考点08 因式分解75道计算题专训（专项训练）数学新教材苏科版八年级下册

考点08 因式分解75道计算题专训 考点一：提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 考点二：公式法分解因式 平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 考点三：十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在，则 考点四：分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 题型一：已知因式分解的结果求参数 1．（25-26八年级上·广东广州·期末）在分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，求的值． 2．（25-26七年级下·江苏·专题练习）二次三项式可分解为两个因式的积，且其中一个因式为 ．求另一个因式及b的值． 3．（24-25八年级下·河南郑州·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ∴，解得：，， ∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 4．（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料，并解决问题． 已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值． 解：设另一个因式是，则． 可得：． 所以 解得 所以另一个因式是，m的值是22． 请你理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值． 5．（25-26八年级上·重庆万州·期中）阅读材料，完成下列问题． 材料一：已知多项式有一个因式是，求的值． 解：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故． 材料二：已知多项式除以所得的余数为3，求的值． 解：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故． (1)已知多项式有一个因式是，则的值为 ； (2)已知多项式有两个因式分别是和，求和的值； (3)已知多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少11，求的值． 题型二：提公因式分解因式 6．（25-26八年级下·江苏·专题练习）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 7．（25-26八年级下·江苏·专题练习）把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． 8．（25-26七年级下·江苏·专题练习）把下列各式分解因式： (1)． (2)． 9．（25-26八年级上·河南濮阳·月考）用提公因式法将下列各式因式分解： (1)； (2)． (3)． 10．（25-26八年级上·广西崇左·月考）因式分解： (1)； (2)； (3)． 题型三：平方差公式分解因式 11．（25-26八年级下·江苏·专题练习）因式分解：_______． 12．（25-26七年级上·上海·专题练习）把因式分解的结果是________． 13．（24-25七年级下·江苏·专题练习）利用平方差公式分解因式： (1)； (2)； (3)． 14．（25-26七年级下·江苏·专题练习）已知多项式，，，为任意实数． (1)的值可能为负数吗？请说明理由． (2)化简：． 15．（25-26八年级上·江西宜春·期末）因式分解： (1)； (2)． 题型四：完全平方公式分解因式 16．（25-26八年级下·江苏·专题练习）把下列完全平方式因式分解： (1)； (2)． 17．（25-26七年级下·江苏徐州·月考）阅读材料，解答问题：若，求的值． 解：，即：， ∴，， ∴． 根据你的观察，探究下列问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)已知，，求的值． 18．（25-26八年级下·江苏·专题练习）对于二次三项式，可以直接用完全平方公式将它因式分解成．但对于二次三项式，就不能直接用完全平方公式因式分解，因此常采用将加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，使整个式子的值不变．过程如下： ． 请你按照上面的方法因式分解： (1)． (2)． 19．（24-25八年级上·福建泉州·期末）因式分解： _____________ 20．（25-26八年级上·广东湛江·月考）已知，，，则代数式的值为______． 题型五：综合提公因式和公式法分解因式 21．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 22．（25-26八年级下·重庆·月考）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 23．（24-25八年级上·江苏南通·期末）因式分解： (1) (2)． 24．（24-25七年级下·江苏泰州·周测）把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 25．（25-26八年级下·江苏·专题练习）把下列各式分解因式： (1)． (2)． (3)． (4)． 题型六：有理数简算中的因式分解计算 26．（25-26八年级下·江苏·专题练习）利用因式分解简化计算：． 27．（2026八年级下·江苏·专题练习）运用简便方法计算： (1)． (2)． (3) 28．（25-26八年级上·江苏·专题练习）利用因式分解计算： (1)； (2)． 29．（24-25八年级上·江苏·单元测试）简便计算： (1)； (2) 30．（24-25八年级上·江苏·专题练习）利用因式分解计算： (1)； (2)； (3)． 题型七：十字相乘法分解因式 31．（2023九年级·甘肃武威·专题练习）因式分解：______． 32．（25-26七年级上·上海·期末）因式分解： 33．（25-26九年级上·陕西宝鸡·月考）【阅读与理解】将分解因式，我们可以按下面的方法： ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验证中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ，． ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”． 根据乘法原理：若，则或．所以方程可以这样求解：方程左边因式分解得，所以原方程的解为，． 【解决问题】 (1)试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③． (2)解方程． 34．（25-26八年级上·山东济宁·开学考试）在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 仿照上述方法进行因式分解． (1)； (2)． 35．（25-26八年级上·北京海淀·月考）阅读思考：将式子分解因式，这个式子的常数项，一次项系数，这个过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．这样我们可以得到． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式： ①； ②； (2)若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值为___________． 题型八：分组分解法分解因式 36．（2023七年级下·浙江·竞赛）分解因式： (1)； (2)． 37．（25-26八年级上·江西赣州·期末）要把多项式分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：，这种分解因式的方法叫做分组分解法． (1)请用上述方法分解因式：； (2)已知，，求式子的值； (3)已知的三边长，满足，试判断的形状． 38．（25-26八年级上·广东湛江·期末）阅读材料：在多项式因式分解中，存在一些无法直接用提公因式法或公式分解法分解的多项式．分组因式分解法是指将这类多项式重新分组后，再通过提公因式法或公式法继续分解的方法例如： ． 利用上述分解因式的方法，解决问题． (1)因式分解：； (2)若a，b，c是的三边，求证：； (3)求方程的整数解． 39．（25-26八年级上·江西上饶·期末）请仔细阅读材料，解答下列问题： 要把分解因式，它的各项没有公因式．不能提取公因式．这是四项式．也不能直接用公式法分解因式，可以先把它的前两项分成一组，后两项分成一组，通过分组分解因式．即． 这种因式分解的方法叫做分组分解法．利用分组分解法可以把多项式分解因式．又如： ． (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)已知，求的值． 40．（25-26八年级上·山东济宁·期末）我们常用的分解因式的方法有：提公因式法、公式法．当不能直接运用提公因式法或公式法分解因式时，我们可以将多项式中某些项适当地结合（或把某项适当地拆分）成为一组，利用分组法来分解因式． 例如：． 根据上述分解因式的方法尝试解答下列问题： (1)分解因式： ； (2)已知a，b，c是的三条边的长，且满足，判断的形状，并说明理由； (3)已知a，b，c是的三条边的长，求证：． 题型九：运用整体法分解因式 41．（25-26八年级上·山东烟台·期中）先阅读材料，再解答问题： 材料：因式分解：． 解：将看成整体，设，则原式， 再将代入，得． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想，请你用整体思想解答下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)求证：无论为何值，式子的值一定是一个不小于1的数． 42．（25-26八年级下·广东湛江·开学考试）【阅读材料】因式分解： 解：，将看成整体，令，则原式，将M还原，则原式．上述解题过程用到的是“整体思想”，请用“整体思想”解决以下问题： 【数学理解】（1）因式分解：； 【拓展探索】（2）证明：无论a，b取何值时，的值一定是非负数． 43．（25-26八年级上·山东泰安·期中）阅读材料，解决问题： 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 例如：分解因式． 解：原式 【材料2】因式分解： 解：将看成一个整体，设， 则原式，再将代入，得：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：； (2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：； 44．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）仔细分析例题，领会其中的思想方法：因式分解： 解：将“”看成整体，令，则原式，再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：____________； (2)因式分解． 45．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）阅读下列材料． 分解因式：． 解：将“”看成整体，令， 则原式． 再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法． 请你用“整体思想”解答下列问题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 题型十：运用因式分解法“配方”求最值 46．（24-25八年级下·甘肃白银·期中）阅读材料 对式子可以变化如下：原式此种变化抓住了完全平方公式的特点，先加一项，使这三项成为完全平方式，再减去加的项，我们把这种变化叫配方．请仔细体会配方的特点，然后尝试用配方解决下列问题： (1)分解因式：； (2)无论x取何值，代数式总有一个最小值，请尝试用配方求出它的最小值． 47．（25-26八年级上·云南昆明·期中）阅读材料：利用公式，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形叫做多项式的配方，运用多项式的配方及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例如： 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式： ① ②； (2)求多项式的最小值． 48．（25-26八年级上·山东德州·月考）我们通常运用“”这个公式对代数式进行配方来解决一些数学问题．比如求代数式的最小值时，可以这样做：．∵，∴，∴的最小值是．试利用“配方法”解决下列问题： (1)代数式的最小值是________； (2)求代数式的最小值． 49．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（为常数）写成（为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题． 【知识理解】： （1）若多项式是一个完全平方式，那么常数k的值为______； （2）配方：______﹔ 【知识运用】： （3）求多项式的最小值． 50．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）利用完全平方公式可将二次三项式进行配方，再根据平方差公式因式分解，例如： ．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)根据完全平方公式，将下列式子配方成的形式： ①_________，②_________； (2)利用“配方法”因式分解： ①；②． 题型十一：因式分解的新定义运算 51．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）若定义一种运算：， 如：． (1)计算：． (2)将（1）计算所得的多项式分解因式； 52．（24-25八年级下·福建漳州·期中）【新定义】如果a，b都是非零整数，且，那么就称a是“4倍数”． (1)【验证】淇淇说：是“4倍数”，通过简便计算判断他说得对错． (2)【证明】设三个连续偶数的中间数是（是整数），通过计算说明这三个连续偶数的平方和是“4倍数”． 53．（25-26八年级上·福建莆田·期中）定义：若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为，所以13是“完美数”； 再如：因为，所以也是“完美数”． (1)请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”可以是_____；判断53_______（请填写“是”或“否”）为“完美数”； (2)如果数m，n都是“完美数”，试说明是“完美数”． 54．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）新定义：如果一个正整数能表示为两个连续整数的平方和与1的差，则称这个正整数为“比肩数”．例如：；所以4，12，24都是“比肩数”． (1)初步感知：设两个连续正整数为和，当时，比肩数为___________； (2)进阶探究：请用含正整数的代数式表示“比肩数”，并判断60是否为比肩数； (3)拓展应用：试说明：对于任意正整数，两个连续的比肩数，之和是一个完全平方数的4倍． 55．（24-25八年级上·四川眉山·期中）我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． [解决问题] （1）已知34是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______； （2）若可配方成（m、n为常数），则______； [探究问题] （3）已知，则求的值； （4）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 1．（25-26八年级下·江苏南京·月考）因式分解 (1)； (2)． 2．（24-25七年级下·江苏南京·期中）因式分解： (1)； (2)． 3．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）因式分解： (1) (2) 4．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）[阅读材料] 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． [问题解决] (1)因式分解：； (2)因式分解：； 6．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)． 7．（25-26七年级下·江苏徐州·月考）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 比如，因为，所以当时，的值最小，最小值是0．所以． 所以当时，即时，的值最小，最小值是1．即的最小值是1． (1)求的最小值． (2)已知，则___________； (3)已知有理数x、y满足，求的最小值． 8．（25-26八年级上·福建龙岩·期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么就称正整数为“可乐数”．例如：，所以3，8，64都是“可乐数”． (1)在正整数：①12；②15；③18中，是“可乐数”的有 ；（填序号） (2)求证：当正整数时，是“可乐数”； (3)把所有的“可乐数”从小到大排列，求第2026个“可乐数”． 9．（25-26八年级上·甘肃定西·期末）阅读材料，并解答问题． 例题：求多项式的最小值． 解：， ，， ∴多项式的最小值是4． (1)请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是______； 当取最小值4时，______，______． (2)求多项式的最小值． 10．（2026八年级上·江苏无锡·专题练习）对于多项式，如果我们把代入此多项式，发现的值为0，这时可以确定多项式中有因式；同理，可以确定多项式中的另一个因式为，于是我们可以得到．这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式， (1)请你用试根法分解以下多项式： ①        ② (2)已知多项式是多项式的一个因式，求a，b的值，并将该多项式因式分解． 11．（25-26八年级上·山西·月考）若一个整数能表示成（是非零整数）的形式，则称这个数为“神秘平方数”． 例如：因为，所以5是“神秘平方数”． (1)请你写一个大于30小于40的“神秘平方数”：_______． (2)已知x，y是正整数，且，试判断M是否是“神秘平方数”，并说明理由． (3)已知（是常数），且无论x，y的值如何变化，S都为“神秘平方数”，请求出k的值． 12．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还可以用其他方法来因式分解，比如配方法，例如，要因式分解，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法．这时，我们可以采用下面的办法： ． (1)上述解题运用了转化的思想方法，使得原式变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法：显然上述因式分解并未结束，请补全的因式分解： (2)【实战演练】用配方法因式分解； (3)【拓展创新】当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． 13．（25-26八年级上·吉林·期末）第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式因式分解，可以先把它的前两项分成组，并提出，把它的后两项分成组，并提出，从而得，这时，由于中又有公因式，于是可提公因式，从而得到，因此有，这种因式分解的方法叫做分组分解法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）____________． 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解： ①_____________． ②_____________． 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是、、，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 14．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）阅读以下材料 材料：因式分解： 解：将“”看成整体，令，则原式 再将“”还原，得原式 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：______； (2)因式分解：； (3)因式分解： 15．（25-26八年级上·福建泉州·期中）教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式：． ； 再如：求代数式的最小值． ， 可知当时，有最小值，最小值是-8． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：__________________． (2)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 16．（25-26八年级上·江苏·单元测试）【阅读材料】 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 (1)因式分解：． (2)因式分解：． (3)证明：若为正整数，则式子的值一定是某个整数的平方． 17．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． (1)解决问题：已知29是“完美数”，请将它写成（a，b是整数）的形式________； (2)探究问题：已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由； (3)拓展结论：已知x，y满足，求的最小值． 18．（24-25八年级上·江苏南通·期末）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：（）． (1)分解因式：； (2)若，都是正整数且满足，求的值； (3)若，为实数且满足，整式，求整式的最小值。 19．（24-25八年级上·江苏南通·月考）阅读材料：若，求的值． 解：， ， ， ，， ． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知的三边长都是正整数，且满足，求的最大边的值； (3)已知，求的值． 20．（2025·江苏扬州·一模）我们知道能被3整除的数的规律，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数就能被3整除． 例如，三位数108，，9可以被3整除，108就能被3整除． 【发现】将三位数去掉末尾数字得到两位数，再用减去的2倍所得的差为．若能被7整除，则三位数就能被7整除． 【验证】如，对于三位数364，，28可以被7整除，364就能被7整除． （1）用上述方法判断455能否被7整除？ 【探究】（2）请用含，，的代数式表示 ； （3）结合（2）论证“发现”中的结论正确． 【迁移】（4）下列结论正确的是 ．（填序号） ①在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； ②在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； ③在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点08 因式分解75道计算题专训 考点一：提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 考点二：公式法分解因式 平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 考点三：十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在，则 考点四：分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 题型一：已知因式分解的结果求参数 1．（25-26八年级上·广东广州·期末）在分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，求的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查分解因式与整式乘法的关系，可以根据二者为互逆过程进行解答； 直接利用多项式乘法进而得出的值，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ． 2．（25-26七年级下·江苏·专题练习）二次三项式可分解为两个因式的积，且其中一个因式为．求另一个因式及b的值． 【答案】 另一个因式为 ， 【分析】本题考查了已知因式分解求参数，多项式乘多项式，熟练掌握因式分解的定义和多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．设另一个因式为，则，然后展开右边，通过比较系数即可解答． 【详解】解：设另一个因式为， 则， 展开右边：， 比较系数得：，， 解得，， ∴另一个因式为，． 3．（24-25八年级下·河南郑州·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ∴，解得：，， ∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】另一个因式为，的值为． 【分析】根据例题的方法进行计算即可求解． 【详解】解：设另一个因式为，得： ， 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，的值为． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式的应用，二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，准确进行计算． 4．（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料，并解决问题． 已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值． 解：设另一个因式是，则． 可得：． 所以 解得 所以另一个因式是，m的值是22． 请你理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值． 【答案】另一个因式是， 【分析】本题考查了因式分解，整式的乘法，掌握题中所给解题思路，知道因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算是解题的关键． 按题目中所给解题思路，按步骤求解即可． 【详解】解：设另一个因式是，则， 可得，， ，解得， 另一个因式是，m的值是3． 5．（25-26八年级上·重庆万州·期中）阅读材料，完成下列问题． 材料一：已知多项式有一个因式是，求的值． 解：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故． 材料二：已知多项式除以所得的余数为3，求的值． 解：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故． (1)已知多项式有一个因式是，则的值为 ； (2)已知多项式有两个因式分别是和，求和的值； (3)已知多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少11，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，因式分解的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的运算法则． （1）根据题干提供的方法，求解即可； （2）设，分别令，，得出方程组，解方程组即可； （3）令，再分别令，，结合多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少11，列出关于k的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算取，， 解得：． （2）解：设， 令，则， 令，则， 即， 解得：； （3）解：令， ， 令，则； 令，则； ∵多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少11， ， ， ， ， ． 题型二：提公因式分解因式 6．（25-26八年级下·江苏·专题练习）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】运用提公因式法分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 7．（25-26八年级下·江苏·专题练习）把下列各式因式分解： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，掌握先变形构造公因式，再提取公因式化简多项式是解题的关键． （1）先将变形为，使两项出现公因式，再提取公因式； （2）先将变形为，使两项出现公因式，再提取公因式； （3）先将变形为，使两项出现公因式，再提取公因式． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 8．（25-26七年级下·江苏·专题练习）把下列各式分解因式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提取公因式法因式分解，掌握通过变形统一公因式，以及多次提取公因式的技巧是解题的关键． （1）先变形，将转化为，再提取公因式； （2）直接提取公因式，再合并剩余部分的同类项； 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 9．（25-26八年级上·河南濮阳·月考）用提公因式法将下列各式因式分解： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查提公因式法分解因式，合并同类项，解题的关键是掌握提公因式法． （1）先转化使其有相同的公因式，再提取公因式即可； （2）先转化使其有相同的公因式，再提取公因式即可； （3）先提取公因式，然后合并同类项，再提取公因式即可； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 10．（25-26八年级上·广西崇左·月考）因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解； （1）提取公因式即可； （2）提取公因式即可； （3）提取公因式即可. 【详解】（1）解： . （2）解： . （3）解： . 题型三：平方差公式分解因式 11．（25-26八年级下·江苏·专题练习）因式分解：_______． 【答案】 【分析】本题考查利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 直接利用平方差公式进行因式分解，化简后再提公因式即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 12．（25-26七年级上·上海·专题练习）把因式分解的结果是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了公式法因式分解， 该多项式是平方差形式，根据公式分解即可． 【详解】解：原式 ． 13．（24-25七年级下·江苏·专题练习）利用平方差公式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用平方差公式因式分解； （1）先交换位置可得，然后利用平方差公式进行分解可得结果； （2）先提取公因式，然后利用平方差公式进行分解可得结果； （3）先整理为，然后利用平方差公式进行分解可得结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ; （3）解： ． 14．（25-26七年级下·江苏·专题练习）已知多项式，，，为任意实数． (1)的值可能为负数吗？请说明理由． (2)化简：． 【答案】(1)不可能为负数，见解析 (2) 【分析】本题考查了平方差公式的应用和非负数的性质，掌握用平方差公式简化多项式运算，结合完全平方的非负性判断代数式的正负是解题的关键． （1）代入的表达式，用平方差公式展开，化简后得到完全平方加正数的形式，利用非负数的性质判断值的正负 （2）利用平方差公式分解，再代入的表达式计算合并． 【详解】（1）解：不可能为负数．理由如下： ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴的值不可能为负数． （2）解： ． 15．（25-26八年级上·江西宜春·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解． （1）先提公因式，再利用平方差公式即可得到答案； （2）利用平方差公式因式分解即可得到答案． 【详解】（1）解： （2）解： 题型四：完全平方公式分解因式 16．（25-26八年级下·江苏·专题练习）把下列完全平方式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据完全平方公式进行分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 17．（25-26七年级下·江苏徐州·月考）阅读材料，解答问题：若，求的值． 解：，即：， ∴，， ∴． 根据你的观察，探究下列问题： (1)若，求的值． (2)若，求的值． (3)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可推出，再由非负数的性质可得答案； （2）根据已知条件可推出，再由非负数的性质可得x、y的值，最后代入求值即可； （3）求出，则可得到，即，利用非负数的性质求出b、c的值，进而求出a的值，最后代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．（25-26八年级下·江苏·专题练习）对于二次三项式，可以直接用完全平方公式将它因式分解成．但对于二次三项式，就不能直接用完全平方公式因式分解，因此常采用将加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，使整个式子的值不变．过程如下： ． 请你按照上面的方法因式分解： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查因式分解，完全平方公式，解答本题的关键是读懂材料，利用因式分解的方法解答． （1）根据例题先化成完全平方形式，然后根据平方差公式即可对题目中的式子进行因式分解； （2）根据例题先化成完全平方形式，然后根据平方差公式即可对题目中的式子进行因式分解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 . 19．（24-25八年级上·福建泉州·期末）因式分解： _____________ 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解．把看作是整体，利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为： 20．（25-26八年级上·广东湛江·月考）已知，，，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式因式分解．先求出的值，再利用恒等式进行计算． 【详解】解：已知， 则， ， ， 根据恒等式，将上述值代入可得： ． 故答案为：． 题型五：综合提公因式和公式法分解因式 21．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据提取公因式，完全平方公式以及平方差公式，使用合适的方法进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 22．（25-26八年级下·重庆·月考）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）将看作整体，利用完全平方公式进行初步分解，再利用平方差公式进行分解； （2）先提取公因式，再利用平方差公式进行分解； （3）先分组分解，再提取公因式； （4）设，提取公因式后，用十字相乘进行分解，再将还原成即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：， 设， 原式， ∵， ∴原式． 23．（24-25八年级上·江苏南通·期末）因式分解： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 24．（24-25七年级下·江苏泰州·周测）把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】根据因式分解的方法解题即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 25．（25-26八年级下·江苏·专题练习）把下列各式分解因式： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是掌握提取公因式法和公式法． （1）直接利用提公因式法进行因式分解即可； （2）先将变形为，然后利用提公因式法进行因式分解即可； （3）先将两个代数式分别提公因式，然后再利用提公因式法进行因式分解即可； （4）先提取公因式，再利用完全平方公式即可得到答案． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 题型六：有理数简算中的因式分解计算 26．（25-26八年级下·江苏·专题练习）利用因式分解简化计算：． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式因式分解，掌握识别完全平方公式的结构特征，用公式因式分解简化计算是解题的关键． 观察式子结构，发现其符合完全平方和公式的形式，用公式因式分解后简化计算． 【详解】解：原式 ． 27．（2026八年级下·江苏·专题练习）运用简便方法计算： (1)． (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解的简便运算，涉及提取公因式、平方差公式、完全平方公式，掌握观察式子结构，通过提取公因式或凑乘法公式简化计算是解题的关键． （1）提取公因式，再用平方差公式因式分解简化计算． （2）将转化为，凑完全平方公式因式分解． （3）统一各项系数为，提取公因式后计算括号内的和． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 28．（25-26八年级上·江苏·专题练习）利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解的应用， （1）将原式转化为，然后利用完全平方公式进行因式分解，再进行有理数的乘方运算； （2）将原式利用结合律进行分组，然后利用平方差公式进行因式分解，再进行乘法和加法运算； 掌握利用公式法进行因式分解是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ． 29．（24-25八年级上·江苏·单元测试）简便计算： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、平方差公式、乘法运算律等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）利用因式分解进行计算即可； （2）利用平方差公式进行计算和乘法运算律求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 30．（24-25八年级上·江苏·专题练习）利用因式分解计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）提公因式后再进行计算即可； （2）提公因式后，再用平方差公式计算即可；、 （3）提公因式后，再用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握利用因式分解进行计算是解题的关键． 题型七：十字相乘法分解因式 31．（2023九年级·甘肃武威·专题练习）因式分解：______． 【答案】 【详解】解：∵，且， ∴． 32．（25-26七年级上·上海·期末）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解的综合运用，涉及十字相乘法分解因式．先将看作一个整体，把原式转化为关于该整体的二次三项式，用十字相乘法分解；再对分解后得到的因式中可继续分解的部分，再次用十字相乘法分解，直至所有因式在有理数范围内均不能再分解． 【详解】解：原式， ． 33．（25-26九年级上·陕西宝鸡·月考）【阅读与理解】将分解因式，我们可以按下面的方法： ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验证中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ，． ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”． 根据乘法原理：若，则或．所以方程可以这样求解：方程左边因式分解得，所以原方程的解为，． 【解决问题】 (1)试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③． (2)解方程． 【答案】(1)①，；②，；③，； (2)，． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程——因式分解法，解题时要熟练掌握并能灵活运用“十字相乘法”是关键． （1）依据题意，根据“十字相乘法”逐个计算即可得解； （2）依据题意，根据“十字相乘法”进行计算即可得解． 【详解】（1）解：①， ，， ∴， ∴原方程的解为，； ②， ，， ∴， ∴原方程的解为，； ③， ，， ∴， ∴原方程的解为，． （2）， ，    ， ∴， ∴原方程的解为，． 34．（25-26八年级上·山东济宁·开学考试）在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 仿照上述方法进行因式分解． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了十字相乘法分解因式，解题的关键是理解十字相乘法中 “常数项为两数之积，一次项系数为两数之和” 的核心关系，并能找出符合条件的因数对． (1)用十字相乘法分解因式； (2)用十字相乘法分解因式． 【详解】（1）解：， 多项式的二次项系数是，常数项是，一次项系数是， 如图所示， （2）解：， 多项式的二次项系数是，常数项是，一次项系数是， 如图所示， ． 35．（25-26八年级上·北京海淀·月考）阅读思考：将式子分解因式，这个式子的常数项，一次项系数，这个过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．这样我们可以得到． 请仿照上面的方法，解答下列问题： (1)分解因式： ①； ②； (2)若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值为___________． 【答案】(1)①；② (2)， 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，理解并运用题中的分解因式方法是解题的关键． （1）①仿照题中十字相乘法将原式分解即可；②先根据平方差公式分解因式，再利用十字相乘法分解因式得出答案； （2）把8分为两个整数相乘，其和即为整数的值，写出即可． 【详解】（1）解：①； ② ； （2）∵，，，， ∴整数的可能值为：，，，， ∴整数的所有可能值为：，． 故答案为：，． 题型八：分组分解法分解因式 36．（2023七年级下·浙江·竞赛）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)可采用分组分解法，先分组提公因式，再利用平方差公式继续分解； (2)可采用拆项分组分解法，将多项式拆分为两组后分别分解，再提公因式得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 37．（25-26八年级上·江西赣州·期末）要把多项式分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：，这种分解因式的方法叫做分组分解法． (1)请用上述方法分解因式：； (2)已知，，求式子的值； (3)已知的三边长，满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2) (3)是等腰三角形． 【分析】（1）根据分组分解法因式分解即可； （2）先将所求代数式因式分解，再代入值求解即可； （3）根据分组分解法因式分解后，得到，即可得到结论． 【详解】（1）解： ． （2），， ． （3） ∵的三边长， ∴ ∴， ∴ ∴是等腰三角形． 38．（25-26八年级上·广东湛江·期末）阅读材料：在多项式因式分解中，存在一些无法直接用提公因式法或公式分解法分解的多项式．分组因式分解法是指将这类多项式重新分组后，再通过提公因式法或公式法继续分解的方法例如： ． 利用上述分解因式的方法，解决问题． (1)因式分解：； (2)若a，b，c是的三边，求证：； (3)求方程的整数解． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)或． 【分析】本题考查整式的运算，掌握因式分解、平方差公式以及多项式乘以多项式是解题的关键，． （1）根据分解因式的方法-分组分解法分解因式即可； （2）不等式左边分解因式后，根据两边之和大于第三边验证即可； （3）先进行因式分解，然后解方程组即可得到结论． 【详解】（1）解： （2）证明： ， ∵，， ∴，， ∴， 则； （3）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∵x，y为整数， ∴与也是整数， ∴， ∴或， ∴或． 39．（25-26八年级上·江西上饶·期末）请仔细阅读材料，解答下列问题： 要把分解因式，它的各项没有公因式．不能提取公因式．这是四项式．也不能直接用公式法分解因式，可以先把它的前两项分成一组，后两项分成一组，通过分组分解因式．即． 这种因式分解的方法叫做分组分解法．利用分组分解法可以把多项式分解因式．又如： ． (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，非负数的性质，解题的关键是掌握分组分解法． （1）根据分组分解法，结合平方差公式和完全平方公式，因式分解即可； （2）根据分组分解法，结合平方差公式和提公因式法，因式分解即可； （3）先将，变形为，然后根据非负数的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 解得：，， ∴． 40．（25-26八年级上·山东济宁·期末）我们常用的分解因式的方法有：提公因式法、公式法．当不能直接运用提公因式法或公式法分解因式时，我们可以将多项式中某些项适当地结合（或把某项适当地拆分）成为一组，利用分组法来分解因式． 例如：． 根据上述分解因式的方法尝试解答下列问题： (1)分解因式： ； (2)已知a，b，c是的三条边的长，且满足，判断的形状，并说明理由； (3)已知a，b，c是的三条边的长，求证：． 【答案】(1) (2)等腰三角形，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用分组法分解因式，即可求解； （2）根据分组法分解因式，等式可整理为，再根据三角形三边关系，得出即可说明； （3）根据分组法对不等式左边分解因式，得，再根据三角形三边关系，即可求证． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）等腰三角形，理由如下， ， ， ，即， a，b，c是的三条边的长， ， ，即， 则是等腰三角形； （3）证明：， a，b，c是的三条边的长， ，，即， ． 题型九：运用整体法分解因式 41．（25-26八年级上·山东烟台·期中）先阅读材料，再解答问题： 材料：因式分解：． 解：将看成整体，设，则原式， 再将代入，得． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想，请你用整体思想解答下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)求证：无论为何值，式子的值一定是一个不小于1的数． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了因式分解，掌握整体思想解决问题的方法是解题的关键． （1）将“”看成整体，令，则原式，再将“”还原，得原式； （2）将“”看成整体，令，则原式，再将“”还原，得原式； （3）先由，运用整体思想，再即可得到式子的值一定是一个不小于1的数． 【详解】（1）解：令， 原式， 将“”还原，得原式； （2）解：令， 原式 ， 将“”还原，得： 原式； （3）证明：令， 原式 ， 将还原， 原式， 因为无论为何值， 所以． 即式子的值一定是一个不小于1的数． 42．（25-26八年级下·广东湛江·开学考试）【阅读材料】因式分解： 解：，将看成整体，令，则原式，将M还原，则原式．上述解题过程用到的是“整体思想”，请用“整体思想”解决以下问题： 【数学理解】（1）因式分解：； 【拓展探索】（2）证明：无论a，b取何值时，的值一定是非负数． 【答案】（1）；（2）见详解 【分析】（1）令，根据题中所给方法进行求解即可； （2）令，然后去括号，再根据题中所给方法进行因式分解，然后根据平方的非负性即可得证． 【详解】（1）解：将看成整体，令， 则原式， 将A还原，则原式． （2）证明：将看成整体，令， 则原式， 将B还原，则原式， ∵， ∴无论a，b取何值时，的值一定是非负数． 43．（25-26八年级上·山东泰安·期中）阅读材料，解决问题： 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 例如：分解因式． 解：原式 【材料2】因式分解： 解：将看成一个整体，设， 则原式，再将代入，得：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：； (2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握公式法和整体思想． （1）配方为完全平方式，然后再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）利用整体思想和完全平方公式进行因式分解． 【详解】（1）解：； （2）解：设， 则原式 将代入得， 原式． 44．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）仔细分析例题，领会其中的思想方法：因式分解： 解：将“”看成整体，令，则原式，再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：____________； (2)因式分解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，掌握完全平方公式和题目中的整体思想是解题的关键． （1）令，代入原式，用完全平方公式化简，再将m还原，即可求解． （2），代入原式，用完全平方公式化简，将n还原，再用完全平方公式化简，即可求解． 【详解】（1）解：令， 则 ， 将代入，得原式． （2）解：令， 则 ， 将代入得， 原式 ． 45．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）阅读下列材料． 分解因式：． 解：将“”看成整体，令， 则原式． 再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法． 请你用“整体思想”解答下列问题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解−运用公式法，弄清题中的方法是解本题的关键． （1）将“”看成整体，令，再利用完全平方公式分解即可； （2）先把多项式乘多项式整理后，将“”看成整体，令，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解：将“”看成整体，令， 原式， 再将“A”还原，得原式； （2）解：将“”看成整体，令， 则 ， 再将“A”还原，得原式． 题型十：运用因式分解法“配方”求最值 46．（24-25八年级下·甘肃白银·期中）阅读材料 对式子可以变化如下：原式此种变化抓住了完全平方公式的特点，先加一项，使这三项成为完全平方式，再减去加的项，我们把这种变化叫配方．请仔细体会配方的特点，然后尝试用配方解决下列问题： (1)分解因式：； (2)无论x取何值，代数式总有一个最小值，请尝试用配方求出它的最小值． 【答案】(1) (2)2023 【分析】考查了完全平方公式的应用和非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． （1）根据题干的方法求解即可； （2）利用配方法将代数式转化为，然后利用非负数的性质进行解答． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， ， ， 故的最小值为2023． 47．（25-26八年级上·云南昆明·期中）阅读材料：利用公式，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形叫做多项式的配方，运用多项式的配方及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例如： 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式： ① ②； (2)求多项式的最小值． 【答案】(1)①；②； (2)． 【分析】本题考查利用完全平方公式进行配方以及利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握两个公式及其特点是本题解题关键． （1）①仿照题干作答即可； ②仿照题干作答即可； （2）利用完全平方公式进行配方，根据平方的非负性即可得出答案． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解： ， ， 所以多项式的最小值为． 48．（25-26八年级上·山东德州·月考）我们通常运用“”这个公式对代数式进行配方来解决一些数学问题．比如求代数式的最小值时，可以这样做：．∵，∴，∴的最小值是．试利用“配方法”解决下列问题： (1)代数式的最小值是________； (2)求代数式的最小值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了通过完全平方公式进行配方求最值，利用偶数次方的非负性求值，解题的关键是掌握配方法． （）通过完全平方公式进行配方，然后求出最小值即可； （）通过完全平方公式进行配方，然后求出最小值即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴代数式的最小值是， 故答案为：； （2）解：， ∵，， ∴， ∴代数式的最小值是． 49．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（为常数）写成（为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题． 【知识理解】： （1）若多项式是一个完全平方式，那么常数k的值为______； （2）配方：______﹔ 【知识运用】： （3）求多项式的最小值． 【答案】（）；（）；（）多项式的最小值为． 【分析】本题考查完全平方式、配方法、平方式的非负性，理解题意，掌握配方法并灵活运用是解题的关键． （）根据完全平方式的形式求解即可； （）利用配方法的步骤求解即可； （）先分组分别配方，再利用平方式的非负性求解即可． 【详解】解：（）∵是一个完全平方式， ∴， 故答案为：； （）由题意得：， 故答案为：； （） ， ∵，， ∴， ∴多项式的最小值为． 50．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）利用完全平方公式可将二次三项式进行配方，再根据平方差公式因式分解，例如： ．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)根据完全平方公式，将下列式子配方成的形式： ①_________，②_________； (2)利用“配方法”因式分解： ①；②． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【分析】本题考查了多项式的因式分解．利用完全平方公式：配方是解题关键． （1）配方时，先加上的平方，再减去这个平方数；配方时，先加上的平方，再减去这个平方数； （2）①仿照示例利用完全平方公式进行配方变形，即可求解； ②仿照示例利用完全平方公式进行配方变形，即可求解． 【详解】（1）解：①； ②； 故答案为：①；②； （2）解：① ； ② ． 题型十一：因式分解的新定义运算 51．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）若定义一种运算：， 如：． (1)计算：． (2)将（1）计算所得的多项式分解因式； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，分解因式，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据已知运算法则计算即可； （2）综合提公因式法和公式法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：． 52．（24-25八年级下·福建漳州·期中）【新定义】如果a，b都是非零整数，且，那么就称a是“4倍数”． (1)【验证】淇淇说：是“4倍数”，通过简便计算判断他说得对错． (2)【证明】设三个连续偶数的中间数是（是整数），通过计算说明这三个连续偶数的平方和是“4倍数”． 【答案】(1)淇淇的说法错误，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了完全平方公式，提公因式法分解因式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键． （1）利用平方差公式及有理数的乘法运算律进行计算即可得出结论； （2）利用完全平方公式将展开，然后合并同类项，再提公因式，将其变形为，于是结论得证． 【详解】（1）解：淇淇的说法错误，理由如下， ， 不是“4倍数”，故淇淇的说法错误； （2）解： ， 是整数， 是整数， 这三个连续偶数的平方和是“4倍数”． 53．（25-26八年级上·福建莆田·期中）定义：若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为，所以13是“完美数”； 再如：因为，所以也是“完美数”． (1)请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”可以是_____；判断53_______（请填写“是”或“否”）为“完美数”； (2)如果数m，n都是“完美数”，试说明是“完美数”． 【答案】(1) 2或5或8（写一个即可） 是 (2)见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键． （1）根据“完美数”的定义求解即可； （2）设（a，b，c，d为整数），运用整式的乘方与因式分解证明能表示为两个整数的平方和的形式即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：，，， 故2，5，8都是“完美数”，且都小于10， ∵， 故53是“完美数”， 故答案为：2或5或8（写一个即可）；是； （2）证明：设（a，b，c，d为整数），则 ∵a，b，c，d为整数， ∴，都是整数， 是“完美数”． 54．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）新定义：如果一个正整数能表示为两个连续整数的平方和与1的差，则称这个正整数为“比肩数”．例如：；所以4，12，24都是“比肩数”． (1)初步感知：设两个连续正整数为和，当时，比肩数为___________； (2)进阶探究：请用含正整数的代数式表示“比肩数”，并判断60是否为比肩数； (3)拓展应用：试说明：对于任意正整数，两个连续的比肩数，之和是一个完全平方数的4倍． 【答案】(1)40 (2)“比肩数”为，60是比肩数 (3)理由见详解 【分析】本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据“比肩数”的定义可直接代入进行求解； （2）设两个连续正整数为和，根据“比肩数”的定义可得，然后问题可进行求解； （3）由（2）可知：，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴这个比肩数是； 故答案为40； （2）解：设两个连续正整数为和，则根据“比肩数”的定义可知： ， ∴“比肩数”是两个连续正整数积的两倍， ∵， ∴60是“比肩数”； （3）解：由（2）可知：， ∴ ， ∵是完全平方数 ∴是一个完全平方数的4倍． 55．（24-25八年级上·四川眉山·期中）我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． [解决问题] （1）已知34是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______； （2）若可配方成（m、n为常数），则______； [探究问题] （3）已知，则求的值； （4）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，完全平方公式的应用，利用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的特点是解本题的关键． （1）根据“完美数”可得答案； （2）利用完全平方公式可得，从而可得答案； （3）利用完全平方公式把左边分解因式，再利用非负数的性质可得答案； （4）利用完全平方公式可得，再利用新定义可得答案． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）； ∴，， ∴； 故答案为：； （3）∵， ∴， ∴， ∴，， 解得：，， ∴； 故答案为：； （4）当时，为“完美数”，理由如下： ， 当时，，则，为完美数． 1．（25-26八年级下·江苏南京·月考）因式分解 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）提公因式，即可求解； （2）连续两次使用平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 2．（24-25七年级下·江苏南京·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提出公因式，再利用平方差公式进行分解； （2）先利用多项式乘多项式的运算法则将原式展开并化简，再利用完全平方公式进行分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提出负号，再提出公因式即可； （2）先根据平方差公式分解，再根据完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）提取公因式，即可得到答案； （2）直接利用平方差公式分解因式即可得到答案； （3）首先提取，再利用完全平方公式分解因式可得答案； （4）利用平方差公式和完全平方公式分解因式可得答案． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 5．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）[阅读材料] 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． [问题解决] (1)因式分解：； (2)因式分解：； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用换元法设，将原式化为，再利用完全平方公式得出，再将还原即可； （2）设，则原式后，再将还原后，最后再利用完全平方公式即可． 【详解】（1）解：令， 原式 ； （2）解：令， 则原式 ． 6．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用平方差公式分解，再合并同类项，最后提公因式即可； （2）先合并同类项，再提公因式即可分解； （3）利用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 7．（25-26七年级下·江苏徐州·月考）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 比如，因为，所以当时，的值最小，最小值是0．所以． 所以当时，即时，的值最小，最小值是1．即的最小值是1． (1)求的最小值． (2)已知，则___________； (3)已知有理数x、y满足，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）根据配方法把原式变形为，再根据非负数的意义解答即可； （2）根据完全平方公式把原式变形为，再根据非负数的意义，可得x，y的值，即可求解； （3）根据题意可得，再根据非负数的意义解答即可． 【详解】（1）解：， 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以， 即的最小值为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0． 所以， 即的最小值为1． 8．（25-26八年级上·福建龙岩·期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么就称正整数为“可乐数”．例如：，所以3，8，64都是“可乐数”． (1)在正整数：①12；②15；③18中，是“可乐数”的有 ；（填序号） (2)求证：当正整数时，是“可乐数”； (3)把所有的“可乐数”从小到大排列，求第2026个“可乐数”． 【答案】(1)①② (2)见解析 (3)2704 【分析】本题考查了新定义“可乐数”以及平方差公式的运用． （1）根据“可乐数”的定义解答即可； （2）根据解答即可； （3）由（2）可知，所有不小于3的正奇数都是“可乐数”，若偶数是“可乐数”，根据 与的奇偶性相同，可得是偶数，则一定是4的倍数，且，所有的“可乐数”从小到大排列为：，进而得到当时，所有“可乐数”可以表示为，当时，分别是第个“可乐数”，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴12，15是“可乐数”， ∵18不能表示为两个正整数的平方差， ∴18不是“可乐数”； 即“可乐数”的有①②； （2）解：证明：∵， ∴ 即能表示为两个正整数和的平方差， ∴当正整数时，是“可乐数”． （3）解：由（2）可知，所有不小于3的正奇数都是“可乐数”， 若偶数是“可乐数”，则存在正整数，使得， ∴， ∵与的奇偶性相同， ∴是偶数， 因为是偶数，且与的奇偶性相同， 所以与均为偶数，故一定是4的倍数 所有的“可乐数”从小到大排列为：， 当时，所有“可乐数”可以表示为， 当时，分别是第个“可乐数”， ∵， ∴第2026个“可乐数”为． 9．（25-26八年级上·甘肃定西·期末）阅读材料，并解答问题． 例题：求多项式的最小值． 解：， ，， ∴多项式的最小值是4． (1)请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是______； 当取最小值4时，______，______． (2)求多项式的最小值． 【答案】(1)完全平方公式，， (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式以及完全平方数的非负性是解题的关键． （1）观察例题分解过程，确定用到的公式，再根据完全平方数的非负性求出、的值； （2）通过配方法将多项式转化为含有完全平方的形式，再根据完全平方数的非负性求最小值． 【详解】（1）解：过程中使用了完全平方公式． ， 当，时，式子取到最小值， 此时，，，； （2）解： ， ，， ， ∴当且仅当时，有最小值． 10．（2026八年级上·江苏无锡·专题练习）对于多项式，如果我们把代入此多项式，发现的值为0，这时可以确定多项式中有因式；同理，可以确定多项式中的另一个因式为，于是我们可以得到．这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式， (1)请你用试根法分解以下多项式： ①        ② (2)已知多项式是多项式的一个因式，求a，b的值，并将该多项式因式分解． 【答案】(1)①；② (2)，； 【分析】此题考查了因式分解，多项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上知识点． （1）①利用试根法求解即可； ②利用试根法求解即可； （2）设另一个因式为，然后计算为，然后比较系数求解即可． 【详解】（1）解：①当时，，当时， ∴； ②当时，， 当时，， 当时，， ∴； （2）解：∵多项式是多项式的一个因式 ∴设另一个因式为 ∴ ∴ ∴ 解得． ． 11．（25-26八年级上·山西·月考）若一个整数能表示成（是非零整数）的形式，则称这个数为“神秘平方数”． 例如：因为，所以5是“神秘平方数”． (1)请你写一个大于30小于40的“神秘平方数”：_______． (2)已知x，y是正整数，且，试判断M是否是“神秘平方数”，并说明理由． (3)已知（是常数），且无论x，y的值如何变化，S都为“神秘平方数”，请求出k的值． 【答案】(1)32或34或37 (2)M是“神秘平方数”，理由见解析 (3)5 【分析】本题考查了新定义的运算以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据 “神秘平方数”的定义判断即可； （2）根据“神秘平方数”的定义进行判断即可； （3） 先利用完全平方公式进行整理，根据定义得出，求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ， ∴ 大于30小于40的“神秘平方数”为32或34或37． 故答案为：32或34或37 （2）解：M是“神秘平方数”． 理由：，且x，y是正整数， ∴M是“神秘平方数”． （3）解：，且S为“神秘平方数”， 根据题意得：， ， 解得， ∴k的值为5． 12．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）【阅读理解】在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和运用公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还可以用其他方法来因式分解，比如配方法，例如，要因式分解，发现既不能用提公因式法，又不能直接用公式法．这时，我们可以采用下面的办法： ． (1)上述解题运用了转化的思想方法，使得原式变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法：显然上述因式分解并未结束，请补全的因式分解： (2)【实战演练】用配方法因式分解； (3)【拓展创新】当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． 【答案】(1) (2) (3)，时，原式有最小值 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式． （1）用平方差公式继续进行因式分解即可； （2）将原式改写为，先用完全平方公式，再用平方差公式，即可进行因式分解； （3）用题目所给方法，将原式整理为，即可进行解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ∵， ∴ ∴当，时，多项式有最小值，最小值为5． 13．（25-26八年级上·吉林·期末）第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式因式分解，可以先把它的前两项分成组，并提出，把它的后两项分成组，并提出，从而得，这时，由于中又有公因式，于是可提公因式，从而得到，因此有，这种因式分解的方法叫做分组分解法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）____________． 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解： ①_____________． ②_____________． 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是、、，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）这个三角形为等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分组分解法是解题的关键： （1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）①②利用分组分解法进行因式分解即可． （3）将等式右边的式子移到等式左边，利用分组分解法进行因式分解后，进行判断即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）① ； 故答案为： ② ； 故答案为： （3）这个三角形为等边三角形．理由如下： ∵ ∴ ∴ ∴ ∴且 ∴且 ∴ ∴这个三角形是等边三角形． 14．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）阅读以下材料 材料：因式分解： 解：将“”看成整体，令，则原式 再将“”还原，得原式 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：______； (2)因式分解：； (3)因式分解： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了公式法因式分解，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用材料的解题思路进行计算，即可解答； （2）利用材料的解题思路进行计算，即可解答； （3）利用材料的解题思路进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 15．（25-26八年级上·福建泉州·期中）教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式：． ； 再如：求代数式的最小值． ， 可知当时，有最小值，最小值是-8． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：__________________． (2)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2)当时，多项式有最小值5 (3)当时，多项式有最小值2020 【分析】本题考查了配方法的应用（因式分解、多项式最值求解），解题的关键是通过配方法将多项式转化为完全平方式与常数的组合，利用完全平方式的非负性分析问题． （1）对多项式凑完全平方式，再用平方差公式因式分解； （2）将a、b的项分别配方，结合完全平方式非负性求最值； （3）先整理a的项并配方，再结合b的项配方，利用完全平方式非负性求最值． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解： ，， 当，时，多项式有最小值．最小值为5． （3））解： ， 当且，即，时，多项式有最小值．最小值为2020． 16．（25-26八年级上·江苏·单元测试）【阅读材料】 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 (1)因式分解：． (2)因式分解：． (3)证明：若为正整数，则式子的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是熟练运用整体思想和十字相乘法与完全平方公式因式分解的能力． （1）将看作整体，利用完全平方公式因式分解即可得； （2）将看作整体，先整理整理成一般式，再利用完全平方公式因式分解可得； （3）先计算得，再将看作整体因式分解得原式，继而由为正整数可得结论． 【详解】（1）解：将“”看成整体，令， 则原式， 再将“”还原，原式； （2）解：将“”看成整体，令， 则原式， 再将“”还原，原式； （3）解：证明：原式 ， 为正整数， 为正整数， 式子的值一定是某个整数的平方． 17．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． (1)解决问题：已知29是“完美数”，请将它写成（a，b是整数）的形式________； (2)探究问题：已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由； (3)拓展结论：已知x，y满足，求的最小值． 【答案】(1) (2)36 (3)4 【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）根据“完美数”的定义，可求出； （2）因为S为“完美数”，所以可以将S写成两个数的平方和，利用完全平方公式，求出k即可； （3）因为，所以，因此，根据完全平方数的非负性，求出的最小值是4． 【详解】（1）因为， 所以29写成（a，b是整数）的形式是． 故答案为：． （2）因为xy是整数，k是常数， ， 要使S为“完美数”， 则是完全平方数， 所以时，， 此时． 所以符合条件的k的值是36． （3）因为x，y满足， 所以x，y满足， 所以有： ， 因为， 所以， 所以当时，有最小值是4． 18．（24-25八年级上·江苏南通·期末）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：（）． (1)分解因式：； (2)若，都是正整数且满足，求的值； (3)若，为实数且满足，整式，求整式的最小值。 【答案】(1) (2)或 (3)的最小值是 【分析】本题考查了分组分解法进行因式分解，熟练掌握运用提公因式法以及公式法进行因式分解是解题的关键． （1）先分组，再运用提公因式法进行因式分解； （2）先将变形为，即，然后再解决本题． （3）先将变形为，再代入，然后进行变形，得到，最后根据非负数的性质得出的最小值． 【详解】（1）解： （2）解：∵ ∴ ∴ ∴ ，都是正整数 ，且、都是整数， 或 或 或 解得或其他两种不符合，为正整数，舍去 故：或； （3）由得代入 ， ∵， ∴， ∴的最小值是． 19．（24-25八年级上·江苏南通·月考）阅读材料：若，求的值． 解：， ， ， ，， ． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知的三边长都是正整数，且满足，求的最大边的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2)的最大边的值为，，，或 (3) 【分析】（1）根据，应用完全平方公式得，根据平方的非负性质求出、的值再代入计算即可； （2）首先根据得，求出、的值；然后根据三角形的三条边的长度的关系，求出的范围，然后再确定的值即可； （3）把代入，得，可得、的值，继而得到的值，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴ 即的值为； （2）∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴，， ∵的三边长都是正整数，且为最大边， ∴，， ∴， ∴的最大边的值为，，，或； （3）∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查因式分解的应用，非负数的性质，完全平方公式的应用，三角形三边关系，一元一次不等式组的应用，正确理解阅读材料并能运用其方法及公式是解题的关键． 20．（2025·江苏扬州·一模）我们知道能被3整除的数的规律，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数就能被3整除． 例如，三位数108，，9可以被3整除，108就能被3整除． 【发现】将三位数去掉末尾数字得到两位数，再用减去的2倍所得的差为．若能被7整除，则三位数就能被7整除． 【验证】如，对于三位数364，，28可以被7整除，364就能被7整除． （1）用上述方法判断455能否被7整除？ 【探究】（2）请用含，，的代数式表示 ； （3）结合（2）论证“发现”中的结论正确． 【迁移】（4）下列结论正确的是 ．（填序号） ①在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； ②在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； ③在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； 【答案】（1）455能被7整除；（2）；（3）见解析；（4）① 【分析】本题考查了数的整除、整式加减的应用、有理数的混合运算、列代数式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出，结合能够被整除即可得解； （2）根据题意表示出代数式即可； （3）由（2）可得，由题意可得（为整数），推出，表示出，即可得解； （4）仿照（3）的方式逐项分析即可得解． 【详解】解：（1）∵，能够被整除； ∴455能被7整除； （2）由题意可得：； （3）由（2）可得， ∵能被7整除， ∴（为整数）， ∴， ∴， ∴三位数能被7整除； （4）①， ∵是11的倍数， ∴（为整数）， ∴， ∴， ∴是11的倍数；故①正确； ②， ∵是11的倍数， ∴（为整数）， ∴， ∴，不一定是11的倍数，故②错误； ③， ∵是11的倍数， ∴（为整数）， ∴， ∴，不一定是11的倍数，故③错误； 综上所述，正确的是①． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $