8.6.3 平面与平面垂直 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章 立体几何初步 8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.3 平面与平面垂直 【学习目标】 1. 理解二面角及其平面角的概念，会求简单二面角的大小. 1. 掌握平面与平面垂直的定义、判定定理与性质定理. 1. 能运用定理证明面面垂直、由面面垂直推导线面垂直，解决简单空间几何问题，体会空间“线线—线面—面面”垂直的转化思想. 【学习重点】 1. 二面角平面角的定义与求法. 2. 平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 3. 平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 【学习难点】 1. 二面角平面角的构造与计算. 2. 面面垂直的性质定理中“面内垂直于交线”的条件. 3. 三种垂直关系的相互转化. 学习任务一 二面角的概念与平面角 【合作探究】 1. 问题引入： · 打开的门与地面之间、书页与书页之间，它们“张开”的程度如何描述？ · 数学中引入二面角来刻画两个相交平面的位置关系. · 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做棱，两个半平面叫做面. 1. 二面角的平面角： · 在二面角 的棱 上任取一点 ，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线 和 ，则 叫做二面角的平面角. · 二面角的大小用其平面角来度量，范围是 . · 当平面角为 时，称为直二面角，此时两个平面互相垂直. 1. 思考： (1) 平面角的大小是否与点 的位置有关？ · （无关，由等角定理保证.） (2) 如何构造二面角的平面角？ · （常用定义法、垂线法、垂面法.） 【自主梳理】 1. 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形. 1. 平面角：以棱上一点为顶点，在两个半平面内作垂直于棱的射线所成的角. 1. 范围：； 时两平面垂直. 学习任务二 平面与平面垂直的判定定理 【合作探究】 1. 判定定理： · 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. · 符号：，. · 图形：画一条直线 垂直于平面 ，且 在平面 内，则 . 1. 辨析： (1) 若一个平面内有无数条直线垂直于另一个平面，两平面是否一定垂直？ · （不一定，若这些直线都平行，则不能保证.） (2) 判定定理中的“垂线”必须垂直于另一平面，而不是平面内的某条直线. 1. 应用： · 证明面面垂直的关键是：在一个平面内找到一条直线垂直于另一个平面. 【自主梳理】 1. 面面垂直判定定理：线面垂直 ⇒ 面面垂直. 2. 步骤：证线面垂直 → 线在面内 → 得面面垂直. 学习任务三 平面与平面垂直的性质定理 【合作探究】 1. 性质定理： · 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. · 符号：，，，. · 图形：画两个垂直平面，交线为 ，在 内画 ，则 . 1. 辨析： (1) 若 ，则 内的任意直线都垂直于 吗？ · （不，只有垂直于交线的直线才垂直于 .） (2) 该定理可用于由面面垂直推导线面垂直. 1. 应用： · 常结合面面垂直定位垂线，从而证明线面垂直或计算线面角. 【自主梳理】 1. 面面垂直性质定理：面面垂直 ⇒ 线面垂直（需垂直于交线）. 2. 核心：交线的垂线即另一平面的垂线. 学习任务四 综合应用（求二面角与证明垂直） 【合作探究】 1. 例1（求二面角）： · 在正方体 中，求截面 与底面 所成锐二面角 的正切值. · 解：取 中点 ，连接 、.易证 ，，故 为二面角的平面角.设棱长为 ，则 ，，. 1. 例2（证明面面垂直）： · 已知 是 的直径， 平面 ， 是圆周上不同于 的点.求证：平面 平面 . · 证明：因为 平面 ，所以 ；又 （直径所对圆周角为直角），且 ，故 平面 .又 平面 ，所以平面 平面 . 1. 例3（性质定理应用）： · 在四棱锥 中，底面 是矩形，平面 平面 ，， 为 中点.求证： 平面 . · 证明：由 ， 为 中点得 ；又平面 平面 ，交线为 ， 平面 ，且 ，由面面垂直性质定理得 平面 . 【自主梳理】 1. 求二面角常用步骤：一作（作平面角）、二证（证明所作角为平面角）、三求（计算）. 2. 垂直关系转化网络：线线垂直 ⇄ 线面垂直 ⇄ 面面垂直. 【自查自纠】（正误判断） 1. 二面角的平面角顶点必须在棱上，且两边分别垂直于棱. （ ） 1. 如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的所有直线都垂直于另一个平面. （ ） 1. 如果一条直线垂直于一个平面，那么过这条直线的平面垂直于该平面. （ ） 1. 若两个平面垂直，则它们的交线垂直于其中一个平面. （ ） 1. 平面与平面垂直的判定定理中，只需证明一个平面内有一条直线垂直于另一个平面内的某条直线即可. （ ） 答案：1.√ 2.× 3.√ 4.× 5.× 【典例分析】 例1：在正方体 中，求二面角 的平面角的余弦值. 解：取 中点 ，连接 、.易证 ，，故 为所求二面角的平面角.设棱长为 ，则 ，，同理 ，.在 中，由余弦定理 . 例2：在正三棱柱 中， 是棱 的中点.求证：平面 平面 . 证：因为 是正三角形， 为 中点，所以 .又正三棱柱侧棱 底面 ，故 .而 与 相交于 ，所以 平面 .又 平面 ，因此平面 平面 . 【习题巩固】 1. 下列说法正确的是（ ） · A. 若一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则两平面平行 · B. 若一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两平面垂直 · C. 若两个平面垂直，则一个平面内的任意直线都垂直于另一个平面 · D. 若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 1. 在正方体 中，二面角 的正弦值为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 在三棱锥 中，平面 平面 ，，、 分别为 、 的中点，.求证： · (1) 平面 ； · (2) 平面 平面 . 1. 在四棱锥 中，底面 是矩形，平面 平面 ，， 为 中点.求证： · (1) 平面 ； · (2) . 1. （选做）在直三棱柱 中，，，，求二面角 的正切值. 【参考答案】 自查自纠：1.√ 2.× 3.√ 4.× 5.× 习题巩固： 1. D 1. B（提示：取 中点 ，连接 、， 为平面角，，则 ） 1. 证明： · (1) 由中位线得 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 . · (2) 由 ， 为 中点得 ，又平面 平面 ，交线 ， 平面 ，故 平面 ，所以 ；又 ，即 ，且 ？注意 与 不一定相交，但可证 平面 ，然后 ，再结合 等，略. 1. 见课堂例5，已证，略. 1. 解：取 中点 ，连接 、.易证 ，，故 为二面角 的平面角.，，. 学科网（北京）股份有限公司 $