重合）的动点， 且满足AE=CF,O是BE中点，G为AF上异于A的一点，且满足EG⊥BG,连接 CG,OF,OC,下列说法错误的是() D B A.CG的最小值为2W2 B.0F的最小值为5 C.△OBC的面积不变 D.22<AG<4 【答案】A 【分析】如图所示，由四边形ABCD为正方形，∠BGF=90°可判断A、B、G、E四点共圆， 23/37 且以BE为直径，O为圆心的圆上，△BAE≌aBCF,中位线定理可知OM=EN,结合相关 知识点注意判断即可. 【详解】 D B MN 选项A::四边形ABCD为正方形， .AB=BC,∠BAE=∠BCF=90° :EG⊥BG .∠BGF=90° A、B、G、E四点共圆，且以BE为直径，O为圆心的圆上， :O是BE中点， .0G=0B=0A=r .CG≥0C-0G即最小值为0C-0B :E是AD上的动点，当运动到D时，O为正方形对角线的交点，此时OB=OC ∴.CG的最小值为0，不等于2√2，选项A错误，符合题意； 选项B过F作FQ⊥AB于Q,根据题意可知，F为圆O外一点，AB为弦， :当0F取最小值时0F上AB(重线段最短.0Q方E=CF 2 连接BF,OM⊥BC于M,EN⊥BC于N,如图所示： .OM EN .△OBMn△EBN .OB_OM ·BEEN :O是BE中点， :.OB=1BE 2 24/37 :OM=1EN 2 S.woc-xBCxOM-]x BCxEN-x ×4××4=4,所以选项C正确，不符合题意： 2 2 2 2 :EN⊥BC ,∠ENB=90 :四边形ABNE为矩形； :AB EN =4, 在△BAE和BCF中， AB=BC ∠BAE=∠BCF AE=CF .△BAE≌ABCF(SAS) .AE CF, 以B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立平面直角坐标系，则 B(0,0、C4,0、A(0,4、D(4,4), 设AE=CF=x,则E(x,4),F(4,x,O ∴.OF 4、 +(x-2 -8x+20 :当x=16时，0F有最小值为 5 16 5 8× +20=65 1 ,所以B正确，不符合题意 5 选项D:当E在A时，由题意可知G是在以AB为直径的圆周上的点，且在正方形内，此时刚 好在正方形对角线交点，则AG=】VAB+BC=x4+年=2N2 2 .E无限接近A时，AG>2√2 点G在线段AF上，根据两边之和大于第三边得到A0+OG>AG,所以AG<4,D正确， 不符合题意。 3.如图，已知等边ABC边长为23，点D、E分别为边AC、BC上的两动点，且 BE=CD,连接AE、BD交于点H,过点B、A分别作AE、BD的垂线，垂足分别为G、F, 25/37 连接GF,则GF的长是() D G A.5 B.2V5 c.26 D.1 3 3 【答案】A 【分析】因为△ABC是等边三角形且BE=CD,所以可先证明△ABE≌△BCD,得到对应角 相等，进而推出∠AHB的度数.因为AG⊥BG、BF⊥AF,所以点A、B、G、F共圆，构 造出圆，并推出△OGF是等边三角形，进而可求出GF的长度， 【详解】：△ABC是等边三角形， AB=BC,∠ABE=∠BCD=60°， 又：BE=CD, .△ABE≌△BCD(SAS. .∠BAE=∠CBD, .∠AHB=180°-∠BAE-∠ABH=180°-∠CBD+∠ABH）=180°-60°=120°. :AG⊥BG、BF⊥AF, .LAGB=LAFB=90°， :点A、B、G、F共圆，且AB为直径， 如图，以B的中点0为圆心，4B为半径作圆，并连接0G、0F, 26/37 :.oF=AB=5, 2 :∠AHB=120°， .∠AHF=60°， .∠HAF=30°， .∠G0F=60°， :0G=0F, “△OGF是等边三角形， GF=OF=3. 二、填空题 4.如图，在等边ABC中，边长为12，点D是AC边上的动点，连接BD并延长到点E, 满足DE=2BD,∠AEC=30°，则AD长为· 【答案】4或8 【分析】作ABC边AC上的高BM,垂足为M,则M为AC中点，由LAEC=30°可得点 E在以AC为弦，所含圆周角为30°的圆弧上，设该圆圆心为0，则∠A0C=2∠AEC=60°， △A0C是等边三角形，得到圆心0与B关于AC对称，即B,M,O共线，且OM=BM=6√万 ，OB=125,过点0作OP1BE于点P,证明BMD BP0,解得BP=216, BD OP=123M 2,再在Rt△0PE中，根据OE2=OP2+PE2代入整理得 BD 144=432MD+108)+98D-1296,结合BD2=BM2+MD2=108+MD2求出BD:=112, BD2 MD2=4,最后根据AD=AM+MD或AD=AM-MD求解即可. 【详解】解：如图，作ABC边AC上的高BM,垂足为M,则M为AC中点， 27/37 E B :△ABC是等边三角形，边长为12， AM=MC=6,BM=V122-62=6V5, 'LAEC=30°， :点E在以AC为弦，所含圆周角为30°的圆弧上， 设该圆圆心为0，则∠A0C=2LAEC=60°， :0A=0C, :aA0C是等边三角形， 0A=0C=AC=12, :圆心0与B关于AC对称，即B,M,O共线，且OM=BM=65,OB=125, 过点O作OP⊥BE于点P, ∠BMD=∠BPO=90°，∠MBD=∠PBO, BMD∽BPO, BP-80 OP BM BD MD BP-BM-B0_65:125_216,OP=MD-B0_125MD BD BD BD BD BD DE =2BD, :BE 3BD, ·PE=BE-BP1=3BD-216| BD 在Rt△0PE中，OE2=OP2+PE2, 2 即122 123MD 3BD 216)2 BD BD 整理得144= 432(MD2+108)+9BD2-1296, BD2 28/37 BD2=BM2+MD2=108+MD2, .144=432+9BD2-1296, BD2=112, BD2=108+MD2, .108+MD2=112, MD2=4, MD>0, .MD=2, .AD=AM MD=6+2=8AD=AM-MD=6-2=4. 5.如图，ABC为等腰直角三角形，LACB=90°，AC=BC=√2，D为AB的中点，E为 线段AB上的一个动点，连接CE,将△ACE沿AC折叠得到△ACF,过点F作直线CE的 垂线交直线CE于点G,连接DG和BG,则√5DG+BG的最小值为 【答案】√5 【分析】先由∠EAF=∠EGF=90°，得到A,F,G,E四点共圆，则LAFE=∠AGE=45°， ∠AGC=180°-∠AGE=135°，根据定角LAGC=135°对定长AC=√2可得点G在以0为圆心， 半径为OC=1的圆上运动：连接OB交CD于点P,在OB上取一点M,使OM-5,连接 0,过w年wy1D于N,求器08=5,0G1,可料89-5=88则 OM M0GG0B,得到GM=5BG 5 5DG+BG=5DG+5BG=N5DG+GM)5DM,当G在DM上f, √5DG+BG=√5DM最小，再求出DM的长度即可. 【详解】解：连接EF,AG,CD,延长AF至O,使OC⊥CD于C, 29/37 D :ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=√2，D为AB的中点， :AB=√AC+BC=2,CD=AD=BD=AB=1,∠CAD=45°，∠HDC=90°， 由折叠可得∠CAD=∠CAF=45°，AF=AE, .∠EAF=90°，∠AFE=∠AEF=45°， :FG⊥CE, .∠EAF=∠EGF=90°， A,F,G,E四点共圆， LAFE=LAGE=45°， .∠AGC=180°-∠AGE=135°， :∠EAF=∠EGF=90°，∠ADC=90°，OC1CD,CD=AD=BD=AB=1, 四边形OADC是正方形， .OA=OC=CD=AD=1, 根据定角∠4GC=135°对定长AC=√2可得点G在以0为圆心，半径为0C=1的圆上运动； 连接OB交CD于点P,在OB上取一点M,使OM=5,连接MG,过M作MN⊥CD于 N, D B 0A=0C=CD=AD=1,AB=2, .0B=V0A2+AB2=V2+22=V5, :OC=BD=1,∠OCP=∠BDP=90°，∠CP0=∠DPB, 30/37 △PCO≌△PDB(AAS, PC=PD=ICD= 1 2 0p=oc+pC-)5,PM=0P-0M=5-5_35 2 510 :∠MNP=∠0CP=90°， .MNP OCP, :MN_PN PM OC PC OP 35 MN PN-10 11 2 2 解得MN=3 PW=3 101 :DN=DP+PN= 134 2105 :DM =MN2+DN2 0G=1, :0c 5=08 OM OG :∠M0G=∠B0G, .M0G∽G0B, :OG、BG =5, OM GM ÷GM-5BG V5DG+BG=√5 DG+58G =5(DG+GM)≥V5DM, 5 ∴当G在DM上时，√5DG+BG=√5DM=√5最小. 三、解答题 6,如图，在平行四边形ABCD中，AB=8,BC=16,点P在边BC上（不与点B,C重合）， 连接AP,⊙O是△ABP的外接圆 31/37 ·O B 备用图 (1)若∠C=120°. ①当AP上BC时，∠BAP的度数为一； ②当P是BC的中点时，求4P的长； 2)若tanD=4,当⊙0与边AD或边CD所在直线相切时，求CP的长. 3 【答案】(1030°；②163m 9 2当O0与边AD所在直线相切时，CP的长为号，当⊙0与边CD所在直线相切时，CP的 长为号 【分析】(1)根据平行四边形的性质，得到∠B=60°， ①由垂直关系得到∠APB=90°，利用三角形内角和计算即可； ②根据已知的线段长，推出BP=AB,从而得到△ABP是等边三角形，根据这个条件，求出 此时⊙O的半径，和AP所对圆周角是60°求解即可； (2)分情况讨论，利用∠B=∠D,过点A作BC的垂线，通过三角函数值设参，利用图中 的平行线找到相等角，从而得到相似三角形，最后用勾股定理列方程求解即可， 【详解】(1)解：①在平行四边形ABCD中，AB‖CD, ∠B=180°-∠C=60°， 当AP⊥BC时，∠APB=90°， .∠BAP=90°-∠B=30°； ②：P是BC的中点， DP-BC-8-AB. 又由(1)，得∠B=60°， ·△ABP是等边三角形， 32/37 .AP=AB=8, 如解图①，连接OA,OP,过点O作OE⊥AP于点E, A D 图① ∠A0P=2∠B=120°，0A=0P, F∠A0E∠A0P=60,AG=J 2P=4, .04= AE 4 83 sin60°V53, 2 8v3 ·AP的长为120×元 3=163元： 180 9 (2)解：分两种情况， 第一种：当⊙O与AD边所在直线相切时，A是切点，如解图②，连接A0并延长，交BC于 点M, 图② ∠0AD=90°， :四边形ABCD是平行四边形， ADIBC,∠B=∠D, ∠AMP=180°-∠0AD=90°， 由垂径定理，可知BM=PM, tan D=tan B=4 3， 4 AM=amB=3多 BM 设BM=3k,则AM=4k, 33/37 由AB=BM2+AM,得k=8 :BM 48 BP=2BM=- 5， p=c-P是 第二种：当⊙O与CD所在直线相切时，如解图③，设切点为Q,连接QO并延长，交AB于 点N,过点A作AH⊥BC于点H,连接OA,OB, P 图③ 同第一种情况，可得4H=32 ，BH=24 :SABCD=AH·BC=N0CD, .NO=AH-BC 64 CD 5 ABI CD, .∠ONB=∠OQD=90°， :BN=AN=-AB=4, 2 由勾股定理，得OB2=ON2+BN2,即OB2= oj+, 解得0B=281 40 ·0W=NQ-OB=23 0, :∠A0B=2∠APB,∠A0B=2∠A0N, .∠APH=∠AON, 又∠AHP=∠BN0=90°， .△APHn△BON, 34/37 32 PH AH PH 5 ON BN ,即 31=4 40 PH=231 25 ·CP=BC-BH-PH=49 5 综上.当⊙0与边4D所在直线相切时，CP的长为号，当O0与边CD所在直线相切时， CP的长为号 7.如图，在ABC中，AB=BC,以BC为直径作OO交AC于点E,交AB延长线于点D, 连接CD,过点E作EF‖CD交AB于点F,交CB的延长线于点G. G (1)求证：EG是⊙0的切线； (2)若0C=3,AF=4,求CD的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)4√2 【分析】(1)连接OE,先证明AD⊥EF,再证明OE∥AD,即可证明结论： (2)连接BE,先证明△AEP0△4BE,得到行-仁，求得4E=26,根据勾股定理， 可求得EF=2√2，再证明△AEF∽△ACD，即可根据相似三角形的性质求得答案。 【详解】(1)证明：连接OE, :BC为O0的直径， :AD⊥CD, :EF∥CD, AD⊥EF, AB=BC, 35/37 :∠A=∠BCE, :0C=0E, ∴LOEC=LBCE, :∠A=∠OEC, OE∥AD, OE⊥EF, :EG是⊙0的切线： E G (2)解：连接BE, :BC为O0的直径， BE⊥AC, :∠BEF+∠AEF=90°， :AD⊥EF, ∠BEF+∠ABE=90°， .∠AEF=∠ABE, .∠A=∠A, △AEF∽△ABE, :AE、AF AB AE .AE2=AF,AB=4×6=24, AE=26, EF=VAE2-AF2=26-4=22, :AB=BC,BE⊥AC, :AE CE, 36/37 以女 LE/LE ○ 0 个b=Q0: .2_a0 【忆 .0P_a0 avda ‘Q0F∽H☒F: ·00∥▣÷ .0r 亚圆周角和圆心角的关系同步练习 好惠对 基础达标 一、选择题 1.如图， 8为O的直径，点C,D是©0上位于1B异侧的两点，分别连接 AB.⊙O ⊙0 AD.BD.CB.CD 若1D=BD 则<DCB 的度数为() A D A.30 B.45o C.60° D.75° 2.如图，B为⊙0 ⊙0 AC=24 BC=7 tan B= 为 的直径，C是 上一点，若 ,则 () B 7 24 7 A.24 B.25 C.25 D. 7 ⊙0 ABCD BD ∠ABD=35 ∠ACB 3.如图，的内接四边形 的对角线 经过圆心，若 ,则 的度数为() 1/11 0 A.35° B.45° C.55° D.65° 上，若<B0C=60 A,B,C,⊙0 4.如图，点 ，则<BA 的度数是() A.15° B.30° C.60° D.120° 5.如图， AC,⊙O 0C,⊙0 0相切于点，连接0C,与00交于点D,连接 D ∠C=30° 与 .若 则∠B的度数为() B D A A.30° B.25° C.20° D.15o 6.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=45°，以AC为直径作半圆，交BC于点D, 交AB于点E,连接AD,CE相交于点F.己知CD=3,则AF的长为() 公 2/11 A.3V2 B.3V5 C.6 D.8 7.如图，A4BC为O0的内接三角形，an∠4CB= ’4B=3,则⊙0的半径为() .0 B 5 A.2 B.5 C.25 D.25 g.如图，B是00的弦，CD是o0的直径，4B与 D交于点E,点D是劣弧AB的中点， 若CD=4,∠ACD=30°，则DE的长为() D A B E 0 C A B.1 D.2 二、填空题 ABCD ⊙0 ∠BEC=36° 9.如图，四边形 内接于 0.B是0 是的直径，点E在上， 则∠ADC的度数为 D o B E 3/11 10.如图，B是⊙0 是的直径，点C,D在 ⊙O,∠ABC=25°m∠BDC 上， ,则 的度数为 D 11.如图，0A、0B、0C都是O0的半径，连接4B、4C.若∠B1C=20°，B=28C, 则∠AOB的度数为。. B 12.如图，四边形4BCD内接于O0,若∠BAD=60°，则∠BCD 的度数为 B 三、解答题 13.已知：如图，延长圆内接四边形的边AD、BC,相交于点E.求证：△ABE∽aCDE. E D A o B 14.如，在△6C中，=C,过点，C的0与,4C分别相交D,E. .求 4/11 证：BD=CE. D ●O △ABC ⊙0 15.如图， 内接于O0,点O在1B上，4 平分<BAC本©0 交于点D,连接BD, 延长AC,BD相交于点E,求证：AB=AE. E 能力提升 一、选择题 1.如图，B为⊙0 ⊙0，C0LB ∠BOC=150° 为的直径，点C,D在上，若 于点E, ,则 ∠ACD的度数为() 0 A.15° B.30° C.45° D.60° 30° .⊙0 ⊙OAB 2.如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于 两点， ⊙0 AB 若的半径为4，则弦长为() 5/11 0 B A.8 B.6 C.4 D.2 3.如图，4B是0的直径，点C是O0外的一点，连接 ⊙0 CA,C 分别交O0D,E 于 两点， DE,DB,∠CAB=50°，∠C=60° 连接 若 则<EDB 度数为() D A.30° B.25° C.20° D.15° 4.如图，A、B、C是圆0上的三点，已知DOAB=20°，那么∠C的度数为() A.60° B.65° C.70° D.75° 5.如图已知1B为半圆0的直径，1C,1 为弦，且D 平分∠B1C.若AB=64C=2 .若 则AD的长为() D B 6/11 A.2V6 B.5 c.4V2 D.4V5 二、填空题 6 △ABC ⊙0 的内接三角形，若B=4.BC=8 AC 是半径为5的 ，则边 上的高的长度是 7.如图，B是半圆00的直径，点C,D将B分成相等的三条，点P在C上.已知 点Q在AB ，且 APQ=115° ,则点Q所在的弧是 D 三、解答题 8.在△ABC中，∠ABC=90°，AD平分∠BAC,作BE⊥AD,垂足为点E. E D B DN H 图1 图2 图3 (1)如图1，若点M为AB中点，求证：EM∥AC; 2)如图2，若点N为BC的中点，求证：EN=4C-AB): (3)如图3，在第(2)问的条件下，过点C作CH⊥AD,交AD延长线于点H,连接HN, 求证：HN L BC, O中，B为直径，点C为圆上一点，且点P为弧BC的中点，过点 ⊙0 C BC 9.如图，已知在 作DE平行于AB交AC于点E,连接OD. 7/11 E D E 图1 图2 (1)如图1，求证：四边形AODE为菱形： (2)如图2，连接BC,BD,若AC=8,BC=6,求tan∠CBD的值 10.如图，B是0的直径，点C,E在0上，连接4C, AC CE EB C⊙O ,过点作 的 切线，交EB的延长线于点D,已知∠ABE=2∠A. E 0 (1)求证：ED⊥CD: (2)若anE= 2,AB=25,求CD的长. 拓展培优 一、选择题 ABCD 1.如图，四边形 于o0,4D=CD,连接BD和0C.若∠4BD-=25° 内接 和 ,则 ∠OCD的度数是() D B A.50° B.65 C.60° D.55 2.如图，在正方形ABCD中，AB=4,E、F分别是AD、CD上（不与端点重合）的动点， 8/11 且满足AE=CF,O是BE中点，G为AF上异于A的一点，且满足EG⊥BG,连接 CG,OF,OC,下列说法错误的是() G 6W5 A.CG的最小值为2√2 B.OF的最小值为5 △OBC 2N2<AG<4 C. 的面积不变 0. 3.如图，已知等边418C边长为25 点D、E分别为边AC、BC上的两动点，且 BE=CD,连接AE、BD交于点H,过点B、A分别作AE、BD的垂线，垂足分别为 G、F,连接GF,则GF的长是() D 2V3 26 A.√5 B.3 C.3 D.1 二、填空题 4.如图，在等边△ABC中，边长为12，点D是AC边上的动点，连接BD并延长到点E, 满足DE=2BD,∠AEC=30°，则AD长为· 9/11 5.如图，△AB 为等腰直角三角形，∠ACB=90,4C=BC=5,D为48的中点，E 为线段AB上的一个动点，连接CE,将△ACE沿AC折叠得到△ACF,过点F作直线CE 的垂线交直线CE于点G,连接DG和BG,则V5DG+BG 的最小值为 D 三、解答题 6.如图，在平行四边形ABCD中，AB=8,BC=16,点P在边BC上（不与点B,C重 合)，连接AP,⊙O是△ABP的外接圆. A A D 。O .0 B C 备用图 (1)若∠C=120°. ①当AP⊥BC时，∠BAP的度数为一： ②当P是BC的中点时，求4P的长： (2)若anD=4 ,当oO与边4D或边cD所在直线相切时，求CP的长. △ABC AB=BC,BC 7.如图，在 中， 9C,以BC为直径作O0交4C于点E,交B延长线于点 D,连接CD,过点E作 FICD交B于点F,交CB的延长线于点G. CB 10/11 ☆ G EG⊙O (1)求证： 是的切线： (2)若OC=3,AF=4,求CD的长. 11/11