专题3.4 圆周角和圆心角的关系 讲义-2025-2026学年北师大版数学九年级下册

圆周角和圆心角的关系 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 圆周角 考点梳理 1. 圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2. 圆周角定理 （1）圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半．如图，=． （2）同弧或等弧所对的圆周角相等．如图，⇒=． （3）直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 如上图，AB是直径⇒= =90°；=90°⇒AB是直径． 3. 圆周角与圆心角的区别 圆心角 圆周角 区别 顶点在圆心 顶点在圆上 在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的 在同圆中，一条弧所对的圆心角有无数个 联系 两边都与圆相交 典例引领 考向01 求圆弧的度数 【例1】如图，是半圆的直径，点在半圆上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 考向02 圆周角的概念辨析及简单运算 【例2】判断下列图形中的角是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 考向03 圆周角定理 【例3】如图，点，，在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 考向04 同弧或等弧所对的圆周角相等 【例4】如图，是的直径，，则的度数是（   ） A．10° B． C．30° D．40° 考向05 半圆（直径）所对的圆周角是直角 【例5】如图，内接于⊙，若，，则的半径为_____． 考向06 90°的圆周角所对的弦是直径 【例6】如图，为直角三角形，，圆O是的外接圆，D是弧上一点，是圆O的切线，交的延长线于点E，，连接交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长． 对点提升 【对点1】如图，已知，是的两条直径，弦的度数为，则的度数为___． 【对点2】下列命题中，正确的结论有（   ） 顶点在圆周的角是圆周角；相等的圆心角，所对的弧也相等； 两条弦相等，它们所对的弧也相等；在等圆中，圆心角相等，所对的弦也相等． A．个 B．个 C．个 D．个 【对点3】如图，是四边形的外接圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【对点4】 如图，⊙O为 的外接圆，为⊙O直径，，点D在劣弧上， 交于E，连接． (1)求证: (2)若 求⊙O的半径． 【对点5】如图，为的直径，四边形内接于，连接，，与交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【对点6】已知直线和直线互相垂直，垂足为，且直线过定点，在此坐标系中有一个固定的点，下面关于的长描述正确的是（　　） A．最大值为16 B．最小值为9 C．的取值范围是 D．的取值范围是 考点02 圆内接四边形 考点梳理 1. 圆内接四边形的定义 如果一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆． 2. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补； 拓展：圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角． 注意在构造直角三角形时，要注意角度拆分的应用. 典例引领 考向01 已知圆内接四边形求角度 【例1】如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 考向02 求四边形外接圆的直径 【例2】如图，是直径，E、D是上两点，延长与交于C，且． (1)求证：． (2)若，，求． 对点提升 【对点1】如图，四边形是平行四边形，经过点A、B、C，且与边交于点E，连接．若，则的度数为______． 【对点2】如图，四边形的四个顶点均在上，，若是的中点，且，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆周角和圆心角的关系 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 圆周角 考点梳理 1. 圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2. 圆周角定理 （1）圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半．如图，=． （2）同弧或等弧所对的圆周角相等．如图，⇒=． （3）直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 如上图，AB是直径⇒= =90°；=90°⇒AB是直径． 3. 圆周角与圆心角的区别 圆心角 圆周角 区别 顶点在圆心 顶点在圆上 在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的 在同圆中，一条弧所对的圆心角有无数个 联系 两边都与圆相交 典例引领 考向01 求圆弧的度数 【例1】如图，是半圆的直径，点在半圆上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理(直径所对的圆周角为直角，圆周角的度数等于所对弧度数的一半)，关键是利用直径的性质和圆周角与弧的度数关系求解． 【详解】解：如图，连接． ∵是半圆的直径， ∴． ∵， 在中，． ∴的度数为； 故选：C． 考向02 圆周角的概念辨析及简单运算 【例2】判断下列图形中的角是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：根据圆周角的定义可知，选项D中的角是圆周角． 考向03 圆周角定理 【例3】如图，点，，在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得． 考向04 同弧或等弧所对的圆周角相等 【例4】如图，是的直径，，则的度数是（   ） A．10° B． C．30° D．40° 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和，等弧对等角，直径对的角是直角，熟练掌握相关知识是解题的关键；先求出，再根据等弧对等角即可解答． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴． 考向05 半圆（直径）所对的圆周角是直角 【例5】如图，内接于⊙，若，，则的半径为_____． 【答案】 【分析】连接并延长，交于点，连接，根据圆周角定理可知，根据直径所对的圆周角是直角可得，可得，求出直径，根据直径与半径的关系即可求出的半径． 【详解】解：如下图所示，连接并延长，交于点，连接， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 的半径为． 考向06 90°的圆周角所对的弦是直径 【例6】如图，为直角三角形，，圆O是的外接圆，D是弧上一点，是圆O的切线，交的延长线于点E，，连接交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明是圆O的直径，得到，利用切线的性质得到．因为，所以可利用平行线的判定得到，结合圆的性质进而推导与的关系． （2）结合与的位置关系，可利用垂径定理相关性质．设的长度为未知数，结合已知、的长度，再证明，可利用相似三角形的性质建立方程求解． 【详解】（1）证明：∵圆O是的外接圆，， ∴是圆O的直径， ． 是圆O的切线， ． ， ， ， ． ， ∴， ． （2）， ． 设，则，． ，， 又∵ ， ∴， ，即， ， 解得或（舍去）， ． 对点提升 【对点1】如图，已知，是的两条直径，弦的度数为，则的度数为___． 【答案】55 【分析】连接，由求得，根据，得到，再利用对顶角相等，即可得到的度数． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为， 故答案为：． 【对点2】下列命题中，正确的结论有（   ） 顶点在圆周的角是圆周角；相等的圆心角，所对的弧也相等； 两条弦相等，它们所对的弧也相等；在等圆中，圆心角相等，所对的弦也相等． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了与圆有关的定理和推论，包括圆周角、圆心角、弦和弧的关系，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据定义和性质逐一判断即可． 【详解】解：由圆周角定义要求顶点在圆上且两边都与圆相交，命题中“顶点在圆周的角”未指定两边都与圆相交，故错误； 由相等的圆心角所对的弧相等需在同圆或等圆中，命题未指定条件，故错误； 由两条弦相等所对的弧相等需在同圆中且考虑弧的类型（优弧或劣弧），命题未指定，故错误； 由在等圆中，圆心角相等则所对的弦也相等，命题正确； ∴正确的结论有个． 故选：． 【对点3】如图，是四边形的外接圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆内接四边形对角互补求出的度数，再利用圆周角定理求出的度数即可． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ， ， ， 与是同弧所对的圆心角与圆周角， ． 故选：B． 【对点4】 如图，⊙O为 的外接圆，为⊙O直径，，点D在劣弧上， 交于E，连接． (1)求证: (2)若 求⊙O的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先通过圆周角定理，得到，再利用，得到是等腰直角三角形，利用同弧所对圆周角相等，得到是等腰直角三角形，最后通过手拉手模型证明全等即可； （2）借助（1）中的全等关系，求出的长，利用勾股定理求出，从而得到，再利用勾股定理求出，即可求出半径． 【详解】（1）证明：∵为直径， ∴， ∵， ∴， 对于同弧所对圆周角，， 又， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【对点5】如图，为的直径，四边形内接于，连接，，与交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径长为 【分析】（1）由是直径推出，结合已知，推出，垂直于弦 ，所以，最后根据 “等弧对等弦”即可求证； （2）由 ，得， 设半径，则， 在中利用勾股定理列方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：为的直径， ， 即， ， ， ∴平分弧， ； （2）解：，， ， 设， ， ， 在中，由勾股定理得： ， 即， 解得， 即的半径长为． 【对点6】已知直线和直线互相垂直，垂足为，且直线过定点，在此坐标系中有一个固定的点，下面关于的长描述正确的是（　　） A．最大值为16 B．最小值为9 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】B 【分析】根据圆周角定理可得的轨迹是以为直径的圆，求出圆心和半径，结合勾股定理计算定点到圆心的距离，即可求出的最值，得到结果． 【详解】解：∵直线恒过定点，直线恒过定点，且，垂足为， ∴，， ∴点在以为直径的圆上， 如图，取的中点C， ∵， ∴圆心为中点，坐标为，圆C的半径为4， ∵， 由勾股定理得：， ∴的最大值为，的最小值为， 即的取值范围是． 所以选项B正确，选项A、C，D错误． 考点02 圆内接四边形 考点梳理 1. 圆内接四边形的定义 如果一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆． 2. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补； 拓展：圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角． 注意在构造直角三角形时，要注意角度拆分的应用. 典例引领 考向01 已知圆内接四边形求角度 【例1】如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据圆周角定理求得，然后根据圆内接四边形对角互补即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． 考向02 求四边形外接圆的直径 【例2】如图，是直径，E、D是上两点，延长与交于C，且． (1)求证：． (2)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等边对等角可得，由圆内接四边形的性质可得，从而得出，即可得证； （2）连接，由圆周角定理可得，由等腰三角形的性质可得，证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图：连接， ， ∵是直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 对点提升 【对点1】如图，四边形是平行四边形，经过点A、B、C，且与边交于点E，连接．若，则的度数为______． 【答案】72 【分析】由平行四边形的性质可得，，由圆内接四边形的性质可得，再由平行线的性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵， ∴． 【对点2】如图，四边形的四个顶点均在上，，若是的中点，且，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，利用方程解决问题，熟练掌握相关知识是解题的关键；连接，设的半径为，根据垂径定理得，列关于半径的方程求解即可． 【详解】解：连接，设的半径为， 则，， ，， ， 是的中点， ， ， 在中，， 解得， 即的半径为， 故选：C． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $