22.2 函数的表示 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

22.2函数的表示 人教版.八年级下册 学习目标 1. 联系实际，理解函数图象的意义，以及函数图象的作用． 2. 掌握用列表、描点、连线的方法画出简单函数的图象． 3. 能从函数图象中提取信息，从而解决实际问题，进一步理解函数图象的意义，感悟数形结合思想的应用． 有些问题中的函数关系很难用解析式表示，但是可以用图来直观地反映，例如心电图测试结果、股票的K线图等，对于能用解析式表示的函数关系，如果也能画图表示，那么会使函数关系更直观. 我们已经学习了用函数的解析式表示函数关系 探索新知1--画函数图象 写出正方形的面积 S 与边长 x 的函数解析式. S = x2 自变量 x 的取值范围是多少？ x > 0 我们还可以利用在坐标系中画图的方法来表示S与x的关系. x … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 … S … 0.25 1 … 1.列表 2.25 4 6.25 9 12.25 16 S = x2 ( x > 0 ) 2.描点 在直角坐标系中，将你所填的表格中的自变量x及对应的函数值S当成一个点的横坐标与纵坐标，即可在坐标系中得到一些点. 1 2 3 4 1 4 9 16 O S x 3.连线 1 2 3 4 1 4 9 16 O S x 用平滑的曲线连接画出的点. 用空心圆圈表示不在曲线的点. 表示x与S的对应数对的点有多少个？如果全在坐标轴中指出是什么样子？ 表示 x 与 S 的对应关系的点有无数个. 但是实际上 我们只能描出其中有限个点，同时想象出其他点的位置. 函数 S = x2 (x> 0)的图象. 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 通过图象可以数形结合地研究函数. 在下列式子中，y 是 x 的函数. 画出这些函数的图象，通过图象观察函数与自变量的关系. 例 1 （1）y = x + 0.5； （2）y = （x > 0）. 解：（1）从式子 y=x+0.5 可以看出，x 取任意实数时这个式子都有意义，所以 x 的取值范围是全体实数. （1）y = x + 0.5； 从 x 的取值范围中选取一些数值，算出 y 的对应值，列表（计算并填写表中空格） ①要有代表性，反映图象的全貌； ②不能使函数值太大或太小，一般以 5~7 个为宜（点越多，图象越精确）. x … －2 －1 0 1 2 … y … －0.5 0.5 … －1.5 1.5 2.5 根据表中的数值在平面直角坐标系中描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点. 3 y －1 1 2 O x －2 －1 －2 1 2 y = x + 0.5 画出的图象是一条________，当自变量的值越来越大时，对应的函数值_____________. 直线 越来越大 （2）y = （x > 0）. 解：x 的取值范围是全体正实数，从 x 的取值范围中选取一些数值，算出 y 的对应值，列表（计算并填写表中空格）. x … 0.5 1 2 3 4 5 6 … y … 3 1.5 1 0.75 … 6 0.6 0.5 根据表中的数值在平面直角坐标系中描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点. 3 y 1 2 O x 1 2 3 4 5 6 4 5 6 y = 从函数 y = （x > 0）的图象可以看出，曲线从左向右下降，即当 x 由小变大时，y 随之减小. 归纳总结 用描点法画函数图象的一般步骤： 1.列表： 表中给出一些自变量的值及其对应的函数值. 2.描点： 在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点. 3.连线： 按照横坐标从小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来. 练 习 1.（1）画出函数 y = 2x－1 的图象； 解：（1）y = 2x－1，从 x 的取值范围（全体实数）中选取一些数值，算出 y 的对应值，列表： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y … －7 －5 －3 －1 1 3 5 … 选自教材第102页 练习 第1题 根据表中数值在平面直角坐标系中描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点，图象如图所示： O y 2 －4 －2 x 2 4 4 6 －2 －4 －6 －8 选自教材第102页 练习 第1题 （2）判断点 A（－2.5，－4），B（1，3），C（2.5，4）是否在函数 y = 2x－1 的图象上. （2）y = 2x－1，当 x =－2.5 时，y = 2×(－2.5)－1=－6 ≠－4， 所以点 A(－2.5，－4) 不在函数 y = 2x－1 的图象上； 当 x = 1 时，y = 2×1－1= 1 ≠ 3， 所以点 B（1，3）不在函数 y = 2x－1的图象上； 当 x = 2.5 时，y = 2×2.5－1 = 4， 所以点 C (2.5，4) 在函数 y = 2x－1 的图象上. 2.（1）画出函数 y = x2 + 1 的图象； 解：（1）y = x2 + 1，从 x 的取值范围（全体实数）中选取一些数值，算出 y 的对应值，列表： x … －2 －1 0 1 2 … y … 5 2 1 2 5 … 选自教材第102页 练习 第2题 根据表中数值在平面直角坐标系中描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点，图象如图所示. －3 －2 x 2 3 －1 1 O y 2 4 5 －1 －2 1 3 （2）观察函数 y = x2 + 1 的图象，当 x < 0 时，y 随 x 的增大而增大 还是 y 随 x 的增大而减小？ 当 x > 0 时呢？ －3 －2 x 2 3 －1 1 O y 2 4 5 －1 －2 1 3 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大. 例 2 如图①，李明家、食堂、图书馆在同一条直线上. 李明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆查资料，然后回家. 图②反映了这个过程中，李明离家的距离 y 与时间 x 之间的对应关系. ① ② 家 食堂 图书馆 探究新知2--用函数图象（问题情境到函数图象） 家 食堂 图书馆 根据图象回答下列问题： （1）食堂离李明家多远？李明从家到食堂用了多长时间？ 解：由纵坐标看出，食堂离李明家 0.6 km；由横坐标看出，李明从家到食堂用了 8 min. 家 食堂 图书馆 （2）李明吃早餐用了多长时间？ 解：由横坐标看出，25−8=17，李明吃早餐用了17min. 家 食堂 图书馆 （3）食堂离图书馆多远？李明从食堂到图书馆用了多长时间？ 解：由纵坐标看出，0.8−0.6=0.2，食堂离图书馆 0.2 km； 由横坐标看出，28−25=3，李明从食堂到图书馆用了 3 min. 家 食堂 图书馆 （4）李明查资料用了多长时间？ 解：由横坐标看出，58−28=30，李明查资料用了30 min. 家 食堂 图书馆 （5）图书馆离李明家多远？李明从图书馆回家的平均速度是多少？ 平均速度 = 路程 时间 解：由纵坐标看出，图书馆离李明家 0.8 km； 由横坐标看出，68−58 = 10，李明从图书馆回家用了 10 min， 由此算出李明从图书馆回家的平均速度是 0.08 km/min. 构建合适的问题情境，使其中的变量之间的函数关系可以分别用图①和图②中的图象来表示. ① ② 两段速度相同. 两段速度不同. 探究新知3--用函数图象（函数图象到问题情境） 方法点拨 解答图象信息题主要运用数形结合思想，化图象信息为数字信息. 主要步骤如下: （1）了解横、纵轴的意义； （2）从图象形状上判定函数与自变量的关系； （3）抓住图象中端点，拐点等特殊点的实际意义. 练 习 1. 园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间. 已知绿化 面积 S 与工作时间 t 的函数关系如图所示. （1）休息前，园林队工作了多长时间？绿化面积为多少？ 休息 休息前 休息后 休息前，园林队工作了 1 h，绿化面积为 60 m2 . 选自教材第105页 练习 第1题 （2）园林队中间休息了多长时间？ （3）休息后，园林队每小时完成的绿化面积为多少？ 园林队中间休息了 1 h. 休息后，园林队每小时 完成的绿化面积是 (160－60)÷(4－2) = 50 (m2) 休息 休息前 休息后 2. 如图，这是某一天北京与上海的气温随时间变化的图象. （1）这一天内，北京与上海何时气温相同？ 两图象的交点所对应的横坐标. 这一天内，上海与北京在 7 时与 12 时温度相同. 选自教材第105页 练习 第2题 （2）这一天内，上海在哪段时间比北京气温高？在哪段时间比北京气温低？ 谁在上面，谁的温度高； 谁在下面，谁的温度低. 由图象知，上海在 0 时至 7 时，12 时至 24 时这两段时间内比北京温度高；在 7 时至 12 时这段时间内比北京温度低. （3）你还能从函数图象中得到哪些信息？ 这一天内，上海最高气温比北京最高气温高.（答案不唯一） 3. 如图，构建问题情境，使其中变量之间的函数关系可以用图中的图象来表示. 李明在一条笔直的道路上练习 1000 m 跑，以 m/s 的速度从起点跑到终点后，又以 m/s 的速度步行回到起点. 李明到终点的距离 y（单位：m）随时间t（单位：s）变化的图象如图所示. 25 9 25 18 选自教材第105页 练习 第3题 4.如图是甲步行与乙骑自行车（在同一条路上）的路程s甲，s乙 随时间t变化的图象，观察图象并回答下列问题： （1）乙出发时，乙与甲相距_____km； （2）走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修车所用的时间为_____h； （3）乙从出发起，经过_____h与甲相遇； 10 1 3 （4）乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度一样吗？为什么？ 解：乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度不一样． 理由如下： 乙骑自行车出故障前的速度为7.5÷0.5=15(km/h)，修车后的速度为(22.5−7.5)÷(3−1.5)=10(km/h)． 因为15≠10，所以乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度不一样． 当堂检测 1.下列曲线中，不能表示y是x 的函数的是（ ） C 2.下列四个点中，在函数 图象上的是（ ） B 3.画出函数y=2x-1.的图象. A.(3,0) B.(-3,0) C.(-2,3) D.(0,-3) (1)列表: x ... -1 0 1 ... y ... ... (2)描点、连线: (3)判断点A(-3,-5),B(2,-3),C(3,5)是否在函数y=2x-1的图象上. (4)若点 P(m,9)在函数y=2x-1的图象上,求m的值. 解:(2)如图. (3)点A，B不在图象上，点C在图象上 (4)m=5. 4.小明和妈妈通过自驾去“月亮峡”游玩，早上他们从自家小区出发，匀速行驶一段时间后，途中遇到堵车原地等待一会儿，然后他们加快速度行驶，按时到达“月亮峡”.游玩结束后，他们自驾匀速返回.其中x表示小明和妈妈驾车从自家小区出发后至回到自家小区所用的时间，y表示他们离自家小区的路程，下面能反映y与x 的关系的大致图象是( ) A 5.下图是一台自动测温仪记录的图象，它反映了某市冬季某天气温 T 与时间t之间的对应关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（ ） A.凌晨4时气温最低，为-3 ℃ B.14时气温最高,为8 ℃ C.从0时至 14时，气温随时间的增长而上升 D.从14时至 24时，气温随时间的增长而下降 C 6.小军上午从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中.小军离家的路程y(m)和所经过的时间x(min)之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A.小军家与超市相距3000 m B.小军去超市途中的速度是 300 m/min C.小军在超市逗留了30min D.小军从超市返回家比从家里去超市的速度快 D 7.小红星期天从家里出发，骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家.以下是她本次去舅舅家所用的时间与路程的关系示意图.根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小红家到舅舅家的路程是_____米，小红在商店停留了__分钟； (2)在小红骑车去舅舅家的途中，最快的骑行速度是_____米/分； (3)本次去舅舅家的行程中，小红共骑行了多少米?一共用了多少分钟? 解：小红共骑行了 1200+600+900= 2 700(米),共用了 14分钟。 1500 4 450 课堂小结 函数的图象 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 用描点法画函数图象的一般步骤 第一步：列表 第二步：描点 第三步：连线 这节课有什么收获呢？ 添加背景，赋予实际意义 从中获取信息，解决实际问题 函数图象 （一）基础层: 课后分层作业作业 教材96页习题22.1第3，4，7题；教材107-108页 习题22.2第1，2，3，4，5，6，7，8题. 课后分层作业作业 （二）拓展延伸层: 1.如图 1,动点 P从菱形ABCD的顶点A出发，沿边 AB→BC匀速运动,运动到点C时停止.设点 P 的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点 P 运动到BC 的中点时，PO的长为( ) A.2 B.3 C 2.如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设点P经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ） A. B. C. D. B $