8.6.2 直线与平面垂直 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章 立体几何初步 8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.2 直线与平面垂直 【学习目标】 1. 理解直线与平面垂直的定义，掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理，能准确运用定理判断、证明线面垂直关系；了解直线与平面所成角的定义及求解方法，能进行简单计算. 1. 通过情境观察、动手操作、合作探究，经历线面垂直定义的抽象过程和判定定理的推导过程，提升空间想象能力、逻辑推理能力，体会“线线垂直”到“线面垂直”的转化思想. 1. 通过探究过程培养严谨的思维习惯和合作交流意识，了解数学史中相关定理的发展. 【学习重点】 1. 直线与平面垂直的定义：如果直线 与平面 内的任意一条直线都垂直，则 . 2. 判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直. 3. 性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行. 4. 直线与平面所成的角：斜线与它在平面内的射影所成的锐角（或直角）. 【学习难点】 1. 理解定义中“任意一条直线”与判定定理中“两条相交直线”的区别. 2. 求直线与平面所成角时，关键是找到斜线在平面内的射影. 3. 综合运用线面垂直的判定与性质进行证明. 学习任务一 直线与平面垂直的定义与判定 【合作探究】 1. 问题引入： · 观察旗杆与地面、桥墩与桥面，它们的位置关系是“垂直”.如何定义一条直线与一个平面垂直？ · 如果直线 与平面 内的任意一条直线都垂直，则称 . 定义中的“任意一条”不能改为“无数条”，因为平面内无数条平行直线并不足以保证垂直. 1. 动手操作： · 取三角形纸片，作 边上的高 ，将纸片折起使 、 在桌面上，观察 与桌面的关系： (1) 当 时， 与桌面垂直； (2) 当 不垂直于 时， 与桌面不垂直. · 启发：一条直线与平面内两条相交直线垂直，则与平面垂直. 1. 判定定理： · 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直. · 符号：，，，，. 1. 辨析： (1) 若 垂直于平面 内的一条直线，能推出 吗？ · （不能，还需要垂直另一条相交直线.） (2) 若 垂直于平面 内的无数条直线，能推出 吗？ · （不一定，若这无数条直线都相互平行，则可能不垂直.） 【自主梳理】 1. 定义： 垂直于 内的所有直线. 2. 判定定理：线线垂直（相交） 线面垂直. 3. 应用：证明线面垂直时，需在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直. 学习任务二 直线与平面垂直的性质定理 【合作探究】 1. 观察与猜想： · 在正方体中，棱 底面，棱 底面，那么 与 有什么关系？ · （平行.） · 猜想：如果两条直线垂直于同一个平面，那么它们互相平行. 1. 性质定理： · 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行. · 符号：，. · 证明思路（反证法或利用定义和公理4）. 1. 推论： · 如果一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的任意直线（这是定义的一部分）. · 逆推：若 ，，则 . 1. 辨析： (1) 若 ，，则 吗？ · （正确.） (2) 若 ，，则 一定成立吗？ · （成立.） 【自主梳理】 1. 性质定理：垂直同一平面的两条直线平行. 2. 应用：用于证明直线平行，或由平行推线面垂直. 学习任务三 直线与平面所成的角 【合作探究】 1. 概念引入： · 一条直线与一个平面相交但不垂直时，称为平面的斜线.斜线与平面交点为斜足. · 过斜线上一点作平面的垂线，垂足与斜足的连线叫做斜线在平面内的射影. · 斜线与它的射影所成的锐角（或直角）叫做直线与平面所成的角. · 当直线垂直于平面时，所成角为 ；当直线平行于平面或在平面内时，所成角为 . 1. 求角步骤： (1) 确定斜线在平面内的射影（寻找垂足）. (2) 构造直角三角形，计算斜线与射影的夹角. (3) 确定角的范围（）. 1. 例题： · 在正方体中，求 与平面 所成角的正切值. · 解：连接 ，证明 平面 （或由对称性找到射影），计算 等. 【自主梳理】 1. 斜线、射影、线面角的定义. 2. 求线面角的关键：确定垂线、射影，构造直角三角形. 3. 常用方法：等体积法找垂距，或利用几何体的对称性. 【自查自纠】（正误判断） 1. 若直线 垂直于平面 内的无数条直线，则 . （ ） 1. 若直线 垂直于平面 ，则 垂直于 内的所有直线. （ ） 1. 如果两条直线都垂直于同一个平面，那么它们平行. （ ） 1. 直线与平面所成的角可以是钝角. （ ） 1. 斜线与平面所成的角等于斜线与平面内任意直线所成角的最小值. （ ） 答案：1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 【典例分析】 例1：在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 .求证： 平面 . 证明：因为底面 是正方形，所以 .又 平面 ， 平面 ，所以 .因为 与 相交于 ，且 平面 ，所以 平面 . 例2：在正方体 中，求直线 与平面 所成角的正切值. 解：连接 交 于点 ，易证 平面 ，所以 在平面 上的射影为 ， 即为所求.设棱长为 ，计算得 ，，，则 . 【习题巩固】 1. 下列条件中，能判定直线 平面 的是（ ） · A. 垂直于平面 内的一条直线 · B. 垂直于平面 内的两条平行直线 · C. 垂直于平面 内的两条相交直线 · D. 垂直于平面 内的无数条直线 1. 若直线 平面 ，直线 ，则 与 的位置关系是（ ） · A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 异面或相交 1. 在正方体 中，与直线 垂直的面对角线有（ ） · A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 1. 在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ，，，求直线 与平面 所成角的正切值. 1. （选做）在直三棱柱 中，，，，求 与平面 所成角的正弦值. 【参考答案】 自查自纠：1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 习题巩固： 1. C 1. B（，，则 ） 1. C（与 垂直的面对角线：？实际有 条） 1. 解：因为 平面 ，所以 在底面内的射影为 ， 为所求.，，所以 . 1. 解： 在底面 上的射影为 ， 为所求.，，，. 学科网（北京）股份有限公司 $