第11讲 确定圆的条件（知识详解+典例分析+习题巩固）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年北师大版数学九年级下册重难点讲义与测试

本初中数学讲义聚焦确定圆的条件及三角形外接圆核心知识点，从过一点、两点、不在同一直线三点作圆的条件与作法切入，逐步延伸至三角形外接圆定义、外心性质，构建从基础作图到几何应用的学习支架。 资料以知识详解、典例分析、习题巩固分层设计，典例涵盖定义辨析、坐标计算等多元题型，通过网格作图培养几何直观（数学眼光），切线证明题训练逻辑推理（数学思维）。课中助教师突破重难点，课后分层习题帮学生查漏补缺，强化应用意识。

第11讲 确定圆的条件（知识详解+典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：圆的确定 知识点02：三角形的外接圆 典例分析 （举三反三） 考点1：三角形外接圆 习题巩固 一、单选题（6） 二、填空题（6） 三、解答题（6） 【知识点01】圆的确定 1. 过已知点作圆 条件 作法 作圆的个数 图示 过一点A作圆 以点A 以外的任意一点为圆心，以该点与点A 的距离为半径作圆 无数个 条件 作法 作圆的个数 图示 过两点A， B 作圆 连接AB，作线段AB 的垂直平分线l，以其垂直平分线上任意一点为圆心，以该点与点A(或点B)的距离为半径作圆 无数个 过不在同一条直线上的三点 A，B，C作圆 连接AB，BC，分别作线段AB，BC 的垂直平分线DE 和FG，DE和FG 相交于点O，以O 为圆心，以OA (或OB，OC)的长为半径作圆，⊙ O 就是所求作的圆 一个 【知识点02】三角形的外接圆 1. 三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.“接”是指三角形的三个顶点都在圆上. 2. 三角形的外心 (1)定义：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心. (2)性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径. 【题型一】三角形外接圆 【典例1-1】（24-25九年级上·陕西延安·期末）三角形的外心是（   ） A．三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三边高线的交点 D．三角形三条中线的交点 【典例1-2】（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，外接圆的圆心坐标为 ． 【典例1-3】（25-26九年级上·广东惠州·期末）如图，在的网格图中，每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形顶点称为格点，的顶点均在格点上． (1)作图：①将绕点C逆时针旋转，得到，画出； ②画出三角形的外接圆； (2)求的面积． 【变式1-1】（24-25九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1-2】（24-25九年级下·四川成都·月考）如图，正三角形的边长为，则它的外接圆的半径为 ． 【变式1-3】（24-25九年级上·北京·期中）如图，在中，，平分交于点，点在上，． (1)求证：是的外接圆的切线； (2)若，，求的长． 一、单选题 1．（25-26九年级上·江苏常州·月考）三角形的外心是三角形中（　　） A．三条高的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 2．（25-26九年级上·浙江舟山·月考）在中，两直角边分别为6和8，那么这个三角形的外接圆直径是（    ） A．5 B．4 C．10 D．8 3．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山东滨州·月考）已知半径为5的是的外接圆，若，则劣弧的长为（   ） A． B． C． D． 5．（2025九年级上·广东广州·专题练习）如图，点为的外心，点为的内心，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，点是的外心，连接，，，则下列选项不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）直角三角形的两直角边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于 ． 8．（25-26九年级上·北京·期中）已知圆的半径为4，内接锐角三角形中，，则边长为 ． 9．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，则能完全覆盖的最小圆的半径为 ． 10．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ． 11．（25-26九年级上·河南信阳·期中）直角三角形的两直角边长是一元二次方程 的两根，则该三角形外接圆的半径是 ． 12．（25-26九年级上·贵州黔东南·月考）如图，点E是四边形的边上一点，，，，，则的外接圆面积等于 ． 三、解答题 13．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在的方格纸中，已知是格点三角形（顶点均在格点上），请按要求作图． (1)在图1中标出外接圆的圆心O． (2)在图2中画格点线段，使得把分为的两条线段． 14．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心； (2)若方格纸中每个小正方形的边长为2，求外接圆半径的长． 15．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在中，是它的外心，，到的距离是，求的外接圆的半径． 16．如图，在中，，垂足是点D． (1)利用尺规作的外接圆（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)作直径，连接，求证：． 17．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）如图，在中，于点D，，． (1)求的长； (2)若，求外接圆的半径． 18．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，的三个顶点在同一个圆上，，，分别为，的中点．请仅用无刻度直尺完成以下作图． (1)在图1中作圆心． (2)在图2中作弦左上方的弧的中点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 确定圆的条件（知识详解+典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：圆的确定 知识点02：三角形的外接圆 典例分析 （举三反三） 考点1：三角形外接圆 习题巩固 一、单选题（6） 二、填空题（6） 三、解答题（6） 【知识点01】圆的确定 1. 过已知点作圆 条件 作法 作圆的个数 图示 过一点A作圆 以点A 以外的任意一点为圆心，以该点与点A 的距离为半径作圆 无数个 条件 作法 作圆的个数 图示 过两点A， B 作圆 连接AB，作线段AB 的垂直平分线l，以其垂直平分线上任意一点为圆心，以该点与点A(或点B)的距离为半径作圆 无数个 过不在同一条直线上的三点 A，B，C作圆 连接AB，BC，分别作线段AB，BC 的垂直平分线DE 和FG，DE和FG 相交于点O，以O 为圆心，以OA (或OB，OC)的长为半径作圆，⊙ O 就是所求作的圆 一个 【知识点02】三角形的外接圆 1. 三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.“接”是指三角形的三个顶点都在圆上. 2. 三角形的外心 (1)定义：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心. (2)性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径. 【题型一】三角形外接圆 【典例1-1】（24-25九年级上·陕西延安·期末）三角形的外心是（   ） A．三角形三边垂直平分线的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三边高线的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知三角形外心的定义是解答此题的关键．直接根据外心的定义进行解答即可． 【详解】解：∵三角形三边垂直平分线的交点叫三角形的外心， ∴三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点． 故选：A． 【典例1-2】（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，外接圆的圆心坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线及三角形的外心．三角形三边的垂直平分线的交点是三角形的外心．解决本题需仔细分析三条线段的特点．利用网格，作线段线段的垂直平分线相交于D，再根据图形写出点D的坐标即可． 【详解】解：作线段、线段的垂直平分线相交于点D，如图， 由图可得点D的坐标为：， 故答案为：． 【典例1-3】（25-26九年级上·广东惠州·期末）如图，在的网格图中，每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形顶点称为格点，的顶点均在格点上． (1)作图：①将绕点C逆时针旋转，得到，画出； ②画出三角形的外接圆； (2)求的面积． 【答案】(1)①见解析，②见解析 (2) 【分析】本题考查网格作图，熟练掌握图形的旋转性质，三角形外接圆性质，三角形面积公式，是解题的关键． （1）①根据旋转的性质作图即可；②根据三角形外接圆性质作图即可； （2）连接，根据三角形的面积公式，求解即可． 【详解】（1）①将点A、B绕点C逆时针旋转得到， 连接，得到, 如图所示： ②分别取边垂直平分线上的格点， 作边的垂直平分线相交于点O， 以O为圆心长为半径画圆， 得到的外接圆，如图所示： （2）连接， ∴的面积为． 【变式1-1】（24-25九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用．根据图形作线段的垂直平分线，与的垂线平分线的交点即为圆心，根据图形得出即可． 【详解】解：如图： 作线段的垂直平分线，与的垂线平分线交于点E，即为弧的圆心， 故选：B． 【变式1-2】（24-25九年级下·四川成都·月考）如图，正三角形的边长为，则它的外接圆的半径为 ． 【答案】 【分析】连接，过点作于点，根据垂径定理求出，根据圆周角定理求出，进而求出，最后根据余弦的定义解答即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 则， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理、垂径定理、等边三角形的性质、余弦的定义，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式1-3】（24-25九年级上·北京·期中）如图，在中，，平分交于点，点在上，． (1)求证：是的外接圆的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，由，根据圆周角定理可得为的外接圆的直径，点为的外接圆的圆心，再证明，根据平行线的性质得到，于是可根据切线的判定定理判断即可求解． （2）设的半径为，根据勾股定理求得，根据平行线分线段成比例定理来求解． 【详解】（1）证明：取的中点，连接，如图， ， ， 为的外接圆的直径，点为的外接圆的圆心． 平分， ． ， ， ， ， ， ， 是的外接圆的切线． （2）解：设的外接圆的半径为 在中， ， 即， 解得． ， ， 即， ． 【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可，也考查了勾股定理和平行线分线段成比例定理，圆周角定理． 一、单选题 1．（25-26九年级上·江苏常州·月考）三角形的外心是三角形中（　　） A．三条高的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的外心的定义． 根据三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点作答即可． 【详解】三角形的外心是三角形中三边垂直平分线的交点， 故选：D． 2．（25-26九年级上·浙江舟山·月考）在中，两直角边分别为6和8，那么这个三角形的外接圆直径是（    ） A．5 B．4 C．10 D．8 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，求特殊三角形的外接圆直径． 根据勾股定理可得的斜边长，即为这个三角形的外接圆直径． 【详解】解：∵在中，两直角边分别为6和8， ∴斜边长为 ， ∵的圆周角所对的弦是直径， ∴这个三角形的外接圆直径是． 故选：C． 3．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直角三角形的外心与斜边中点重合，因此外心到直角顶点的距离正好是斜边的一半；由勾股定理易求得斜边的长，进而可求出外心到直角顶点C的距离． 【详解】解：∵中，，，， ， 斜边上的中线长， 因而外心到直角顶点C的距离等于斜边的中线长. 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的外接圆半径的求法，熟记直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，以斜边的一半为半径的圆是解题关键． 4．（24-25九年级上·山东滨州·月考）已知半径为5的是的外接圆，若，则劣弧的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查三角形的外接圆，圆周角定理，弧长，关键是根据圆周角定理和弧长公式解答． 根据圆周角定理和弧长公式解答即可． 【详解】解：根据题意，画图如下，连接： ∵， ∴， ∴劣弧的长， 故选：C． 5．（2025九年级上·广东广州·专题练习）如图，点为的外心，点为的内心，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的外心与内心的性质，熟练掌握三角形的外心与内心的性质是解题的关键；连接，由外心的性质可知，根据内心的性质可知，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由内心可知：分别是内角的角平分线， ∵点O为的外心，， ∴根据圆周角定理可知：， ∴， ∵分别是的角平分线， ∴， ∴， ∴； 故选A． 6．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，点是的外心，连接，，，则下列选项不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心，圆周角定理，等边对等角．根据三角形外心的性质，圆周角定理求得，，据此求解即可判断． 【详解】解：∵点是的外心，如图， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 不能证明， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 二、填空题 7．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）直角三角形的两直角边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于 ． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理以及三角形外接圆的性质，难度不大，注意直角三角形的斜边是其外接圆的直径是解题的关键. 由直角三角形的两直角边长分别为6，8，利用勾股定理可求得其斜边；又由直角三角形的斜边是其外接圆的直径，即可求得答案． 【详解】∵直角三角形的两直角边长分别为6，8， ∴斜边长为：   ∴这个三角形的外接圆半径是， 故答案为5． 8．（25-26九年级上·北京·期中）已知圆的半径为4，内接锐角三角形中，，则边长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了圆内接三角形，圆周角定理，含角的直角三角形的性质，过点A作直径，连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据圆周角定理求出，根据含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点A作直径，连接， 则，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 9．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，则能完全覆盖的最小圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外心的确定方法是解题的关键． 作线段的垂直平分线，交于点，再根据勾股定理计算，即可得到答案． 【详解】解：作线段的垂直平分线，交于点，如图所示： 则点即为能完全覆盖的最小圆的圆心， 能完全覆盖的最小圆的半径为：， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在中，，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理．求出的外接圆半径即可． 【详解】解：作于D，如图， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴的外心O在上， 连接，设的外接圆的半径为r，则 在中，，解得， ∵能够完全覆盖这个三角形的最小圆为的外接圆， ∴能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径为． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·河南信阳·期中）直角三角形的两直角边长是一元二次方程 的两根，则该三角形外接圆的半径是 ． 【答案】5 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，勾股定理和三角形的外接圆，利用韦达定理和代数式变形求出斜边长是解题关键． 直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半．两直角边是方程的两个根，利用根与系数的关系求出两直角边的和与积，再通过勾股定理求出斜边长度，进而得到半径． 【详解】解：设两直角边分别为 和 ，则根据根与系数的关系，有 ，． 由勾股定理可得，斜边 ． ∵， ∴ ， ∵直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半， ∴外接圆半径， 故答案为：5． 12．（25-26九年级上·贵州黔东南·月考）如图，点E是四边形的边上一点，，，，，则的外接圆面积等于 ． 【答案】 【分析】连接，，作的外接圆，圆心为，连接，，由，得，，结合，得出，由角的差得，故，可证，得，结合得，由圆周角定理可得，结合，由勾股定理得半径为，利用圆的面积公式即可得出． 【详解】解：如图，连接，，作的外接圆，圆心为，连接，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴，解得， 即的半径为， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理，证明并推导出是解题的关键． 三、解答题 13．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在的方格纸中，已知是格点三角形（顶点均在格点上），请按要求作图． (1)在图1中标出外接圆的圆心O． (2)在图2中画格点线段，使得把分为的两条线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了网格作图、三角形外接圆的圆心、勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形外接圆的圆心、相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离都等于半径的长度，结合网格，利用勾股定理找出点O，使得； （2）利用网格，在过点C且平行于的网格线上找到点D，使得，即点C向上4个单位的点D，则，结合网格特征，，证明，故，即把分为的两条线段，进行作答． 【详解】（1）解：根据三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离都等于半径的长度，可得如图，点O即为所求作； （2）解：如图，线段即为所求作： 14．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心； (2)若方格纸中每个小正方形的边长为2，求外接圆半径的长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查作图应用与设计作图，三角形的外接圆等知识，解题的关键是理解三角形外接圆的圆心的三边垂直平分线的交点． （1）线段，的垂直平分线的交点即为所求； （2）连接，利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：连接． ． 故外接圆半径的长为． 15．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在中，是它的外心，，到的距离是，求的外接圆的半径． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外心的性质和勾股定理等知识的综合应用，根据外心的性质可知垂直平分，可知为直角三角形，，，由勾股定理可求半径． 【详解】解：为外心，， ，又， 由勾股定理，得 ， 的外接圆的半径是． 16．如图，在中，，垂足是点D． (1)利用尺规作的外接圆（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)作直径，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作的边的垂直平分线交于点O，再以点O为圆心，长为半径画圆，即可； （2）根据直径所对的圆周角是直角可得，再由，可得，再由，即可． 【详解】（1）解∶如图，即为所求； （2）证明：根据题意得：为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，三角形的外接圆，要熟记此题的作图方法，灵活运用相似三角形的判定定理是本题的关键． 17．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）如图，在中，于点D，，． (1)求的长； (2)若，求外接圆的半径． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，外接圆的半径，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先解求出，再由勾股定理求解； （2）在中运用勾股定理求解，再根据直角三角形外接圆半径等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）解：∵于点D，，， ∴, ∴ （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴外接圆的半径． 18．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，的三个顶点在同一个圆上，，，分别为，的中点．请仅用无刻度直尺完成以下作图． (1)在图1中作圆心． (2)在图2中作弦左上方的弧的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了特殊三角形的外心，垂径定理，中位线的性质，弧与圆周角的关系； （1）连接，交于点，连接并延长交于点，点即为所求； （2）作直线交于点，连接交于点，连接并延长交于点，则点即为所求． 【详解】（1）如图， 根据作图可得为的重心，则为的中点， 又， ∴点即为圆心； （2）解：如图所示， ∵分别为，的中点， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴点即为所求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $