精品解析：山东德州市齐河第一中学2025-2026学年高二下学期5月份模拟数学试题

2025-2026学年下学期高二年级5月份模拟 数学学科试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每个小题只有一个选项符合题目要求. 1. 已知数列满足，，则等于（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定递推关系判定为等差数列，结合已知项求出公差，进而计算的值. 【详解】由递推关系，变形得​， 所以数列是等差数列，设数列的公差为. 因为，，所以，即，解得， 所以. 2. 设离散型随机变量X服从参数为0.4的两点分布，若离散型随机变量Y满足，则下列结果错误的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两点分布的期望、方差公式求出的期望和方差，再根据期望与方差的线性性质计算的期望和方差，对比选项找出错误结果. 【详解】A：两点分布的期望，因此，A正确； B：两点分布的方差，因此，B正确； C：，C正确； D：，D错误. 3. 在等比数列中，，，则（ ） A. 36 B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】在等比数列中，因为，所以，即， 所以，又因为与同号，所以. 4. 下列说法正确的有（    ） A. 成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数r的值越接近于1 B. 随机变量X服从正态分布，，若，则 C. 由两个分类变量X，Y的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断X，Y独立 D. 已知关于x的经验回归方程为，则样本点的残差为 【答案】D 【解析】 【分析】对于A,根据样本相关系数的意义可判断；对于B,根据正态分布对称性即可判断；对于C, 利用独立性检验的意义可判断；对于D，由残差公式即可判断. 【详解】对于A, 当两个变量是正相关时，相关系数越接近于1，当两个变量是负相关时，相关系数越接近于，故A错误; 对于B，随机变量X服从正态分布，， 若，则，根据正态分布对称性可知，，故B错误； 对于C, 两个分类变量X，Y的成对样本数据计算得到， 由，说明在的显著水平下，拒绝与相互独立的假设，故C错误; 对于D, 当时，，由残差等于实际值减去预测值，即，故正确. 5. 某知识过关题库中有三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设小明选1道类试题为事件， 小明选1道类试题为事件，小明选1道类试题为事件， 设小明答对试题为事件，则， ，， ，，， 由全概率公式得： ， . 6. 等差数列的首项为1，公差不为0.若成等比数列，则数列的前6项和为（ ） A. B. C. 26 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比中项结合等差数列通项公式可得，，再结合的正负性以及等差数列性质运算求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，则，且， 即，整理可得，解得或（舍去）， 可得， 令，解得， 所以数列的前6项和为. 7. 甲、乙两人玩掷骰子游戏，每局两人各随机掷一次骰子，当两人的点数之差为偶数时．视为平局，当两人的点数之差为奇数时，谁的骰子点数大该局谁胜．重复上面的步骤，游戏进行到一方比另一方多胜2局或平局4次时停止，记游戏停止时局数为X次，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算甲胜和乙胜的概率，再对具体每局的情况分类讨论即可. 【详解】甲乙每次掷股子1次，若两人的点数都是偶数或都是奇数，则平局，所以平局的概率， 若甲胜，则结果有，，，，，，，，，9种， 所以甲胜的概率为，同理乙胜的概率也为， 局数为4次后停止游戏，若4次全平局，概率为； 若平局2次，则最后1次不能是平局， 另外2次甲全胜或乙全胜，概率为， 若平局0次，则一方3胜1负，且负的1次只能在前2次中， 概率为， 所以． 故选：D. 8. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，七七数之剩二(除以7余2)，问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数满足二二数之剩一，三三数之剩一，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为（ ） A. 26 B. 36 C. 38 D. 46 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出及前n项和，再利用对勾函数的性质求出最小值. 【详解】二二数之剩一、三三数之剩一的数分别为、，， 因此数列的项即为以上两类数的公共项，即，， 而，则数列是等差数列， 于是，， 又对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以时，取得最小值38. 故选：C 二、本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的公差为，其前n项和为，且，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用等差数列的性质可得； 【详解】， 因为，得，故A错误； 因为，所以与异号，所以与异号，即，故B正确； 若，数列递增，否则所有项为负，无法满足条件，故，C错误； 若，，代入得，所以，D正确. 10. 连掷一枚均匀骰子两次，第一、二次所得向上的点数分别为，记，事件为“”，事件为“”，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 事件与事件互为独立事件 【答案】ABD 【解析】 【分析】由条件概率的公式、古典概率的公式和独立事件的概念对选项一一判断即可得出答案. 【详解】， 所以，A正确；，B正确； ，C错误；，D正确． 故选：ABD. 11. 踢毽子源于汉朝，盛行于六朝，某学校高三年级为了增强学生身体素质，缓解学生备考压力，开展踢毽子活动.已知某踢毽子小组由5人组成（包含甲、乙），每个人踢出的毽子都等可能地传给其他4人中的1人，假设第1次由甲踢出，每次踢出的毽子都能被接住.记第次踢出毽子后，毽子传到乙的概率为，前次踢毽子的过程中，传到乙的次数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由可判断A，由离散型随机变量期望、方差计算公式可判断B，由构造，可判断CD. 【详解】由题意知，故A错； 由题意的可能取值为0,1， ， 所以，故B对， 由题意知第次踢出毽子后，毽子没有传到乙的概率为， 所以，故C对， 由，得到， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 即，故D对， 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在名女生和名男生中任选人参加一项交流活动，设为抽到男生的人数，则为__________． 【答案】## 【解析】 【详解】∵ 从名学生（女男）中任选人，总选法数为 ， ∴ 随机变量 （抽到男生的人数）的可能取值为 . ∴ ，，. ∴ . 13. 数列中，，，记数列的前n项和为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据累乘法求出的通项公式，然后根据裂项法求出，最后再计算. 【详解】，. ，又，. . . . 14. 已知数列的通项公式，给出定义：使得数列的前项和为正整数的叫做“好数”，则在内所有的好数之和为__________. 【答案】6108 【解析】 【分析】根据给定条件，结合对数运算法则求出数列的前项和，再找到使其为正整数的，进而求和即得. 【详解】依题意，数列的前项和 ，由正整数为数列的“好数”， 得，且为正整数，由，得， 由，得，即，而数列是递增数列， ，因此，在内所有的好数之和为 . 故答案为：6108 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且，，等比数列中，，且，，成等差数列． （1）求数列和的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用数列的项与前项和之间的关系求出的通项，注意分和时讨论；再利用等比数列的通项公式，列出关于和之间的方程组，求出的通项； （2）先求的通项，再用分组求和法求和. 【小问1详解】 ， 当时，， ， 将代入，满足 所以（）． 设等比数列的公比q， 由题意，即， 解得或（舍），所以． 【小问2详解】 ， 所以 . 16. 某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛．已知共有12000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到频率分布直方图如图： （1）规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求至少有1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数X的分布列及数学期望； （2）由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为91分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？ 附：若，则，，；． 【答案】（1），分布列： X 0 1 2 P （2）有资格参加复赛 【解析】 【分析】（1）根据超几何分布的概率计算即可求解分布列， （2）根据正态分布的对称性即可求解. 【小问1详解】 预赛成绩在范围内的样本量为：， 预赛成绩在范围内的样本量为：， 设抽取的2人中预赛成绩优良的人数为X，可能取值为0,1,2，则， 又， 则X的分布列为： X 0 1 2 P 故． 【小问2详解】 ， ，则，又， 故， 故全市参加预赛学生中，成绩不低于91分的有人， 因为，故小明有资格参加复赛， 17. 设正项数列的前项之和，数列的前项之积，且． （1）求证：为等差数列，并分别求、的通项公式； （2）设数列的前项和为，不等式对任意正整数恒成立，求正实数的取值范围． 【答案】（1）证明： 由题意知：当时，，代入得：， 所以 由得：， 所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，， 当时， 当时，也符号上式，所以 （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，代入，化简可得，从而可得为等差数列，再由可求出，从而可求出，，而可求出，再验证的情况； （2）由（1）得：，再利用裂项相消求和法可求出，再求出的最小值，再解不等式，从而可求出正实数的取值范围 【详解】（1）证明略，，； （2）由（1）得： 所以 显然单调递增，所以 由题意得：，即， 又，所以的取值范围为． 18. 某县博物馆国庆期间统计连续5天进入该博物馆参观的游客人数（单位：千人）如下： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 第x天 1 2 3 4 5 参观人数y 2.3 3.1 4.3 4.6 5.7 （1）由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，求出关于的线性回归方程； （2）国庆五天假期博物馆开放1号门、2号门和3号门供游客出入，游客从1号门、2号门和3号门进入博物馆的概率分别为，且出馆与进馆选择相同门的概率为，选择与进馆不同两门的概率各为．假设游客从1号门、2号门、3号门出入博物馆互不影响，现有甲、乙、丙、丁4名游客于10月2日进馆参观，设为4人中从2号门出馆的人数，求的分布列、期望及方差. 附：参考数据：，，，，． 参考公式：回归直线方程，其中，． 【答案】（1） （2）的分布列为： ， 【解析】 【分析】（1）先算出和，再代入公式求出回归系数和截距，最终可得到线性回归方程； （2）先由全概率公式求出单个游客从2号门出馆的概率，可知服从二项分布，再根据二项分布的概率计算公式求出每个概率值，从而写出分布列，进而求出期望和方差. 【小问1详解】 依题意，，而，，， 所以，， 因此，线性回归方程为. 【小问2详解】 记“甲从2号门出馆”为事件，“甲从1号门进馆”为事件， “甲从2号门进馆”为事件，“甲从3号门进馆”为事件， 由题意可得，，，，. 由全概率公式得： . 同理乙、丙、丁从号门出馆的概率也为， 因为为人中从号门出馆的人数，则， 所以，， ，， ， 故的分布列为： ，. 19. 元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包入框，并制定了两个小游戏，且每位参与者只能参加其中一项游戏，规则如下： 游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到次，则游戏立即结束并获奖，若投掷次且后仍未累计命中次，则游戏结束，无法获奖； 游戏二：参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记得分，未命中记得分，当累计得分达到分，则游戏立即结束并获奖，当累计得分达到分，游戏立即结束，无法获奖. 现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立，已知甲同学参加游戏一，且每次命中率为；乙同学参加游戏二，每次命中率为. （1）当时，记甲同学投掷次数为，求的分布列及期望； （2）当且时，求甲同学获奖的概率（用含的表达式表示）； （3）记甲同学获奖时，投掷次数不超过次的概率为；若乙同学获奖概率不小于，求的最小值. 【答案】（1）分布列： 2 3 4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）写出的取值可能为，再分别计算其概率，最后利用期望公式即可得到答案； （2）计算出的表达式，从而得到的表达式，再利用错位相减法即可得到答案； （3）记表示乙同学的得分，，计算出对应的概率，根据得到不等式，解出即可得到最小值． 【小问1详解】 由题可知：的取值可能为， ，，， 故的分布列为： 2 3 4 故. 【小问2详解】 记事件：甲同学获奖， 显然，，设表示甲投掷的次数，若甲投掷次并获奖， 则， 所以， 令， 所以， 两式相减： ， 即，所以． 【小问3详解】 记表示乙同学的得分，， 记事件：乙同学获奖，表示乙同学得分为分时，最终获奖的概率， 显然，又， 由全概率公式知：， 所以， 那么： ， 即， 同理：， ， ， ， 累加有， 所以， 即，即， 即， 由甲同学获奖时，投掷次数不超过次的概率为得：， 由，即，解得， 故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期高二年级5月份模拟 数学学科试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每个小题只有一个选项符合题目要求. 1. 已知数列满足，，则等于（     ） A. B. C. D. 2. 设离散型随机变量X服从参数为0.4的两点分布，若离散型随机变量Y满足，则下列结果错误的是（    ） A. B. C. D. 3. 在等比数列中，，，则（ ） A. 36 B. C. D. 6 4. 下列说法正确的有（    ） A. 成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数r的值越接近于1 B. 随机变量X服从正态分布，，若，则 C. 由两个分类变量X，Y的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断X，Y独立 D. 已知关于x的经验回归方程为，则样本点的残差为 5. 某知识过关题库中有三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 等差数列的首项为1，公差不为0.若成等比数列，则数列的前6项和为（ ） A. B. C. 26 D. 24 7. 甲、乙两人玩掷骰子游戏，每局两人各随机掷一次骰子，当两人的点数之差为偶数时．视为平局，当两人的点数之差为奇数时，谁的骰子点数大该局谁胜．重复上面的步骤，游戏进行到一方比另一方多胜2局或平局4次时停止，记游戏停止时局数为X次，则（ ） A. B. C. D. 8. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，七七数之剩二(除以7余2)，问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数满足二二数之剩一，三三数之剩一，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为（ ） A. 26 B. 36 C. 38 D. 46 二、本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的公差为，其前n项和为，且，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 10. 连掷一枚均匀骰子两次，第一、二次所得向上的点数分别为，记，事件为“”，事件为“”，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 事件与事件互为独立事件 11. 踢毽子源于汉朝，盛行于六朝，某学校高三年级为了增强学生身体素质，缓解学生备考压力，开展踢毽子活动.已知某踢毽子小组由5人组成（包含甲、乙），每个人踢出的毽子都等可能地传给其他4人中的1人，假设第1次由甲踢出，每次踢出的毽子都能被接住.记第次踢出毽子后，毽子传到乙的概率为，前次踢毽子的过程中，传到乙的次数为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在名女生和名男生中任选人参加一项交流活动，设为抽到男生的人数，则为__________． 13. 数列中，，，记数列的前n项和为，则______． 14. 已知数列的通项公式，给出定义：使得数列的前项和为正整数的叫做“好数”，则在内所有的好数之和为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且，，等比数列中，，且，，成等差数列． （1）求数列和的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 16. 某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛．已知共有12000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到频率分布直方图如图： （1）规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求至少有1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数X的分布列及数学期望； （2）由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为91分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？ 附：若，则，，；． 17. 设正项数列的前项之和，数列的前项之积，且． （1）求证：为等差数列，并分别求、的通项公式； （2）设数列的前项和为，不等式对任意正整数恒成立，求正实数的取值范围． 18. 某县博物馆国庆期间统计连续5天进入该博物馆参观的游客人数（单位：千人）如下： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 第x天 1 2 3 4 5 参观人数y 2.3 3.1 4.3 4.6 5.7 （1）由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，求出关于的线性回归方程； （2）国庆五天假期博物馆开放1号门、2号门和3号门供游客出入，游客从1号门、2号门和3号门进入博物馆的概率分别为，且出馆与进馆选择相同门的概率为，选择与进馆不同两门的概率各为．假设游客从1号门、2号门、3号门出入博物馆互不影响，现有甲、乙、丙、丁4名游客于10月2日进馆参观，设为4人中从2号门出馆的人数，求的分布列、期望及方差. 附：参考数据：，，，，． 参考公式：回归直线方程，其中，． 19. 元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包入框，并制定了两个小游戏，且每位参与者只能参加其中一项游戏，规则如下： 游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到次，则游戏立即结束并获奖，若投掷次且后仍未累计命中次，则游戏结束，无法获奖； 游戏二：参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记得分，未命中记得分，当累计得分达到分，则游戏立即结束并获奖，当累计得分达到分，游戏立即结束，无法获奖. 现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立，已知甲同学参加游戏一，且每次命中率为；乙同学参加游戏二，每次命中率为. （1）当时，记甲同学投掷次数为，求的分布列及期望； （2）当且时，求甲同学获奖的概率（用含的表达式表示）； （3）记甲同学获奖时，投掷次数不超过次的概率为；若乙同学获奖概率不小于，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $