第九章《因式分解》专项拓展练 2025-2026学年苏科版八年级下册数学

**基本信息** 以“一提二看”为核心，构建从基础到拓展的因式分解方法体系，逻辑递进，典例覆盖中考高频应用，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础方法|1-5题|提公因式法、公式法（平方差/完全平方）|从多项式结构（项数、符号）切入，建立“项数→方法”对应关系| |拓展技巧|6-15题|十字相乘法、分组分解法、换元法|在基础方法上，通过换元简化复杂式、分组转化项数，体现化归思想| |综合应用|16-25题|配方法、面积法、整除证明|结合几何直观（面积模型）与代数推理（“幸运数”定义），强化模型意识与应用能力|

2025-2026八下数学《因式分解拓展》 【知识点拨】 1.提公因式法：优先检查多项式各项是否有公因式，若有则提取。 2.公式法： 平方差公式：适用于二项式且两项都是平方、符号一正一负的情况。 完全平方公式：适用于三项式，首末两项是平方且同号，中间项是首尾底数积的 2 倍。 3.十字相乘法：针对二次三项式 ax² ＋ bx ＋ c，若存在 p 和 q 使得 p ＋ q ＝ b 且 p×q ＝ ac，则原式可分解为 (x ＋ p)(x ＋ q)。例如，x² ＋ 5x ＋ 6 可分解为 (x ＋ 2)(x ＋ 3)。 4.拓展： 分组分解法： 配方法：通过加减常数将多项式配成完全平方式。 换元法：将复杂部分用新字母代替简化式子。 利用特殊值法：代入特殊值确定多项式系数。 解题时，一提（公因式）；二看（项数）：二项式考虑平方差公式，三项式考虑完全平方公式或十字相乘法，四项及以上考虑分组分解法。若常规方法不适用，再尝试其他方法。 1．化简（﹣2）＋（﹣2）2026，结果为（　　） A．﹣2 B．0 C．﹣2 D．2 2．若k为任意整数，则（2k＋3）2﹣4k2的值总能（　　） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 3．9998﹣993的结果最接近于（　　） A．9998 B．9997 C．9996 D．9995 4．已知68﹣1能被30～40之间的两个整数整除，这两个整数是（　　） A．31，33 B．33，35 C．35，37 D．37，39 5．若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“神秘数”（如4＝22﹣02，12＝42﹣22）．在1∼100这100个数中，“神秘数”的个数是（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 6．若A＝x2＋6y＋4，B＝﹣y2＋2x﹣6，则A，B的大小关系为（　　） A．A≥B B．A＜B C．A＞B D．A＝B 7．若实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣7x2＋4x﹣2024的值为（　　） A．﹣2027 B．﹣2026 C．﹣2025 D．﹣2024 8．已知a，b，c，d都是正数，如果M＝（a＋b＋c）（b＋c＋d），N＝（a＋b＋c＋d）（b＋c），那么M，N的大小关系是（　　） A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不确定 9．已知，则代数式a2＋b2＋c2﹣ab﹣bc﹣ca的值是　 　 ． 10．若△ABC的三边a、b、c满足a2＋ac﹣b（b＋c）＝0，则这个三角形是 　 　 三角形． 11．如图有三种类型卡片A、B、C，现用A型卡片3张，B型卡片k张，C型卡片4张一起拼成一个长方形．当k＝　 　 时，这个长方形的周长最长为 　 　 ． 12．（2026鼓楼区校级月考）下面是某同学对多项式（x2﹣4x＋2）（x2﹣4x＋6）＋4进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x＝y 原式＝（y＋2）（y＋6）＋4（第一步） ＝y2＋8y＋16（第二步） ＝（y＋4）2（第三步） ＝（x2﹣4x＋4）2（第四步） 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 　 　 ． A、提取公因式； B、平方差公式； C、两数和的完全平方公式； D、两数差的完全平方公式． （2）该同学因式分解的结果是否彻底 　 　 ．（填“彻底”或“不彻底”） 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 　 　 ． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x＋2）＋1进行因式分解． 13．因式分解： （1）25（a＋b）2﹣9（a﹣b）2；（2）16a2b﹣16a3﹣4ab2；（3）（x2﹣4x）2＋8（x2﹣4x）＋16． 14．试说明：两个连续奇数的平方差是这两个连续奇数和的2倍． 15．已知a是一个正整数，且a除以3余1，请说明a2＋4a＋4能被9整除． 【典型例题】 1．（春鼓楼区校级期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图①可以得到（a＋2b）（a＋b）＝a2＋3ab＋2b2．请回答下列问题： （1）写出图②中所表示的数学等式 　 　 ； （2）猜测（a＋b＋c＋d）2＝　 　 ； （3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： 已知a＋b＋c＝12，ab＋bc＋ca＝48，求a2＋b2＋c2的值； （4）在（3）的条件下，若a、b、c分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由． 2．（春鼓楼区校级月考）设n为正整数，且64n﹣7n能被57整除，证明：82n＋1＋7n＋2是57的倍数． 3．（ 鼓楼区校级月考）已知实数a，b，c，m，n满足，．求证：b2﹣8ac为非负数． 4．（春南京期中）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如M＝2x2﹣x＋6与N＝﹣2x2＋x﹣1互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5． （1）下列各组多项式互为“对消多项式”的是 　 　 （填序号）； ①3x2＋2x与3x2＋2；②x﹣6与﹣x＋2；③﹣5x2y3＋2xy与5x2y3﹣2xy﹣1． （2）多项式A＝（x﹣a）2与多项式B＝﹣bx2﹣2x＋b（a，b为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； （3）关于x的多项式C＝mx2＋6x＋4与D＝﹣m（x＋1）（x＋n）互为“对消多项式”，“对消值”为t．若a﹣b＝m，b﹣c＝mn，求代数式a2＋b2＋c2﹣ab﹣bc﹣ac＋2t的最小值． 5．（2026春深圳校级同步）如图1，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2． （1）请用含a，b的代数式表示S1＝　 　 ，S2＝　 　 ； （2）写出利用图形的面积关系所揭示的整式乘法公式：　 　 ； （3）利用这个公式说明216﹣1既能被3整除，又能被5整除，还能被17整除． 6．（春秦淮区校级月考）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“幸运数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“幸运数”． （1）请判断：36 　 　 “幸运数”；（填“是”或“不是”） （2）下面是两个同学演算后的发现，请判断真假，并说明理由． ①佳佳发现：两个连续偶数2k＋2和2k（其中k取非负整数）构造的“幸运数”也是4的倍数． ②琪琪发现：是“幸运数”． 【拓展】 因式分解：x3＋2x＋3＝　 　 ． 因式分解：x4﹣18x2＋81＝　 　 ． 因式分解：（a﹣2b）2﹣4a＋8b＋4． 因式分解：x4﹣3x2＋1＝　 　 ． 已知x＋y＝1，x3＋y3＝4，则x4＋y4＝ 　 　 ． 已知x，y，z满足xy＋yz＋zx＝118，则x2＋y2＋z2的最小值为 　 　 ． 已知实数a，b满足a2b2＋a2＋b2﹣6ab﹣2a＋2b＋5＝0，则a7﹣b7的值为　 　 ． 已知m2＋m﹣1＝0，则m3＋2m2＋2014＝　 　 ． ＝（x2＋6y＋4）﹣（﹣y2＋2x﹣6） ＝x2＋6y＋4＋y2﹣2x＋6 ＝（x2﹣2x＋1）＋（y2＋6y＋9） ＝（x﹣1）2＋（y＋3）2≥0， ∴A≥B， 故选：A． 7．（春玄武区校级月考）若实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣7x2＋4x﹣2024的值为（　　） A．﹣2027 B．﹣2026 C．﹣ D．﹣ 【解答】解：∵x2﹣2x﹣1＝0， ∴x2﹣2x＝1， ∴原式＝2x3﹣7x2＋4x﹣2024 ＝2（x3﹣2x2）﹣3x2＋4x﹣2024 ＝2x（x2﹣2x）﹣3x2＋4x﹣2024 ＝2x﹣3x2＋4x﹣2024 ＝﹣3（x2﹣2x）﹣2024 ＝﹣3﹣2024 ＝﹣2027， 故选：A． 8．（2026春玄武区校级月考）已知a，b，c，d都是正数，如果M＝（a＋b＋c）（b＋c＋d），N＝（a＋b＋c＋d）（b＋c），那么M，N的大小关系是（　　） A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不确定 【解答】解：设A＝a＋b＋c，B＝b＋c， ∵a，b，c，d都是正数， ∴A＞B， 则M＝（a＋b＋c）（b＋c＋d）＝A（B＋d）＝AB＋Ad， N＝（a＋b＋c＋d）（b＋c）＝（A＋d）B＝AB＋Bd， ∴M﹣N＝AB＋Ad﹣（AB＋Bd）＝（A﹣B）d， 而A＞B， ∴（A﹣B）d＞0， ∴M＞N． 故选A． 9．（2026鼓楼区校级开学）已知，则代数式a2＋b2＋c2﹣ab﹣bc﹣ca的值是　7　 ． 【解答】解：因为， 所以a﹣b1， b﹣c3， a﹣c2， a2＋b2＋c2﹣ab﹣bc﹣ca （a2＋b2＋c2﹣ab﹣bc﹣ca） ＝7． 故答案为：7． 10．若△ABC的三边a、b、c满足a2＋ac﹣b（b＋c）＝0，则这个三角形是 　等腰　 三角形． 【解答】解：∵a2＋ac﹣b（b＋c）＝0， ∴a2＋ac﹣b2﹣bc＝0 ∴（a﹣b）（a＋b＋c）＝0 ∵a＋b＋c≠0 ∴a﹣b＝0 ∴a＝b ∴该三角形是等腰三角形． 故答案为等腰． 11．（春玄武区校级月考）如图有三种类型卡片A、B、C，现用A型卡片3张，B型卡片k张，C型卡片4张一起拼成一个长方形．当k＝　13或7　 时，这个长方形的周长最长为 　8a＋10b ． 【解答】解：当k＝3×4＋1×1＝13时，3a2＋13ab＋4b2＝（3a＋b）（a＋4b），周长为：2[（3a＋b）＋（a＋4b）]＝8a＋10b； 当k＝3×1＋1×4＝7时，3a2＋7ab＋4b2＝（3a＋4b）（a＋b），周长为：2[（3a＋4b）＋（a＋b）]＝8a＋10b； 当k＝3×2＋1×2＝8时，3a2＋8ab＋4b2＝（3a＋2b）（a＋2b），周长为：2[（3a＋2b）＋（a＋2b）]＝8a＋8b； 即k＝13或7时，这个长方形的周长最长为8a＋10b． 故答案为：13或7；8a＋10b． 12．（2026春鼓楼区校级月考）下面是某同学对多项式（x2﹣4x＋2）（x2﹣4x＋6）＋4进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x＝y 原式＝（y＋2）（y＋6）＋4（第一步） ＝y2＋8y＋16（第二步） ＝（y＋4）2（第三步） ＝（x2﹣4x＋4）2（第四步） 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 C ． A、提取公因式； B、平方差公式； C、两数和的完全平方公式； D、两数差的完全平方公式． （2）该同学因式分解的结果是否彻底 　不彻底　 ．（填“彻底”或“不彻底”） 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 　（x﹣2）4 ． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x＋2）＋1进行因式分解． 【解答】解：（1）运用了C，两数和的完全平方公式； （2）x2﹣4x＋4还可以分解，分解不彻底； （x2﹣4x＋4）2＝（x﹣2）4． （3）设x2﹣2x＝y． （x2﹣2x）（x2﹣2x＋2）＋1， ＝y（y＋2）＋1， ＝y2＋2y＋1， ＝（y＋1）2， ＝（x2﹣2x＋1）2， ＝（x﹣1）4． 13．（春秦淮区校级期中）因式分解： （1）25（a＋b）2﹣9（a﹣b）2； （2）16a2b﹣16a3﹣4ab2； （3）（x2﹣4x）2＋8（x2﹣4x）＋16． 【解答】解：（1）25（a＋b）2﹣9（a﹣b）2 ＝（5a＋5b）2﹣（3a﹣3b）2． ＝（5a＋5b＋3a﹣3b）[5a＋5b﹣（3a﹣3b）] ＝（8a＋2b）（2a＋8b）． ＝4（4a＋b）（a＋4b）． （2）16a2b﹣16a3﹣4ab2 ＝﹣4a（4a2﹣4ab＋b2） ＝﹣4a（2a﹣b）2 （3）原式＝（x2﹣4x＋4）2 ＝[（x﹣2）2]2 ＝（x﹣2）4 14．（秋秦淮区校级月考）试说明：两个连续奇数的平方差是这两个连续奇数和的2倍． 【解答】证明：设两个连续奇数为2n﹣1，2n＋1（n为整数）， （2n＋1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n＋1＋2n﹣1）（2n＋1﹣2n＋1）＝2[（2n＋1）＋（2n﹣1）]， 即两个连续奇数的平方差是这两个连续奇数和的2倍． 15．（春鼓楼区校级期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图①可以得到（a＋2b）（a＋b）＝a2＋3ab＋2b2．请回答下列问题： （1）写出图②中所表示的数学等式 　（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc ； （2）猜测（a＋b＋c＋d）2＝a2＋b2＋c2＋d2＋2ab＋2ac＋2ad＋2bc＋2bd＋2cd ； （3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： 已知a＋b＋c＝12，ab＋bc＋ca＝48，求a2＋b2＋c2的值； （4）在（3）的条件下，若a、b、c分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由． 【解答】解：（1）（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc， 故答案为：（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc； （2）（a＋b＋c＋d）2＝a2＋b2＋c2＋d2＋2ab＋2ac＋2ad＋2bc＋2bd＋2cd， 故答案为：a2＋b2＋c2＋d2＋2ab＋2ac＋2ad＋2bc＋2bd＋2cd； （3）∵（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc， ∴122＝2×48＋（a2＋b2＋c2）， ∴a2＋b2＋c2＝144﹣96＝48； （4）∵a2＋b2＋c2＝48，ab＋ac＋bc＝48， ∴a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，即a2＋b2＋c2﹣ab﹣ac﹣bc＝0， ∴2a2＋2b2＋2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0， ∴（a2﹣2ab＋b2）＋（b2﹣2bc＋c2）＋（a2﹣2ac＋c2）＝0， ∴（a﹣b）2＋（b﹣c）2＋（a﹣c）2＝0， ∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，（a﹣c）2≥0， ∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，a﹣c＝0， ∴a＝b＝c， ∴该三角形是等边三角形． 16．（春建邺区校级期中）已知a是一个正整数，且a除以3余1，请说明a2＋4a＋4能被9整除． 【解答】解：∵a是一个正整数，且a除以3余1， ∴设 a＝3x＋1（x是非负整数）， a2＋4a＋4 ＝（3x＋1）2＋4（3x＋1）＋4 ＝9x2＋18x＋9 ＝9（x2＋2x＋1） ＝9（x＋1）2， ∵（x＋1）2是正整数， ∴9（x＋1）2能被9整除， ∴a2＋4a＋4能被9整除． 17．（春鼓楼区校级月考）设n为正整数，且64n﹣7n能被57整除，证明：82n＋1＋7n＋2是57的倍数． 【解答】证明：∵64n﹣7n能被57整除， ∴64n﹣7n＝57m（m为正整数），即82n＝57m＋7n， ∴82n＋1＋7n＋2＝8×82n＋49×7n ＝8（57m＋7n）＋49×7n ＝57（8m＋7n）， ∴82n＋1＋7n＋2是57的倍数． ∴， ∵a﹣b＝m，b﹣c＝mn， ∴a﹣c＝（a﹣b）＋（b﹣c）＝m＋mn＝6， ∴a2＋b2＋c2﹣ab﹣bc﹣ac＋2t ＝m2﹣4m＋32 ＝（m﹣2）2＋28， ∵（m﹣2）2≥0， ∴（m﹣2）2＋28≥28， 即a2＋b2＋c2﹣ab﹣bc﹣ac＋2t≥28， ∴代数式a2＋b2＋c2﹣ab﹣bc﹣ac＋2t的最小值是28． 20．（2026春深圳校级同步）如图1，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2． （1）请用含a，b的代数式表示S1＝a2﹣b2 ，S2＝　（a＋b）（a﹣b）　 ； （2）写出利用图形的面积关系所揭示的整式乘法公式：a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b）　 ； （3）利用这个公式说明216﹣1既能被3整除，又能被5整除，还能被17整除． 【解答】解：（1），S2＝（a＋b）（a﹣b）， 故答案为：a2﹣b2，（a＋b）（a﹣b）； （2）∵S1＝S2， ∴a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b）； 故答案为：a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b）； （3）原式＝（28＋1）（28﹣1） ＝（28＋1）（24＋1）（24﹣1） ＝（28＋1）（24＋1）（22＋1）（22﹣1） ＝（28＋1）（24＋1）（22＋1）（2＋1）（2﹣1）， ＝（28＋1）×17×5×3， ∴216﹣1既能被3整除，又能被5整除，还能被17整除． 21．（春秦淮区校级月考）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“幸运数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“幸运数”． （1）请判断：36 　是　 “幸运数”；（填“是”或“不是”） （2）下面是两个同学演算后的发现，请判断真假，并说明理由． ①佳佳发现：两个连续偶数2k＋2和2k（其中k取非负整数）构造的“幸运数”也是4的倍数． ②琪琪发现：是“幸运数”． 【解答】解：（1）∵36＝102﹣82， ∴36是“幸运数”， 故答案为：是； （2）①佳佳的发现结论正确，理由如下： ∵两个连续偶数2k＋2和2k（其中k取非负整数）构造了“幸运数”， ∴（2k＋2）2﹣（2k）2 ＝4k2＋8k＋4﹣4k2 ＝8k＋4 ＝4（2k＋1）， ∴两个连续偶数2k＋2和2k（其中k取非负整数）构造的“幸运数”也是4的倍数． ②琪琪的发现结论错误，理由如下： 由①得：4（2k＋1）＝， 解得：k＝252.5， ∵k不是整数， ∴琪琪的发现不成立，不是“幸运数”． 22．（秦淮区校级自主招生）因式分解：x3＋2x＋3＝　（x＋1）（x2﹣x＋3）　 ． 【解答】解：x3＋2x＋3 ＝x3﹣x＋3x＋3 ＝x（x2﹣1）＋3（x＋1） ＝x（x＋1）（x﹣1）＋3（x＋1） ＝（x＋1）[x（x﹣1）＋3] ＝（x＋1）（x2﹣x＋3）． 故答案为：（x＋1）（x2﹣x＋3）． 23．（鼓楼区校级自主招生）因式分解：x4﹣18x2＋81＝　（x＋3）2（x﹣3）2 ． 【解答】解：x4﹣18x2＋81＝（x2﹣9）2＝（x＋3）2（x﹣3）2． 故答案为：（x＋3）2（x﹣3）2． 24．（温江区校级自主招生）已知m2＋m﹣1＝0，则m3＋2m2＋2014＝　2015　 ． 【解答】解：∵m2＋m﹣1＝0， ∴m2＋m＝1， ∴m3＋2m2＋2014 ＝m（m2＋m）＋m2＋2014 ＝m2＋m＋2014 ＝1＋2014 ＝2015． 故答案为：2015． 25．（鼓楼区校级自主招生）因式分解：x4﹣3x2＋1＝　（x2＋x﹣1）（x2﹣x﹣1）　 ． 【解答】解：x4﹣3x2＋1 ＝x4﹣2x2＋1﹣x2 ＝（x2﹣1）2﹣x2 ＝（x2＋x﹣1）（x2﹣x﹣1）． 故答案为：（x2＋x﹣1）（x2﹣x﹣1）． 第1页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $