1.导学案 20 第8章 8.6.3 平面与平面垂直(1)(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

8.6.3　平面与平面垂直(1) 　【学习目标】 1.理解二面角的有关概念,会作二面角的平面角,能求简单二面角平面角的大小.(数学抽象、数学运算) 2.了解面面垂直的定义,掌握面面垂直的判定定理,学会用判定定理证明垂直关系.(直观想象、逻辑推理) 必备知识·自主导学 一、二面角 1.定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形. 2.图形: 3.记作:二面角α-AB-β;二面角α-l-β; 二面角P-AB-Q;二面角P-l-Q. 4.二面角的平面角: (1)定义:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. (2)图形: (3)范围:0°≤∠AOB≤180°. 【思考】 1.二面角α-l-β的平面角的大小,与角的顶点O在棱上的位置有关吗?为什么? 提示:无关.如图,根据等角定理可知,∠AOB=∠A'O'B',即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关,只与二面角的大小有关. 【点拨】 　二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形,与平面几何中的角是不同的,它的大小用其平面角来度量. 二、平面与平面垂直 文字 语言 如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直 符号 语言 a⊂α,a⊥β⇒α⊥β 图形 语言 【思考】 2.过一点有多少个平面与已知平面垂直?为什么? 提示:过一点有无数个平面与已知平面垂直,虽然过一点有且只有一条直线和已知平面垂直,但是经过这条垂线的所有平面都和已知平面垂直. 【点拨】 　利用面面垂直的判定定理证明两个平面垂直,是通过证明线面垂直来实现的. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) 　(1)顶点在棱上,两条边分别在两个半平面内的角就是二面角的平面角. (×) 提示:二面角的平面角的两边与棱垂直. 　(2)二面角的平面角所在的平面与棱垂直. (√) 提示:由二面角的平面角的定义可知. 　(3)若一条直线垂直于一个平面,则经过这条直线的所有平面都与这个平面垂直. (√) 提示:由面面垂直的判定定理可知. 　(4)若平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线,则α⊥β. (×) 提示:平面α与平面β平行,垂直,相交但不垂直都有可能. 关键能力·师生共研 类型1求二面角(数学运算) 【典例1】(2025·上海高一检测)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=4, (1)二面角A1-BD-C1的余弦值为　　　　　　;  (2)二面角A1-BD-A的正切值为　　　　　　  ; (3)二面角A1-BD-B1的余弦值为　　　　　  . 【解析】(1)取BD的中点O,连接A1O,C1O,A1C1,如图所示: 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 因为AB=AD=AA1=4, 所以BD=A1C1=A1D=A1B=BC1=DC1==4, 所以BO=DO=2, 所以A1O⊥BD,C1O⊥BD,且A1O=C1O==2. 所以∠A1OC1为二面角A1-BD-C1的平面角, cos∠A1OC1==. (2)如图所示,连接AC交BD于点O,连接A1O,则O为BD的中点. 因为A1D=A1B, 所以在△A1BD中,A1O⊥BD. 又在正方形ABCD中,AC⊥BD,所以∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角. 因为AA1=4,所以AO=2,所以tan∠A1OA=. (3)取BD的中点O,连接B1D1,取B1D1的中点O1,连接OO1,A1O1,如图所示: 因为OO1⊥平面ABCD,OO1⊥平面A1B1C1D1, 所以OO1⊥BD,OO1⊥A1O1, 所以∠A1OO1为二面角A1-BD-B1的平面角, 由(1)知,A1O⊥BD,且A1O=2, 又OO1=4,所以cos∠A1OO1==. 答案:(1)　(2)　(3) 【总结升华】 　(1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线. (2)垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角. 【即学即练】 　如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上一点(不同于A,B)且PA=AC,则二面角P-BC-A的大小为　　　　　.  【解析】由条件得PA⊥BC,AC⊥BC,又PA∩AC=A,且PA,AC⊂平面PAC, 所以BC⊥平面PAC,所以PC⊥BC, 所以∠PCA为二面角P-BC-A的平面角. 在Rt△PAC中,由PA=AC得∠PCA=45°. 答案:45° 类型2平面与平面垂直的证明(逻辑推理) 角度1　定义法 【典例2】将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折叠,使得BD=1,则此时平面ABC与平面ACD　　　　　　(填“垂直”或“不垂直”).  【解析】设翻折前AC与BD相交于点O,则OB⊥AC,OD⊥AC,而翻折之后的图形如图所示,所以∠BOD为平面ABC与平面ACD所成二面角的平面角.因为OB=OD=,BD=1, 所以△BOD为等腰直角三角形,且∠BOD=, 所以平面ABC与平面ACD垂直. 答案:垂直 【总结升华】 　定义法证明两个平面垂直的步骤 (1)找出两个相交平面的平面角; (2)证明这个平面角是直角; (3)根据定义,这两个平面互相垂直. 【即学即练】 　如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠ABC=45°,AB=AC, 求证:平面PAB⊥平面PAC. 【证明】因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥AC,所以∠BAC为二面角B-PA-C的平面角, 因为∠ABC=45°,AB=AC, 所以∠BAC=90°,即二面角B-PA-C的平面角为90°,所以平面PAB⊥平面PAC. 角度2　判定定理法 【典例3】如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点.求证:平面ABM⊥平面A1B1M. 【证明】由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1, 又BM⊂平面BCC1B1,所以A1B1⊥BM. 又CC1=2,M为CC1的中点,所以C1M=CM=1. 在Rt△B1C1M中,B1M==, 同理BM==,又B1B=2, 所以B1M2+BM2=B1B2,所以BM⊥B1M. 又A1B1∩B1M=B1,A1B1,B1M⊂平面A1B1M, 所以BM⊥平面A1B1M,因为BM⊂平面ABM, 所以平面ABM⊥平面A1B1M. 【总结升华】 面面垂直证明的关键 　利用线面垂直证明面面垂直时,关键是确定“线”,即在其中一个平面内找一条直线与另一个平面垂直.一方面要分析图形中已有的垂直关系,另一方面要注意积累常见的线面垂直关系模型,能够直观进行判断选择. 【即学即练】 　(2025·新高考Ⅰ卷)如图所示的四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,BC∥AD,AB⊥AD.求证:平面PAB⊥平面PAD. 【证明】在四棱锥P-ABCD中, PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AB⊂平面ABCD, 所以AP⊥AB, 因为AP⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,AP∩AD=A,所以AB⊥平面PAD,因为AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD. - 8 - 学科网（北京）股份有限公司 $01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 8.6.3　平面与平面垂直(1) 内容概览 【学习目标】 1.理解二面角的有关概念,会作二面角的平面角,能求简单二面角平面角的大小.(数学抽象、数学运算) 2.了解面面垂直的定义,掌握面面垂直的判定定理,学会用判定定理证明垂直关系.(直观想象、逻辑推理) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 一、二面角 1.定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形. 2.图形: 3.记作:二面角α-AB-β;二面角α-l-β; 二面角P-AB-Q;二面角P-l-Q. 返回 4.二面角的平面角: (1)定义:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作_____于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. (2)图形: (3)范围:0°≤∠AOB≤180°. 垂直 返回 【思考】 1.二面角α-l-β的平面角的大小,与角的顶点O在棱上的位置有关吗?为什么? 提示:无关.如图,根据等角定理可知,∠AOB=∠A'O'B',即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关,只与二面角的大小有关. 返回 【点拨】 　二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形,与平面几何中的角是不同的,它的大小用其平面角来度量. 二、平面与平面垂直 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直 符号语言 a⊂α,a⊥β⇒α⊥β 图形语言 返回 【思考】 2.过一点有多少个平面与已知平面垂直?为什么? 提示:过一点有无数个平面与已知平面垂直,虽然过一点有且只有一条直线和已知平面垂直,但是经过这条垂线的所有平面都和已知平面垂直. 【点拨】 　利用面面垂直的判定定理证明两个平面垂直,是通过证明线面垂直来实现的. 返回 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)顶点在棱上,两条边分别在两个半平面内的角就是二面角的平面角.( ) 提示:二面角的平面角的两边与棱垂直. (2)二面角的平面角所在的平面与棱垂直.( ) 提示:由二面角的平面角的定义可知. (3)若一条直线垂直于一个平面,则经过这条直线的所有平面都与这个平面垂直.( ) 提示:由面面垂直的判定定理可知. (4)若平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线,则α⊥β.( ) 提示:平面α与平面β平行,垂直,相交但不垂直都有可能. × √ √ × 返回 02 关键能力•师生共研 返回 类型1 求二面角(数学运算) 【典例1】(2025·上海高一检测)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=4, (1)二面角A1-BD-C1的余弦值为　　　　　　;  (2)二面角A1-BD-A的正切值为　　　　　　  ; (3)二面角A1-BD-B1的余弦值为　　　　　  . 返回 【解析】(1)取BD的中点O,连接A1O,C1O,A1C1,如图所示: 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 因为AB=AD=AA1=4, 所以BD=A1C1=A1D=A1B=BC1=DC1==4, 所以BO=DO=2, 所以A1O⊥BD,C1O⊥BD,且A1O=C1O==2. 所以∠A1OC1为二面角A1-BD-C1的平面角, cos∠A1OC1==. 返回 (2)如图所示,连接AC交BD于点O,连接A1O,则O为BD的中点. 因为A1D=A1B, 所以在△A1BD中,A1O⊥BD. 又在正方形ABCD中,AC⊥BD,所以∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角. 因为AA1=4,所以AO=2,所以tan∠A1OA=. 返回 (3)取BD的中点O,连接B1D1,取B1D1的中点O1,连接OO1,A1O1,如图所示: 因为OO1⊥平面ABCD,OO1⊥平面A1B1C1D1, 所以OO1⊥BD,OO1⊥A1O1, 所以∠A1OO1为二面角A1-BD-B1的平面角, 由(1)知,A1O⊥BD,且A1O=2, 又OO1=4,所以cos∠A1OO1==. 答案:(1)　(2)　(3) 返回 【总结升华】 (1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线. (2)垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角. 返回 【即学即练】 　如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上一点(不同于A,B)且PA=AC,则二面角P-BC-A的大小为　　　　　.  返回 【解析】由条件得PA⊥BC,AC⊥BC,又PA∩AC=A,且PA,AC⊂平面PAC, 所以BC⊥平面PAC,所以PC⊥BC, 所以∠PCA为二面角P-BC-A的平面角. 在Rt△PAC中,由PA=AC得∠PCA=45°. 答案:45° 返回 类型2 平面与平面垂直的证明(逻辑推理) 角度1　定义法 【典例2】将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折叠,使得BD=1,则此时平面ABC与平面ACD　　　　　　(填“垂直”或“不垂直”).  返回 【解析】设翻折前AC与BD相交于点O,则OB⊥AC,OD⊥AC,而翻折之后的图形如图所示,所以∠BOD为平面ABC与平面ACD所成二面角的平面角.因为OB=OD=,BD=1, 所以△BOD为等腰直角三角形,且∠BOD=, 所以平面ABC与平面ACD垂直. 答案:垂直 返回 【总结升华】 　定义法证明两个平面垂直的步骤 (1)找出两个相交平面的平面角; (2)证明这个平面角是直角; (3)根据定义,这两个平面互相垂直. 返回 【即学即练】 　如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠ABC=45°,AB=AC, 求证:平面PAB⊥平面PAC. 返回 【证明】因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥AC,所以∠BAC为二面角B-PA-C的平面角, 因为∠ABC=45°,AB=AC, 所以∠BAC=90°,即二面角B-PA-C的平面角为90°,所以平面PAB⊥平面PAC. 返回 角度2　判定定理法 【典例3】如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点.求证:平面ABM⊥平面A1B1M. 返回 【证明】由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1, 又BM⊂平面BCC1B1,所以A1B1⊥BM. 又CC1=2,M为CC1的中点,所以C1M=CM=1. 在Rt△B1C1M中,B1M==, 同理BM==,又B1B=2, 所以B1M2+BM2=B1B2,所以BM⊥B1M. 又A1B1∩B1M=B1,A1B1,B1M⊂平面A1B1M, 所以BM⊥平面A1B1M,因为BM⊂平面ABM, 所以平面ABM⊥平面A1B1M. 返回 【总结升华】 面面垂直证明的关键 　利用线面垂直证明面面垂直时,关键是确定“线”,即在其中一个平面内找一条直线与另一个平面垂直.一方面要分析图形中已有的垂直关系,另一方面要注意积累常见的线面垂直关系模型,能够直观进行判断选择. 返回 【即学即练】 　(2025·新高考Ⅰ卷)如图所示的四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,BC∥AD,AB⊥AD.求证:平面PAB⊥平面PAD. 返回 【证明】在四棱锥P-ABCD中, PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AB⊂平面ABCD, 所以AP⊥AB, 因为AP⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,AP∩AD=A,所以AB⊥平面PAD,因为AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD. 返回 $