8.2.3倍角公式课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.2.3倍角公式 《人教B版2019高中数学必修第三册》 探究新知 如果在两角和的正弦公式Sα+β中，令β=α，则可得出求sin2a的公式， 即 sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα. 类似地，可得 cos2α=cos(α+α)=cosαcosα-sinαsin 因此 这3个公式称为倍角公式． 探究新知 需要注意的是，因为sin2+cos2=1，所以C2a也可改写为 例1 已知sin=,∈(, 解 因为sin=,∈(, cos=-=-=-, 因此 2sincos=2××(-- 1-2sin2=1-2×()= ==- 探究新知 例2  证明下列恒等式． (1) (2) 证明 (1) 左边= ==tanθ=右边。 （2）左边= = ===右边 例2的（2）中，也可以通过左右两边同时化简证得，请读者自行尝试． == 探究新知 例3 求函数y=2cos2x+sin2x−1的周期和最大值. 解 因为 y=2cos2x−1+sin2x =sin2x+cos2x =(sin2x+cos2x) =sin(2x+)， 因此，所求函数的周期为，最大值为. 探究新知 例4  已知函数f(x)=4sinxcosx−4cos2x+2,x∈[0,],求f(x)的值域. 解 因为 f(x)=4sinxcosx−4cos2x+2 =2sin2x-2cos2x-1) =2sin2x-2cos2x =4(sin2x-cos2x) =4sin(2x-) 又因为0≤x≤,所以 -≤2x-≤从而可知 sin(-)≤ sin(2x-)≤,因此-2≤f(x)≤4，故所求值域为：[-2,4] 探究新知 例5  如图8-2-4所示，已知ΔABC中，α为锐角，sinα=，D是AC边上一点,且AD=BD,求γ的正弦值.  解 因为sinα=∈（0，），所以 cosα= = 又因为AD=BD，所以β=α，因此γ=2α，从而 sinγ=sin2α=2sinαcosα= 阶段小结 1. 倍角公式: S2a=2sinacosa; C2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a; T2a= 2.余弦公式三形式选用技巧： (1)已知sina→用1-2sin2a (2)已知cosa→用2cos2a-1 (3)已知正余弦平方差→用cos2a-sin2a 3.本节例题题型： （1）直接给值求二倍角三角函数 （2）三角函数式化简 （3）三角恒等式证明 （4）三角函数性质问题（值域、最值、单调区间） 练习A ① 求下列各式的值. (1) 2sin 67°30'cos 67°30'; (2) cos2−sin2;(3)2cos2−1； (4)1−2sin275∘;(5)sin15∘cos15∘(6). 解 (1)2sin 67°30'cos 67°30'=sin135°= (2)cos2−sin2=cos= (3)2cos2−1=cos= 练习A ① 求下列各式的值. (1) 2sin 67°30'cos 67°30'; (2) cos2-sin2;(3)2cos2-1； (4)1-2sin275∘;(5)sin15∘cos15∘(6). 解 (4)1-2sin275∘=cos150∘=- (5)sin15∘cos15∘= (6)=tan45∘=1 练习A ② 已知tanα=，求tan2a的值． 解 tan2a= = = 练习A ③ 化简下列各式. (1)(sinα-cosα)2; (2)sincos; (3)cos4φ-sin4φ; (4)-. 解 (1)(sinα-cosα)2=sin2a-2sinacosa+cos2a=1-sin2a (2)sincos=sin (3)cos4φ-sin4φ=(cos2φ+sin2φ)(cos2φ-sin2φ)=cos2φ (4)-= = 练习A ④ 已知sinα=,且α∈(,π)，求cos2α，sin2α的值． 解 因为sinα=,且α∈(,π) 所以cosα=- cos2α=cos2α-sin2α=- sin2α=2sinαcosα=- 练习A ⑤ 已知sinα+cosα=，求sin2a的值． 解 已知sinα+cosα=，两边平方 得（sinα+cosα）2= 即 1+2sinαcosα= 所以，sin2α= 练习B ①求函数y=cos2x-sin2x的周期与最大值. 解 函数y=cos2x-sin2x=cos2x 所以 T== 最大值ymax=1 练习B ② 已知sinα-cosα=1，求cos2a的值． 解 将sinα-cosα=1两边同时平方有 （sinα-cosα）2=1 展开得：sin2α-2sinαcosα+cos2α=1 所以：2sinαcosα=0，即sin2α=0 由cos22α=1-sin22α，得cos2a=±1 练习B ③求cos20∘cos40∘cos80∘的值．（提示：乘以并除以sin20°.） 解 cos20∘cos40∘cos80∘= = = ===1 练习B ④ 已知等腰三角形的顶角的余弦等于，求这个三角形一个底角的正弦和余弦. 解 设等腰三角形的顶角为α，底角为β，则有α+2β=，即β=- 已知cosα=，且α∈(0，)： sinβ=sin(-)=cos,由cos2==,因为∈(0，) 所以cos=,即sinβ= cosβ=cos-)=,由sin2==,因为∈(0，) 所以=,即cosβ= 练习B ⑤ 求函数y=1-2sin2x-sin2x的周期、最值和最值点. 解 因为1-2sin2x=cos2x,所以 y=cos2x-sin2x 再用辅助角公式，得 y=cos(2x+) 周期：T== 最大值：，当2x+=2k，即x=k-(k∈Z)时取得 最小值：-，当2x+=+2k，即x=k+(k∈Z)时取得 阶段小结 公式重要变形: (1)降幂公式(扩角):sin2a=,cos2a= (2)升幂公式(缩角):1+cos2a=2cos2a,1-cos2a=2sin2a (3)经典配方变形：1±sin2a=(sina±cosa)2 (4)公式逆用：sinacosa=sin2a;=tan2a;cos2a-sin2a=cos2a 辅助角公式：形如“asinx+bcosx”的式子的化简 asinx+bcosx=φ)(其中sinφ=,cosφ=)或者 asinx+bcosx=φ)(其中sinφ=,cosφ=) 巩固提升 1.已知,则tan2a= ;cos(2a-)= . 解析 由题意得cos,所以tana=-,所以 tan2a== 因为cos2a=1-2=-，sin2a=2sinacosa=-，所以 cos(2a-)=cos2acos+sin2asin=- - 巩固提升 2.已知=,则tana+= . 解析 ==cosa-sina=, 两边平方得（cosa-sina)2 =，化简得sinacosa=-, 所以tana+=+=-8 -8 巩固提升 3.化简-= . 解析 原式=-=2|cos4|-2|sin4+cos4|,因为 , 所以cos4<0,sin4+cos4<0, 所以原式=-2cos4+2(sin4+cos4)=2sin4 2sin4 巩固提升 4.已知sin2a=,则cos2(a-)= . 解析 cos2(a-)== == 规律总结 应用二倍角公式化简（求值）的策略 化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异。对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用。另外，还可以用弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂等方法。 巩固提升 5.已知sin(α-β)=,cosαsinβ=,则cos(2α+2β)= . 解析 因为sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=, 而cosαsinβ=，因此sinαcosβ=，则 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=,所以 cos(2α+2β)=cos2(α+β)=1-2sin2(α+β)= 巩固提升 6.o-4sin2ocoso 的值 解 原式=o-2sino2sinocoso =o-2sinosin30o =o-sino =2cos(o+30o) =2cos45o = 巩固提升 7.已知cos（a+）=,a∈(0,),则sin(2a-)= . 解 由题意可知cos2(a+）= =,则 ）=-sin2a=-,即sin2a= 因为cos（a+）=a∈(0,)，所以0<a<,2a∈(0,),可得 cos2a=,所以sin(2a-)=sin2acos-cos2asin= $