8.6.3 平面与平面垂直 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册
- 理解二面角及其平面角的概念，会求简单二面角的大小.
- 掌握平面与平面垂直的定义、判定定理与性质定理.
- 能运用定理证明面面垂直、由面面垂直推导线面垂直，解决简单空间几何问题，体会空间“线线—线面—面面”垂直的转化思想.
- 二面角平面角的定义与求法.
- 平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
- 平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
- 二面角平面角的构造与计算.
- 面面垂直的性质定理中“面内垂直于交线”的条件.
- 三种垂直关系的相互转化.
- 问题引入：
打开的门与地面之间、书页与书页之间，它们“张开”的程度如何描述？
数学中引入二面角来刻画两个相交平面的位置关系.
定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做棱，两个半平面叫做面.
- 二面角的平面角：
在二面角 
的棱 
上任取一点 
，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线 
和 
，则 
叫做二面角的平面角.
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二面角的大小用其平面角来度量，范围是 
.
当平面角为 
时，称为直二面角，此时两个平面互相垂直.
- 思考：
(1) 平面角的大小是否与点 的位置有关？
（无关，由等角定理保证.）
(2) 如何构造二面角的平面角？
（常用定义法、垂线法、垂面法.）
- 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.
- 平面角：以棱上一点为顶点，在两个半平面内作垂直于棱的射线所成的角.
- 范围：
；
时两平面垂直.
- 判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
符号：
，
.
图形：画一条直线 
垂直于平面 
，且 在平面 
内，则 
.
- 辨析：
(1) 若一个平面内有无数条直线垂直于另一个平面，两平面是否一定垂直？
（不一定，若这些直线都平行，则不能保证.）
(2) 判定定理中的“垂线”必须垂直于另一平面，而不是平面内的某条直线.
- 应用：
证明面面垂直的关键是：在一个平面内找到一条直线垂直于另一个平面.
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- 面面垂直判定定理：线面垂直 ⇒ 面面垂直.
- 步骤：证线面垂直 → 线在面内 → 得面面垂直.
- 性质定理：
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
符号：
，
，
，
.
图形：画两个垂直平面，交线为 ，在 内画 
，则 
.
- 辨析：
(1) 若 ，则 内的任意直线都垂直于 吗？
（不，只有垂直于交线的直线才垂直于 .）
(2) 该定理可用于由面面垂直推导线面垂直.
- 应用：
常结合面面垂直定位垂线，从而证明线面垂直或计算线面角.
- 面面垂直性质定理：面面垂直 ⇒ 线面垂直（需垂直于交线）.
- 核心：交线的垂线即另一平面的垂线.
- 例1（求二面角）：
在正方体 
中，求截面 
与底面 
所成锐二面角 
的正切值.
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