8.2.3 倍角公式-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦二倍角公式，通过金刚石键角、大雁队列夹角等自然情境导入，引导学生从两角和差公式出发推导二倍角公式，构建“情境问题—公式推导—应用拓展”的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以数学眼光观察现实（自然现象中的角度关系），通过逻辑推理（公式推导与证明）和数学语言表达（公式变形、题型归纳），如给角求值题的多解法、通性通法总结，助力学生提升运算能力与推理意识，为教师提供分层教学资源，提高课堂效率。

8.2.3　倍角公式 1 1.会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式（逻辑推理）. 2.能够灵活运用二倍角公式解决求值、化简和证明等问题（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　金刚石晶体的碳—碳键键角约为55°，大雁南迁排成的“人”字形队 列的每边与前进方向的夹角也约为55°，这是巧合还是大自然的“默 契”？ 　　研究表明，金刚石碳—碳键键角约为55°时，是最稳定的结构；大雁 “人”字形队列夹角为55°时，后面的大雁可以利用前面的翼尖涡流，提 高升力，以达到省力的作用. 【问题】　（1）“人”字形角度的2倍即110度，其中蕴含着什么样的数 学关系？ （2）我们能否利用两角和与差的三角函数公式，推导出二倍角的三角函 数公式？如何推导？ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 知识点　二倍角公式 函数 公式 简记符号 β＝α 正弦 sin 2α＝ ⁠ Sα＋β S2α 余弦 cos 2α＝ ⁠ ＝ ⁠ ＝ ⁠ Cα＋β C2α 正切 tan 2α＝​ Tα＋β T2α 2 sin α cos α　 cos 2α－ sin 2α　 2 cos 2α－1　 1－2 sin 2α　 ​ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【想一想】 1. 你是怎样理解倍角公式中的“倍角”二字的？ 提示：倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况 都成立，如2α是α的二倍角，8α是4α的二倍角， 是 的二倍角等. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 二倍角公式有哪些形式的变形？ 提示：（1）1＋ cos 2α＝2 cos 2α； （2）1－ cos 2α＝2 sin 2α； （3） cos 2α＝ ； （4） sin 2α＝ ； （5）（ sin α± cos α）2＝1± sin 2α. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角. （　×　） （2）3α是 α的2倍角，6α是3α的2倍角. （　√　） （3）∃α∈R，使得 sin 2α＝2 sin α成立. （　√　） （4）∀α∈R，总有tan 2α＝ . （　×　） × √ √ × 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 已知 cos α＝ ，则 cos 2α等于 　　－ 　. 解析：由 cos α＝ ，得 cos 2α＝2 cos 2α－1＝2× －1＝－ . － 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. sin 15° sin 75°的值为 ⁠. 解析：原式＝ sin 15° cos 15°＝ sin 30°＝ . 4. 设tan α＝－ ，则tan 2α的值是 　​ 　　　. 解析：∵tan α＝－ ，∴tan 2α＝ ＝ ＝ . ​ ​ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜给角求值问题 【例1】　求下列各式的值： （1） － cos 2 ； 解： 原式＝ － ＝ － － ＝－ . （2）2 tan 15°＋tan215°； 解： 原式＝ tan 30°（1－tan215°）＋tan215°＝ × （1－ tan215°）＋tan215°＝1. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （3）tan 15°＋ . 解： 原式＝ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝4. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 给角求值问题的解题策略 （1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本 关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角； （2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正 弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件， 使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 求下列各式的值： （1） ； 解： 原式＝ ＝ ＝2. （2） . 解： 原式＝ ＝ ＝ ＝tan 60°＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 计算： . 解：原式＝ ＝ ＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型二｜给值求值问题 【例2】　已知 cos α＝－ ， sin β＝ ，α是第三象限角，β∈ . （1）求 sin 2α的值； 解： 因为α是第三象限角， cos α＝－ ， 所以 sin α＝－ ＝－ ， 所以 sin 2α＝2 sin α cos α＝2× ×（－ ）＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）求 cos （2α＋β）的值. 解： 因为β∈ ， sin β＝ ， 所以 cos β＝－ ＝－ ， cos 2α＝2 cos 2α－1＝2× －1＝ ， 所以 cos （2α＋β）＝ cos 2α cos β－ sin 2α sin β＝ × － × ＝ － . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 直接应用二倍角公式求值的三种类型 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知 sin （ θ－ ）＝ ，则 sin （ 2θ＋ ）＝（　　） A. － B. C. － D. 解析： 　因为 sin （ θ－ ）＝ ，所以 sin （ 2θ＋ ）＝ sin （ 2θ－ ＋ ）＝ cos （ 2θ－ ）＝ cos ［2（ θ－ ）］＝1－2 sin 2（ θ－ ）＝1－ 2×（ ）2＝ . √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 已知3 sin （ 2α－ ）＝7 cos α，则 cos 2α＝（　　） A. － B. － C. D. 解析： 　由3 sin （ 2α－ ）＝7 cos α，得3 cos 2α＋7 cos α＝0，所以6 cos 2α＋7 cos α－3＝0，所以（2 cos α＋3）（3 cos α－1）＝0，解得 cos α ＝ 或 cos α＝－ （舍），所以 cos 2α＝2 cos 2α－1＝2× －1＝－ . √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 已知α为第一象限角且 cos α＝ ，求 的值. 解：∵ cos α＝ 且α为第一象限角，∴ sin α＝ . ∴ cos 2α＝ cos 2α－ sin 2α＝－ ， sin 2α＝2 sin α cos α＝ . ∴原式＝ ＝ ＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型三｜利用二倍角公式化简与证明 【例3】　求证： ＝ sin 2α. 证明：法一　左边＝ ＝ ＝ ＝ ＝ sin cos cos α＝ sin α cos α＝ sin 2α＝右边. ∴原式成立. 法二　左边＝ ＝ cos 2α· ＝ cos 2α·tan α＝ cos α sin α＝ sin 2α＝右边. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 证明三角恒等式问题的原则及一般步骤 （1）观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较 复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想； （2）证明的一般步骤：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的 差异，然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则，设 法消除差异，达到证明的目的. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 化简求值： . 解： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 求证： cos 2（A＋B）－ sin 2（A－B）＝ cos 2A cos 2B. 证明：左边＝ － ＝ ＝ （ cos 2A cos 2B－ sin 2A sin 2B＋ cos 2A cos 2B＋ sin 2A sin 2B）＝ cos 2A cos 2B＝右边，∴等式成立. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型四｜倍角公式与三角函数性质的综合 【例4】　已知函数f（x）＝2 sin ωx cos （ ωx＋ ）（ω＞0）的最小正 周期为2π. 解：由f（x）＝2 sin ωx cos （ ωx＋ ） ＝2 sin ωx·（ cos ωx cos － sin ωx sin ） ＝ sin ωx cos ωx－ sin 2ωx ＝ sin 2ωx＋ cos 2ωx－ ＝ sin （ 2ωx＋ ）－ . 因为f（x）的最小正周期为2π，所以 ＝2π，解得｜ω｜＝ ，又ω ＞0，所以ω＝ . （1）求ω的值； 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）先将f（x）的图象上所有点的横坐标变成原来的 ，纵坐标不变，再 把得到的图象向右平移 个单位长度，得到函数g（x）的图象. （ⅰ）求g（x）的单调递增区间； （ⅱ）若g（α）＝－ ，求 cos （ 4α＋ ）的值. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解： （ⅰ）由（1）可知f（x）＝ sin （ x＋ ）－ ， 将f（x）图象上所有点的横坐标变成原来的 ，纵坐标不变， 得到h（x）＝ sin （ 2x＋ ）－ 的图象，则g（x）＝h（ x－ ）＝ sin （ 2x－ ）－ . 令－ ＋2kπ≤2x－ ≤ ＋2kπ，k∈Z，得－ ＋kπ≤x≤ ＋kπ， k∈Z， 则g（x）的单调递增区间为［－ ＋kπ， ＋kπ］（k∈Z）. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （ⅱ）g（α）＝ sin （ 2α－ ）－ ＝－ ，则 sin （ 2α－ ）＝ . 故 cos （ 4α＋ ）＝ cos （ 4α－ ＋π）＝－ cos （ 4α－ ）＝－ cos ［2 （ 2α－ ）］ ＝－［1－2 sin 2（ 2α－ ）］＝－（ 1－2× ）＝－ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 求解三角函数综合问题的一般步骤 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知函数f（x）＝（1－ cos 2x） cos 2x，x∈R，则f（x）是（　　） A. 最小正周期为 的奇函数 B. 最小正周期为 的偶函数 C. 最小正周期为π的奇函数 D. 最小正周期为π的偶函数 √ 解析： 　因为f（x）＝（1－ cos 2x） cos 2x＝2 sin 2x cos 2x＝ sin 22x ＝ · ＝ － cos 4x，所以函数f（x）为偶函数，且最小正周期为 ＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 〔多选〕已知函数f（x）＝ sin ωx＋ cos 2 － （ω＞0，x∈R）， 则（　　） A. 若函数f（x）的最小正周期为π，则ω＝1 B. 若ω＝2，则函数f（x）的图象可由函数y＝ sin 2x的图象向左平移 个单位得到 C. 若ω＜5且直线x＝ 是函数f（x）的一条对称轴，则f（x）在（ ， ）上单调递增 D. 若函数f（x）在区间（0，2π）上没有零点，则ω∈（ 0， ］ √ √ √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　f（x）＝ sin ωx＋ cos 2 － ＝ sin ωx＋ cos ωx＝ sin （ ωx＋ ）（ω＞0，x∈R）.对于A，若函数f（x）的最小正周期为 π，则ω＝2，故A错误；对于B，若ω＝2，则f（x）＝ sin （ 2x＋ ）＝ sin ［2（ x＋ ）］，故函数f（x）的图象可由函数y＝ sin 2x的图象向 左平移 个单位得到，故B正确； 数学·必修第三册（B 版） 目 录 对于C，若ω＜5且直线x＝ 是函数f（x）的一条对称轴，则 ω＋ ＝kπ ＋ ，k∈Z且ω＜5，解得ω＝3，则f（x）＝ sin （ 3x＋ ），由x∈ （ ， ），得3x＋ ∈（ ， ），故f（x）在（ ， ）上单调递 增，故C正确；对于D，当x∈（0，2π）时，ωx＋ ∈（ ，2πω＋ ）， 若函数f（x）在区间（0，2π）上没有零点，则2πω＋ ≤π，又ω＞0，则 ω∈（ 0， ］，故D正确. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. 〔多选〕下列各式中，值为 的是（　　） A. 2 sin 15° cos 15° B. cos 215°－ sin 215° C. 1－2 sin 215° D. sin 215°＋ cos 215° 解析： 　对A，2 sin 15° cos 15°＝ sin 30°＝ ，故A错误；对 B， cos 215°－ sin 215°＝ cos 30°＝ ，故B正确；对C，1－2 sin 215°＝ cos 30°＝ ，故C正确；对D， sin 215°＋ cos 215°＝1， 故D错误.故选B、C. √ √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 已知α为锐角，且满足 cos 2α＝ sin α，则α＝（　　） A. 30°或60° B. 45° C. 60° D. 30° 解析： 　因为 cos 2α＝1－2 sin 2α，故由题意，知2 sin 2α＋ sin α－1＝0， 即（ sin α＋1）·（2 sin α－1）＝0.因为α为锐角，所以 sin α＝ ，所以α＝ 30°. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 已知 cos （π－α）＝ ，则 cos 2α＝ 　　－ 　　. 解析：由 cos （π－α）＝ ，得－ cos α＝ ，则 cos α＝－ ， 所以 cos 2α＝2 cos 2α－1＝2×（ － ）2－1＝－ . 4. 函数f（x）＝2 cos 2 －1的最小正周期为 ⁠. 解析：f（x）＝ cos ＝ sin 2x，故f（x）的最小正周期为π. － π 数学·必修第三册（B 版） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. ＝（　　） A. B. C. 1 D. －1 解析： 　原式＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 若tan α＝3，则 ＝（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 解析： ＝ ＝ ＝2tan α＝6. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 设f（tan x）＝tan 2x，则f（2）的值等于（　　） A. B. － C. － D. 4 解析： 　因为f（tan x）＝ ，所以f（2）＝ ＝－ .故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. 〔多选〕已知 sin ＝ ，则 的值可以为（　　） A. B. C. － D. － 解析： 　因为 ＝ ＝ ，由 sin ＝ ，得 （ sin θ－ cos θ）＝ ，两边平方得 sin 2θ＝ ，所以 cos 2θ＝± .所以原 式＝ ＝± ，故选B、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 5. 在△ABC中，若 sin B sin C＝ cos 2 ，则△ABC是（　　） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 √ 解析： 　由 sin B sin C＝ cos 2 得 sin B sin C＝ ， ∴2 sin B sin C＝1＋ cos A， ∴2 sin B sin C＝1＋ cos [π－（B＋C）]＝1－ cos （B＋C）， ∴2 sin B sin C＝1－ cos B cos C＋ sin B sin C， ∴ cos B cos C＋ sin B sin C＝1，∴ cos （B－C）＝1. 又∵－180°＜B－C＜180°，∴B－C＝0°， ∴B＝C，∴△ABC是等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 6. 已知α∈（ 0， ），若 sin （ ＋2α）＋ cos （ α－ ）＝0，则α＝ （　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　因为 sin （ ＋2α）＝－ cos 2α，所以－ cos 2α＋ cos （ α－ ）＝0，即 cos 2α＝ cos （ α－ ），即 cos 2α－ sin 2α＝ （ cos α＋ sin α）.又因为α∈（ 0， ），所以 cos α＋ sin α＞0，所以 cos α－ sin α＝ ，即 cos （ α＋ ）＝ .又α∈（ 0， ），所以α＋ ∈（ ， ），所 以α＋ ＝ ，所以α＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 7. （2025·厦门期末） ＝ 　​ 　　. 解析： ＝ ＝ ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 8. 已知 sin ＋ cos ＝ ，那么 sin θ＝ 　​ 　， cos 2θ＝ 　​ 　. 解析：∵ sin ＋ cos ＝ ，∴ ＝ ，即1＋2 sin cos ＝ ，∴ sin θ＝ ，∴ cos 2θ＝1－2 sin 2θ＝1－2× ＝ . ​ ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 9. 已知函数f（x）＝ sin 2x＋2 sin 2x＋n在［0， ］上的最大值为1＋ 2 ，则n＝ ⁠. 解析： f（x）＝ sin 2x＋2 sin 2x＋n＝ sin 2x＋ （1－ cos 2x）＋n ＝2 sin （ 2x－ ）＋ ＋n，当x∈［0， ］时，2x－ ∈［－ ， ］，所以 sin （ 2x－ ）∈［－ ， ］，所以f（x）max＝2× ＋ ＋n＝1＋2 ，所以n＝1. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 10. 已知 cos ＝ ，α∈ . 求：（1） cos α－ sin α的值； 解： 因为 cos ＝ ，α∈ ， 所以 ＝ ， cos α＋ sin α＝ ，平方化简可得 sin 2α＝－ ，又α∈ ， 所以 sin α＞0， cos α＜0， cos α－ sin α＝－ ＝－ ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解： cos ＝ cos 2α－ sin 2α ＝ （ cos α＋ sin α）（ cos α－ sin α）－ sin 2α＝ . （2） cos 的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 11. 〔多选〕已知函数f（x）＝ 是奇函数，则有（　　） A. 函数f（x）的图象关于直线x＝ 对称 B. 函数f（x）的图象关于点 对称 C. 函数f（x）是奇函数 D. 函数f（x）的最小正周期为π √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　因为f（x）＝ ＝ ＝－tan x ，所以函数f（x）是周期为π的奇函数，图象关于点 对称，故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 12. 已知α，β为锐角，且1－ cos 2α＝ sin α cos α，tan（β－α）＝ ，则tan α＝ 　​ 　，β＝ 　​ 　. 解析：由1－ cos 2α＝ sin α cos α，得1－（1－2 sin 2α）＝ sin α cos α，即2 sin 2α＝ sin α cos α.∵α为锐角，∴ sin α≠0，∴2 sin α＝ cos α，即tan α＝ . ​ ​ 法一　由tan（β－α）＝ ＝ ＝ ，得tan β＝1.∵β为锐角， ∴β＝ . 法二　tan β＝tan（β－α＋α）＝ ＝ ＝1.∵β为锐角， ∴β＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 13. 已知函数f（x）＝2 sin x cos x＋ cos 2x－ sin 2x＋a（x∈R）的最 小值为1. （1）求a的值和f（x）的最小正周期； 解： f（x）＝ sin 2x＋ cos 2x＋a＝2 sin （ 2x＋ ）＋a，由题 意－2＋a＝1，解得a＝3，f（x）的最小正周期T＝ ＝π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）求f（x）在[0，π]上的单调递增区间； 解： 令2x＋ ＝t，x∈[0，π]，则t∈［ ， ］. 因为y＝2 sin t＋a，t∈［ ， ］的单调递增区间是［ ， ］， ［ ， ］， 由 ≤2x＋ ≤ ，得0≤x≤ ； ≤2x＋ ≤ ，得 ≤x≤π. 所以f（x）在[0，π]上的单调递增区间是［0， ］，［ ，π］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （3）若∃x∈［ ， ］，f（x）＋m＜0成立，求m的取值范围. 解： 由题意知，[f（x）＋m]min＜0，即[f（x）]min＋m＜0. 当x∈［ ， ］时，2x＋ ∈［ ， ］， 所以当2x＋ ＝ ，即x＝ 时，f（x）min＝f（ ）＝2 sin ＋3， 所以2 sin ＋3＋m＜0，即m＜－4，所以m的取值范围是（－∞，－4）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 14. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过： “几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄 金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把 黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与 腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为 36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）.如图所示，五 角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，在其中一个黄金三角形ABC 中， ＝ .根据这些信息，可得 cos 324°＝ 　​ 　. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析：由题图知，A＝36°，则 A＝18°， sin 18°＝ × ＝ × ＝ ，∴ cos 36°＝1－2 sin 218＝1－2× ＝ ，∴ cos 324° ＝ cos （360°－36°）＝ cos 36°＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 15. 某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一 个常数. cos 215°＋ cos 215°－ sin 15° sin 15°； cos 280°＋ cos 2（－50°）－ sin 80° sin （－50°）； cos 2170°＋ cos 2（－140°）－ sin 170° sin （－140°）. （1）求出这个常数； 解： cos 215°＋ cos 215°－ sin 15° sin 15° ＝2 cos 215°－ sin 215°＝1＋ cos 30°－ （1－ cos 30°）＝1＋ － × ＝ . 同理，其他两式的值是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）结合（1）的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明 你的结论. 解： 推广：当α＋β＝30°时， cos 2α＋ cos 2β－ sin α sin β＝ . 证明： cos 2α＋ cos 2β－ sin α sin β ＝ cos 2α＋ cos 2（30°－α）－ sin α sin （30°－α） ＝ cos 2α＋ － sin α（ cos α－ sin α） ＝ cos 2α＋ cos 2α＋ cos α sin α＋ sin 2α－ cos α sin α＋ sin 2α＝ cos 2α＋ sin 2α＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 $