第1讲 圆周角和圆心角的关系2024-2025学年北师大版数学九年级下册

第1讲 圆周角和圆心角的关系 1、 教学目标 1.理解圆周角的定义，掌握圆周角定理及其推论，并能进行简单的推理和计算。 2.知道圆内接四边形的相关概念和性质。 3.体会分类、归纳等数学思想方法，提高自己解决问题的能力。 二、知识精讲 知识点1 圆周角的定义 圆周角具备两个特征：①角的顶点在圆上；②角的两边都与圆相交（相交指的是除了顶点外，角两边分别与圆还有另一个交点）。 知识点2 圆周角定理 　1. 圆周角定理： 　　圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 2.圆周角定理的推论： 　　推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等； 推论2：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 知识点3 圆内接四边形 1.圆内接四边形定义： 四边形的四个顶点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 2.圆内接四边形性质： 圆内接四边形的对角互补 三、例题精析 【题型一： 圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用】 【例1】．如图，点A、B、C、D在⊙O上，BO∥CD，∠A＝25°，则∠O＝（　　） A．120° B．130° C．100° D．125° 【例2】．如图，AB是⊙O的直径，B是的中点，连接AC，OD，若∠CAB＝24°，则∠BOD＝（　　） A．48° B．24° C．66° D．33° 【变式1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OC，OD，BD，∠BCD＝105°，∠BOC＝2∠COD，则∠CBD的度数是（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【变式2】如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，若∠BCD＝38°，则∠ABD的大小为（　　） A．76° B．52° C．50° D．38° 【变式3】如图，AB为的直径，点C，D在上．若，则的度数是（    ） A．15° B．20° C．25° D．30° 【题型二：直径所对应的圆周角90°】 【例1】．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若∠BAC＝28°，则∠ADC的度数是（　　） A．28° B．82° C．72° D．62° 【例2】．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上AB的两侧，连接AC、BC、OD、CD，OD∥BC，若∠ODC＝20°，则∠BAC的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．65° 【变式1】．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上的两点，连接AD，CD，AC．若∠ADC＝110°，则∠BAC的大小为（　　） A．20° B．10° C．70° D．30° 【变式2】．如图，BC为⊙O的直径，D为的中点，，连接AB和AD，AD交BC于点E，则∠DEC的度数为（　　） A．115° B．110° C．105° D．100° 【变式3】．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠ABD＝20°，则∠BCD的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【题型三：圆的内接四边形】 【例1】．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝140°，则∠BOD的度数为（　　） A．40° B．80° C．140° D．160° 【例2】．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OC，OD，BD，∠BCD＝105°，∠BOC＝2∠COD，则∠CBD的度数是（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【变式1】．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝118°，则∠BOD的度数为（　　） A．100° B．124° C．118° D．120° 【变式2】．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AO，DO，已知△AOD是等边三角形，DO是∠ADC的平分线，则∠ABC＝（　　） A．30° B．40° C．60° D．80° 【变式3】．如图，在⊙O内接四边形ABCD中，若∠D＝50°，则∠B＝ 　 　． 【题型四：圆的综合训练】 【例1】．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB． （1）判断△ABC的形状，并给出证明． （2）若，，求弦BD和弦CD的长． 【例2】．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ADC，∠ABD＝∠CAD． （1）求∠BAD的大小； （2）过点C作CF∥AB交AD的延长线于点F．若AC＝AB，DF＝3，求圆的半径． 【变式1】．如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD． （1）求证：BE＝CE； （2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由； （3）若BC＝8，AD＝10，求CD的长． 【变式2】．如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E． （1）当BC＝1时，求线段OD的长； （2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； （3）设BD＝x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域． 【变式3】．如图，半径为2的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点． （1）求证：PA•PB＝PC•PD； （2）设BC的中点为F，连接FP并延长交AD于E，求证：EF⊥AD； （3）若AB＝8，CD＝6，求OP的长． 四、课堂训练 1．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，直线MN切⊙O于C点，图中与∠BCN互余的角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，△BCD内接于⊙O，∠D＝70°，OA⊥BC交⨀O于点A，连接AC，则∠OAC的度数为（　　） A．40° B．55° C．70° D．110° 3．如图，圆O是△ACD的外接圆，AB是圆O的直径，∠BAD＝48°，则∠C的度数是（　　） A．30° B．42° C．45° D．48° 4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，OP⊥AC交于点P，OP＝4，则⊙O的半径为（　　） A．8 B．12 C．8 D．12 5． 如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，∠ACB为锐角，若⊙O的半径为4，AB＝2，则tanC的值为 　 　． 6． 如图，等腰△ABC内接于圆⊙O，AB＝AC，∠ACB＝70°，则∠COB的度数是　 　． 7．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，BD为⊙O的直径，则⊙O的半径为　 　． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$