专题3.3 垂径定理 同步练-2025-2026学年北师大版数学九年级下册

垂径定理 同步练习 好 题 冲 关 基础达标 一、选择题 1．如图，在中，的半径长为，圆心到的距离，则弦的长为（   ） A．8 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理的内容是解题的关键． 利用垂径定理得到，根据勾股定理求出长，进而求出长． 【详解】解：是的半径，， 、， 在中，由勾股定理得：， ． 2．如图，是的弦，半径，垂足为点，设的半径为，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】连接，由垂径定理得出，由勾股定理求出，即可求出． 【详解】解：连接， ∵是的弦，半径， ∴， 在中， ， ∴． 3．如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，最后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵为的直径，弦于，且， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴的面积为． 4．下列说法正确的是（   ） A．有三个角相等的四边形是矩形 B．三角形的内心到三角形三边距离相等 C．平分弦的直径垂直于这条弦 D．两直线平行，同旁内角相等 【答案】B 【分析】根据矩形的判定定理，三角形内心性质，垂径定理，平行线性质，逐一判断各选项正误． 【详解】解：A、三个角相等的四边形，四个角不一定都是直角，例如三个角为时，第四个角为，该四边形不是矩形，故A错误； B、三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点，角平分线上的点到角两边的距离相等，故三角形的内心到三角形三边距离相等，故B正确； C、当被平分的弦为直径时，任意两条直径互相平分，但不一定垂直，只有平分非直径弦的直径才垂直于这条弦，故C错误； D、根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，不是相等，故D错误． 5．如图，是的弦，半径于点，若，，则半径的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理和勾股定理进行解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴， ∴则半径的长为． 6．如图，已知是的直径，是的弦，，垂足为．若，，则 （  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理求出的长，由直径求出半径的长，利用勾股定理求出的长，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：是的直径，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ． 7．如图，在中，按下列步骤作图：①在边上取一点C，以C为圆心，长为半径画，交于点D；②分别以O，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G，连接交于点E，交于点F，若，，则的长为（   ）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据作图步骤①可知，即为等腰三角形；根据作图步骤②可知是线段的垂直平分线，利用垂径定理及勾股定理求出的长，最后根据半径计算的长 【详解】解：由作图步骤①可知，点 、 在上， ， 由作图步骤②可知，垂直平分线段， ，， 在中，由勾股定理得：， 点在上， ， ． 8．如图，是的直径，弦，垂足为点，连接，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据圆周角定理可得，由垂径定理可得，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 是的直径，弦， ， ， 故选：B． 二、填空题 9．如图，是的弦，点是的中点，交于点．若，，则的半径为________． 【答案】5 【分析】连接，由题意可得，由垂径定理可得，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图：连接， ， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴． 10．如图，在中，弦的长为8，的度数为，，则半径为_____． 【答案】8 【分析】利用垂径定理以及含角的直角三角形的性质求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的度数为， ∴， 即半径为8． 11．当把一个篮球放入静止的水中时，篮球静止后会漂浮在水面上，且有一部分在水面之下．如图，可以将篮球的竖直横截面看作半径为的，水面与篮球接触面形成的弦长为，测得篮球露出水面的高度为，经过圆心O，且垂直于，则弦长为_________． 【答案】 【分析】利用垂径定理以及勾股定理求解． 【详解】解：如图，连接， 的半径为， ， ， ， 经过圆心O，且垂直于， 在中，由勾股定理得， ． 12．如图，为的弦，直径于点，，，则的半径为_______． 【答案】5 【分析】连接，不妨设，利用垂径定理，可得，然后在中利用勾股定理即可得到答案． 【详解】解：连接，不妨设，如图所示： 于点，， ， ，， ， ， ， ． 三、解答题 13．如图，在中，半径为5， (1)请用尺规作图法过点O作的垂线，交于点C，交劣弧于点D，保留作图痕迹（不写作法）； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意作图，即可； （2）根据垂径定理可得，进而根据勾股定理，求得，再求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示： （2）∵， ∴， ∵半径， ∴在中，， ∴． 14．已知，如图，线段是的直径，弦于点．若，，则的半径为多少？ 【答案】5 【分析】连接，设的半径为r，则，由垂径定理得到，再对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：连接， 设的半径为r，则， ∵是的直径，弦，，， ∴， 在中，， 即， 解得：， 即的半径为． 15．如果一个三角形一条边上的高等于这条边的一半，那么这个三角形叫做“半高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“半底”． (1)如图1，是以为“半底”的“半高底”三角形，已知，求的长； (2)如图2，是的一条弦，用无刻度直尺和圆规作图，在圆上确定一个点，使得是以为“半底”的“半高底”三角形（保留作图痕迹，无需写作法）． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）过点作于点，设，则，根据正切的定义，得出，进而求得，在中，勾股定理建立方程，即可求解； （2）作的垂直平分线交于点，在的垂直平分线上截取，过点作交于点，则是以为“半底”的“半高底”三角形． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 依题意 设，则 ∵ ∴ ∴， 在中， ∴ 解得：（负值舍去） ∴ （2）解：如图所示，作的垂直平分线交于点，在的垂直平分线上截取，过点作交于点，则点，即为所求 能力提升 1、 选择题 1．如图，已知的半径为10，弦，点C是上一点，且，则的长为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理求线段长度，熟练掌握垂径定理是解题关键．过点O作于点D，连接．根据垂径定理可知，从而在中，运用勾股定理求出线段的长，再在中，运用勾股定理求出线段的长． 【详解】解：如图，过点O作于点D，连接． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． 在中，． 故选：B． 2．如图，已知是的直径，弦交于点E，，， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理可知，由对顶角相等可知，再根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理可求出，，从而可求出的长，进而得出的长，由又可求出的长．再次根据勾股定理可求出，从而得出，最后计算即可． 【详解】解：如图，过点O作于点M，连接． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 3．将一个半径为的半圆O，如图折叠，使弧经过点O，则折痕的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠性质，首先过点作交半圆于，垂足为，由垂径定理，即可得，又由折叠的性质得：，然后在中，求得的长，即可得的长． 【详解】解：过点作交半圆于，垂足为， ， 由折叠的性质得：， 半圆的半径为， ， 在中，， ． 4．水车是中国古代重要的灌溉工具，罗江太平廊桥旁也保留了几座大水车．图1是某种型号水车的示意图，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘，它的边缘平均分布了12个水斗，这些水斗随轮盘转动而升降．如图2，在水车顺时针转动时，其中的1个水斗在点处放空水，同时有1个水斗刚好在点处接触水面，中间还有2个水斗，已知外围轮盘半径为，点到水面的距离为，则水面宽度为（）       A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】作，设，先说明四边形是矩形，得到，证明，得到，根据勾股定理列出方程，求出，最后根据垂径定理，计算即可求解． 【详解】解：如图，作交于点，作于点， 设， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点到水面的距离为， ∴，则， ∵圆形轮盘分布了个水斗，水斗和中间还有个水斗， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理得，，即， 整理得：， 解得：， ∴或， ∵， ∴点是的中点，即， ∴或， 则水面宽度为或． 5．如图，是半径为的的一条弦，点在上，过点作的垂线交于点，，则的最大值是（   ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【分析】作于点，于点，连接，，利用垂径定理求得，则，中，利用勾股定理求得，再根据完全平方公式变形，求解即可． 【详解】解：作于点，于点，连接，， ∵， ∴四边形是矩形，设，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， 在中，，即 ， ∵， ∴， ∴当且仅当时，取得最大值，最大值为100， 又∵， ∴有最大值为10，此时，满足题意； ∴的最大值是． 2、 填空题 6．《弧矢算术》为明代数学家顾应祥所撰，该著作系统整理了“径矢求弦、径弦求矢、弦矢求径”等10余类问题，是中国古代切割圆形进行计算的重要方法，对当时的工程测量、历法计算具有重要实用价值．其中有一题目为：“圆径十寸，从旁截一弧，矢阔一寸．问：截弦？”．题意为：如图，是的直径，弦于点E．若，，则的长为_____． 【答案】 6 【分析】先根据圆的直径求出半径，再结合已知条件求出的长度，然后利用垂径定理和勾股定理求出的长度，最后根据垂径定理求出弦的长度． 【详解】解：连接，如图， 已知是的直径，且， 可得， 因为，， 所以． 因为弦于点， 根据勾股定理可得， 因为弦于点， 所以． 7．如图是一条隧道的横截面，它是以点为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且米，的半径长为5米，则隧道的高为______米． 【答案】9 【分析】连接，根据垂径定理，勾股定理求解即可； 【详解】解：连接， 是中弦的中点， ， 米，的半径长为5米， ， 根据勾股定理，得， 故（米）． 3、 解答题 8．如图，在中，弦的长为，，令． (1)用含和的代数式表示的半径； (2)过点作，交的延长线于点，当时，求的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过圆心作弦的垂线，平分弦且构造直角三角形，结合三角函数把半径用弦长d和的三角函数表示； （2）先由得出,的比，再利用直角三角形边角关系设边长、求线段比，最终得到值． 【详解】（1）解：如图，作于， 则， ， ， 的半径为； （2）解：如图： ， ， ∴设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 9．如图，是的直径，是的弦，于点，是的中点，连接． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据垂径定理得，由是的中点即可得，进而得，根据圆心角定理，即可证明结论； （2）连接，根据垂径定理及勾股定理，即可列方程求解． 【详解】（1）证明：是的直径，于点， ， 是的中点， ， ，即， ； （2） 解：如图，连接， 由（1）可知， 设的半径为，则， ， ， 于点， ， 在中，，即， 解得， 的半径为． 10．如图，弓形弦长米，高米，有一内接矩形，边在上，顶点E、H在弓形弧上，边的长比的2倍多4米． (1)求该弓形所在圆的半径； (2)求的长． 【答案】(1)25m (2)13m 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理，找出圆心正确作出辅助线是解题关键． （1）取圆心，连接，，由垂径定理得，设半径为，在中利用勾股定理列方程即可； （2）连接，设，则，由垂径定理得，再由矩形性质得，，，最后在中利用勾股定理列方程即可． 【详解】（1）解：取圆心，连接，， ∵是弓形的高， ∴是的中点，且，圆心在直线上． ∴（米）， 设， 则， 在中， ， ∴， ∴， ∴该弓形所在圆的半径为25m． （2）解：连接， 由（1）得，， 设， 则， ∵是弓形的高， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ， （舍去），， ∴ ． 拓展培优 一、选择题 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦的中点，当C、D两点在圆上运动时，面积的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】首先根据直线解析式求出点、的坐标，进而得到的长度以及点到直线的距离；然后根据垂径定理和勾股定理求出的长度，确定点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆；最后根据点到直线的距离性质，当点在线段上时，点到的距离最小，的高最小，面积最小，计算即可得出答案． 【详解】解：过点作于点，连接，， 令，则， ，； 令，则，解得， ，； ． ，， 是等腰直角三角形， ． 为弦的中点，， ，， 在中，， 点在以为圆心，为半径的圆上运动． 要使面积最小，则点到的距离最小， ， 当点在线段上时，点到的距离最小，最小值为， 面积的最小值为． 2．下列说法中，错误的是（   ） A．平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦 B．平分弧的直径垂直于这条弧所对的弦 C．垂直于弦的直线必经过圆心 D．弦的垂直平分线必经过圆心 【答案】C 【分析】根据垂径定理及其推论逐一判断说法正误即可． 【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，说法正确，该选项不符合题意； B、平分弧的直径垂直于这条弧所对的弦，说法正确，该选项不符合题意； C、垂直于弦的直线不一定经过圆心，原说法错误，该选项符合题意； D、弦的垂直平分线必经过圆心，说法正确，该选项不符合题意． 3．如图，内接于为的直径，点D，E分别为上的动点（不与点A，点B，点C重合），且，F为的中点，分别连接，若，则的最大值为（　　） A．3 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】如图1，过点作于，以点为圆心，以为半径作圆，由勾股定理得：，为的中位线，当点，在上运动时，点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，根据“两点之间线段最短”得：，如图2：此时，即的最大值为4，由此即可求解． 【详解】解：如图1，过点作于，以点为圆心，以为半径作圆， ∵为的直径， ∴， 在中，，，由勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴为的中位线， ∴，即弦的弦心距， ∵点为的中点， ∴为弦的弦心距， ∵， ∴， ∴当点，在上运动时，点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，根据“两点之间线段最短”得：， ∴当点在的延长线上时，为最大， 如图2：此时，即的最大值为4， 故选：B． 二、填空题 4．如图，是的外接圆，沿折叠，劣弧恰好经过圆心O，且与相交于点D，若，，则的半径为________，的长为________． 【答案】 / 【分析】作，交于点E，根据垂径定理和折叠的性质可得，再根据勾股定理求出半径；连接，并延长交于点G，可得，进而求出，然后说明，接下来根据特殊角三角函数求出，再根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质求出，然后过点B作，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，进而得出，最后根据勾股定理得出答案． 【详解】解：如图所示，过点O作，交于点E， ∴． 根据勾股定理，得， 即， 解得，负值舍去； 连接，并延长交于点G， ∵是的直径， ∴． ∵， ∴， 则点D和点G关于对称， ∴． 在中，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 过点B作，于点H， 在中，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴． 根据勾股定理，得， 即． 5．如图，、是以为直径的上的两个动点（点、不与、重合），在运动过程中，弦的长度始终保持不变，是的中点，过点作弦于点．若，，则面积的最大值是__________． 【答案】16 【分析】连接，作于，根据已知条件利用垂径定理可得为的中点，再由为中点，得出为的中位线，从而证得，由相似比的平方等于面积比得到，进而得到当最大时，有最大值，根据两点之间线段最短及垂线段最短可得，当点、、三点共线时，取最大值，从而求得的面积最大值． 【详解】解：如图，连接，作于，连接、、、， ∵，为圆的直径， 由垂径定理可知，为的中点， ∵为中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，有最大值， ∵点是的中点，过圆心，， ∴，， ∴ 根据两点之间线段最短及垂线段最短可得，当点、、三点共线时，取最大值， ∴， ∴，即的面积最大值为， 故答案为：． 三、解答题 6．如图，为的直径，弦于点（为线段上一点），为上一点（点，均不与端点重合），连接，，射线交于点，与射线交于点，且． (1)求证：． (2)若，，求的值． (3)当点为的中点时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【详解】（1）证明：为的直径，弦于点， 垂直平分， ，，． ， ， ． （2）解：， ．设，则， 在中，， ， 解得，即， ， ． （3）证明：为的直径， ， ， ． ， ， ， ， 又， ． 7．【问题探究】 (1)如图1，是的弦，半径于点D，且，，则的长是______； (2)如图2，已知，M、N分别为射线上的动点，P为内一点，连接，且为定长．当的周长取得最小值时，求的度数； 【问题解决】 (3)如图3，某地有一片圆形湿地，其中的半径为，现想在这片湿地上修建一个形如四边形的“探秘湿地”综合实践活动区，四边形内接于，且，计划沿修建绿色长廊，圆心O为教育中心，教育中心O到绿色长廊的距离为．按照设计要求，现要分别在线段上确定点M、N（不与端点重合），沿的一周（）修建步道．为节约成本，需要三条步道的长度和（的周长）尽可能的短．请问这三条步道的长度和是否存在最小值？若存在，请求出这三条步道长度和的最小值；若不存在，请说明理由．（教育中心的大小、绿色长廊及步道的宽度均忽略不计） 【答案】(1)24 (2) (3) 【分析】（1）连接，求出的长，再由勾股定理求出的长即可得到答案； （2）分别作点P关于直线的对称点C，D，连接， 由轴对称的性质可得， ，则当C、M、N、D四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值；可证明是等边三角形，得到，当的周长有最小值时，由轴对称的性质可得，据此可得答案； （3）过点O作于点H，由垂径定理和勾股定理可求出；分别作点D关于直线的对称点G，E，连接，同理可得当E、M、N、G四点共线时，的周长最短，最短为的长，过点C作于点F，则， ，由勾股定理得，则，即这三条步道长度和的最小值为． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，分别作点P关于直线的对称点C，D，连接， 由轴对称的性质可得， ， ∴的周长， ∴当C、M、N、D四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值； ∵， ∴， ∴； 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴当的周长有最小值时，， 由轴对称的性质可得， ∴； （3）解：如图所示，过点O作于点H， ∴， ∵，教育中心O到绿色长廊的距离为， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； 如图所示，分别作点D关于直线的对称点G，E，连接， 由轴对称的性质可得， ，， ∴ ， ∴， 同理可得当E、M、N、G四点共线时，的周长最短，最短为的长， 如图所示，过点C作于点F， ∴， ， ∴， ∴， ∴这三条步道长度和的最小值为． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 垂径定理 同步练习 好 题 冲 关 基础达标 一、选择题 1．如图，在中，的半径长为，圆心到的距离，则弦的长为（   ） A．8 B． C．4 D． 2．如图，是的弦，半径，垂足为点，设的半径为，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 3．如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．下列说法正确的是（   ） A．有三个角相等的四边形是矩形 B．三角形的内心到三角形三边距离相等 C．平分弦的直径垂直于这条弦 D．两直线平行，同旁内角相等 5．如图，是的弦，半径于点，若，，则半径的长为（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知是的直径，是的弦，，垂足为．若，，则 （  ） A． B． C． D． 7．如图，在中，按下列步骤作图：①在边上取一点C，以C为圆心，长为半径画，交于点D；②分别以O，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G，连接交于点E，交于点F，若，，则的长为（   ）． A．4 B．3 C．2 D．1 8．如图，是的直径，弦，垂足为点，连接，．若，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，是的弦，点是的中点，交于点．若，，则的半径为________． 10．如图，在中，弦的长为8，的度数为，，则半径为_____． 11．当把一个篮球放入静止的水中时，篮球静止后会漂浮在水面上，且有一部分在水面之下．如图，可以将篮球的竖直横截面看作半径为的，水面与篮球接触面形成的弦长为，测得篮球露出水面的高度为，经过圆心O，且垂直于，则弦长为_________． 12．如图，为的弦，直径于点，，，则的半径为_______． 三、解答题 13．如图，在中，半径为5， (1)请用尺规作图法过点O作的垂线，交于点C，交劣弧于点D，保留作图痕迹（不写作法）； (2)求的长． 14．已知，如图，线段是的直径，弦于点．若，，则的半径为多少？ 15．如果一个三角形一条边上的高等于这条边的一半，那么这个三角形叫做“半高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“半底”． (1)如图1，是以为“半底”的“半高底”三角形，已知，求的长； (2)如图2，是的一条弦，用无刻度直尺和圆规作图，在圆上确定一个点，使得是以为“半底”的“半高底”三角形（保留作图痕迹，无需写作法）． 能力提升 1、 选择题 1．如图，已知的半径为10，弦，点C是上一点，且，则的长为（    ） A．8 B． C． D． 2．如图，已知是的直径，弦交于点E，，， ，则（    ） A． B． C． D． 3．将一个半径为的半圆O，如图折叠，使弧经过点O，则折痕的长度为（   ） A． B． C． D． 4．水车是中国古代重要的灌溉工具，罗江太平廊桥旁也保留了几座大水车．图1是某种型号水车的示意图，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘，它的边缘平均分布了12个水斗，这些水斗随轮盘转动而升降．如图2，在水车顺时针转动时，其中的1个水斗在点处放空水，同时有1个水斗刚好在点处接触水面，中间还有2个水斗，已知外围轮盘半径为，点到水面的距离为，则水面宽度为（）       A． B． C．或 D．或 5．如图，是半径为的的一条弦，点在上，过点作的垂线交于点，，则的最大值是（   ） A．16 B．17 C．18 D．19 2、 填空题 6．《弧矢算术》为明代数学家顾应祥所撰，该著作系统整理了“径矢求弦、径弦求矢、弦矢求径”等10余类问题，是中国古代切割圆形进行计算的重要方法，对当时的工程测量、历法计算具有重要实用价值．其中有一题目为：“圆径十寸，从旁截一弧，矢阔一寸．问：截弦？”．题意为：如图，是的直径，弦于点E．若，，则的长为_____． 7．如图是一条隧道的横截面，它是以点为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且米，的半径长为5米，则隧道的高为______米． 3、 解答题 8．如图，在中，弦的长为，，令． (1)用含和的代数式表示的半径； (2)过点作，交的延长线于点，当时，求的正切值． 9．如图，是的直径，是的弦，于点，是的中点，连接． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 10．如图，弓形弦长米，高米，有一内接矩形，边在上，顶点E、H在弓形弧上，边的长比的2倍多4米． (1)求该弓形所在圆的半径； (2)求的长． 拓展培优 一、选择题 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦的中点，当C、D两点在圆上运动时，面积的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列说法中，错误的是（   ） A．平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦 B．平分弧的直径垂直于这条弧所对的弦 C．垂直于弦的直线必经过圆心 D．弦的垂直平分线必经过圆心 3．如图，内接于为的直径，点D，E分别为上的动点（不与点A，点B，点C重合），且，F为的中点，分别连接，若，则的最大值为（　　） A．3 B．4 C．4.5 D．5 二、填空题 4．如图，是的外接圆，沿折叠，劣弧恰好经过圆心O，且与相交于点D，若，，则的半径为________，的长为________． 5．如图，、是以为直径的上的两个动点（点、不与、重合），在运动过程中，弦的长度始终保持不变，是的中点，过点作弦于点．若，，则面积的最大值是__________． 三、解答题 6．如图，为的直径，弦于点（为线段上一点），为上一点（点，均不与端点重合），连接，，射线交于点，与射线交于点，且． (1)求证：． (2)若，，求的值． (3)当点为的中点时，求证：． 7．【问题探究】 (1)如图1，是的弦，半径于点D，且，，则的长是______； (2)如图2，已知，M、N分别为射线上的动点，P为内一点，连接，且为定长．当的周长取得最小值时，求的度数； 【问题解决】 (3)如图3，某地有一片圆形湿地，其中的半径为，现想在这片湿地上修建一个形如四边形的“探秘湿地”综合实践活动区，四边形内接于，且，计划沿修建绿色长廊，圆心O为教育中心，教育中心O到绿色长廊的距离为．按照设计要求，现要分别在线段上确定点M、N（不与端点重合），沿的一周（）修建步道．为节约成本，需要三条步道的长度和（的周长）尽可能的短．请问这三条步道的长度和是否存在最小值？若存在，请求出这三条步道长度和的最小值；若不存在，请说明理由．（教育中心的大小、绿色长廊及步道的宽度均忽略不计） 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $