8.2.4. 三角恒等变换的应用 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.2.4三角恒等变换的应用 《人教B版2019高中数学必修第三册》 探究新知 前面我们学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，倍角公式，以及它们的一些应用，初步感受到了这些三角恒等变换在研究三角函数性质中的重要性.这里我们将继续学习前面所学公式的应用. 事实上，由C2α可得cosα=cos(2×)=1−2sin2因此2sin2=1−cosα，即sin2= ① 类似地，因为cosα=cos(2×)=2cos2−1所以有2cos2=1+cosα，即cos2=② ①②两个等式左边、右边分别相除，即可得tan2=. ③ 探究新知 例1 求证 (1) =tan; (2) =tan. 证明： (1) ===tan. (2) =tan. 另外，需要注意的是，①②③式中，左边都是平方的形式，但如果知道cosα的值和角的终边所在象限，就可以通过开方求得sin,cos,tan的值. sin2= ① cos2=② tan2=③ 探究新知 例如，由③可知tan215∘====(2-)2又因为tan15∘>0，所以tan15∘== 再例如，由①可知sin215∘===又因为sin15∘>0，所以sin15∘=== === 探究新知 一般地，①②③可以变形为 S :sin=± C :cos=± T:tan=± 其中根号前的正负号，由角所在象限确定．一般称这3个公式为半角公式. 因为 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ, cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ, 所以两式分别相加、相减之后整理可得 cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α−β)], ④ sinαsinβ=-[cos(α+β)−cos(α−β)]. ⑤ 探究新知 由此可知，在尝试与发现中， cosαcosβ=(+)=, sinαsinβ=−(−)=−. 类似地，由 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ 可得 sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α−β)], ⑥ cosαsinβ=[sin(α+β)−sin(α−β)]. ⑦ ④⑤⑥⑦的左边是积的形式，右边是和或差的形式，因此被称为积化和差公式. 探究新知 积化和差公式 cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α−β)], ④ sinαsinβ=-[cos(α+β)−cos(α−β)]， ⑤ sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α−β)], ⑥ cosαsinβ=[sin(α+β)−sin(α−β)]. ⑦ 半角公式S :sin=± C :cos=± T:tan=± 探究新知 例2 求函数f(x)=sin(x+)cosx的周期与最大值. 解 由积化和差公式可知 f(x)=[sin(2x+)+sin]=sin(2x+)+ 所以函数的周期为，最大值为+. 例2也可以借助Sα+β以及二倍角公式等求解,请读者自行尝试. 提示：先两角和正弦展开sin(x+)→乘以cosx→二倍角公式逆用→辅助角公式 cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α−β)], ④ 根据（4）式可知 f(x)=2cosxcos=cosx， 因此可知f(x)的最大值为1. 一般地，如果x=α+β, y=α-β，则α=, β=，从而④⑤⑥⑦可分别改写 cosx+cosy=2coscos, cosx−cosy=−2sinsin， sinx+siny=2sincos, sinx−siny=2cossin. 探究新知 一般地，如果x=α+β, y=α-β，则α=, β=，从而④⑤⑥⑦可分别改写 cosx+cosy=2coscos， cosx−cosy=−2sinsin， sinx+siny= 2sincos, sinx−siny= 2cossin. 这四个公式左边是和或差的形式，右边是积的形式，因此被称为和差化积公式. 探究新知 例3 求函数f(x)=sin(x+)+sin(x−)的周期与最大值. 解 由和差化积公式可知 f(x)=2sincos =2sin(x+)cos =sin(x+) 所以函数的周期为2，最大值为 例3也可借助Sα+β,Sα−β等求解，请读者自行尝试.（解法与例2同） 探究新知 例4 已知A+B+C=180∘，求证：sinA+sinB+sinC=4coscoscos. 证明 因为A+B+C=180∘，所以 C=180∘−(A+B),=90∘− 因此 sinA+sinB+sinC=2sincos+sin(A+B) =2sincos+2sincos =2sin(cos+cos) =2sin×2coscos =2cos×2coscos =4coscoscos. 探究新知 万能公式：sinα＝，cosα＝，tanα＝. 证明： sinα＝ cosα＝ tanα＝. 总结 1.半角公式 S :sin=±； C :cos=± ； T:tan=± 2.积化和差公式 cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α−β)], ④ sinαsinβ=-[cos(α+β)−cos(α−β)]， ⑤ sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α−β)], ⑥ cosαsinβ=[sin(α+β)−sin(α−β)]. ⑦ 积化和差得和差 余弦后面要相加 异名函数取正弦 正弦相乘取负号 总结 3.和差化积公式 cosx+cosy=2coscos， cosx−cosy=−2sinsin， sinx+siny= 2sincos, sinx−siny= 2cossin. 4. tan 正加正，正在前 余加余，余并肩 正减正，余在前 余减余，负正弦 练习A ①求cos67∘30′的值. 解 cos67∘30′== ②已知cos(α−β)=−，cos(α+β)=，求cosαcosβ,sinα sinβ的值. 解 cosαcosβ=cos(α+β)+cos(α-β)]=- sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]=- 练习A ③ 已知sin(β-α)=-1 sin(α+β)=0，求cosαsinβ,sin(π-α)cosβ的值. 解 cosαsinβ=(α+β)-sin(α-β)] =(α+β)+sin(β-α)] =- sin(π-α)cosβ=sinαcosβ =(α+β)+sin(α-β)] =(α+β)-sin(β-α)]= 练习A ④ 证明下列恒等式. (1) =tan; (2）=; (3) =tan(+); (4) =. 证明： (1) ==-tan=tan (2）= (3) ===;tan(+)= (4) =. 练习B ① 求函数f(x)=cos(x+)cosx的周期与最小值. 解 f(x)=cos(x+)cosx= =cos(2x+)+ 所以周期T=f(x)min=-+= 练习B ② 求函数f(x)=sin(x+)+cos(x−)的周期与最大值. 解 f(x)=sin(x+)+cos(x−) = =sinx+ =2sin(x+) 所以周期T=2f(x)max=2 练习B ③ 用半角公式求出cos15°的值． 解 cos15°= ④ 求下列各式的值. (1) ; (2) sin20°+sin40°−sin80°. 解 (1) = (2) sin20°+sin40°−sin80° =-cos=0 练习B ⑤ 如果A+B+C=π，求证： cosA+cosB+cosC=1+4sinsinsin. 证明： cosA+cosB+cosC=2cos =2coscos2-1） =1+2cos（-cos） =1- 2cossinsin =1+4sinsinsin. 巩固提升 1.已知sina=cosa=，则tan = . 解 因为sina=cosa=，所以tan ==-2 -2 巩固提升 2.tan20+4sin20= . 解 tan20+4sin20 = === $