8.6.2 直线与平面垂直 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册
- 理解直线与平面垂直的定义，掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理，能准确运用定理判断、证明线面垂直关系；了解直线与平面所成角的定义及求解方法，能进行简单计算.
- 通过情境观察、动手操作、合作探究，经历线面垂直定义的抽象过程和判定定理的推导过程，提升空间想象能力、逻辑推理能力，体会“线线垂直”到“线面垂直”的转化思想.
- 通过探究过程培养严谨的思维习惯和合作交流意识，了解数学史中相关定理的发展.
- 直线与平面垂直的定义：如果直线
与平面 
内的任意一条直线都垂直，则 
. - 判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.
- 性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.
- 直线与平面所成的角：斜线与它在平面内的射影所成的锐角（或直角）.
- 理解定义中“任意一条直线”与判定定理中“两条相交直线”的区别.
- 求直线与平面所成角时，关键是找到斜线在平面内的射影.
- 综合运用线面垂直的判定与性质进行证明.
- 问题引入：
观察旗杆与地面、桥墩与桥面，它们的位置关系是“垂直”.如何定义一条直线与一个平面垂直？
如果直线 与平面 内的任意一条直线都垂直，则称 .
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定义中的“任意一条”不能改为“无数条”，因为平面内无数条平行直线并不足以保证垂直.
- 动手操作：
取三角形纸片，作 
边上的高 
，将纸片折起使 
、
在桌面上，观察 与桌面的关系：
(1) 当 
时， 与桌面垂直；
(2) 当 不垂直于 时， 与桌面不垂直.
启发：一条直线与平面内两条相交直线垂直，则与平面垂直.
- 判定定理：
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.
符号：
，
，
，
，
.
- 辨析：
(1) 若 垂直于平面 内的一条直线，能推出 吗？
（不能，还需要垂直另一条相交直线.）
(2) 若 垂直于平面 内的无数条直线，能推出 吗？
（不一定，若这无数条直线都相互平行，则可能不垂直.）
- 定义：
垂直于 内的所有直线. - 判定定理：线线垂直（相交）
线面垂直. - 应用：证明线面垂直时，需在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直.
- 观察与猜想：
在正方体中，棱 
底面，棱 
底面，那么 
与 
有什么关系？
（平行.）
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猜想：如果两条直线垂直于同一个平面，那么它们互相平行.
- 性质定理：
如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.
符号：
，
.
证明思路（反证法或利用定义和公理4）.
- 推论：
如果一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的任意直线（这是定义的一部分）.
逆推：若 
，，则 
.
- 辨析：
(1) 若 ，
，则 吗？
（正确.）
(2) 若 ，，则 一定成立吗？
（成立.）
- 性质定理：垂直同一平面的两条直线平行.
- 应用：用于证明直线平行，或由平行推线面垂直.
- 概念引入：
一条直线与一个平面相交但不垂直时，称为平面的斜线.斜线与平面交点为斜足.
过斜线上一点作平面的垂线，垂足与斜足的连线叫做斜线在平面内的射影.
斜线与它的射影所成的锐角（或直角）叫做直线与平面所成的角.
当直线垂直于平面时，所成角为 
；当直线平行于平面或在平面内时，所成角为 
.
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